pn bias

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.1%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.19.11%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test%20%3D%20Path(__file__).parent%20%2F%20%22images%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_test.exists()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20Path(__file__).parent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20FileNotFoundError%0A%20%20%20%20except%20Exception%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20None%0A%20%20%20%20IMAGE_BASE%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Fpn-revbias%2Fimages%22%20if%20ASSET_DIR%20is%20None%20else%20str(ASSET_DIR%20%2F%20%22images%22)%0A%0A%20%20%20%20q%20%3D%201.6e-19%20%20%23%20C%0A%20%20%20%20kT%20%3D%200.02585%20%20%23%20eV%20at%20300K%0A%20%20%20%20ni_Si%20%3D%201.1e10%20%20%23%20cm%5E-3%20for%20Si%20at%20300K%0A%20%20%20%20eps_r%20%3D%2011.7%20%20%23%20relative%20permittivity%20of%20Si%0A%20%20%20%20eps_0%20%3D%208.854e-14%20%20%23%20F%2Fcm%20(vacuum%20permittivity%20in%20CGS)%0A%20%20%20%20eps_s%20%3D%20eps_r%20*%20eps_0%20%20%23%20F%2Fcm%0A%20%20%20%20Eg_Si%20%3D%201.12%20%20%23%20eV%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20PN%20Junction%20Under%20Reverse%20Bias%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ECE350%2C%20Lecture%2018%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20notebook%20covers%20the%20electrostatics%20and%20capacitance%20of%20a%20PN%20junction%20under%20reverse%20bias%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Applied%20voltage%20conventions%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Reverse%20bias%3A%20effect%20on%20the%20depletion%20region%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20Electrostatics%20under%20bias%3A%20%24%5Crho(x)%24%2C%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%24%2C%20%24V(x)%24%2C%20and%20energy%20bands%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20Junction%20capacitance%20and%20C-V%20characteristics%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20Breakdown%20mechanisms%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20Eg_Si%2C%20IMAGE_BASE%2C%20eps_s%2C%20kT%2C%20mo%2C%20ni_Si%2C%20np%2C%20plt%2C%20q%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_text1%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Applied%20Voltage%20%24V_A%24%0A%0A%20%20%20%20We%20apply%20a%20voltage%20%24V_A%24%20across%20the%20PN%20junction%2C%20referenced%20to%20the%20**p-side%20relative%20to%20the%20n-side**%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Forward%20bias**%3A%20%24V_A%20%3E%200%24%20(p-side%20is%20at%20higher%20potential)%0A%20%20%20%20-%20**Reverse%20bias**%3A%20%24V_A%20%3C%200%24%20(p-side%20is%20at%20lower%20potential)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.hstack(%5Bmo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Flec15-04.png%22%2C%20width%3D%2230%25%22)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_text2%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20We%20assume%20that%20the%20applied%20voltage%20is%20dropped%20**entirely%20across%20the%20depletion%20region**.%20This%20is%20valid%20when%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20**low-level%20injection**%20condition%20holds%20(excess%20minority%20carriers%20%24%5Cll%24%20majority%20carrier%20concentration)%0A%20%20%20%202.%20There%20is%20**no%20significant%20series%20resistance**%20(contact%20resistance%2C%20bulk%20resistance)%0A%20%20%20%203.%20For%20forward%20bias%2C%20%24V_A%20%3C%20%5Cphi_%7Bbi%7D%24%20(otherwise%20we%20leave%20the%20low-level%20injection%20regime)%0A%0A%20%20%20%20Under%20these%20assumptions%2C%20the%20voltage%20across%20the%20depletion%20region%20is%20%24(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_text1%2C%20_img%2C%20_text2%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Electrostatics%20Under%20Reverse%20Bias%0A%0A%20%20%20%20All%20equilibrium%20expressions%20remain%20valid%20with%20the%20substitution%20%24%5Cphi_%7Bbi%7D%20%5Cto%20(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Depletion%20Widths%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BW%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%7Bq%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_A%20%2B%20N_D%7D%7BN_A%20N_D%7D%5Ccdot(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bx_n%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%7Bq%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_A%7D%7BN_D(N_A%20%2B%20N_D)%7D%5Ccdot(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bx_p%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%7Bq%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_D%7D%7BN_A(N_A%20%2B%20N_D)%7D%5Ccdot(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Maximum%20Electric%20Field%20(at%20%24x%20%3D%200%24)%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7C%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bmax%7D%7C%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_A%20x_p%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_D%20x_n%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2q%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_A%20N_D%7D%7BN_A%20%2B%20N_D%7D%5Ccdot(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Note%20that%20for%20forward%20bias%20(%24V_A%20%3E%200%24)%2C%20%24(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%24%20decreases%2C%20so%20%24W%24%2C%20%24x_n%24%2C%20%24x_p%24%2C%20and%20%24%7C%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bmax%7D%7C%24%20all%20decrease.%20For%20reverse%20bias%20(%24V_A%20%3C%200%24)%2C%20they%20all%20increase.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_header%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Quasi-Fermi%20Levels%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.hstack(%5Bmo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Freverse_bias_quasiFermi.png%22%2C%20width%3D%2250%25%22)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_text%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Under%20an%20applied%20voltage%20%24V_A%24%2C%20the%20quasi-Fermi%20levels%20split%3A%20%24%5Cboxed%7BE_%7BFn%7D%20-%20E_%7BFp%7D%20%3D%20qV_A%7D%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_header%2C%20_img%2C%20_text%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20Na_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2014%2C%2018%2C%20value%3D17%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24N_A%24)%20%5Bcm%E2%81%BB%C2%B3%5D%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Nd_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2014%2C%2018%2C%20value%3D16%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24N_D%24)%20%5Bcm%E2%81%BB%C2%B3%5D%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Va_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-4%2C%200.5%2C%20value%3D0%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24V_A%24%20%5BV%5D%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20Na_slider%2C%20Nd_slider%2C%20Va_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20Na_slider%2C%0A%20%20%20%20Nd_slider%2C%0A%20%20%20%20Va_slider%2C%0A%20%20%20%20eps_s%2C%0A%20%20%20%20kT%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Read%20slider%20values%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%2010%20**%20Na_slider.value%0A%20%20%20%20_Nd%20%3D%2010%20**%20Nd_slider.value%0A%20%20%20%20_Va%20%3D%20Va_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Built-in%20potential%0A%20%20%20%20_phi_bi%20%3D%20kT%20*%20np.log(_Na%20*%20_Nd%20%2F%20ni_Si**2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Clamp%20Va%20to%20ensure%20(phi_bi%20-%20Va)%20%3E%200%0A%20%20%20%20_V_eff%20%3D%20_phi_bi%20-%20_Va%0A%20%20%20%20if%20_V_eff%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_eff%20%3D%200.001%0A%0A%20%20%20%20%23%20Equilibrium%20depletion%20widths%20(for%20reference%20dashed%20lines)%0A%20%20%20%20_xn_eq%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_s%20%2F%20q%20*%20_Na%20%2F%20(_Nd%20*%20(_Na%20%2B%20_Nd))%20*%20_phi_bi)%0A%20%20%20%20_xp_eq%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_s%20%2F%20q%20*%20_Nd%20%2F%20(_Na%20*%20(_Na%20%2B%20_Nd))%20*%20_phi_bi)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Biased%20depletion%20widths%0A%20%20%20%20_xn%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_s%20%2F%20q%20*%20_Na%20%2F%20(_Nd%20*%20(_Na%20%2B%20_Nd))%20*%20_V_eff)%0A%20%20%20%20_xp%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_s%20%2F%20q%20*%20_Nd%20%2F%20(_Na%20*%20(_Na%20%2B%20_Nd))%20*%20_V_eff)%0A%20%20%20%20_W%20%3D%20_xn%20%2B%20_xp%0A%0A%20%20%20%20%23%20Maximum%20electric%20field%20magnitude%20(V%2Fcm)%0A%20%20%20%20_E_max%20%3D%20q%20*%20_Na%20*%20_xp%20%2F%20eps_s%0A%0A%20%20%20%20%23%20Spatial%20grid%20(cm)%0A%20%20%20%20_margin%20%3D%202.5%0A%20%20%20%20_x_extent%20%3D%20max(_xn_eq%2C%20_xp_eq%2C%20_xn%2C%20_xp)%20*%20_margin%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(-_x_extent%2C%20_x_extent%2C%201000)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Equilibrium%20curves%20---%0A%20%20%20%20_rho_eq%20%3D%20np.piecewise(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_x%20%3C%20-_xp_eq%2C%20(_x%20%3E%3D%20-_xp_eq)%20%26%20(_x%20%3C%3D%200)%2C%20(_x%20%3E%200)%20%26%20(_x%20%3C%3D%20_xn_eq)%2C%20_x%20%3E%20_xn_eq%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20-q%20*%20_Na%2C%20q%20*%20_Nd%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_E_eq%20%3D%20np.zeros_like(_x)%0A%20%20%20%20_mask_p_eq%20%3D%20(_x%20%3E%3D%20-_xp_eq)%20%26%20(_x%20%3C%3D%200)%0A%20%20%20%20_mask_n_eq%20%3D%20(_x%20%3E%200)%20%26%20(_x%20%3C%3D%20_xn_eq)%0A%20%20%20%20_E_eq%5B_mask_p_eq%5D%20%3D%20-q%20*%20_Na%20%2F%20eps_s%20*%20(_x%5B_mask_p_eq%5D%20%2B%20_xp_eq)%0A%20%20%20%20_E_eq%5B_mask_n_eq%5D%20%3D%20q%20*%20_Nd%20%2F%20eps_s%20*%20(_x%5B_mask_n_eq%5D%20-%20_xn_eq)%0A%20%20%20%20_V_eq%20%3D%20np.zeros_like(_x)%0A%20%20%20%20_V_eq%5B_x%20%3C%3D%20-_xp_eq%5D%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_V_eq%5B_mask_p_eq%5D%20%3D%20q%20*%20_Na%20%2F%20(2%20*%20eps_s)%20*%20(_x%5B_mask_p_eq%5D%20%2B%20_xp_eq)%20**%202%0A%20%20%20%20_V_eq%5B_mask_n_eq%5D%20%3D%20_phi_bi%20-%20q%20*%20_Nd%20%2F%20(2%20*%20eps_s)%20*%20(_x%5B_mask_n_eq%5D%20-%20_xn_eq)%20**%202%0A%20%20%20%20_V_eq%5B_x%20%3E%20_xn_eq%5D%20%3D%20_phi_bi%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Biased%20curves%20---%0A%20%20%20%20_rho%20%3D%20np.piecewise(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_x%20%3C%20-_xp%2C%20(_x%20%3E%3D%20-_xp)%20%26%20(_x%20%3C%3D%200)%2C%20(_x%20%3E%200)%20%26%20(_x%20%3C%3D%20_xn)%2C%20_x%20%3E%20_xn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20-q%20*%20_Na%2C%20q%20*%20_Nd%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_E_field%20%3D%20np.zeros_like(_x)%0A%20%20%20%20_mask_p%20%3D%20(_x%20%3E%3D%20-_xp)%20%26%20(_x%20%3C%3D%200)%0A%20%20%20%20_mask_n%20%3D%20(_x%20%3E%200)%20%26%20(_x%20%3C%3D%20_xn)%0A%20%20%20%20_E_field%5B_mask_p%5D%20%3D%20-q%20*%20_Na%20%2F%20eps_s%20*%20(_x%5B_mask_p%5D%20%2B%20_xp)%0A%20%20%20%20_E_field%5B_mask_n%5D%20%3D%20q%20*%20_Nd%20%2F%20eps_s%20*%20(_x%5B_mask_n%5D%20-%20_xn)%0A%20%20%20%20_V%20%3D%20np.zeros_like(_x)%0A%20%20%20%20_V%5B_x%20%3C%3D%20-_xp%5D%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_V%5B_mask_p%5D%20%3D%20q%20*%20_Na%20%2F%20(2%20*%20eps_s)%20*%20(_x%5B_mask_p%5D%20%2B%20_xp)%20**%202%0A%20%20%20%20_V%5B_mask_n%5D%20%3D%20_V_eff%20-%20q%20*%20_Nd%20%2F%20(2%20*%20eps_s)%20*%20(_x%5B_mask_n%5D%20-%20_xn)%20**%202%0A%20%20%20%20_V%5B_x%20%3E%20_xn%5D%20%3D%20_V_eff%0A%0A%20%20%20%20%23%20Convert%20x-axis%20to%20micrometers%0A%20%20%20%20_x_um%20%3D%20_x%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xp_um%20%3D%20_xp%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xn_um%20%3D%20_xn%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Four-panel%20plot%20---%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(4%2C%201%2C%20figsize%3D(10%2C%2014)%2C%20sharex%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20(a)%20Charge%20density%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(_x_um%2C%20_rho_eq%20%2F%20q%20*%201e-15%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D%22Equilibrium%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(_x_um%2C%20_rho%20%2F%20q%20*%201e-15%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24V_A%24%20%3D%20%7B_Va%3A.1f%7D%20V%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_ylabel(r%22%24%5Crho%5C%2C%2F%5C%2Cq%24%20(%24%5Ctimes%2010%5E%7B15%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24N_A%24%20%3D%20%22%20%2B%20f%22%7B_Na%3A.1e%7D%22%20%2B%20r%22%20cm%24%5E%7B-3%7D%24%2C%20%24N_D%24%20%3D%20%22%20%2B%20f%22%7B_Nd%3A.1e%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20r%22%20cm%24%5E%7B-3%7D%24%2C%20%24V_A%24%20%3D%20%22%20%2B%20f%22%7B_Va%3A.1f%7D%20V%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axhline(0%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axvline(-_xp_um%2C%20color%3D%22red%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24-x_p%24%20%3D%20%7B-_xp_um%3A.2f%7D%20%5Cu00b5m%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axvline(_xn_um%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24x_n%24%20%3D%20%7B_xn_um%3A.2f%7D%20%5Cu00b5m%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.fill_between(_x_um%2C%20_rho%20%2F%20q%20*%201e-15%2C%200%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.legend(fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axvline(0%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20(b)%20Electric%20field%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(_x_um%2C%20_E_eq%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D%22Equilibrium%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(_x_um%2C%20_E_field%2C%20%22r-%22%2C%20linewidth%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24V_A%24%20%3D%20%7B_Va%3A.1f%7D%20V%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set_ylabel(r%22%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%20(V%2Fcm)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.axhline(0%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.axvline(-_xp_um%2C%20color%3D%22red%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.axvline(_xn_um%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.fill_between(_x_um%2C%20_E_field%2C%200%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D%22red%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24%7C%5C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7B%5C%5Cmax%7D%7D%7C%24%20%3D%20%7B_E_max%3A.2e%7D%20V%2Fcm%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0%2C%20np.min(_E_field))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(0.3%20*%20_xn_um%20%2B%200.5%20*%20_xp_um%2C%20np.min(_E_field)%20*%200.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20color%3D%22red%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22-%3E%22%2C%20color%3D%22red%22%2C%20lw%3D1.5)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.axvline(0%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20(c)%20Electrostatic%20potential%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(_x_um%2C%20_V_eq%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D%22Equilibrium%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(_x_um%2C%20_V%2C%20%22g-%22%2C%20linewidth%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24V_A%24%20%3D%20%7B_Va%3A.1f%7D%20V%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.set_ylabel(r%22%24V%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axhline(0%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axhline(_V_eff%2C%20color%3D%22green%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%20-%20V_A%24%20%3D%20%7B_V_eff%3A.2f%7D%20V%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axvline(-_xp_um%2C%20color%3D%22red%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axvline(_xn_um%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.fill_between(_x_um%2C%20_V%2C%200%2C%20alpha%3D0.10%2C%20color%3D%22green%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axvline(0%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.legend(fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20(d)%20Energy%20band%20diagram%20from%20exact%20V(x)%0A%20%20%20%20_EF_bd%20%3D%200.0%20%20%23%20E_Fp%20%3D%200%20reference%0A%20%20%20%20_Ec_offset%20%3D%20Eg_Si%20%2F%202%20%2B%20kT%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%20%20%23%20(E_c%20-%20E_Fp)%20on%20P-side%0A%20%20%20%20_Ec%20%3D%20_Ec_offset%20-%20_V%0A%20%20%20%20_Ev%20%3D%20_Ec%20-%20Eg_Si%0A%20%20%20%20_Ei%20%3D%20(_Ec%20%2B%20_Ev)%20%2F%202%0A%20%20%20%20_EFp%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_EFn%20%3D%20_Va%20%20%23%20quasi-Fermi%20level%20split%3A%20E_Fn%20-%20E_Fp%20%3D%20qV_A%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.plot(_x_um%2C%20_Ec%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Dr%22%24E_c%24%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.plot(_x_um%2C%20_Ev%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Dr%22%24E_v%24%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.plot(_x_um%2C%20_Ei%2C%20%22g%3A%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3Dr%22%24E_%7BFi%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.axvspan(-_xp_um%2C%20_xn_um%2C%20alpha%3D0.08%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.axvline(0%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.axvline(-_xp_um%2C%20color%3D%22red%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.axvline(_xn_um%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%0A%20%20%20%20if%20abs(_Va)%20%3C%200.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B3%5D.axhline(_EFp%2C%20color%3D%22red%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3Dr%22%24E_F%24%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Quasi-Fermi%20levels%3A%20E_Fp%20on%20P-side%2C%20E_Fn%20on%20N-side%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_EFp_line%20%3D%20np.where(_x%20%3C%3D%20_xn%2C%20_EFp%2C%20np.nan)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_EFn_line%20%3D%20np.where(_x%20%3E%3D%20-_xp%2C%20_EFn%2C%20np.nan)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B3%5D.plot(_x_um%2C%20_EFp_line%2C%20%22m--%22%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3Dr%22%24E_%7BFp%7D%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B3%5D.plot(_x_um%2C%20_EFn_line%2C%20%22r--%22%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3Dr%22%24E_%7BFn%7D%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_Va)%20%3E%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_arrow%20%3D%20_x_um%5B-1%5D%20*%200.4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B3%5D.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%20xy%3D(_x_arrow%2C%20min(_EFp%2C%20_EFn))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_x_arrow%2C%20max(_EFp%2C%20_EFn))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22%3C-%3E%22%2C%20color%3D%22purple%22%2C%20lw%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B3%5D.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_arrow%20*%201.15%2C%20(_EFp%20%2B%20_EFn)%20%2F%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24qV_A%24%20%3D%20%7B_Va%3A.2f%7D%20eV%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20color%3D%22purple%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Barrier%20annotation%0A%20%20%20%20_Ec_P_far%20%3D%20_Ec%5B0%5D%0A%20%20%20%20_Ec_N_far%20%3D%20_Ec%5B-1%5D%0A%20%20%20%20_x_arrow_barrier%20%3D%20_x_um%5B-1%5D%20*%200.85%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%20xy%3D(_x_arrow_barrier%2C%20_Ec_N_far)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_x_arrow_barrier%2C%20_Ec_P_far)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22%3C-%3E%22%2C%20color%3D%22darkgreen%22%2C%20lw%3D2)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_arrow_barrier%20*%201.05%2C%20(_Ec_P_far%20%2B%20_Ec_N_far)%20%2F%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24q(%5C%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%20-%20V_A)%24%5Cn%3D%20%7B_V_eff%3A.2f%7D%20eV%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20color%3D%22darkgreen%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.set_ylabel(%22Energy%20(eV)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.set_xlabel(%22%24x%24%20(%C2%B5m)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.legend(fontsize%3D16%2C%20loc%3D%22lower%20left%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Computed%20values%20summary%20---%0A%20%20%20%20_info%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Computed%20Values%3A**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Symbol%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%3A---------%7C%3A------%3A%7C------%3A%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Built-in%20potential%20%7C%20%24%5C%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%24%20%7C%20%7B_phi_bi%3A.2f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Applied%20voltage%20%7C%20%24V_A%24%20%7C%20%7B_Va%3A.1f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Barrier%20%7C%20%24%5C%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%20-%20V_A%24%20%7C%20%7B_V_eff%3A.2f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20N-side%20depletion%20width%20%7C%20%24x_n%24%20%7C%20%7B_xn%20*%201e4%3A.2f%7D%20%5Cu00b5m%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20P-side%20depletion%20width%20%7C%20%24x_p%24%20%7C%20%7B_xp%20*%201e4%3A.2f%7D%20%5Cu00b5m%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Total%20depletion%20width%20%7C%20%24W_%7B%7Bdep%7D%7D%24%20%7C%20%7B_W%20*%201e4%3A.2f%7D%20%5Cu00b5m%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Maximum%20electric%20field%20%7C%20%24%5C%5Clvert%5C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7B%5C%5Cmax%7D%7D%5C%5Crvert%24%20%7C%20%7B_E_max%3A.2e%7D%20V%2Fcm%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_title%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Interactive%20Calculator%20of%20%24%5Crho%24%2C%20%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%2C%20%24V%24%2C%20and%20Energy%20Bands%20under%20Bias%22%22%22)%0A%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.hstack(%5BNa_slider%2C%20Nd_slider%2C%20Va_slider%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_title%2C%20_controls%2C%20plt.gca()%2C%20_info%5D%2C%20align%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_text%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Depletion%20Capacitance%0A%0A%20%20%20%20Where%20there%20is%20a%20separation%20of%20positive%20and%20negative%20charges%2C%20there%20is%20a%20**capacitance**.%20Due%20to%20the%20separation%20of%20charges%20in%20the%20depletion%20region%2C%20there%20is%20a%20capacitance.%20This%20is%20called%20**depletion%20capacitance**%20or%20**junction%20capacitance**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.hstack(%5Bmo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fdepletion_cap.png%22%2C%20width%3D%2270%25%22)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_text%2C%20_img%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Depletion%20Capacitance%20Per%20Unit%20Area%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BC_%7Bdep%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BdQ%7D%7BdV_A%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24Q%20%3D%20qN_D%20x_n%20%3D%20qN_A%20x_p%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bcharge%20per%20area%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24C_%7Bdep%7D%20%3D%20qAN_d%20%5Cfrac%7Bdx_n%7D%7BdV_A%7D%20%3D%20qAN_A%20%5Cfrac%7Bdx_p%7D%7BdV_A%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Substituting%20%24x_n%24%20and%20%24x_p%24%20from%20the%20depletion%20width%20equations%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BC_%7Bdep%7D%20%3D%20A%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_s%7D%7BW_%7Bdep%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20As%20if%20the%20the%20junction%20is%20a%20**parallel%20plate%20capacitor%20with%20a%20thickness%20of%20%24W_%7Bdep%7D%24**%0A%0A%20%20%20%20Re-arranging%20the%20equation%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%7Bdep%7D%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BW_%7Bdep%7D%5E2%7D%7BA%5E2%20%5Cvarepsilon_s%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B2(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%7D%7BqA%5E2%20%5Cvarepsilon_s%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_A%20%2B%20N_D%7D%7BN_A%20N_D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Application%3A%20A%20diode%20is%20voltage-controlled%20capacitor%20(varactor).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Na_slider%2C%20Nd_slider%2C%20eps_s%2C%20kT%2C%20mo%2C%20ni_Si%2C%20np%2C%20plt%2C%20q)%3A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Read%20slider%20values%20---%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%2010%20**%20Na_slider.value%0A%20%20%20%20_Nd%20%3D%2010%20**%20Nd_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Built-in%20potential%20---%0A%20%20%20%20_phi_bi%20%3D%20kT%20*%20np.log(_Na%20*%20_Nd%20%2F%20ni_Si**2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Voltage%20range%20for%20C-V%20plot%20---%0A%20%20%20%20_Va_arr%20%3D%20np.linspace(-5%2C%20_phi_bi%20-%200.05%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Junction%20capacitance%20per%20unit%20area%20---%0A%20%20%20%20_V_eff_arr%20%3D%20_phi_bi%20-%20_Va_arr%0A%20%20%20%20_CJ%20%3D%20np.sqrt(q%20*%20eps_s%20%2F%202%20*%20_Na%20*%20_Nd%20%2F%20(_Na%20%2B%20_Nd)%20%2F%20_V_eff_arr)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%201%2FCJ%5E2%20---%0A%20%20%20%20_inv_CJ2%20%3D%201.0%20%2F%20_CJ**2%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Plot%20---%0A%20%20%20%20fig%2C%20(ax1%2C%20ax2)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%205))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%3A%20C_J%20vs%20V_A%0A%20%20%20%20ax1.plot(_Va_arr%2C%20_CJ%20*%201e9%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2)%20%20%23%20convert%20F%2Fcm%5E2%20to%20nF%2Fcm%5E2%0A%20%20%20%20ax1.set_xlabel(r%22%24V_A%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20ax1.set_ylabel(r%22%24C_%7B%7Bdep%7D%7D%24%20(nF%2Fcm%24%5E2%24)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20ax1.set_title(r%22Depletion%20Capacitance%20vs.%20%24V_A%24%22%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax1.axvline(0%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20ax1.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20ax1.set_xlim(-5%2C%20_phi_bi)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Mark%20equilibrium%20capacitance%0A%20%20%20%20_CJ_eq%20%3D%20np.sqrt(q%20*%20eps_s%20%2F%202%20*%20_Na%20*%20_Nd%20%2F%20(_Na%20%2B%20_Nd)%20%2F%20_phi_bi)%0A%20%20%20%20ax1.plot(0%2C%20_CJ_eq%20*%201e9%2C%20%22ro%22%2C%20markersize%3D8%2C%20label%3Df%22%24C_%7B%7B%7B%7Bdep0%7D%7D%7D%7D%24%20%3D%20%7B_CJ_eq*1e9%3A.2f%7D%20nF%2Fcm%24%5E2%24%22)%0A%20%20%20%20ax1.legend(fontsize%3D16)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Right%3A%201%2FC_J%5E2%20vs%20V_A%0A%20%20%20%20ax2.plot(_Va_arr%2C%20_inv_CJ2%20*%201e-14%2C%20%22r-%22%2C%20linewidth%3D2)%20%20%23%20scale%20for%20readability%0A%20%20%20%20ax2.set_xlabel(r%22%24V_A%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20ax2.set_ylabel(r%22%241%2FC_%7B%7Bdep%7D%7D%5E2%24%20(%24%5Ctimes%2010%5E%7B14%7D%24%20cm%24%5E4%24%2FF%24%5E2%24)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20ax2.set_title(r%22%241%2FC_%7B%7Bdep%7D%7D%5E2%24%20vs.%20%24V_A%24%22%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20ax2.axvline(0%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20ax2.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20ax2.set_xlim(-5%2C%20_phi_bi%20%2B%200.5)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Show%20x-intercept%20at%20phi_bi%0A%20%20%20%20ax2.axvline(_phi_bi%2C%20color%3D%22green%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24%5C%5Cphi_%7B%7B%7B%7Bbi%7D%7D%7D%7D%24%20%3D%20%7B_phi_bi%3A.3f%7D%20V%22)%0A%20%20%20%20ax2.plot(_phi_bi%2C%200%2C%20%22go%22%2C%20markersize%3D8)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Draw%20extension%20line%20to%20x-axis%0A%20%20%20%20_slope_inv%20%3D%202%20%2F%20(q%20*%20eps_s)%20*%20(_Na%20%2B%20_Nd)%20%2F%20(_Na%20*%20_Nd)%0A%20%20%20%20ax2.axhline(0%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20ax2.legend(fontsize%3D16)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_info%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**C-V%20parameters%3A**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24N_A%24%20%3D%20%7B_Na%3A.1e%7D%20cm%24%5E%7B%7B%7B%7B-3%7D%7D%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24N_D%24%20%3D%20%7B_Nd%3A.1e%7D%20cm%24%5E%7B%7B%7B%7B-3%7D%7D%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5Cphi_%7B%7B%7B%7Bbi%7D%7D%7D%7D%24%20%3D%20%7B_phi_bi%3A.2f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24C_%7B%7Bdep%7D%7D%24%20%3D%20%7B_CJ_eq*1e9%3A.1f%7D%20nF%2Fcm%24%5E2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Slope%20of%20%241%2FC_%7B%7Bdep%7D%7D%5E2%24%3A%20%7B_slope_inv*1e-14%3A.2f%7D%20%24%5C%5Ctimes%2010%5E%7B%7B%7B%7B14%7D%7D%7D%7D%24%20cm%24%5E4%24%2F(F%24%5E2%5C%5Ccdot%24V)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_title%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Interactive%3A%20Depletion%20Capacitance%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.hstack(%5BNa_slider%2C%20Nd_slider%5D)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_title%2C%20_controls%2C%20plt.gca()%2C%20_info%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_text%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Junction%20Breakdown%0A%0A%20%20%20%20At%20sufficiently%20large%20reverse%20bias%2C%20the%20electric%20field%20in%20the%20depletion%20region%20can%20become%20very%20large%2C%20leading%20to%20a%20dramatic%20increase%20in%20reverse%20current.%20This%20is%20called%20**breakdown**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.hstack(%5Bmo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2FBreakdown.png%22%2C%20width%3D%2250%25%22)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_text%2C%20_img%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_header%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Zener%20Breakdown%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_left%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20-%20Occurs%20in%20**heavily%20doped**%20junctions%20with%20narrow%20depletion%20regions%0A%20%20%20%20-%20The%20electric%20field%20is%20so%20strong%20that%20electrons%20can%20**tunnel**%20directly%20from%20the%20valence%20band%20on%20the%20P-side%20to%20the%20conduction%20band%20on%20the%20N-side%0A%20%20%20%20-%20This%20is%20quantum%20mechanical%20tunneling%20through%20the%20narrow%20barrier%0A%20%20%20%20-%20Typically%20occurs%20at%20%24%7CV_%7BBR%7D%7C%20%3C%205%24%20V%20for%20very%20heavily%20doped%20junctions%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_right%20%3D%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fzener.png%22%2C%20width%3D%22100%25%22)%0A%20%20%20%20_cols%20%3D%20mo.hstack(%5B_left%2C%20_right%5D%2C%20widths%3D%5B2%2C%201%5D%2C%20align%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_header%2C%20_cols%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_header%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Avalanche%20Breakdown%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_left%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20-%20Occurs%20in%20**lightly%20doped**%20junctions%20with%20wide%20depletion%20regions%0A%20%20%20%20-%20High-energy%20carriers%20(accelerated%20by%20the%20strong%20field)%20collide%20with%20lattice%20atoms%20and%20generate%20new%20electron-hole%20pairs%20via%20**impact%20ionization**%0A%20%20%20%20-%20These%20new%20carriers%20are%20also%20accelerated%20and%20create%20more%20pairs%2C%20leading%20to%20a%20**cascade**%20(avalanche)%0A%20%20%20%20-%20Breakdown%20voltage%20%24V_%7BBR%7D%24%20increases%20with%20decreasing%20doping%20(wider%20depletion%20region%20means%20the%20field%20is%20spread%20over%20a%20larger%20distance)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_right%20%3D%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Favalanche.png%22%2C%20width%3D%22100%25%22)%0A%20%20%20%20_cols%20%3D%20mo.hstack(%5B_left%2C%20_right%5D%2C%20widths%3D%5B2%2C%201%5D%2C%20align%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_header%2C%20_cols%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20High%20Voltage%20Devices%0A%0A%20%20%20%20-%20Typical%20integrated%20circuit%20devices%20have%20%24V_B%20%5Csim%2010-20%24%20V%0A%20%20%20%20-%20Power%20electronics%20(for%20high-voltage%20DC%20converters%2C%20e.g.%2C%20for%20batteries%2C%20electric%20vehicles)%20need%20to%20operate%20at%2010-1000%20V%0A%0A%20%20%20%20Reverse%20breakdown%20voltage%20is%20given%20by%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_B%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_s%20%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bcrit%7D%5E2%7D%7B2qN%7D%20-%20%5Cphi_%7Bbi%7D%20%5Cqquad%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN_A%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN_D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bcrit%7D%24%20is%20the%20critical%20field%20(%24%5Csim%2010%5E6%24%20V%2Fcm%20for%20Si).%0A%0A%20%20%20%20**To%20increase%20%24V_B%24%2C%20use%3A**%0A%0A%20%20%20%201.%20**Lighter%20doping**%20(lower%20%24N%24)%0A%20%20%20%202.%20**A%20semiconductor%20with%20a%20higher%20dielectric%20constant**%20(larger%20%24%5Cvarepsilon_s%24)%0A%20%20%20%203.%20**A%20larger%20bandgap%20material**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bcrit%7D%24%20is%20increased%20%24%5Crightarrow%24%20more%20energy%20required%20for%20impact%20ionization%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24N_A%24%20and%20%24N_D%24%20are%20in%20fact%20%24p_0%24%20and%20%24n_0%24%3B%20a%20larger%20bandgap%20material%20has%20lower%20carrier%20concentrations%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20GaN%20and%20SiC%20for%20Power%20Electronics%0A%0A%20%20%20%20SiC%20and%20GaN%20can%20be%20grown%20on%20Si%20substrates%2C%20making%20them%20attractive%20for%20power%20electronics.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20**Silicon**%20%7C%20**Gallium%20nitride%20(GaN)**%20%7C%20**Silicon%20carbide%20(SiC)**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%3A%7C%3A---%3A%7C%3A---%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Bandgap%20(eV)**%20%7C%201.1%20%7C%203.45%20%7C%202.4%20-%203.3%20(depending%20on%20crystal%20structure)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Dielectric%20constant**%20%7C%2011.7%20%7C%2010%20%7C%209.7%20-%2010%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Electron%20mobility%20(cm%24%5E2%24%2FVs)**%20%7C%201400%20%7C%20~2000%20%7C%20~900%20%7C%0A%0A%20%20%20%20GaN%20and%20SiC%20have%20**much%20larger%20bandgaps**%20than%20Si%2C%20leading%20to%3A%0A%20%20%20%20-%20Higher%20critical%20electric%20fields%20(higher%20breakdown%20voltages)%0A%20%20%20%20-%20Lower%20intrinsic%20carrier%20concentrations%20(better%20high-temperature%20operation)%0A%20%20%20%20-%20Higher%20electron%20mobility%20(GaN)%20enables%20faster%20switching%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%20of%20Equations%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cphi_%7Bbi%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BkT%7D%7Bq%7D%5Cln%5Cleft(%5Cfrac%7BN_A%20N_D%7D%7Bn_i%5E2%7D%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BW%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%7Bq%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_A%20%2B%20N_D%7D%7BN_A%20N_D%7D%5Ccdot(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bx_n%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%7Bq%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_A%7D%7BN_D(N_A%20%2B%20N_D)%7D%5Ccdot(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%7D%20%5Cqquad%20x_p%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%7Bq%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_D%7D%7BN_A(N_A%20%2B%20N_D)%7D%5Ccdot(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7C%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bmax%7D%7C%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_A%20x_p%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_D%20x_n%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BC_%7Bdep%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_s%7D%7BW%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bq%5Cvarepsilon_s%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_A%20N_D%7D%7B(N_A%20%2B%20N_D)(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%7Bdep%7D%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_A)%7D%7Bq%5Cvarepsilon_s%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_A%20%2B%20N_D%7D%7BN_A%20N_D%7D%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7B(linear%20in%20%7D%20V_A%20%5Ctext%7B%2C%20x-intercept%20at%20%7D%20%5Cphi_%7Bbi%7D%5Ctext%7B)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Property%20%7C%20Reverse%20Bias%20(%24V_A%20%3C%200%24)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Barrier%20%7C%20%24q(%5Cphi_%7Bbi%7D%20%2B%20%5Cvert%20V_A%20%5Cvert)%24%20(increased)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Depletion%20width%20%7C%20Wider%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cvert%20%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bmax%7D%20%5Cvert%24%20%7C%20Larger%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Capacitance%20%24C_%7Bdep%7D%24%20%7C%20Smaller%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Quasi-Fermi%20splitting%20%7C%20%24E_%7BFn%7D%20-%20E_%7BFp%7D%20%3D%20qV_A%24%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A