ece350 course summary

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.1%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.22.5%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20BASE%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%22%0A%0A%20%20%20%20q_C%20%3D%201.6e-19%0A%20%20%20%20kT_eV%20%3D%200.02585%0A%20%20%20%20ni_si%20%3D%201.1e10%0A%20%20%20%20Eg_Si%20%3D%201.12%0A%20%20%20%20eps_r_Si%20%3D%2011.7%0A%20%20%20%20eps_0_cgs%20%3D%208.854e-14%0A%20%20%20%20eps_Si%20%3D%20eps_r_Si%20*%20eps_0_cgs%0A%20%20%20%20eps_ox%20%3D%203.9%20*%20eps_0_cgs%0A%20%20%20%20Nc_Si%20%3D%202.86e19%0A%20%20%20%20Nv_Si%20%3D%201.08e19%0A%20%20%20%20chi_Si%20%3D%204.05%0A%20%20%20%20mu_n_Si%20%3D%201350.0%0A%20%20%20%20mu_p_Si%20%3D%20480.0%0A%20%20%20%20D_n_Si%20%3D%20kT_eV%20*%20mu_n_Si%0A%20%20%20%20D_p_Si%20%3D%20kT_eV%20*%20mu_p_Si%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20BASE%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Nc_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Nv_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps_0_cgs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kT_eV%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mu_n_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mu_p_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ni_si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q_C%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20ECE350%3A%20Semiconductor%20Electronic%20Devices%20%E2%80%94%20Course%20Review%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20is%20a%20**complete%20review**%20of%20the%20course%3A%20each%20unit%20summarised%20with%20its%20core%20equations%2C%20computed%20physics%20figures%2C%20and%20links%20to%20the%20full%20interactive%20notebooks.%0A%0A%20%20%20%20Disclosure%3A%20This%20summary%20was%20first%20created%20by%20AI%20(Cursor%20with%20Opus%204.6)%20from%20the%20course%20notes%20then%20edited%20by%20the%20instructor.%0A%0A%20%20%20%20**Textbooks%3A**%20C.%20Hu%2C%20*Modern%20Semiconductor%20Devices%20for%20Integrated%20Circuits*%3B%20R.%20F.%20Pierret%2C%20*Advanced%20Semiconductor%20Fundamentals*.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Unit%20%7C%20Topic%20%7C%20Interactive%20notebooks%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A------%3A%7C%3A-------%3A%7C%3A-----------------------%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%201%20%7C%20Crystals%20%26%20Energy%20Bands%20%7C%20%5Bcrystals%5D(%7BBASE%7D%2Fcrystals%2F)%20%C2%B7%20%5Bcrystal%20potential%5D(%7BBASE%7D%2Fcrystalpotential%2F)%20%C2%B7%20%5Benergy%20bands%5D(%7BBASE%7D%2Fenergybands%2F)%20%C2%B7%20%5Beffective%20mass%5D(%7BBASE%7D%2Feffectivemass%2F)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%202%20%7C%20Equilibrium%20Statistics%20%7C%20%5Bequilibrium%20carriers%5D(%7BBASE%7D%2Fequilibrium%2F)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%203%20%7C%20Carrier%20Transport%20%7C%20%5Bdrift%5D(%7BBASE%7D%2Fdrift%2F)%20%C2%B7%20%5Bdiffusion%5D(%7BBASE%7D%2Fdiffusion%2F)%20%C2%B7%20%5BG%2FR%5D(%7BBASE%7D%2Fgen_recomb%2F)%20%C2%B7%20%5Bcontinuity%5D(%7BBASE%7D%2Fcontinuity%2F)%20%C2%B7%20%5Bband%20bending%5D(%7BBASE%7D%2Fbandbend%2F)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%204%20%7C%20PN%20Junction%20%7C%20%5Belectrostatics%5D(%7BBASE%7D%2Fpn-electrostatics%2F)%20%C2%B7%20%5Breverse%20bias%5D(%7BBASE%7D%2Fpn-revbias%2F)%20%C2%B7%20%5BI-V%5D(%7BBASE%7D%2Fpn-iv%2F)%20%C2%B7%20%5Bnon-idealities%5D(%7BBASE%7D%2Fpn-non-idealities%2F)%20%C2%B7%20%5Bsmall-signal%5D(%7BBASE%7D%2Fpn-small-sig%2F)%20%C2%B7%20%5Blight%2Fabsorption%5D(%7BBASE%7D%2Fpn-light-absorption%2F)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%205%20%7C%20BJT%20%7C%20%5BBJT%20I-V%5D(%7BBASE%7D%2Fbjt-iv%2F)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%206%20%7C%20Metal-Semiconductor%20%7C%20%5BM-S%20interface%5D(%7BBASE%7D%2Fm-s-interface%2F)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%207%20%7C%20MOS%20%26%20MOSFET%20%7C%20%5BMOS%20cap%5D(%7BBASE%7D%2Fmoscap%2F)%20%C2%B7%20%5Bnon-idealities%5D(%7BBASE%7D%2Fmos-nonidealities%2F)%20%C2%B7%20%5BMOSFET%20intro%5D(%7BBASE%7D%2Fmosfet-intro%2F)%20%C2%B7%20%5BMOSFET%20I-V%5D(%7BBASE%7D%2Fmosfet-iv%2F)%20%C2%B7%20%5Bdynamics%5D(%7BBASE%7D%2Fmosfet-ac%2F)%20%C2%B7%20%5BFinFET%2FFDSOI%5D(%7BBASE%7D%2Ffinfet-fdsoi%2F)%20%7C%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20How%20the%20course%20fits%20together%0A%0A%20%20%20%20%60%60%60%0A%20%20%20%20Crystals%20%26%20Bands%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%96%BA%20What%20states%20exist%3F%20E(k)%2C%20band%20gap%2C%20m*%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%82%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%96%BC%0A%20%20%20%20Equilibrium%20Statistics%20%E2%94%80%E2%96%BA%20How%20many%20carriers%3F%20n%E2%82%80%2C%20p%E2%82%80%2C%20E%EA%9C%B0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%82%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%96%BC%0A%20%20%20%20Transport%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%96%BA%20How%20do%20carriers%20move%3F%20J%20(drift%2Bdiffusion)%2C%20continuity%2C%20G%2FR%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%82%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%96%BC%0A%20%20%20%20Devices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%82%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%96%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%9C%E2%94%80%E2%94%80%E2%96%BA%20PN%20Junction%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%96%BA%20Diode%20I-V%2C%20depletion%2C%20minority%20injection%20and%20diffusion%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%82%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%82%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%82%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%94%E2%94%80%E2%94%80%E2%96%BA%20Optoelectronics%20%E2%96%BA%20Solar%20cells%2C%20photodetectors%2C%20LEDs%2C%20lasers%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%82%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%9C%E2%94%80%E2%94%80%E2%96%BA%20BJT%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%96%BA%20Minority%20diffusion%20control%2C%20%CE%B2%2C%20Gummel%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%82%20%20%20%20%20%E2%94%82%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%82%20%20%20%20%20%E2%94%94%E2%94%80%E2%94%80%E2%96%BA%20Heterojunction%20bipolar%20transistors%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%82%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%9C%E2%94%80%E2%94%80%E2%96%BA%20Metal-Semiconductor%20%E2%96%BA%20Schottky%20barriers%2C%20ohmic%20contacts%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%82%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%94%94%E2%94%80%E2%94%80%E2%96%BA%20MOS%20%2F%20MOSFET%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%96%BA%20Gate-controlled%20channel%2C%20I-V%2C%20scaling%0A%20%20%20%20%60%60%60%0A%0A%20%20%20%20Every%20device%20reuses%20the%20**same%20concepts**%3A%20band%20structure%20%E2%86%92%20carrier%20transport%20%E2%86%92%20electrostatics.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Unit%201%3A%20Electron%20Waves%20in%20Crystals%20and%20Energy%20Bands%0A%0A%20%20%20%20*Hu%20Ch.%201%3B%20Pierret%20Ch.%202%E2%80%933*%0A%0A%20%20%20%20**Goal%3A**%20Explain%20why%20semiconductors%20have%20**energy%20bands**%20and%20**band%20gaps**%2C%20define%20**crystal%20momentum**%20%24%5Chbar%20k%24%20and%20**effective%20mass**%20%24m%5E*%24.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.1%20Crystal%20Structure%0A%0A%20%20%20%20-%20Semiconductors%20have%20**periodic**%20atomic%20arrangements%20(diamond%20cubic%20for%20Si%2C%20zincblende%20for%20GaAs).%0A%20%20%20%20-%20The%20**lattice%20constant**%20%24a%24%20sets%20the%20length%20scale%20(Si%3A%20%24a%20%3D%205.43%24%20%C3%85).%0A%20%20%20%20-%20**Miller%20indices**%20%24(hkl)%24%20describe%20crystal%20planes%3B%20important%20for%20fabrication%20(wafer%20orientation)%2C%20defect%20behaviour%2C%20and%20anisotropic%20properties.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.2%20Bloch's%20Theorem%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20periodic%20potential%20%24U(%5Cmathbf%7Br%7D)%20%3D%20U(%5Cmathbf%7Br%7D%2B%5Cmathbf%7BR%7D)%24%2C%20the%20electron%20wavefunction%20has%20the%20form%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cpsi_%7Bn%5Cmathbf%7Bk%7D%7D(%5Cmathbf%7Br%7D)%20%3D%20e%5E%7Bi%5Cmathbf%7Bk%7D%5Ccdot%5Cmathbf%7Br%7D%7D%20%5C%2C%20u_%7Bn%5Cmathbf%7Bk%7D%7D(%5Cmathbf%7Br%7D)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24u_%7Bn%5Cmathbf%7Bk%7D%7D%24%20has%20the%20periodicity%20of%20the%20lattice.%20%20%24n%24%20is%20the%20**band%20index**%2C%20%24%5Cmathbf%7Bk%7D%24%20is%20the%20**crystal%20momentum**%20(wave%20vector).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.3%20Kronig%E2%80%93Penney%20Model%0A%0A%20%20%20%20A%201D%20periodic%20square-well%20potential%20gives%20a%20**transcendental%20equation**%20whose%20solutions%20%24E(k)%24%20show%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Allowed%20energy%20bands**%20separated%20by%20**forbidden%20gaps**.%0A%20%20%20%20-%20Band%20structure%20is%20periodic%20in%20%24k%24%20with%20period%20%242%5Cpi%2Fa%24%20(reciprocal%20lattice%20vector).%0A%20%20%20%20-%20We%20use%20the%20**reduced%20zone%20scheme**%20(%24-%5Cpi%2Fa%20%3C%20k%20%5Cle%20%5Cpi%2Fa%24%2C%20first%20Brillouin%20zone).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.4%20Energy%20Bands%20in%20Real%20Semiconductors%0A%0A%20%20%20%20-%20**Direct%20gap**%20(GaAs)%3A%20conduction%20band%20minimum%20and%20valence%20band%20maximum%20at%20the%20same%20%24k%24%20%E2%86%92%20efficient%20optical%20transitions.%0A%20%20%20%20-%20**Indirect%20gap**%20(Si%2C%20Ge)%3A%20minima%20at%20different%20%24k%24%20%E2%86%92%20phonon-assisted%20transitions%2C%20weaker%20absorption.%0A%20%20%20%20-%20Si%3A%20%24E_g%20%3D%201.12%24%20eV%20(indirect)%2C%20GaAs%3A%20%24E_g%20%3D%201.42%24%20eV%20(direct).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.5%20Effective%20Mass%0A%0A%20%20%20%20Near%20a%20band%20extremum%2C%20the%20dispersion%20is%20approximately%20parabolic%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24E(%5Cmathbf%7Bk%7D)%20%5Capprox%20E_%7B%5Ctext%7Bedge%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20k%5E2%7D%7B2%20m%5E*%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bm%5E*%20%3D%20%5Chbar%5E2%20%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5E2E%7D%7Bdk%5E2%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20**Electrons**%20near%20the%20conduction%20band%20minimum%3A%20%24m_n%5E*%20%3E%200%24.%0A%20%20%20%20-%20**Holes**%20near%20the%20valence%20band%20maximum%3A%20%24m_p%5E*%20%3E%200%24%20(defined%20with%20sign%20flip).%0A%20%20%20%20-%20In%20general%2C%20%24m%5E*%24%20is%20a%20**tensor**%20(Si%20has%20longitudinal%20and%20transverse%20masses).%0A%0A%20%20%20%20%24m%5E*%24%20determines%20the%20**density%20of%20states**%20and%20the%20**mobility**.%20It%20is%20the%20compact%20bridge%20between%20band%20theory%20and%20device%20equations.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig_ek%2C%20_ax_ek%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(6%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20np.linspace(-np.pi%2C%20np.pi%2C%20500)%0A%20%20%20%20_E_free%20%3D%20_k**2%20%2F%20(2%20*%20np.pi**2)%20*%2010%0A%0A%20%20%20%20_P%20%3D%203.0%20*%20np.pi%0A%20%20%20%20_lhs%20%3D%20_P%20*%20np.sinc(_k%20*%200)%20%2B%20np.cos(_k)%0A%0A%20%20%20%20_E1%20%3D%201.0%20-%200.4%20*%20np.cos(_k)%0A%20%20%20%20_E2%20%3D%203.2%20%2B%200.6%20*%20np.cos(_k)%0A%20%20%20%20_E3%20%3D%206.0%20-%200.9%20*%20np.cos(_k)%0A%20%20%20%20_E4%20%3D%2010.0%20%2B%201.1%20*%20np.cos(_k)%0A%0A%20%20%20%20_ax_ek.fill_between(_k%20%2F%20np.pi%2C%20_E1.max()%2C%20_E2.min()%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%20%20%20%20_ax_ek.fill_between(_k%20%2F%20np.pi%2C%20_E2.max()%2C%20_E3.min()%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%20%20%20%20_ax_ek.fill_between(_k%20%2F%20np.pi%2C%20_E3.max()%2C%20_E4.min()%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%0A%20%20%20%20for%20_Eband%2C%20_c%2C%20_lbl%20in%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_E1%2C%20%22%231f77b4%22%2C%20%22Band%201%20%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_E2%2C%20%22%23d62728%22%2C%20%22Band%202%20(VB)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_E3%2C%20%22%232ca02c%22%2C%20%22Band%203%20(CB)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_E4%2C%20%22%239467bd%22%2C%20%22Band%204%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_ek.plot(_k%20%2F%20np.pi%2C%20_Eband%2C%20color%3D_c%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D_lbl)%0A%0A%20%20%20%20_ax_ek.set_xlabel(r%22%24ka%2F%5Cpi%24%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_ek.set_ylabel(r%22%24E%24%20(arb.%20units)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_ek.set_title(%22Schematic%20E(k)%20in%20the%20reduced%20zone%20scheme%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_ek.legend(fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_ek.set_xlim(-1%2C%201)%0A%20%20%20%20_ax_ek.tick_params(labelsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20_ax_ek.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Band%20gap%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0%2C%20(_E2.max()%20%2B%20_E3.min())%20%2F%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22gray%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig_ek.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_ek%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20*Figure%3A%20Schematic%20E(k)%20dispersion%20in%20the%20reduced%20zone%20scheme.%20Grey%20shaded%20regions%20are%20**band%20gaps**%20(forbidden%20energies).%20The%20curvatures%20of%20each%20band%20at%20its%20extrema%20determine%20the%20effective%20mass%20for%20the%20bandgap.*%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Unit%202%3A%20Equilibrium%20Carrier%20Statistics%0A%0A%20%20%20%20*Hu%20Ch.%201%3B%20Pierret%20Ch.%203%E2%80%934*%0A%0A%20%20%20%20**Goal%3A**%20Given%20doping%20and%20temperature%2C%20find%20the%20carrier%20concentrations%20%24n_0%24%2C%20%24p_0%24%20and%20the%20Fermi%20level%20%24E_F%24.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202.1%20Density%20of%20States%0A%0A%20%20%20%20For%20parabolic%20bands%20in%203D%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24g_c(E)%20%3D%20%5Cfrac%7B4%5Cpi%20(2m_n%5E*)%5E%7B3%2F2%7D%7D%7Bh%5E3%7D%5Csqrt%7BE%20-%20E_c%7D%2C%20%5Cquad%20g_v(E)%20%3D%20%5Cfrac%7B4%5Cpi%20(2m_p%5E*)%5E%7B3%2F2%7D%7D%7Bh%5E3%7D%5Csqrt%7BE_v%20-%20E%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202.2%20Fermi%E2%80%93Dirac%20Distribution%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bf(E)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BE%20-%20E_F%7D%7Bk_BT%7D%5Cright)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20%24E%20%3D%20E_F%24%3A%20%24f%20%3D%201%2F2%24.%20%20For%20%24E%20-%20E_F%20%5Cgg%20k_BT%24%3A%20%24f%20%5Capprox%20e%5E%7B-(E-E_F)%2Fk_BT%7D%24%20(Boltzmann%20tail).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202.3%20Carrier%20Concentrations%20(Non-Degenerate)%0A%0A%20%20%20%20Using%20the%20Boltzmann%20approximation%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn_0%20%3D%20N_c%20%5Cexp%5C!%5Cleft(-%5Cfrac%7BE_c%20-%20E_F%7D%7Bk_BT%7D%5Cright)%7D%2C%20%5Cquad%20%5Cboxed%7Bp_0%20%3D%20N_v%20%5Cexp%5C!%5Cleft(-%5Cfrac%7BE_F%20-%20E_v%7D%7Bk_BT%7D%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20the%20**effective%20densities%20of%20states**%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24N_c%20%3D%202%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%20m_n%5E*%20k_BT%7D%7Bh%5E2%7D%5Cright)%5E%7B3%2F2%7D%2C%20%5Cquad%20N_v%20%3D%202%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%20m_p%5E*%20k_BT%7D%7Bh%5E2%7D%5Cright)%5E%7B3%2F2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20Si%20at%20300%20K%3A%20%24N_c%20%3D%202.86%20%5Ctimes%2010%5E%7B19%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24%2C%20%24N_v%20%3D%201.08%20%5Ctimes%2010%5E%7B19%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202.4%20Intrinsic%20Semiconductor%20and%20%24n_0p_0%24%20Product%0A%0A%20%20%20%20%24%24n_i%20%3D%20%5Csqrt%7BN_c%20N_v%7D%5C%2C%5Cexp%5C!%5Cleft(-%5Cfrac%7BE_g%7D%7B2k_BT%7D%5Cright)%20%5Capprox%201.1%20%5Ctimes%2010%5E%7B10%7D%5C%3B%5Ctext%7Bcm%7D%5E%7B-3%7D%5Ctext%7B%20(Si%2C%20300%20K)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn_0%20%5C%2C%20p_0%20%3D%20n_i%5E2%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7B(valid%20in%20equilibrium)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202.5%20Extrinsic%20Semiconductors%20(Doping)%0A%0A%20%20%20%20-%20**Donors**%20(%24N_D%24)%3A%20donate%20electrons%20%E2%86%92%20%24n_0%20%5Capprox%20N_D%24%20(n-type%2C%20%24N_D%20%5Cgg%20n_i%2C%20N_A%24).%0A%20%20%20%20-%20**Acceptors**%20(%24N_A%24)%3A%20accept%20electrons%20%E2%86%92%20%24p_0%20%5Capprox%20N_A%24%20(p-type%2C%20%24N_A%20%5Cgg%20n_i%2C%20N_D%24).%0A%20%20%20%20-%20**Charge%20neutrality%3A**%20%24n_0%20%2B%20N_A%5E-%20%3D%20p_0%20%2B%20N_D%5E%2B%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202.6%20Fermi%20Level%20Position%0A%0A%20%20%20%20%24%24n_0%20%3D%20n_i%20%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BE_F%20-%20E_%7BF_i%7D%7D%7Bk_BT%7D%5Cright)%2C%20%5Cquad%20p_0%20%3D%20n_i%20%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BE_%7BF_i%7D%20-%20E_F%7D%7Bk_BT%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20n-type%3A%20%24E_F%20-%20E_%7BF_i%7D%20%3D%20k_BT%20%5Cln(N_D%20%2F%20n_i)%24%2C%20so%20%24E_F%24%20moves%20**toward**%20%24E_c%24.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(kT_eV%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig_fd%2C%20(_ax_fd%2C%20_ax_np)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_E_range%20%3D%20np.linspace(-0.3%2C%200.3%2C%20500)%0A%20%20%20%20for%20_T_K%2C%20_ls%2C%20_lbl%20in%20%5B(77%2C%20%22--%22%2C%20%2277%20K%22)%2C%20(300%2C%20%22-%22%2C%20%22300%20K%22)%2C%20(600%2C%20%22%3A%22%2C%20%22600%20K%22)%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_kT%20%3D%20kT_eV%20*%20_T_K%20%2F%20300.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%20%2B%20np.exp(_E_range%20%2F%20_kT))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_fd.plot(_f%2C%20_E_range%20*%201000%2C%20ls%3D_ls%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D_lbl)%0A%20%20%20%20_ax_fd.axhline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D0.5%2C%20ls%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20_ax_fd.set_xlabel(%22%24f(E)%24%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_fd.set_ylabel(%22%24E%20-%20E_F%24%20(meV)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_fd.set_title(%22Fermi%E2%80%93Dirac%20distribution%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_fd.legend(fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax_fd.set_xlim(-0.05%2C%201.05)%0A%20%20%20%20_ax_fd.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_Nd_arr%20%3D%20np.logspace(13%2C%2019%2C%20300)%0A%20%20%20%20_ni%20%3D%201.1e10%0A%20%20%20%20_n0%20%3D%20_Nd_arr%0A%20%20%20%20_p0%20%3D%20_ni**2%20%2F%20_Nd_arr%0A%20%20%20%20_ax_np.loglog(_Nd_arr%2C%20_n0%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22%24n_0%24%20(electrons)%22%2C%20color%3D%22%231f77b4%22)%0A%20%20%20%20_ax_np.loglog(_Nd_arr%2C%20_p0%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22%24p_0%24%20(holes)%22%2C%20color%3D%22%23d62728%22)%0A%20%20%20%20_ax_np.axhline(_ni%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D1)%0A%20%20%20%20_ax_np.text(1e14%2C%202e10%2C%20%22%24n_i%24%22%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%20%20%20%20_ax_np.set_xlabel(%22%24N_D%24%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_np.set_ylabel(%22Carrier%20concentration%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_np.set_title(%22n-type%20Si%20at%20300%20K%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_np.legend(fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax_np.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_fig_fd.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_fd%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20*Left%3A%20Fermi%E2%80%93Dirac%20function%20at%20three%20temperatures.%20Right%3A%20Electron%20and%20hole%20concentrations%20vs%20donor%20doping%20in%20Si%20at%20300%20K.%20%20As%20%24N_D%24%20increases%2C%20%24n_0%20%5Capprox%20N_D%24%20and%20%24p_0%20%3D%20n_i%5E2%2FN_D%24%20drops.*%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Unit%203%3A%20Carrier%20Transport%0A%0A%20%20%20%20*Hu%20Ch.%202%2C%204%3B%20Pierret%20Ch.%205%E2%80%936*%0A%0A%20%20%20%20**Goal%3A**%20Relate%20electric%20fields%20and%20concentration%20gradients%20to%20**current%20densities**%2C%20and%20describe%20how%20carrier%20concentrations%20evolve%20in%20time%20and%20space.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203.1%20Drift%0A%0A%20%20%20%20An%20electric%20field%20%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%20accelerates%20carriers.%20%20Scattering%20gives%20a%20**drift%20velocity**%20%24v_d%20%3D%20%5Cmu%20%5Cmathcal%7BE%7D%24%20(low%20field).%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BJ_%7Bn%2C%5Ctext%7Bdrift%7D%7D%20%3D%20q%20n%20%5Cmu_n%20%5Cmathcal%7BE%7D%2C%20%5Cquad%20J_%7Bp%2C%5Ctext%7Bdrift%7D%7D%20%3D%20q%20p%20%5Cmu_p%20%5Cmathcal%7BE%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20high%20fields%2C%20%24v_d%24%20saturates%3A%20%24v_d%20%5Cto%20v_%7B%5Ctext%7Bsat%7D%7D%20%5Capprox%2010%5E7%24%20cm%2Fs%20in%20Si.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203.2%20Diffusion%0A%0A%20%20%20%20A%20**concentration%20gradient**%20drives%20a%20diffusion%20current%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BJ_%7Bn%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D%20%3D%20q%20D_n%20%5Cfrac%7Bdn%7D%7Bdx%7D%2C%20%5Cquad%20J_%7Bp%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D%20%3D%20-q%20D_p%20%5Cfrac%7Bdp%7D%7Bdx%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203.3%20Einstein%20Relation%0A%0A%20%20%20%20Links%20diffusion%20coefficient%20and%20mobility%20(non-degenerate)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cfrac%7BD%7D%7B%5Cmu%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bk_BT%7D%7Bq%7D%7D%20%5Capprox%2026%20%5C%3B%5Ctext%7BmV%20at%20300%20K%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203.4%20Total%20Current%20Densities%0A%0A%20%20%20%20%24%24J_n%20%3D%20qn%5Cmu_n%5Cmathcal%7BE%7D%20%2B%20qD_n%5Cfrac%7Bdn%7D%7Bdx%7D%2C%20%5Cquad%20J_p%20%3D%20qp%5Cmu_p%5Cmathcal%7BE%7D%20-%20qD_p%5Cfrac%7Bdp%7D%7Bdx%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24J_%7B%5Ctext%7Btotal%7D%7D%20%3D%20J_n%20%2B%20J_p%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203.5%20Generation%20and%20Recombination%0A%0A%20%20%20%20-%20**Thermal%20G%2FR%3A**%20%24R%20-%20G%20%3D%20%5CDelta%20n%20%2F%20%5Ctau%24%20for%20low-level%20injection%20(%24%5CDelta%20n%20%5Cll%24%20majority).%0A%20%20%20%20-%20**Radiative**%20(direct%20gap)%3A%20%24R%20%5Cpropto%20np%24%20%E2%80%94%20basis%20of%20LEDs%20and%20lasers.%0A%20%20%20%20-%20**Auger%3A**%20%24R%20%5Cpropto%20n%5E2p%24%20or%20%24np%5E2%24%20%E2%80%94%20dominates%20at%20high%20carrier%20densities.%0A%20%20%20%20-%20**SRH%20(trap-assisted)%3A**%20dominant%20in%20indirect-gap%20Si%3B%20rate%20depends%20on%20trap%20energy%20and%20capture%20cross-sections.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203.6%20Continuity%20Equation%0A%0A%20%20%20%20Conservation%20of%20carriers%20in%20a%20volume%20element%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20n%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20J_n%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2B%20G_n%20-%20R_n%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20p%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20J_p%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2B%20G_p%20-%20R_p%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203.7%20Minority%20Carrier%20Diffusion%20Equation%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20uniformly%20doped%2C%20field-free%20region%20with%20low-level%20injection%20and%20linear%20recombination%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20%5CDelta%20p_n%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20p_n%7D%7BL_p%5E2%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7B(steady%20state)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BL_p%20%3D%20%5Csqrt%7BD_p%20%5Ctau_p%7D%2C%20%5Cquad%20L_n%20%3D%20%5Csqrt%7BD_n%20%5Ctau_n%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24L%24%20is%20the%20**diffusion%20length**%20%E2%80%94%20the%20average%20distance%20a%20minority%20carrier%20diffuses%20before%20recombining.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203.8%20Band%20Bending%20and%20Quasi-Fermi%20Levels%0A%0A%20%20%20%20-%20In%20equilibrium%2C%20%24E_F%24%20is%20**flat**%20(constant%20throughout%20the%20device).%0A%20%20%20%20-%20An%20electric%20field%20causes%20**band%20bending**%3A%20%24%5Cmathcal%7BE%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%5Cfrac%7BdE_c%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%5Cfrac%7BdE_v%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%5Cfrac%7BdE_%7BF_i%7D%7D%7Bdx%7D%24.%0A%20%20%20%20-%20Out%20of%20equilibrium%2C%20define%20**quasi-Fermi%20levels**%20%24E_%7BF_n%7D%24%2C%20%24E_%7BF_p%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24n%20%3D%20n_i%20%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BE_%7BF_n%7D%20-%20E_%7BF_i%7D%7D%7Bk_BT%7D%5Cright)%2C%20%5Cquad%20p%20%3D%20n_i%20%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BE_%7BF_i%7D%20-%20E_%7BF_p%7D%7D%7Bk_BT%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24J_n%20%3D%20%5Cmu_n%20n%20%5Cfrac%7BdE_%7BF_n%7D%7D%7Bdx%7D%2C%20%5Cquad%20J_p%20%3D%20%5Cmu_p%20p%20%5Cfrac%7BdE_%7BF_p%7D%7D%7Bdx%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Current%20flows%20**where%20the%20quasi-Fermi%20level%20has%20a%20gradient**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203.9%20Poisson's%20Equation%0A%0A%20%20%20%20Ties%20the%20electric%20field%20to%20the%20charge%20distribution%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cfrac%7Bd%5Cmathcal%7BE%7D%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_s%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bq%7D%7B%5Cepsilon_s%7D(p%20-%20n%20%2B%20N_D%5E%2B%20-%20N_A%5E-)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Together%2C%20drift-diffusion%20%2B%20continuity%20%2B%20Poisson%20form%20the%20**semiconductor%20equations**%20%E2%80%94%20the%20basis%20for%20all%20device%20models.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mu_n_Si%2C%20mu_p_Si%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig_tr%2C%20(_ax_vd%2C%20_ax_diff)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_E_field%20%3D%20np.linspace(0%2C%201e5%2C%20500)%0A%20%20%20%20_vsat%20%3D%201.0e7%0A%20%20%20%20for%20_mu%2C%20_label%2C%20_c%20in%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(mu_n_Si%2C%20%22Electrons%22%2C%20%22%231f77b4%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(mu_p_Si%2C%20%22Holes%22%2C%20%22%23d62728%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_vd%20%3D%20_mu%20*%20_E_field%20%2F%20(1.0%20%2B%20_mu%20*%20_E_field%20%2F%20_vsat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_vd.plot(_E_field%20%2F%201e3%2C%20_vd%20%2F%201e6%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D_label%2C%20color%3D_c)%0A%0A%20%20%20%20_ax_vd.set_xlabel(r%22%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%20(kV%2Fcm)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_vd.set_ylabel(r%22%24v_d%24%20(%24%5Ctimes%2010%5E6%24%20cm%2Fs)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_vd.set_title(%22Drift%20velocity%20vs%20field%20(Si%2C%20300%20K)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_vd.legend(fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax_vd.tick_params(labelsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax_vd.set_ylim(0%2C%2012)%0A%0A%20%20%20%20_x_um%20%3D%20np.linspace(0%2C%2050%2C%20300)%0A%20%20%20%20_Lp_vals%20%3D%20%5B5.0%2C%2010.0%2C%2020.0%5D%0A%20%20%20%20for%20_Lp%20in%20_Lp_vals%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dp%20%3D%20np.exp(-_x_um%20%2F%20_Lp)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_diff.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_um%2C%20_dp%2C%20lw%3D2%2C%20label%3Drf%22%24L_p%20%3D%20%7B_Lp%3A.0f%7D%5C%3B%5Cmu%24m%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_diff.set_xlabel(r%22%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_diff.set_ylabel(r%22%24%5CDelta%20p_n(x)%20%2F%20%5CDelta%20p_n(0)%24%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_diff.set_title(%22Minority%20carrier%20decay%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_diff.legend(fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax_diff.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_fig_tr.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_tr%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20*Left%3A%20Drift%20velocity%20vs%20electric%20field%20in%20Si%20showing%20saturation%20at%20%24%5Csim%2010%5E7%24%20cm%2Fs.%20%20Right%3A%20Exponential%20decay%20of%20excess%20minority%20carriers%20%E2%80%94%20shorter%20%24L_p%24%20means%20faster%20spatial%20decay%20(stronger%20recombination%20relative%20to%20diffusion).*%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Unit%204%3A%20PN%20Junction%0A%0A%20%20%20%20*Hu%20Ch.%204%3B%20Pierret%20Ch.%206%E2%80%938*%0A%0A%20%20%20%20**Goal%3A**%20Electrostatics%20in%20the%20depletion%20region%2C%20forward%2Freverse%20bias%2C%20**Shockley%20diode%20I-V**%2C%20small-signal%20and%20transient%20models.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%204.1%20PN%20Junction%20at%20Equilibrium%0A%0A%20%20%20%20When%20P-type%20(%24N_A%24)%20and%20N-type%20(%24N_D%24)%20regions%20are%20joined%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Carriers%20diffuse%20across%20%E2%86%92%20leaves%20behind%20**ionized%20dopants**%20%E2%86%92%20**depletion%20region**%20forms.%0A%20%20%20%20-%20Electric%20field%20opposes%20further%20diffusion%20%E2%86%92%20**equilibrium**%20with%20%24E_F%24%20flat.%0A%0A%20%20%20%20**Built-in%20potential%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7B%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bk_BT%7D%7D%7B%7Bq%7D%7D%20%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7BN_A%20N_D%7D%7D%7B%7Bn_i%5E2%7D%7D%5Cright)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Interactive%3A%20%5B%7BBASE%7D%2Fpn-electrostatics%2F%5D(%7BBASE%7D%2Fpn-electrostatics%2F)%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%204.2%20Depletion%20Approximation%0A%0A%20%20%20%20Charge%20density%20in%20the%20depletion%20region%20(%24-x_p%20%3C%20x%20%3C%20x_n%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Crho(x)%20%3D%20%5Cbegin%7B%7Bcases%7D%7D%20-qN_A%20%26%20-x_p%20%5Cle%20x%20%5Cle%200%20%5C%5C%20qN_D%20%26%200%20%5Cle%20x%20%5Cle%20x_n%20%5C%5C%200%20%26%20%5Ctext%7B%7Belsewhere%7D%7D%20%5Cend%7B%7Bcases%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Charge%20neutrality%3A**%20%24N_A%20x_p%20%3D%20N_D%20x_n%24%20(depletion%20extends%20further%20into%20the%20lightly-doped%20side).%0A%0A%20%20%20%20**Depletion%20width**%20(under%20bias%20%24V_A%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BW%20%3D%20x_p%20%2B%20x_n%20%3D%20%5Csqrt%7B%7B%5Cfrac%7B%7B2%5Cepsilon_s%7D%7D%7B%7Bq%7D%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B%7B1%7D%7D%7B%7BN_A%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%7B1%7D%7D%7B%7BN_D%7D%7D%5Cright)%20(%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%20-%20V_A)%7D%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%204.3%20Electric%20Field%20and%20Potential%0A%0A%20%20%20%20From%20Poisson's%20equation%20in%20the%20depletion%20region%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D(x)%20%3D%20%5Cbegin%7B%7Bcases%7D%7D%20-%5Cfrac%7B%7BqN_A%7D%7D%7B%7B%5Cepsilon_s%7D%7D(x%20%2B%20x_p)%20%26%20-x_p%20%5Cle%20x%20%5Cle%200%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B%7BqN_D%7D%7D%7B%7B%5Cepsilon_s%7D%7D(x%20-%20x_n)%20%26%200%20%5Cle%20x%20%5Cle%20x_n%20%5Cend%7B%7Bcases%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Peak%20field%20at%20%24x%20%3D%200%24%3A%20%24%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7Bmax%7D%7D%20%3D%20-qN_A%20x_p%20%2F%20%5Cepsilon_s%20%3D%20-qN_D%20x_n%20%2F%20%5Cepsilon_s%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%204.4%20PN%20Junction%20Under%20Bias%0A%0A%20%20%20%20-%20**Forward%20bias**%20(%24V_A%20%3E%200%24)%3A%20barrier%20reduced%20%E2%86%92%20exponential%20injection%20of%20minority%20carriers.%0A%20%20%20%20-%20**Reverse%20bias**%20(%24V_A%20%3C%200%24)%3A%20barrier%20increased%20%E2%86%92%20tiny%20reverse%20saturation%20current.%0A%0A%20%20%20%20**Law%20of%20the%20junction**%20(minority%20carrier%20boundary%20conditions)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24n_p(x_p)%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bn_i%5E2%7D%7D%7B%7BN_A%7D%7D%20e%5E%7B%7BqV_A%2Fk_BT%7D%7D%2C%20%5Cquad%20p_n(x_n)%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bn_i%5E2%7D%7D%7B%7BN_D%7D%7D%20e%5E%7B%7BqV_A%2Fk_BT%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%204.5%20Shockley%20Ideal%20Diode%20Equation%0A%0A%20%20%20%20Solving%20the%20minority-carrier%20diffusion%20equation%20with%20these%20boundary%20conditions%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BI%20%3D%20I_0%5C!%5Cleft(e%5E%7B%7BqV_A%20%2F%20k_BT%7D%7D%20-%201%5Cright)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_0%20%3D%20Aqn_i%5E2%20%5Cleft(%5Cfrac%7B%7BD_p%7D%7D%7B%7BL_p%20N_D%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%7BD_n%7D%7D%7B%7BL_n%20N_A%7D%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%204.6%20Small-Signal%20Model%0A%0A%20%20%20%20-%20**Junction%20capacitance**%20(reverse%20bias)%3A%20%24C_J%20%3D%20%5Cepsilon_s%20%2F%20W%24%20%E2%80%94%20varies%20as%20%24(%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%20-%20V_A)%5E%7B%7B-1%2F2%7D%7D%24.%0A%20%20%20%20-%20**Diffusion%20capacitance**%20(forward%20bias)%3A%20%24C_d%20%3D%20%5Ctau_s%20G_d%24%20where%20%24G_d%20%3D%20qI%20%2F%20k_BT%24.%0A%20%20%20%20-%20**Conductance%3A**%20%24G_d%20%3D%20dI%2FdV%20%5Capprox%20qI%2F(k_BT)%24%20for%20forward%20bias.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%204.7%20Non-Idealities%0A%0A%20%20%20%20-%20**Recombination%20current**%20in%20depletion%20region%3A%20%24I_r%20%5Cpropto%20e%5E%7B%7BqV_A%20%2F%202k_BT%7D%7D%24%20%E2%86%92%20ideality%20factor%20%24n%20%5Capprox%202%24.%0A%20%20%20%20-%20**High%20injection%3A**%20both%20carrier%20types%20flood%20the%20lightly-doped%20side%20%E2%86%92%20%24n%20%5Cto%202%24.%0A%20%20%20%20-%20**Series%20resistance%3A**%20%24V_A%20%5Cto%20V_A%20-%20IR_s%24%20at%20high%20current.%0A%20%20%20%20-%20**Breakdown%3A**%20Zener%20(tunneling%2C%20heavily%20doped)%20and%20avalanche%20(impact%20ionization).%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(eps_Si%2C%20kT_eV%2C%20ni_si%2C%20np%2C%20plt%2C%20q_C)%3A%0A%20%20%20%20_fig_pn%2C%20((_ax_rho%2C%20_ax_E)%2C%20(_ax_V%2C%20_ax_IV))%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%209)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_NA%20%3D%201e17%0A%20%20%20%20_ND%20%3D%205e16%0A%20%20%20%20_Vbi%20%3D%20kT_eV%20*%20np.log(_NA%20*%20_ND%20%2F%20ni_si**2)%0A%20%20%20%20_Va%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_W_tot%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20%2F%20q_C%20*%20(1%20%2F%20_NA%20%2B%201%20%2F%20_ND)%20*%20(_Vbi%20-%20_Va))%0A%20%20%20%20_xn%20%3D%20_W_tot%20*%20_NA%20%2F%20(_NA%20%2B%20_ND)%0A%20%20%20%20_xp%20%3D%20_W_tot%20*%20_ND%20%2F%20(_NA%20%2B%20_ND)%0A%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(-2%20*%20_xp%2C%202%20*%20_xn%2C%201000)%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20_rho%20%3D%20np.piecewise(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_x%20%3C%20-_xp%20*%201e4%2C%20(_x%20%3E%3D%20-_xp%20*%201e4)%20%26%20(_x%20%3C%200)%2C%20(_x%20%3E%3D%200)%20%26%20(_x%20%3C%20_xn%20*%201e4)%2C%20_x%20%3E%3D%20_xn%20*%201e4%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20-q_C%20*%20_NA%2C%20q_C%20*%20_ND%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(_x%2C%20_rho%20%2F%20q_C%20%2F%201e16%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22%231f77b4%22)%0A%20%20%20%20_ax_rho.axhline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_ylabel(r%22%24%5Crho%20%2F%20q%24%20(%24%5Ctimes%2010%5E%7B16%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_xlabel(r%22%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_title(r%22Charge%20density%20%24%5Crho(x)%24%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_x_cm%20%3D%20_x%20*%201e-4%0A%20%20%20%20_Efield%20%3D%20np.piecewise(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_cm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_cm%20%3C%20-_xp%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(_x_cm%20%3E%3D%20-_xp)%20%26%20(_x_cm%20%3C%200)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(_x_cm%20%3E%3D%200)%20%26%20(_x_cm%20%3C%20_xn)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_cm%20%3E%3D%20_xn%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lambda%20xx%3A%20-q_C%20*%20_NA%20%2F%20eps_Si%20*%20(xx%20%2B%20_xp)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lambda%20xx%3A%20q_C%20*%20_ND%20%2F%20eps_Si%20*%20(xx%20-%20_xn)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x%2C%20_Efield%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22%23d62728%22)%0A%20%20%20%20_ax_E.axhline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_ylabel(r%22%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%20(V%2Fcm)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_xlabel(r%22%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_title(r%22Electric%20field%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%24%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.ticklabel_format(style%3D%22sci%22%2C%20axis%3D%22y%22%2C%20scilimits%3D(0%2C%200))%0A%20%20%20%20_ax_E.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_V%20%3D%20np.zeros_like(_x_cm)%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(1%2C%20len(_x_cm))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V%5B_i%5D%20%3D%20_V%5B_i%20-%201%5D%20-%20_Efield%5B_i%5D%20*%20(_x_cm%5B_i%5D%20-%20_x_cm%5B_i%20-%201%5D)%0A%20%20%20%20_V%20%3D%20_V%20-%20_V%5B0%5D%0A%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x%2C%20_V%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22%232ca02c%22)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_ylabel(r%22%24V(x)%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_xlabel(r%22%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_title(r%22Electrostatic%20potential%20%24V(x)%24%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_Va_arr%20%3D%20np.linspace(-2%2C%200.7%2C%20500)%0A%20%20%20%20_I0%20%3D%201e-14%0A%20%20%20%20_I%20%3D%20_I0%20*%20(np.exp(_Va_arr%20%2F%20kT_eV)%20-%201)%0A%20%20%20%20_ax_IV.plot(_Va_arr%2C%20_I%20*%201e3%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22%239467bd%22)%0A%20%20%20%20_ax_IV.set_xlabel(r%22%24V_A%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_IV.set_ylabel(r%22%24I%24%20(mA)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_IV.set_title(%22Ideal%20diode%20I-V%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_IV.set_ylim(-0.5%2C%205)%0A%20%20%20%20_ax_IV.axhline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_IV.axvline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_IV.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_fig_pn.suptitle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22PN%20Junction%3A%20%24N_A%20%3D%20%7B_NA%3A.0e%7D%24%2C%20%24N_D%20%3D%20%7B_ND%3A.0e%7D%24%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%2C%20%24%5C%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%20%3D%20%7B_Vbi%3A.3f%7D%24%20V%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D1.01%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_pn.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_pn%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20*Top-left%3A%20charge%20density%20%24%5Crho(x)%24%20in%20depletion.%20Top-right%3A%20electric%20field%20peaks%20at%20the%20metallurgical%20junction.%20Bottom-left%3A%20electrostatic%20potential%20is%20parabolic%20(from%20Poisson).%20Bottom-right%3A%20ideal%20Shockley%20diode%20I-V.*%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20log_na_pn%20%3D%20mo.ui.slider(14.0%2C%2018.0%2C%20value%3D17.0%2C%20step%3D0.1%2C%20label%3D%22log%E2%82%81%E2%82%80%20N%E2%82%90%20(cm%E2%81%BB%C2%B3)%22)%0A%20%20%20%20log_nd_pn%20%3D%20mo.ui.slider(14.0%2C%2018.0%2C%20value%3D16.0%2C%20step%3D0.1%2C%20label%3D%22log%E2%82%81%E2%82%80%20N_D%20(cm%E2%81%BB%C2%B3)%22)%0A%20%20%20%20Va_slider%20%3D%20mo.ui.slider(-5.0%2C%200.6%2C%20value%3D0.0%2C%20step%3D0.05%2C%20label%3D%22Applied%20voltage%20V_A%20(V)%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Interactive%3A%20PN%20junction%20depletion%20width%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Blog_na_pn%2C%20log_nd_pn%2C%20Va_slider%5D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20Va_slider%2C%20log_na_pn%2C%20log_nd_pn%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Va_slider%2C%20eps_Si%2C%20kT_eV%2C%20log_na_pn%2C%20log_nd_pn%2C%20mo%2C%20ni_si%2C%20np%2C%20q_C)%3A%0A%20%20%20%20_NA%20%3D%2010.0%20**%20log_na_pn.value%0A%20%20%20%20_ND%20%3D%2010.0%20**%20log_nd_pn.value%0A%20%20%20%20_Vbi%20%3D%20kT_eV%20*%20np.log(_NA%20*%20_ND%20%2F%20ni_si**2)%0A%20%20%20%20_Va%20%3D%20Va_slider.value%0A%20%20%20%20_Veff%20%3D%20_Vbi%20-%20_Va%0A%20%20%20%20if%20_Veff%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Veff%20%3D%200.001%0A%20%20%20%20_W%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20%2F%20q_C%20*%20(1%20%2F%20_NA%20%2B%201%20%2F%20_ND)%20*%20_Veff)%0A%20%20%20%20_xn%20%3D%20_W%20*%20_NA%20%2F%20(_NA%20%2B%20_ND)%0A%20%20%20%20_xp%20%3D%20_W%20*%20_ND%20%2F%20(_NA%20%2B%20_ND)%0A%20%20%20%20_Emax%20%3D%20q_C%20*%20_NA%20*%20_xp%20%2F%20eps_Si%0A%20%20%20%20_Cj%20%3D%20eps_Si%20%2F%20_W%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C----------%7C-------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5C%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Vbi%3A.4f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5C%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%20-%20V_A%24%20%7C%20%7B_Veff%3A.4f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24W%24%20%7C%20%7B_W*1e4%3A.3f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24x_p%24%20%7C%20%7B_xp*1e4%3A.3f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24x_n%24%20%7C%20%7B_xn*1e4%3A.3f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7Bmax%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Emax%3A.2e%7D%20V%2Fcm%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24C_j%20%2F%20A%24%20%7C%20%7B_Cj*1e9%3A.2f%7D%20nF%2Fcm%C2%B2%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Unit%205%3A%20Bipolar%20Junction%20Transistor%20(BJT)%0A%0A%20%20%20%20*Hu%20Ch.%208*%0A%0A%20%20%20%20**Goal%3A**%20Derive%20how%20a%20thin%20base%20region%20between%20two%20PN%20junctions%20allows%20a%20small%20base%20current%20to%20**control**%20a%20large%20collector%20current.%0A%0A%20%20%20%20Interactive%3A%20%5B%7BBASE%7D%2Fbjt-iv%2F%5D(%7BBASE%7D%2Fbjt-iv%2F)%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%205.1%20Structure%20and%20Modes%20of%20Operation%0A%0A%20%20%20%20An%20NPN%20BJT%20has%3A%20**n%E2%81%BA%20emitter**%20%E2%80%93%20**p%20base**%20%E2%80%93%20**n%20collector**.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Mode%20%7C%20EB%20junction%20%7C%20BC%20junction%20%7C%20Use%20%7C%0A%20%20%20%20%7C------%7C------------%7C------------%7C-----%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Forward%20active**%20%7C%20Forward%20%7C%20Reverse%20%7C%20Amplification%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Saturation%20%7C%20Forward%20%7C%20Forward%20%7C%20Digital%20%22on%22%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Cutoff%20%7C%20Reverse%20%7C%20Reverse%20%7C%20Digital%20%22off%22%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Reverse%20active%20%7C%20Reverse%20%7C%20Forward%20%7C%20(rare)%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%205.2%20Forward%20Active%20Mode%20%E2%80%94%20Minority%20Carrier%20Profiles%0A%0A%20%20%20%20-%20EB%20forward%20%E2%86%92%20electrons%20injected%20from%20emitter%20into%20base.%0A%20%20%20%20-%20BC%20reverse%20%E2%86%92%20electrons%20swept%20into%20collector%20at%20the%20BC%20edge%20(boundary%20condition%3A%20%24%5CDelta%20n_B(W_B)%20%3D%200%24).%0A%20%20%20%20-%20Base%20is%20thin%20(%24W_B%20%5Cll%20L_B%24)%20%E2%86%92%20profile%20is%20nearly%20**linear**%20%E2%86%92%20almost%20all%20injected%20electrons%20reach%20the%20collector.%0A%0A%20%20%20%20The%20minority%20electron%20profile%20in%20the%20quasi-neutral%20base%20(%240%20%5Cle%20x%20%5Cle%20W_B%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5CDelta%20n_B(x)%20%3D%20%5CDelta%20n_B(0)%20%5Cleft(1%20-%20%5Cfrac%7B%7Bx%7D%7D%7B%7BW_B%7D%7D%5Cright)%20%5Cquad%20%5Ctext%7B%7B(short%20base%20approx.)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%205.3%20Terminal%20Currents%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BI_C%20%5Capprox%20I_S%20%5Cleft(e%5E%7B%7BqV_%7B%7BBE%7D%7D%2Fk_BT%7D%7D%20-%201%5Cright)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20the%20saturation%20current%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_S%20%3D%20%5Cfrac%7B%7BA_E%20q%20D_%7B%7BnB%7D%7D%20n_i%5E2%7D%7D%7B%7BG_B%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20and%20%24G_B%20%3D%20%5Cint_0%5E%7B%7BW_B%7D%7D%20N_A(x)%5C%2Cdx%24%20is%20the%20**base%20Gummel%20number**%20(total%20integrated%20base%20doping%20per%20unit%20area).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%205.4%20Current%20Gain%20%24%5Cbeta_0%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbeta_0%20%3D%20%5Cfrac%7B%7BI_C%7D%7D%7B%7BI_B%7D%7D%20%5Capprox%20%5Cfrac%7B%7BG_E%7D%7D%7B%7BG_B%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24G_E%24%20is%20the%20emitter%20Gummel%20number.%20%20High%20%24%5Cbeta_0%24%20requires%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Heavy%20emitter%20doping**%20(large%20%24G_E%24)%0A%20%20%20%20-%20**Thin%2C%20lightly-doped%20base**%20(small%20%24G_B%24)%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%205.5%20Base%20Transit%20Time%20and%20%24f_T%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctau_B%20%3D%20%5Cfrac%7B%7BW_B%5E2%7D%7D%7B%7B2%20D_%7B%7BnB%7D%7D%7D%7D%2C%20%5Cquad%20%5Cfrac%7B%7B1%7D%7D%7B%7B2%5Cpi%20f_T%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7BC_%7B%7Bbe%7D%7D%20%2B%20C_%7B%7Bbc%7D%7D%7D%7D%7B%7Bg_m%7D%7D%20%2B%20%5Ctau_B%20%2B%20%5Ctau_C%24%24%0A%0A%20%20%20%20Shorter%20base%20%E2%86%92%20faster%20transit%20%E2%86%92%20higher%20%24f_T%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%205.6%20Early%20Effect%20(Base%20Width%20Modulation)%0A%0A%20%20%20%20Increasing%20%24V_%7B%7BCE%7D%7D%24%20widens%20the%20BC%20depletion%20region%20%E2%86%92%20shrinks%20%24W_B%24%20%E2%86%92%20increases%20%24I_C%24%20slightly.%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_C%20%5Capprox%20I_S%20e%5E%7B%7BqV_%7B%7BBE%7D%7D%2Fk_BT%7D%7D%20%5Cleft(1%20%2B%20%5Cfrac%7B%7BV_%7B%7BCE%7D%7D%7D%7D%7B%7BV_A%7D%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24V_A%24%20is%20the%20**Early%20voltage**%20(typically%2050%E2%80%93200%20V).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%205.7%20Heterojunction%20BJTs%20(HBTs)%0A%0A%20%20%20%20-%20Replace%20emitter%20with%20wider-bandgap%20material%20(e.g.%20SiGe%20base%2C%20or%20III-V%20emitter).%0A%20%20%20%20-%20**Wider%20gap%20in%20emitter**%20suppresses%20hole%20back-injection%20%E2%86%92%20much%20higher%20%24%5Cbeta_0%24%20without%20needing%20extreme%20doping.%0A%20%20%20%20-%20SiGe%20HBTs%20are%20used%20in%20high-speed%20communications%2C%20RF%20circuits.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(kT_eV%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig_bjt%2C%20(_ax_min%2C%20_ax_gummel)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_Wb%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20_x_base%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_Wb%2C%20200)%0A%20%20%20%20for%20_Vbe%2C%20_c%20in%20%5B(0.5%2C%20%22%231f77b4%22)%2C%20(0.6%2C%20%22%23ff7f0e%22)%2C%20(0.7%2C%20%22%23d62728%22)%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dn0%20%3D%20np.exp(_Vbe%20%2F%20kT_eV)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dn%20%3D%20_dn0%20*%20(1%20-%20_x_base%20%2F%20_Wb)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_min.plot(_x_base%2C%20_dn%20%2F%20_dn0%2C%20lw%3D2%2C%20label%3Df%22%24V_%7B%7BBE%7D%7D%24%20%3D%20%7B_Vbe%7D%20V%22%2C%20color%3D_c)%0A%20%20%20%20_ax_min.set_xlabel(r%22%24x%20%2F%20W_B%24%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_min.set_ylabel(r%22%24%5CDelta%20n_B(x)%20%2F%20%5CDelta%20n_B(0)%24%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_min.set_title(%22Base%20minority%20carrier%20profile%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_min.legend(fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax_min.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_Vbe_arr%20%3D%20np.linspace(0%2C%200.75%2C%20300)%0A%20%20%20%20_Is_C%20%3D%201e-15%0A%20%20%20%20_beta%20%3D%20100%0A%20%20%20%20_Is_B%20%3D%20_Is_C%20%2F%20_beta%0A%20%20%20%20_Ic%20%3D%20_Is_C%20*%20np.exp(_Vbe_arr%20%2F%20kT_eV)%0A%20%20%20%20_Ib%20%3D%20_Is_B%20*%20np.exp(_Vbe_arr%20%2F%20kT_eV)%0A%20%20%20%20_ax_gummel.semilogy(_Vbe_arr%2C%20_Ic%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22%24I_C%24%22%2C%20color%3D%22%231f77b4%22)%0A%20%20%20%20_ax_gummel.semilogy(_Vbe_arr%2C%20_Ib%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22%24I_B%24%22%2C%20color%3D%22%23d62728%22)%0A%20%20%20%20_ax_gummel.set_xlabel(r%22%24V_%7BBE%7D%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_gummel.set_ylabel(r%22Current%20(A)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_gummel.set_title(%22Gummel%20plot%20(ideal)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_gummel.set_ylim(1e-15%2C%201e-1)%0A%20%20%20%20_ax_gummel.legend(fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax_gummel.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_fig_bjt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_bjt%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20*Left%3A%20Normalised%20minority-carrier%20(electron)%20profile%20in%20the%20base%20%E2%80%94%20linear%20for%20a%20short%20base%2C%20all%20profiles%20share%20the%20same%20slope%20shape%20but%20%24%5CDelta%20n_B(0)%24%20increases%20exponentially%20with%20%24V_%7BBE%7D%24.%20%20Right%3A%20Ideal%20Gummel%20plot%20%E2%80%94%20both%20%24I_C%24%20and%20%24I_B%24%20are%20exponential%20in%20%24V_%7BBE%7D%24%2C%20separated%20by%20%24%5Cbeta_0%24.*%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Unit%206%3A%20Metal%E2%80%93Semiconductor%20Junctions%0A%0A%20%20%20%20*Hu%20Ch.%204.20%E2%80%934.22*%0A%0A%20%20%20%20Interactive%3A%20%5B%7BBASE%7D%2Fm-s-interface%2F%5D(%7BBASE%7D%2Fm-s-interface%2F)%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%206.1%20Schottky%20Barrier%0A%0A%20%20%20%20When%20a%20metal%20contacts%20a%20semiconductor%2C%20band%20bending%20creates%20a%20**Schottky%20barrier**%20%24%5Cphi_%7B%7BBn%7D%7D%24%20(for%20n-type)%20at%20the%20interface%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cphi_%7B%7BBn%7D%7D%20%3D%20%5Cphi_M%20-%20%5Cchi_S%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Cphi_M%24%20is%20the%20metal%20work%20function%20and%20%24%5Cchi_S%24%20is%20the%20semiconductor%20electron%20affinity.%0A%0A%20%20%20%20The%20built-in%20potential%20of%20the%20metal%E2%80%93semiconductor%20junction%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_%7B%7Bbi%7D%7D%20%3D%20%5Cphi_%7B%7BBn%7D%7D%20-%20(E_c%20-%20E_F)_%7B%7Bbulk%7D%7D%20%3D%20%5Cphi_%7B%7BBn%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7Bk_BT%7D%7D%7B%7Bq%7D%7D%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7BN_c%7D%7D%7B%7BN_D%7D%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%206.2%20Schottky%20Diode%20I-V%20(Thermionic%20Emission)%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BI%20%3D%20I_S%5C!%5Cleft(e%5E%7B%7BqV_A%2Fk_BT%7D%7D%20-%201%5Cright)%2C%20%5Cquad%20I_S%20%3D%20AA%5E*%20T%5E2%20%5Cexp%5C!%5Cleft(-%5Cfrac%7B%7Bq%5Cphi_%7B%7BBn%7D%7D%7D%7D%7B%7Bk_BT%7D%7D%5Cright)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24A%5E*%24%20is%20the%20**Richardson%20constant**.%0A%0A%20%20%20%20Compared%20to%20PN%20diodes%3A%20**faster%20switching**%20(majority%20carrier%20device%2C%20no%20minority%20charge%20storage)%2C%20but%20higher%20leakage%20(%24I_S%24%20is%20larger).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%206.3%20Ohmic%20Contacts%0A%0A%20%20%20%20For%20**high-doping**%20interfaces%20(%24N_D%20%3E%2010%5E%7B%7B19%7D%7D%24%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24)%3A%20barrier%20is%20thin%20%E2%86%92%20tunnelling%20dominates%20%E2%86%92%20linear%20%24I%24-%24V%24%20(ohmic%20behaviour).%0A%0A%20%20%20%20**Specific%20contact%20resistance%3A**%20%24%5Crho_c%20%5Cpropto%20%5Cexp(C%5Cphi_B%20%2F%20%5Csqrt%7B%7BN_D%7D%7D)%24%20%E2%80%94%20minimised%20by%20heavy%20doping%20and%20low%20barrier.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%206.4%20Fermi-Level%20Pinning%0A%0A%20%20%20%20In%20real%20semiconductors%2C%20**interface%20states**%20can%20pin%20%24E_F%24%20near%20mid-gap%2C%20making%20%24%5Cphi_B%24%20nearly%20independent%20of%20the%20metal%20work%20function%20(especially%20in%20GaAs%20and%20other%20III-Vs).%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Nc_Si%2C%20kT_eV%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig_ms%2C%20_ax_ms%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(7%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_phi_Bn%20%3D%200.67%0A%20%20%20%20_ND%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_Vbi_ms%20%3D%20_phi_Bn%20-%20kT_eV%20*%20np.log(Nc_Si%20%2F%20_ND)%0A%20%20%20%20_Va_arr%20%3D%20np.linspace(-2%2C%200.5%2C%20400)%0A%20%20%20%20_Astar%20%3D%20120%0A%20%20%20%20_Is_ms%20%3D%20_Astar%20*%20300**2%20*%20np.exp(-_phi_Bn%20%2F%20kT_eV)%20*%201e-4%0A%20%20%20%20_I_ms%20%3D%20_Is_ms%20*%20(np.exp(_Va_arr%20%2F%20kT_eV)%20-%201)%0A%0A%20%20%20%20_ax_ms.plot(_Va_arr%2C%20_I_ms%20*%201e6%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22%231f77b4%22%2C%20label%3D%22Schottky%20diode%22)%0A%0A%20%20%20%20_I0_pn%20%3D%201e-14%0A%20%20%20%20_I_pn%20%3D%20_I0_pn%20*%20(np.exp(_Va_arr%20%2F%20kT_eV)%20-%201)%0A%20%20%20%20_ax_ms.plot(_Va_arr%2C%20_I_pn%20*%201e6%2C%20lw%3D2%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20color%3D%22%23d62728%22%2C%20label%3D%22PN%20diode%22)%0A%0A%20%20%20%20_ax_ms.set_xlabel(r%22%24V_A%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_ms.set_ylabel(r%22%24I%24%20(%24%5Cmu%24A)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_ms.set_title(r%22Schottky%20vs%20PN%20diode%20I-V%20(%24%5Cphi_%7BBn%7D%20%3D%200.67%24%20V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_ms.set_ylim(-50%2C%20500)%0A%20%20%20%20_ax_ms.axhline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_ms.axvline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_ms.legend(fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax_ms.tick_params(labelsize%3D13)%0A%20%20%20%20_fig_ms.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_ms%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20*Schottky%20diodes%20have%20much%20higher%20reverse%20saturation%20current%20(%24I_S%24)%20than%20PN%20diodes%20(thermionic%20emission%20over%20a%20lower%20barrier%20vs%20minority-carrier%20injection)%2C%20so%20they%20turn%20on%20at%20a%20lower%20forward%20voltage.*%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Unit%207%3A%20MOS%20Capacitor%20and%20MOSFET%0A%0A%20%20%20%20*Hu%20Ch.%205%E2%80%937*%0A%0A%20%20%20%20Interactive%3A%20%5BMOS%20cap%5D(%7BBASE%7D%2Fmoscap%2F)%20%C2%B7%20%5BMOSFET%20intro%5D(%7BBASE%7D%2Fmosfet-intro%2F)%20%C2%B7%20%5BMOSFET%20I-V%5D(%7BBASE%7D%2Fmosfet-iv%2F)%20%C2%B7%20%5Bdynamics%5D(%7BBASE%7D%2Fmosfet-ac%2F)%20%C2%B7%20%5BFinFET%2FFDSOI%5D(%7BBASE%7D%2Ffinfet-fdsoi%2F)%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%207A.%20MOS%20Capacitor%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Regimes%20of%20Operation%20(p-type%20body)%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Regime%20%7C%20Gate%20bias%20condition%20%7C%20Surface%20condition%20%7C%0A%20%20%20%20%7C--------%7C--------------------%7C--------------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Accumulation**%20%7C%20%24V_G%20%3C%20V_%7B%7BFB%7D%7D%24%20%7C%20Holes%20pile%20up%20at%20surface%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Flat-band**%20%7C%20%24V_G%20%3D%20V_%7B%7BFB%7D%7D%24%20%7C%20No%20band%20bending%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Depletion**%20%7C%20%24V_%7B%7BFB%7D%7D%20%3C%20V_G%20%3C%20V_T%24%20%7C%20Surface%20depleted%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Inversion**%20%7C%20%24V_G%20%3E%20V_T%24%20%7C%20Electron%20layer%20at%20surface%20(%24n_s%20%3E%20N_A%24)%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Key%20Quantities%0A%0A%20%20%20%20**Surface%20potential%20at%20threshold**%20(onset%20of%20strong%20inversion)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cphi_%7B%7Bs%2Cinv%7D%7D%20%3D%202%5Cphi_B%2C%20%5Cquad%20%5Cphi_B%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bk_BT%7D%7D%7B%7Bq%7D%7D%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7BN_A%7D%7D%7B%7Bn_i%7D%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Maximum%20depletion%20width%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BW_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%7B%5Cfrac%7B%7B2%5Cepsilon_s%20%5Ccdot%202%5Cphi_B%7D%7D%7B%7BqN_A%7D%7D%7D%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Threshold%20voltage%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BV_T%20%3D%20V_%7B%7BFB%7D%7D%20%2B%202%5Cphi_B%20%2B%20%5Cfrac%7B%7B%5Csqrt%7B%7B2q%5Cepsilon_s%20N_A%20%5Ccdot%202%5Cphi_B%7D%7D%7D%7D%7B%7BC_%7B%7Box%7D%7D%5E%7B%7B%5Cprime%7D%7D%7D%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24C_%7B%7Box%7D%7D%5E%7B%7B%5Cprime%7D%7D%20%3D%20%5Cepsilon_%7B%7Box%7D%7D%20%2F%20t_%7B%7Box%7D%7D%24%20and%20%24V_%7B%7BFB%7D%7D%20%3D%20%5Cphi_%7B%7Bms%7D%7D%20-%20Q_f%20%2F%20C_%7B%7Box%7D%7D%5E%7B%7B%5Cprime%7D%7D%24%20(flat-band%20voltage).%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%207B.%20MOSFET%20I-V%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Long-Channel%20Model%20(n-MOSFET%2C%20gradual%20channel)%0A%0A%20%20%20%20**Linear%20region**%20(%24V_%7B%7BDS%7D%7D%20%3C%20V_%7B%7BDS%2Csat%7D%7D%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BI_D%20%3D%20%5Cmu_n%20C_%7B%7Box%7D%7D%5E%7B%7B%5Cprime%7D%7D%20%5Cfrac%7B%7BW%7D%7D%7B%7BL%7D%7D%20%5Cleft%5B(V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_T)V_%7B%7BDS%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7BV_%7B%7BDS%7D%7D%5E2%7D%7D%7B%7B2%7D%7D%5Cright%5D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Saturation**%20(%24V_%7B%7BDS%7D%7D%20%5Cge%20V_%7B%7BDS%2Csat%7D%7D%20%3D%20V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_T%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BI_%7B%7BD%2Csat%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cmu_n%20C_%7B%7Box%7D%7D%5E%7B%7B%5Cprime%7D%7D%7D%7D%7B%7B2%7D%7D%20%5Cfrac%7B%7BW%7D%7D%7B%7BL%7D%7D%20(V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_T)%5E2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Transconductance%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24g_m%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%20I_D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%20V_%7B%7BGS%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cmu_n%20C_%7B%7Box%7D%7D%5E%7B%7B%5Cprime%7D%7D%20%5Cfrac%7B%7BW%7D%7D%7B%7BL%7D%7D%20V_%7B%7BDS%7D%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7B%7B(linear)%7D%7D%3B%20%5Cquad%20g_m%20%3D%20%5Cmu_n%20C_%7B%7Box%7D%7D%5E%7B%7B%5Cprime%7D%7D%20%5Cfrac%7B%7BW%7D%7D%7B%7BL%7D%7D%20(V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_T)%20%5Cquad%20%5Ctext%7B%7B(sat.)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Important%20Modifications%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Effect%20%7C%20What%20it%20changes%20%7C%0A%20%20%20%20%7C--------%7C----------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Body%20effect**%20%7C%20%24V_T%24%20shifts%20with%20%24V_%7B%7BSB%7D%7D%24%3A%20%24%5CDelta%20V_T%20%3D%20%5Cgamma(%5Csqrt%7B%7B2%5Cphi_B%20%2B%20V_%7B%7BSB%7D%7D%7D%7D%20-%20%5Csqrt%7B%7B2%5Cphi_B%7D%7D)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Velocity%20saturation**%20%7C%20%24v_d%20%5Cto%20v_%7B%7Bsat%7D%7D%24%20at%20high%20%24%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D%24%3B%20%24I_%7B%7BD%2Csat%7D%7D%24%20becomes%20**linear**%20in%20%24V_%7B%7BGS%7D%7D-V_T%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Channel%20length%20modulation**%20%7C%20%24I_D%20%5Cpropto%20(1%20%2B%20%5Clambda%20V_%7B%7BDS%7D%7D)%24%20in%20saturation%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Subthreshold%20conduction**%20%7C%20%24I_D%20%5Cpropto%20e%5E%7B%7BqV_%7B%7BGS%7D%7D%2F(nk_BT)%7D%7D%24%3B%20**subthreshold%20swing**%20%24SS%20%3D%20n%20%5Ctimes%2060%24%20mV%2Fdec%20(at%20300%20K)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**DIBL**%20%7C%20%24V_T%24%20decreases%20as%20%24L%24%20shrinks%20(drain%20field%20penetrates%20into%20channel)%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Small-Signal%20Model%20and%20%24f_T%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24f_T%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bg_m%7D%7D%7B%7B2%5Cpi(C_%7B%7Bgs%7D%7D%20%2B%20C_%7B%7Bgd%7D%7D)%7D%7D%20%5Capprox%20%5Cfrac%7B%7B3%5Cmu_%7B%7Beff%7D%7D%20(V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_T)%7D%7D%7B%7B4%5Cpi%20L%5E2%7D%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7B%7B(long%20channel)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20In%20the%20**velocity-saturated**%20regime%3A%20%24f_T%20%5Cpropto%20v_%7B%7Bsat%7D%7D%20%2F%20L%24%20(linear%20in%20%241%2FL%24%2C%20not%20%241%2FL%5E2%24).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Digital%20Switching%0A%0A%20%20%20%20-%20**Propagation%20delay%3A**%20%24%5Ctau_p%20%5Cpropto%20C_L%20V_%7B%7BDD%7D%7D%20%2F%20I_%7B%7Bon%7D%7D%24.%0A%20%20%20%20-%20**Power%3A**%20%24P_%7B%7Bdyn%7D%7D%20%3D%20%5Calpha%20C_L%20V_%7B%7BDD%7D%7D%5E2%20f%24.%0A%20%20%20%20-%20Scaling%20%24V_%7B%7BDD%7D%7D%24%20and%20%24L%24%20together%20%E2%86%92%20**Dennard%20scaling**%20%E2%86%92%20faster%2C%20lower%20power.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20Nc_Si%2C%0A%20%20%20%20Nv_Si%2C%0A%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20eps_0_cgs%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20kT_eV%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q_C%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20kT_eV%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_si)%0A%20%20%20%20_Ec_minus_Ei%20%3D%20Eg_Si%20%2F%202%20%2B%20kT_eV%20%2F%202%20*%20np.log(Nc_Si%20%2F%20Nv_Si)%0A%20%20%20%20_Ei_minus_Ev%20%3D%20Eg_Si%20%2F%202%20%2B%20kT_eV%20%2F%202%20*%20np.log(Nv_Si%20%2F%20Nc_Si)%0A%20%20%20%20_dEc_ox%20%3D%20chi_Si%20-%200.95%0A%20%20%20%20_dEv_ox%20%3D%209.0%20-%20Eg_Si%20-%20_dEc_ox%0A%0A%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_Ei_bulk%20%3D%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Ec_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20%2B%20_Ec_minus_Ei%0A%20%20%20%20_Ev_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20_Ei_minus_Ev%0A%0A%20%20%20%20_eps_s%20%3D%20eps_Si%20*%20eps_0_cgs%0A%20%20%20%20_phi_st%20%3D%202%20*%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Wdep_max_cm%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_s%20*%20_phi_st%20%2F%20(q_C%20*%20_Na))%0A%20%20%20%20_Cox%20%3D%20eps_0_cgs%20*%203.9%20%2F%205e-7%0A%20%20%20%20_Vt%20%3D%20_phi_st%20%2B%20q_C%20*%20_Na%20*%20_Wdep_max_cm%20%2F%20_Cox%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q_C%20*%20_eps_s%20*%20_Na)%20%2F%20_Cox%0A%0A%20%20%20%20_regimes%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Accumulation%5Cn(%24V_G%20%3C%200%24)%22%2C%20-1.5%2C%20%22%23d62728%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Depletion%5Cn(%240%20%3C%20V_G%20%3C%20V_T%24)%22%2C%20_Vt%20*%200.5%2C%20%22%232ca02c%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Threshold%5Cn(%24V_G%20%3D%20V_T%24)%22%2C%20_Vt%2C%20%22%23ff7f0e%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Inversion%5Cn(%24V_G%20%3E%20V_T%24)%22%2C%20_Vt%20%2B%201.5%2C%20%22%231f77b4%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20_fig_mos%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%204%2C%20figsize%3D(18%2C%206.5)%2C%20sharey%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20for%20_idx%2C%20(_label%2C%20_Vg%2C%20_color)%20in%20enumerate(_regimes)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B_idx%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_Vg%20%3E%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s%20%3D%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3C%201e-6%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s%20%3D%201e-6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_f%20%3D%20_phi_s%20%2B%20_gamma%20*%20np.sqrt(_phi_s)%20-%20_Vg%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_df%20%3D%201%20%2B%20_gamma%20%2F%20(2%20*%20np.sqrt(_phi_s))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s%20-%3D%20_f%20%2F%20_df%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_f)%20%3C%201e-8%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s%20%3D%20min(_phi_s%2C%20_phi_st)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_s%20*%20_phi_s%20%2F%20(q_C%20*%20_Na))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s%20%3D%20_Vg%20*%200.25%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep%20%3D%200%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_EFm%20%3D%20_EF%20-%20_Vg%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xM%20%3D%20%5B-1.8%2C%20-1.2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xO%20%3D%20%5B-1.2%2C%200.0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc_end%20%3D%202.5%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3E%200.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_plot%20%3D%20min(2.5%2C%20max(0.3%2C%20_Wdep%20*%201e4%20*%202.5))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_dep%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_Wdep_plot%2C%20200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_flat%20%3D%20np.linspace(_Wdep_plot%2C%20_x_sc_end%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bending%20%3D%20_phi_s%20*%20(1%20-%20_x_dep%20%2F%20_Wdep_plot)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_dep%20%3D%20_Ec_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_dep%20%3D%20_Ev_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_dep%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_x_dep%2C%20_x_flat%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ec_dep%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ec_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ev_dep%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ev_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ei_dep%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ei_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20_phi_s%20%3C%20-0.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bend_len%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_acc%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_bend_len%2C%20100)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_flat%20%3D%20np.linspace(_bend_len%2C%20_x_sc_end%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bending%20%3D%20_phi_s%20*%20(1%20-%20_x_acc%20%2F%20_bend_len)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_acc%20%3D%20_Ec_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_acc%20%3D%20_Ev_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_acc%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_x_acc%2C%20_x_flat%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ec_acc%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ec_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ev_acc%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ev_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ei_acc%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ei_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.array(%5B0%2C%20_x_sc_end%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ev_bulk%2C%20_Ev_bulk%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ei_bulk%2C%20_Ei_bulk%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.fill_between(_xM%2C%20_EFm%20-%202.5%2C%20_EFm%2C%20color%3D%22%236baed6%22%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_xM%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20%22g-%22%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xM%5B0%5D%20%2B%200.05%2C%20_EFm%20%2B%200.12%2C%20%22%24E_%7BF%2CM%7D%24%22%2C%20fontsize%3D11%2C%20color%3D%22green%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_ox_s%20%3D%20_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20_dEc_ox%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_ox_s%20%3D%20_Ev_sc%5B0%5D%20-%20_dEv_ox%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_ox_tilt%20%3D%20_Vg%20-%20_phi_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_ox_m%20%3D%20_Ec_ox_s%20-%20_V_ox_tilt%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_ox_m%20%3D%20_Ev_ox_s%20-%20_V_ox_tilt%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xO%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s%5D%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23ffffcc%22%2C%20alpha%3D0.4%2C%20edgecolor%3D%22none%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_xO%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20%22k-%22%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s%5D%2C%20%22k-%22%2C%20linewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ec_sc%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ev_sc%2C%20%22r-%22%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ei_sc%2C%20%22k--%22%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%20_x_sc_end%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20%22g-%22%2C%20linewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B-1.2%2C%20-1.2%5D%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ec_ox_m%5D%2C%20%22k-%22%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B_Ev_ox_s%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20%22k-%22%2C%20lw%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_idx%20%3D%3D%203%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(2.6%2C%20_Ec_bulk%2C%20%22%24E_c%24%22%2C%20fontsize%3D12%2C%20va%3D%22center%22%2C%20color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(2.6%2C%20_Ev_bulk%2C%20%22%24E_v%24%22%2C%20fontsize%3D12%2C%20va%3D%22center%22%2C%20color%3D%22red%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(2.6%2C%20_Ei_bulk%2C%20%22%24E_%7BFi%7D%24%22%2C%20fontsize%3D12%2C%20va%3D%22center%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(2.6%2C%20_EF%2C%20%22%24E_%7BFs%7D%24%22%2C%20fontsize%3D12%2C%20va%3D%22center%22%2C%20color%3D%22green%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_phi_s)%20%3E%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xann%20%3D%200.15%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%2C%20_xann%5D%2C%20%5B_Ec_sc%5B0%5D%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D%22darkgreen%22%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_sc%5B0%5D%2C%20_Ec_sc%5B0%5D%5D%2C%20color%3D%22darkgreen%22%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D%22darkgreen%22%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xann%20%2B%200.15%2C%20(_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20_Ec_bulk)%20%2F%202%2C%20r%22%24q%5Cphi_s%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%20color%3D%22darkgreen%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xpB%20%3D%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xpB%2C%20_xpB%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_Ei_bulk%5D%2C%20color%3D%22purple%22%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xpB%20-%20_cap%2C%20_xpB%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D%22purple%22%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xpB%20-%20_cap%2C%20_xpB%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ei_bulk%2C%20_Ei_bulk%5D%2C%20color%3D%22purple%22%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xpB%20%2B%200.12%2C%20(_EF%20%2B%20_Ei_bulk)%20%2F%202%2C%20r%22%24q%5Cphi_B%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D11%2C%20color%3D%22purple%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_V_ox_tilt)%20%3E%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xvox%20%3D%20-1.05%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bt%20%3D%20_Ec_ox_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bb%20%3D%20_Ec_ox_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_min_vis%20%3D%200.4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_bt%20-%20_bb)%20%3C%20_min_vis%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_mid%20%3D%20(_bt%20%2B%20_bb)%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_sgn%20%3D%201%20if%20_bt%20%3E%3D%20_bb%20else%20-1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bt%20%3D%20_mid%20%2B%20_sgn%20*%20_min_vis%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bb%20%3D%20_mid%20-%20_sgn%20*%20_min_vis%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvox%2C%20_xvox%5D%2C%20%5B_bb%2C%20_bt%5D%2C%20color%3D%22darkorange%22%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvox%20-%20_cap%2C%20_xvox%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_bb%2C%20_bb%5D%2C%20color%3D%22darkorange%22%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvox%20-%20_cap%2C%20_xvox%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_bt%2C%20_bt%5D%2C%20color%3D%22darkorange%22%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xvox%20%2B%200.12%2C%20(_bb%20%2B%20_bt)%20%2F%202%2C%20r%22%24qV_%7Box%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D11%2C%20color%3D%22darkorange%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20ha%3D%22left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_title(_label%2C%20fontsize%3D13%2C%20fontweight%3D%22bold%22%2C%20color%3D_color)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D12)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlim(-2.0%2C%203.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_idx%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylabel(%22Energy%20(eV)%22%2C%20fontsize%3D14)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_sp%20in%20%5B%22top%22%2C%20%22right%22%2C%20%22bottom%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.spines%5B_sp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_ylim(_Ev_bulk%20-%20_dEv_ox%20-%201.0%2C%20_Ec_bulk%20%2B%20_dEc_ox%20%2B%201.5)%0A%20%20%20%20_fig_mos.suptitle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22MOS%20Energy%20Bands%20in%20Each%20Regime%20(P-type%20body%2C%20%24N_A%20%3D%2010%5E%7B16%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D%22bold%22%2C%20y%3D1.01%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig_mos)%0A%0A%20%20%20%20_caption%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20**Four%20regimes%20of%20the%20MOS%20capacitor**%20(p-type%20body%2C%20ideal%20%24%5CPsi_M%20%3D%20%5CPsi_S%24).%0A%0A%20%20%20%20-%20**Accumulation%3A**%20%24V_G%20%3C%200%24%2C%20bands%20bend%20**up**%2C%20holes%20pile%20up%20at%20the%20surface.%0A%20%20%20%20-%20**Depletion%3A**%20%24V_G%20%3E%200%24%2C%20bands%20bend%20**down**%2C%20depletion%20region%20forms%20(%24%5Cphi_s%24%20solved%20from%20%24V_G%20%3D%20%5Cphi_s%20%2B%20%5Cgamma%5Csqrt%7B%7B%5Cphi_s%7D%7D%24).%0A%20%20%20%20-%20**Threshold%3A**%20%24%5Cphi_s%20%3D%202%5Cphi_B%24%2C%20surface%20electron%20concentration%20equals%20bulk%20hole%20concentration%20(%24V_T%24%20%3D%20%7B_Vt%3A.2f%7D%20V).%0A%20%20%20%20-%20**Inversion%3A**%20%24V_G%20%3E%20V_T%24%2C%20strong%20electron%20inversion%20layer%20at%20surface%3B%20%24%5Cphi_s%24%20pinned%20at%20%24%5Capprox%202%5Cphi_B%24.%0A%0A%20%20%20%20Oxide%20%24E_%7B%7Bc%2Cox%7D%7D%24%20and%20%24E_%7B%7Bv%2Cox%7D%7D%24%20tilt%20under%20the%20oxide%20electric%20field.%20%20Annotations%20show%20%24q%5Cphi_s%24%20(surface%20bending)%2C%20%24q%5Cphi_B%24%20(%24E_%7B%7BFi%7D%7D-E_F%24)%2C%20and%20%24qV_%7B%7Box%7D%7D%24%20(oxide%20voltage%20drop).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bmo.as_html(_fig_mos)%2C%20_caption%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig_iv%2C%20(_ax_iv%2C%20_ax_sub)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_Cox%20%3D%203.9%20*%208.854e-14%20%2F%205e-7%0A%20%20%20%20_mu%20%3D%20400%0A%20%20%20%20_WL%20%3D%2010.0%0A%20%20%20%20_VT_mos%20%3D%200.5%0A%0A%20%20%20%20_Vds%20%3D%20np.linspace(0%2C%203.0%2C%20400)%0A%20%20%20%20for%20_Vgs%20in%20%5B1.0%2C%201.5%2C%202.0%2C%202.5%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Vov%20%3D%20_Vgs%20-%20_VT_mos%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_Vov%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Vdsat%20%3D%20_Vov%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Id_lin%20%3D%20_mu%20*%20_Cox%20*%20_WL%20*%20(_Vov%20*%20_Vds%20-%20_Vds**2%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Id_sat%20%3D%20_mu%20*%20_Cox%20*%20_WL%20%2F%202%20*%20_Vov**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Id%20%3D%20np.where(_Vds%20%3C%20_Vdsat%2C%20_Id_lin%2C%20_Id_sat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_iv.plot(_Vds%2C%20_Id%20*%201e3%2C%20lw%3D2%2C%20label%3Df%22%24V_%7B%7BGS%7D%7D%24%20%3D%20%7B_Vgs%7D%20V%22)%0A%20%20%20%20_ax_iv.set_xlabel(%22%24V_%7BDS%7D%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_iv.set_ylabel(%22%24I_D%24%20(mA)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_iv.set_title(%22Long-channel%20MOSFET%20I-V%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_iv.legend(fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax_iv.tick_params(labelsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax_iv.set_ylim(bottom%3D0)%0A%0A%20%20%20%20_Vgs_sub%20%3D%20np.linspace(0%2C%201.0%2C%20300)%0A%20%20%20%20_n_sub%20%3D%201.3%0A%20%20%20%20_Vds_sub%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20_Id_sub%20%3D%201e-7%20*%20np.exp((_Vgs_sub%20-%20_VT_mos)%20%2F%20(_n_sub%20*%200.02585))%0A%20%20%20%20_Id_sub%20%3D%20np.minimum(_Id_sub%2C%205e-3)%0A%20%20%20%20_ax_sub.semilogy(_Vgs_sub%2C%20_Id_sub%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D%22%23d62728%22)%0A%20%20%20%20_ax_sub.axvline(_VT_mos%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D1)%0A%20%20%20%20_ax_sub.text(_VT_mos%20%2B%200.02%2C%201e-10%2C%20%22%24V_T%24%22%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%20%20%20%20_SS_val%20%3D%20_n_sub%20*%2060%0A%20%20%20%20_ax_sub.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22SS%20%3D%20%7B_SS_val%3A.0f%7D%20mV%2Fdec%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0.25%2C%201e-10)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23d62728%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_sub.set_xlabel(%22%24V_%7BGS%7D%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_sub.set_ylabel(%22%24I_D%24%20(A)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_sub.set_title(%22Subthreshold%20characteristics%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_sub.set_ylim(1e-13%2C%201e-2)%0A%20%20%20%20_ax_sub.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_fig_iv.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_iv%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20*Left%3A%20Long-channel%20MOSFET%20output%20characteristics%20(%24I_D%24%20vs%20%24V_%7BDS%7D%24)%20for%20several%20%24V_%7BGS%7D%24%2C%20showing%20linear%20and%20saturation%20regions.%20Right%3A%20Subthreshold%20(log-scale)%20transfer%20curve%20showing%20exponential%20turn-on%20below%20%24V_T%24%20with%20subthreshold%20swing%20%24SS%20%5Capprox%24%2078%20mV%2Fdec.*%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%207C.%20Advanced%20FET%20Structures%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20FinFET%0A%0A%20%20%20%20-%203D%20gate%20wraps%20around%20a%20thin%20**fin**%20%E2%86%92%20improved%20electrostatic%20control.%0A%20%20%20%20-%20Reduces%20**short-channel%20effects**%20(DIBL%2C%20%24V_T%24%20roll-off).%0A%20%20%20%20-%20Used%20in%20production%20from%2022%20nm%20node%20onward%20(Intel%2C%20TSMC%2C%20Samsung).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20FDSOI%20(Fully%20Depleted%20Silicon-On-Insulator)%0A%0A%20%20%20%20-%20Thin%20body%20on%20buried%20oxide%20%E2%86%92%20body%20is%20fully%20depleted.%0A%20%20%20%20-%20**Back-gate%20bias**%20provides%20an%20extra%20knob%20to%20tune%20%24V_T%24.%0A%20%20%20%20-%20Good%20for%20low-power%20applications.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Gate-All-Around%20(GAA)%20%2F%20Nanosheet%0A%0A%20%20%20%20-%20Gate%20surrounds%20the%20channel%20on%20**all%20four%20sides**%20%E2%86%92%20ultimate%20electrostatic%20control.%0A%20%20%20%20-%20Transition%20from%20FinFET%20at%20~3%20nm%20node.%0A%20%20%20%20-%20Each%20nanosheet%20is%20a%20thin%20horizontal%20Si%20slab%3B%20stack%20multiple%20for%20higher%20drive%20current.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Bonus%20Topics%3A%20Optoelectronics%20and%20Quantum%20Devices%0A%0A%20%20%20%20*Interspersed%20throughout%20the%20course*%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Optical%20Absorption%20and%20Emission%0A%0A%20%20%20%20-%20Photon%20absorption%3A%20%24E_%7Bphoton%7D%20%3D%20h%5Cnu%20%5Cge%20E_g%24%20%E2%86%92%20electron-hole%20pair%20creation.%0A%20%20%20%20-%20**Direct%20gap**%20materials%20(GaAs%2C%20InP)%3A%20strong%20absorption%2C%20efficient%20emission.%0A%20%20%20%20-%20**Indirect%20gap**%20(Si)%3A%20weak%20absorption%20(phonon-assisted)%2C%20poor%20emission%20%E2%86%92%20not%20used%20for%20lasers.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Photodiodes%20and%20Solar%20Cells%0A%0A%20%20%20%20-%20Reverse-biased%20PN%20junction%3A%20photogenerated%20carriers%20swept%20by%20depletion%20field%20%E2%86%92%20photocurrent.%0A%20%20%20%20-%20Solar%20cell%20%3D%20PN%20photodiode%20at%20zero%20or%20forward%20bias%3B%20power%20output%20%3D%20%24I%20%5Ctimes%20V%24%20in%20the%20fourth%20quadrant.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20LEDs%20and%20Lasers%0A%0A%20%20%20%20-%20Forward-biased%20PN%20junction%20in%20direct-gap%20material%20%E2%86%92%20radiative%20recombination%20%E2%86%92%20photon%20emission.%0A%20%20%20%20-%20**LED%3A**%20spontaneous%20emission%3B%20**Laser%3A**%20stimulated%20emission%20with%20optical%20feedback%20(cavity).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Quantum%20Confinement%0A%0A%20%20%20%20-%20When%20dimensions%20approach%20the%20de%20Broglie%20wavelength%20(%24%5Csim%24%20nm)%2C%20energy%20levels%20become%20**discrete**.%0A%20%20%20%20-%20**Quantum%20well**%20(1D%20confinement)%3A%20step-function%20density%20of%20states.%0A%20%20%20%20-%20**Quantum%20wire**%20(2D)%2C%20**quantum%20dot**%20(3D)%3A%20increasingly%20sharp%20DoS%20peaks.%0A%20%20%20%20-%20Applications%3A%20quantum%20dot%20lasers%2C%20single-photon%20sources%2C%20quantum%20computing%20qubits.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig_opt%2C%20(_ax_abs%2C%20_ax_dos)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_E_ph%20%3D%20np.linspace(0.5%2C%203.5%2C%20500)%0A%20%20%20%20_Eg_Si%20%3D%201.12%0A%20%20%20%20_Eg_GaAs%20%3D%201.42%0A%20%20%20%20_alpha_Si%20%3D%201e3%20*%20np.where(_E_ph%20%3E%20_Eg_Si%2C%20((_E_ph%20-%20_Eg_Si)%20%2F%200.5)%20**%202%2C%200)%0A%20%20%20%20_alpha_GaAs%20%3D%201e4%20*%20np.where(_E_ph%20%3E%20_Eg_GaAs%2C%20np.sqrt(np.maximum(_E_ph%20-%20_Eg_GaAs%2C%200)%20%2F%200.3)%2C%200)%0A%0A%20%20%20%20_ax_abs.semilogy(_E_ph%2C%20_alpha_Si%20%2B%201%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22Si%20(indirect)%22%2C%20color%3D%22%231f77b4%22)%0A%20%20%20%20_ax_abs.semilogy(_E_ph%2C%20_alpha_GaAs%20%2B%201%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%22GaAs%20(direct)%22%2C%20color%3D%22%23d62728%22)%0A%20%20%20%20_ax_abs.set_xlabel(%22Photon%20energy%20(eV)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_abs.set_ylabel(r%22%24%5Calpha%24%20(cm%24%5E%7B-1%7D%24)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_abs.set_title(%22Optical%20absorption%20coefficient%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_abs.set_xlim(0.5%2C%203.5)%0A%20%20%20%20_ax_abs.set_ylim(1%2C%201e6)%0A%20%20%20%20_ax_abs.legend(fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax_abs.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_E_qw%20%3D%20np.linspace(0%2C%201.5%2C%20500)%0A%20%20%20%20_dos_3d%20%3D%20np.where(_E_qw%20%3E%200%2C%20np.sqrt(_E_qw)%2C%200)%0A%20%20%20%20_E_levels%20%3D%20%5B0.1%2C%200.4%2C%200.9%5D%0A%20%20%20%20_dos_qw%20%3D%20np.zeros_like(_E_qw)%0A%20%20%20%20for%20_El%20in%20_E_levels%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dos_qw%20%2B%3D%20np.where(_E_qw%20%3E%3D%20_El%2C%201.0%2C%200.0)%0A%0A%20%20%20%20_ax_dos.plot(_E_qw%2C%20_dos_3d%20%2F%20_dos_3d.max()%20*%203%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%223D%20(bulk)%22%2C%20color%3D%22%231f77b4%22)%0A%20%20%20%20_ax_dos.plot(_E_qw%2C%20_dos_qw%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D%222D%20(quantum%20well)%22%2C%20color%3D%22%23d62728%22)%0A%20%20%20%20_ax_dos.set_xlabel(%22%24E%20-%20E_c%24%20(eV)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_dos.set_ylabel(%22Density%20of%20states%20(arb.)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_dos.set_title(%22DoS%3A%20bulk%20vs%20quantum%20well%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_dos.legend(fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax_dos.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20_fig_opt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_opt%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20*Left%3A%20Schematic%20absorption%20coefficient%20%E2%80%94%20direct-gap%20GaAs%20has%20a%20sharp%20onset%20and%20much%20higher%20absorption%20than%20indirect-gap%20Si.%20Right%3A%20Density%20of%20states%20for%203D%20bulk%20(%24%5Cpropto%20%5Csqrt%7BE%7D%24)%20vs%202D%20quantum%20well%20(step%20function%20at%20each%20subband).*%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Key%20Equations%20Reference%20Card%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Topic%20%7C%20Equation%20%7C%0A%20%20%20%20%7C-------%7C----------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Bloch%20theorem%20%7C%20%24%5Cpsi_%7Bnk%7D%20%3D%20e%5E%7Bikx%7D%20u_%7Bnk%7D(x)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Effective%20mass%20%7C%20%24m%5E*%20%3D%20%5Chbar%5E2%20(d%5E2E%2Fdk%5E2)%5E%7B-1%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Fermi%E2%80%93Dirac%20%7C%20%24f(E)%20%3D%20%5B1%20%2B%20e%5E%7B(E-E_F)%2Fk_BT%7D%5D%5E%7B-1%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Carrier%20conc.%20%7C%20%24n_0%20%3D%20N_c%20e%5E%7B-(E_c-E_F)%2Fk_BT%7D%24%3B%20%24n_0%20p_0%20%3D%20n_i%5E2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Drift%20current%20%7C%20%24J_n%20%3D%20qn%5Cmu_n%5Cmathcal%7BE%7D%24%3B%20%24J_p%20%3D%20qp%5Cmu_p%5Cmathcal%7BE%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Diffusion%20current%20%7C%20%24J_n%20%3D%20qD_n%5C%2Cdn%2Fdx%24%3B%20%24J_p%20%3D%20-qD_p%5C%2Cdp%2Fdx%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Einstein%20%7C%20%24D%2F%5Cmu%20%3D%20k_BT%2Fq%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Continuity%20%7C%20%24%5Cpartial%20n%2F%5Cpartial%20t%20%3D%20(1%2Fq)%5Cpartial%20J_n%2F%5Cpartial%20x%20%2B%20G%20-%20R%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Diffusion%20length%20%7C%20%24L%20%3D%20%5Csqrt%7BD%5Ctau%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Poisson%20%7C%20%24d%5Cmathcal%7BE%7D%2Fdx%20%3D%20%5Crho%2F%5Cepsilon_s%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20PN%20built-in%20%7C%20%24%5Cphi_%7Bbi%7D%20%3D%20(k_BT%2Fq)%5Cln(N_AN_D%2Fn_i%5E2)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Depletion%20width%20%7C%20%24W%20%3D%20%5B2%5Cepsilon_s(%5Cphi_%7Bbi%7D-V_A)%2Fq%20%5Ccdot%20(1%2FN_A%2B1%2FN_D)%5D%5E%7B1%2F2%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Ideal%20diode%20%7C%20%24I%20%3D%20I_0(e%5E%7BqV_A%2Fk_BT%7D-1)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20BJT%20collector%20%7C%20%24I_C%20%3D%20I_S%5C%2Ce%5E%7BqV_%7BBE%7D%2Fk_BT%7D%24%3B%20%24%5Cbeta_0%20%3D%20G_E%2FG_B%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Schottky%20%7C%20%24I_S%20%3D%20AA%5E*T%5E2%20e%5E%7B-q%5Cphi_%7BBn%7D%2Fk_BT%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20MOS%20threshold%20%7C%20%24V_T%20%3D%20V_%7BFB%7D%20%2B%202%5Cphi_B%20%2B%20Q_%7Bdep%7D%2FC_%7Box%7D'%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20MOSFET%20(sat.)%20%7C%20%24I_%7BD%2Csat%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmu%20C_%7Box%7D'%7D%7B2%7D%5Cfrac%7BW%7D%7BL%7D(V_%7BGS%7D-V_T)%5E2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Subthreshold%20swing%20%7C%20%24SS%20%3D%20n%20%5Ctimes%2060%24%20mV%2Fdec%20(300%20K)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Transit%20frequency%20%7C%20%24f_T%20%3D%20g_m%20%2F%20%5B2%5Cpi(C_%7Bgs%7D%2BC_%7Bgd%7D)%5D%24%20%7C%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20log_na_vbi%20%3D%20mo.ui.slider(14.0%2C%2018.0%2C%20value%3D17.0%2C%20step%3D0.1%2C%20label%3D%22log%E2%82%81%E2%82%80%20N%E2%82%90%20(cm%E2%81%BB%C2%B3)%22)%0A%20%20%20%20log_nd_vbi%20%3D%20mo.ui.slider(14.0%2C%2018.0%2C%20value%3D16.0%2C%20step%3D0.1%2C%20label%3D%22log%E2%82%81%E2%82%80%20N_D%20(cm%E2%81%BB%C2%B3)%22)%0A%20%20%20%20tau_p_calc%20%3D%20mo.ui.slider(0.01%2C%2010.0%2C%20value%3D1.0%2C%20step%3D0.05%2C%20label%3D%22%CF%84%E2%82%9A%20(%CE%BCs)%22)%0A%20%20%20%20D_p_calc%20%3D%20mo.ui.slider(5.0%2C%2050.0%2C%20value%3D12.0%2C%20step%3D1.0%2C%20label%3D%22D%E2%82%9A%20(cm%C2%B2%2Fs)%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Interactive%3A%20Key%20parameter%20calculator%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Blog_na_vbi%2C%20log_nd_vbi%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Btau_p_calc%2C%20D_p_calc%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20D_p_calc%2C%20log_na_vbi%2C%20log_nd_vbi%2C%20tau_p_calc%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(D_p_calc%2C%20kT_eV%2C%20log_na_vbi%2C%20log_nd_vbi%2C%20mo%2C%20ni_si%2C%20np%2C%20tau_p_calc)%3A%0A%20%20%20%20_NA%20%3D%2010.0%20**%20log_na_vbi.value%0A%20%20%20%20_ND%20%3D%2010.0%20**%20log_nd_vbi.value%0A%20%20%20%20_Vbi%20%3D%20kT_eV%20*%20np.log(_NA%20*%20_ND%20%2F%20ni_si**2)%0A%20%20%20%20_EF_n%20%3D%20kT_eV%20*%20np.log(_ND%20%2F%20ni_si)%0A%20%20%20%20_EF_p%20%3D%20-kT_eV%20*%20np.log(_NA%20%2F%20ni_si)%0A%20%20%20%20_p0_n%20%3D%20ni_si**2%20%2F%20_ND%0A%20%20%20%20_n0_p%20%3D%20ni_si**2%20%2F%20_NA%0A%0A%20%20%20%20_Dp%20%3D%20D_p_calc.value%0A%20%20%20%20_tau%20%3D%20tau_p_calc.value%20*%201e-6%0A%20%20%20%20_Lp%20%3D%20np.sqrt(_Dp%20*%20_tau)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C----------%7C-------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%24%20%7C%20**%7B_Vbi%3A.4f%7D%20V**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24E_F%20-%20E_%7B%7BF_i%7D%7D%24%20(n-side)%20%7C%20%7B_EF_n%3A.4f%7D%20eV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24E_%7B%7BF_i%7D%7D%20-%20E_F%24%20(p-side)%20%7C%20%7B-_EF_p%3A.4f%7D%20eV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24p_0%24%20on%20n-side%20(%24n_i%5E2%2FN_D%24)%20%7C%20%7B_p0_n%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24n_0%24%20on%20p-side%20(%24n_i%5E2%2FN_A%24)%20%7C%20%7B_n0_p%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Diffusion%20length%20%24L_p%24%20%7C%20**%7B_Lp*1e4%3A.2f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m**%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Exam%20Preparation%20Tips%0A%0A%20%20%20%20From%20the%20AI%20%F0%9F%98%80%2C%20Professor%20agrees%0A%0A%20%20%20%201.%20**Draw%20band%20diagrams**%20under%20bias%20for%20PN%2C%20BJT%20(forward%20active)%2C%20MOS%20(all%20regimes)%2C%20and%20MOSFET%20(with%20channel).%20Label%20%24E_c%24%2C%20%24E_v%24%2C%20%24E_F%24%20(or%20%24E_%7BF_n%7D%24%2C%20%24E_%7BF_p%7D%24)%2C%20depletion%20edges%2C%20and%20applied%20voltages.%0A%0A%20%20%20%202.%20**Check%20and%20state%20your%20assumptions**%20before%20applying%20any%20formula%3A%20non-degenerate%3F%20abrupt%20junction%3F%20long%20channel%3F%20low%20injection%3F%20steady%20state%3F%0A%0A%20%20%20%203.%20**Track%20signs**%20carefully%3A%20diffusion%20current%20signs%20flip%20between%20electrons%20and%20holes%3B%20recombination%20drives%20concentrations%20**toward**%20equilibrium.%0A%0A%20%20%20%204.%20**Estimate%20before%20you%20calculate%3A**%20check%20if%20%24%5Cphi_%7Bbi%7D%20%5Csim%200.7%5Ctext%7B%E2%80%93%7D0.9%24%20V%20makes%20sense%20for%20Si%3B%20check%20if%20%24W%20%5Csim%200.1%5Ctext%7B%E2%80%93%7D1%5C%3B%5Cmu%24m%20is%20reasonable%3B%20check%20if%20%24I_0%20%5Csim%2010%5E%7B-14%7D%24%20A%20is%20in%20the%20right%20ballpark.%0A%0A%20%20%20%205.%20**Connect%20the%20units%3A**%20every%20device%20problem%20ultimately%20reduces%20to%20Poisson%20%2B%20continuity%20%2B%20boundary%20conditions.%20If%20you%20understand%20those%20three%2C%20you%20can%20derive%20rather%20than%20memorize.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20**Good%20luck%20on%20the%20exam%2C%20and%20thank%20you%20for%20a%20great%20term!**%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A