pn approx-nonidealities

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.1%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.20.2%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test%20%3D%20Path(__file__).parent%20%2F%20%22images%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_test.exists()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20Path(__file__).parent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20FileNotFoundError%0A%20%20%20%20except%20Exception%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20None%0A%20%20%20%20IMAGE_BASE%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Fpn-non-idealities%2Fimages%22%20if%20ASSET_DIR%20is%20None%20else%20str(ASSET_DIR%20%2F%20%22images%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Physical%20constants%0A%20%20%20%20q%20%3D%201.6e-19%20%20%20%20%20%20%20%23%20C%0A%20%20%20%20kT_eV%20%3D%200.02585%20%20%20%23%20eV%20at%20300K%0A%20%20%20%20kT_q%20%3D%200.02585%20%20%20%20%23%20V%20at%20300K%20(thermal%20voltage)%0A%20%20%20%20ni_Si%20%3D%201.1e10%20%20%20%20%23%20cm%5E-3%20for%20Si%20at%20300K%0A%20%20%20%20Eg_Si%20%3D%201.12%20%20%20%20%20%20%23%20eV%0A%20%20%20%20eps_r%20%3D%2011.7%0A%20%20%20%20eps_0%20%3D%208.854e-14%20%23%20F%2Fcm%0A%20%20%20%20eps_Si%20%3D%20eps_r%20*%20eps_0%0A%0A%20%20%20%20%23%20Typical%20mobility%20values%20for%20Si%20at%20300K%0A%20%20%20%20mu_n%20%3D%201350.0%20%20%23%20cm%5E2%2FV-s%0A%20%20%20%20mu_p%20%3D%20480.0%20%20%20%23%20cm%5E2%2FV-s%0A%20%20%20%20D_n%20%3D%20kT_q%20*%20mu_n%20%20%23%20cm%5E2%2Fs%20(Einstein%20relation)%0A%20%20%20%20D_p%20%3D%20kT_q%20*%20mu_p%20%20%23%20cm%5E2%2Fs%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20PN%20Junction%3A%20Approximations%20and%20Non-Idealities%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ECE350%2C%20Lecture%2022-23%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20interactive%20notebook%20covers%20the%20quantitative%20current-voltage%20characteristics%20of%20PN%20junction%20diodes%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20P%E2%81%BAN%20and%20N%E2%81%BAP%20Diodes%20(One-Sided%20Junctions)%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Boltzmann%20Limitation%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20E-Field%20in%20the%20Quasi-Neutral%20Regions%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20Short%20Diode%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20Non-Idealities%20and%20the%20Ideality%20Factor%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20IMAGE_BASE%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20P%24%5E%2B%24N%20and%20N%24%5E%2B%24P%20Diodes%20(One-Sided%20Junctions)%0A%0A%20%20%20%20The%20current%20density%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24J%20%3D%20q%5Cleft(%5Cfrac%7BD_n%5C%2C%20n_%7BP0%7D%7D%7BL_n%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BD_p%5C%2C%20p_%7BN0%7D%7D%7BL_p%7D%5Cright)%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%20%5Cimplies%20J%20%3D%20q%5Cleft(%5Cfrac%7BD_n%5C%2C%20n_i%5E2%7D%7BN_aL_n%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BD_p%5C%2C%20n_i%5E2%7D%7BN_dL_p%7D%5Cright)%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20If%20%24N_a%20%3E%3E%20N_d%24%3A%20current%20dominated%20by%20the%20second%20term%20(hole%20diffusion%20in%20the%20N-side)%0A%0A%20%20%20%20%24%24J%20%3D%20q%20%5Cfrac%7BD_p%5C%2C%20n_i%5E2%7D%7BN_dL_p%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20If%20%24N_d%20%3E%3E%20N_a%24%3A%20current%20dominated%20by%20the%20first%20term%20(electron%20diffusion%20in%20the%20P-side)%0A%0A%20%20%20%20%24%24J%20%3D%20q%5Cfrac%7BD_n%5C%2C%20n_i%5E2%7D%7BN_aL_n%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Boltzmann%20Limitation%0A%0A%20%20%20%20-%20Thermodynamics%20limit%20us%20from%20getting%20the%20perfect%20switch%20with%20an%20infinitely%20sharp%20turn-on%0A%0A%20%20%20%20-%20To%20get%2010x%20change%20in%20current%2C%20we%20need%20a%20voltage%20swing%20of%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7BI_2%7D%7BI_1%7D%20%3D%2010%20%5Capprox%20e%5E%7Bq(V_2%20-%20V_1)%2Fk_BT%7D%24%24%0A%20%20%20%20%24%24V_2%20-%20V_1%20%3D%2026%20%5Cmathrm%7BmV%7D%20%5Cln(10)%20%3D%2060%20%5Cmathrm%7BmV%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20Swing%20is%20limited%20to%2060mV%2Fdecade%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20We%20want%20to%20be%20as%20close%20to%20zero%20as%20possible%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Non-idealities%20raise%20this%20value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Can%20we%20get%20below%2060mV%2Fdec%20at%20room%20temperature%3F%3F%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20E-field%20in%20quasi-neutral%20regions%20(Si%2C%20Na%3DNd%3D10%5E16%2C%20T%3D300K%2C%20V%3D0.4V)%0A%20%20%20%20_q%20%3D%201.6e-19%0A%20%20%20%20_kT_q%20%3D%200.02585%0A%20%20%20%20_ni%20%3D%201.1e10%0A%20%20%20%20_eps%20%3D%2011.7%20*%208.854e-14%0A%20%20%20%20_mu_n%20%3D%201350.0%0A%20%20%20%20_mu_p%20%3D%20480.0%0A%20%20%20%20_D_n%20%3D%20_kT_q%20*%20_mu_n%0A%20%20%20%20_D_p%20%3D%20_kT_q%20*%20_mu_p%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_Nd%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_V%20%3D%200.4%0A%20%20%20%20_Ln%20%3D%2010e-4%0A%20%20%20%20_Lp%20%3D%2010e-4%0A%20%20%20%20_phi_bi%20%3D%20_kT_q%20*%20np.log(_Na%20*%20_Nd%20%2F%20_ni**2)%0A%20%20%20%20_phi_eff%20%3D%20max(_phi_bi%20-%20_V%2C%200.01)%0A%20%20%20%20_W_dep%20%3D%202%20*%20np.sqrt(_eps%20*%20_phi_eff%20%2F%20(_q%20*%20_Nd))%0A%20%20%20%20_E_dep_max%20%3D%202%20*%20_phi_eff%20%2F%20_W_dep%0A%20%20%20%20_J_0%20%3D%20_q%20*%20(_D_n%20*%20_ni**2%20%2F%20(_Ln%20*%20_Na)%20%2B%20_D_p%20*%20_ni**2%20%2F%20(_Lp%20*%20_Nd))%0A%20%20%20%20_J%20%3D%20_J_0%20*%20(np.exp(_V%20%2F%20_kT_q)%20-%201)%0A%20%20%20%20_E_N%20%3D%20_J%20%2F%20(_q%20*%20_mu_n%20*%20_Nd)%0A%20%20%20%20_E_P%20%3D%20_J%20%2F%20(_q%20*%20_mu_p%20*%20_Na)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%203.%20E-Field%20in%20the%20Quasi-Neutral%20Regions%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20have%20assumed%20that%20the%20electric%20field%20in%20the%20quasi-neutral%20regions%20is%20zero.%20Let's%20check%20if%20this%20is%20a%20good%20approximation.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Plug%20in%20numbers%3A**%20Si%20step%20junction%2C%20%24N_a%20%3D%20N_d%20%3D%2010%5E%7B16%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24%2C%20%24T%20%3D%20300%24%20K%2C%20forward%20bias%20%24V%20%3D%200.4%24%20V.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Compare%20the%20**electric%20field%20in%20the%20quasi-neutral%20N%20and%20P%20regions**%20to%20the%20**depletion%20layer%20field**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Depletion%20region%3A**%20%24%5C%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%24%20%3D%20%7B_phi_bi%3A.3f%7D%20V%2C%20%24W_%7B%7Bdep%7D%7D%24%20%3D%20%7B_W_dep*1e4%3A.2f%7D%20%CE%BCm.%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Peak%20field%20%24%7CE_%7B%7Bdep%7D%7D%7C%24%20%E2%89%88%20%242%5C%5Cphi_%7B%7Beff%7D%7D%2FW_%7B%7Bdep%7D%7D%24%20%E2%89%88%20**%7B_E_dep_max%3A.1f%7D%20V%2Fcm**%20(order%20~10%24%5E4%24%20V%2Fcm).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Quasi-neutral%20regions%3A**%20Current%20density%20%24J%24%20%E2%89%88%20%7B_J%3A.2e%7D%20A%2Fcm%C2%B2.%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20In%20the%20N-region%2C%20%24E%20%5C%5Capprox%20J%2F(q%5C%5Cmu_n%20N_d)%24%3B%20in%20the%20P-region%2C%20%24E%20%5C%5Capprox%20J%2F(q%5C%5Cmu_p%20N_a)%24.%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%7CE_N%7C%24%20%E2%89%88%20**%7B_E_N%3A.2e%7D%20V%2Fcm**%2C%20%24%7CE_P%7C%24%20%E2%89%88%20**%7B_E_P%3A.2e%7D%20V%2Fcm**%20(order%20~10%24%5E%7B%7B-4%7D%7D%24%20V%2Fcm).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Order%20of%20magnitude%3A**%20The%20quasi-neutral%20fields%20are%20**many%20orders%20of%20magnitude%20smaller**%20than%20the%20depletion%20field%20(e.g.%20~10%24%5E8%24%C3%97)%2C%20so%20assuming%20%24%5C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D%20%5C%5Capprox%200%24%20in%20the%20quasi-neutral%20regions%20is%20an%20excellent%20approximation.%20Note%20the%20orders%20of%20magnitude%20for%20the%20electric%20field%2C%20depletion%20width%2C%20and%20current%20as%20in%20the%20problem%20statement.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20Short%20Diode%0A%0A%20%20%20%20In%20many%20practical%20devices%20(e.g.%2C%20the%20base%20of%20a%20BJT)%2C%20the%20quasi-neutral%20region%20length%20%24W%24%0A%20%20%20%20is%20**shorter**%20than%20the%20diffusion%20length%3A%20%24W%20%5Cll%20L_p%24%20or%20%24W%20%5Cll%20L_n%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Changed%20Boundary%20Condition%0A%0A%20%20%20%20Instead%20of%20%24p'_N(x%20%5Cto%20%5Cinfty)%20%3D%200%24%2C%20for%20a%20short%20diode%20with%20an%20ohmic%20contact%20at%0A%20%20%20%20%24x%20%3D%20x_n%20%2B%20W%24%20(where%20%24W%24%20is%20the%20quasi-neutral%20region%20length)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24p'_N(x%20%3D%20x_n%20%2B%20W)%20%3D%200%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Solution%0A%0A%20%20%20%20The%20excess%20carrier%20profile%20becomes%20**linear**%20(rather%20than%20exponential)%20when%20%24W%20%5Cll%20L_p%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24p'_N(x)%20%5Capprox%20%5Cfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_d%7D%5Cleft%5B%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BqV%7D%7Bk_B%20T%7D%5Cright)%20-%201%5Cright%5D%5Cleft(1%20-%20%5Cfrac%7Bx%20-%20x_n%7D%7BW%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20More%20generally%2C%20the%20solution%20involves%20hyperbolic%20functions%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24p'_N(x)%20%3D%20%5Cfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_d%7D%5Cleft%5B%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BqV%7D%7Bk_B%20T%7D%5Cright)%20-%201%5Cright%5D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Csinh%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7Bx_n%20%2B%20W%20-%20x%7D%7BL_p%7D%5Cright)%7D%7B%5Csinh%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BW%7D%7BL_p%7D%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20current%20density%20for%20a%20short%20diode%20replaces%20%24L_p%24%20with%20%24L_p%20%5Ctanh(W%2FL_p)%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24J_p%5E%7Bshort%7D(x_n)%20%3D%20%5Cfrac%7BqD_p%7D%7BL_p%7D%5Ccoth%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BW%7D%7BL_p%7D%5Cright)%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_d%7D%5Cleft%5B%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BqV%7D%7Bk_B%20T%7D%5Cright)%20-%201%5Cright%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20%24W%20%5Cll%20L_p%24%3A%20%24%5Ccoth(W%2FL_p)%20%5Capprox%20L_p%20%2F%20W%24%2C%20and%20%24J_p%20%5Cpropto%20D_p%20%2F%20W%24%20(no%20dependence%20on%20lifetime!).%0A%0A%20%20%20%20For%20%24W%20%5Cgg%20L_p%24%3A%20%24%5Ccoth(W%2FL_p)%20%5Capprox%201%24%2C%20recovering%20the%20long%20diode%20result.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20Non-Idealities%20and%20the%20Ideality%20Factor%0A%0A%20%20%20%20Three%20main%20departures%20from%20the%20ideal%20diode%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**SCR%20current%3A**%20generation%20if%20%24V%20%3C%200%24%2C%20recombination%20if%20%24V%20%3E%200%24%20(space-charge%20region)%0A%20%20%20%202.%20**High%20injection**%20if%20%24V%20%3E%20%5Cphi_%7Bbi%7D%24%0A%20%20%20%203.%20**Series%20resistance**%20%24R_S%24%20of%20quasi-neutral%20regions%20at%20%24V%20%3E%20%5Cphi_%7Bbi%7D%24%2C%20often%20combined%20with%20(2)%0A%0A%20%20%20%20Empirically%20we%20write%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BI%20%3D%20I_0%5Cleft%5B%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BqV%7D%7Bn%20k_B%20T%7D%5Cright)%20-%201%5Cright%5D%7D%2C%20%5Cqquad%20n%20%3D%20%5Ctext%7Bideality%20factor%7D%2C%5C%3B%201%20%5Cleq%20n%20%5Cleq%202%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Overview%20of%20the%20Ideality%20Factor%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Regime%20%7C%20%24n%24%20%7C%20Mechanism%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%3A%7C%3A---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Ideal%20%7C%20%24n%20%3D%201%24%20%7C%20Diffusion%20current%20dominates%20(e.g.%20Ge%3A%20%24n_i%24%20large)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Recombination%20in%20depletion%20region%20%7C%20%24n%20%3D%202%24%20%7C%20%24I_%7BSCR%7D%24%20dominates%20(120%20mV%2Fdecade)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Mixed%20%7C%20%241%20%3C%20n%20%3C%202%24%20%7C%20Both%20diffusion%20and%20recombination%20(Si%2C%20GaAs%2C%20InP%2C%20etc.)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20High%20injection%20%7C%20%24n%20%3D%202%24%20%7C%20%24n%20%5Cto%202%24%20at%20%24V%20%3E%20%5Cphi_%7Bbi%7D%24%20when%20heavy%20injection%20sets%20in%20%7C%0A%0A%20%20%20%20On%20a%20semi-log%20plot%20of%20%24I%24%20vs%20%24V%24%2C%20the%20slope%20is%20%24q%2F(n%20k_B%20T)%24%3B%20larger%20%24n%24%20gives%20a%20**shallower**%20slope.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_text%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%205.1%20SCR%20Current%20(Generation%20and%20Recombination%20in%20the%20Depletion%20Region)%0A%0A%20%20%20%20-%20**Ideal**%20%24n%20%3D%201%24%3A%20slope%2060%20mV%2Fdecade%20(diffusion%20current).%0A%20%20%20%20-%20**In%20the%20depletion%20region**%2C%20recombination%20is%20maximized%20when%20%24n%20%3D%20p%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Since%20%24np%20%3D%20n_i%5E2%20%5Cexp(qV%2Fk_B%20T)%24%2C%20when%20%24n%20%5Capprox%20p%24%20we%20have%20%24n%20%5Capprox%20p%20%5Capprox%20n_i%20%5Cexp(qV%2F2k_B%20T)%24.%0A%20%20%20%20-%20Net%20recombination%20rate%20per%20unit%20volume%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24R%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%20-%20n_i%7D%7B%5Ctau_%7Bdep%7D%7D%20%5Capprox%20%5Cfrac%7Bn_i%7D%7B%5Ctau_%7Bdep%7D%7D%20%5Cleft%5B%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BqV%7D%7B2k_B%20T%7D%5Cright)%20-%201%5Cright%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Ctau_%7Bdep%7D%24%20is%20the%20effective%20recombination%20lifetime%20in%20the%20depletion%20region%20(from%20SRH%20with%20midgap%20traps%20and%20%24%5Ctau_n%20%3D%20%5Ctau_p%20%3D%20%5Ctau_%7Bdep%7D%24).%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20I_%7BSCR%7D%20%3D%20q%20R%5Ctimes%20%5Ctext%7BVolume%7D%20%3D%20qA%5C%2C%5Cfrac%7B%20n_i%20W_%7Bdep%7D%7D%7B%5Ctau_%7Bdep%7D%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2F2k_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20Total%20current%20(diffusion%20%2B%20SCR)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I%20%3D%20I_0%20%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%20%2B%20I_%7BSCR%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20%24I_%7BSCR%7D%24%20has%20a%20slope%20of%20%24q%2F2k_B%20T%24%20(120%20mV%2Fdecade)%20in%20forward%20bias%0A%0A%20%20%20%20-%20In%20reverse%20bias%2C%20the%20leakage%20current%20is%20higher%20than%20ideal%20due%20to%20generation%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7Bleakage%7D%20%3D%20I_0%20%2B%20A%5C%2C%5Cfrac%7Bq%20n_i%20W_%7Bdep%7D%7D%7B%5Ctau_g%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fnon-ideal-IV.png%22%2C%20width%3D%2275%25%22)%0A%20%20%20%20_centered_img%20%3D%20mo.hstack(%5B_img%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_caption%20%3D%20mo.hstack(%5Bmo.md(%22*Fig.%204-22%20from%20Hu.%20In%20forward%20bias%2C%20the%20slope%20exceeds%2060%20mV%2Fdecade.%20In%20reverse%20bias%2C%20the%20leakage%20current%20is%20higher%20than%20ideal%20due%20to%20generation.*%22)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_img2%20%3D%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2FIc-Vbe_plot.png%22%2C%20width%3D%22100%25%22)%0A%20%20%20%20_img3%20%3D%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fprobestation.png%22%2C%20width%3D%22100%25%22)%0A%20%20%20%20_img4%20%3D%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2FSiGe-HBT.png%22%2C%20width%3D%22100%25%22)%0A%20%20%20%20_img_row%20%3D%20mo.hstack(%5B_img2%2C%20_img3%2C%20_img4%5D%2C%20widths%3D%5B0.4%2C%200.4%2C%200.3%5D%2C%20align%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_caption2%20%3D%20mo.hstack(%5Bmo.md(%22*Measurement%20from%20Prof.%20Sorin%20Voinigescu's%20research%20group.%20%5BS.%20Bonen%20et%20al.%2C%20IEEE%20MWCL%2C%202022%5D(https%3A%2F%2Fwww.eecg.utoronto.ca%2F~sorinv%2Fpapers%2FBonen_2022_IEEEMWCL__Cryogenic-Characterization-of-the-High-Frequnecy-and-Noise-Performance-of-SiGe-HBTs-From-DC-to-70GHz-and-Down-to-2K.pdf).%20SiGe%20HBT%20cross-section%20from%20%5BThe%20Aerospace%20Corporation%5D(https%3A%2F%2Faerospace.org%2Fstory%2Fsige-hbt-dream).*%22)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_text%2C%20_centered_img%2C%20_caption%2C%20_img_row%2C%20_caption2%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%205.2%20High%20Injection%20(%24V%20%3E%20%5Cphi_%7Bbi%7D%24)%0A%0A%20%20%20%20-%20%24n'_P%20%3D%20p'_N%20%5Cgg%20N_a%2C%5C%2C%20N_d%24%3A%20injected%20carriers%20comparable%20to%20doping%0A%20%20%20%20-%20Consider%20%24p_N%20n_N%20%3D%20n_i%5E2%20%5Cexp(qV%2Fk_B%20T)%24%20and%20charge%20neutrality%20%24n%20%5Capprox%20p%24%3A%20%24n_N%20%5Capprox%20p_N%20%5Capprox%20n_i%20%5Cexp(qV%2F2k_B%20T)%24%0A%20%20%20%20-%20Using%20the%20same%20argument%20as%20in%20the%20previous%20section%2C%20we%20get%20%24J%20%5Csim%20%5Cexp(qV%2F2k_B%20T)%24%20%24%5CRightarrow%24%20again%20**%24n%20%3D%202%24**%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%205.3%20Series%20Resistance%20at%20Large%20Current%0A%0A%20%20%20%20-%20Effective%20voltage%20across%20the%20junction%20is%20reduced%20by%20the%20voltage%20drop%20on%20the%20**series%20resistance**%20of%20the%20quasi-neutral%20n-%20and%20p-regions%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20More%20pronounced%20for%20high-injection%20due%20to%20higher%20voltage%20drop%0A%20%20%20%20-%20%24I%24%20increases%20at%20a%20**lower%20rate**%20than%20%24%5Cexp(qV%2Fk_B%20T)%24%20or%20%24%5Cexp(qV%2F2k_B%20T)%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24I%20%3D%20I_0%20%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BV%20-%20I%20R_S%7D%7Bn%20k_B%20T%7D%5Cright)%20%3C%20I_0%20%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BV%7D%7Bn%20k_B%20T%7D%5Cright)%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20No%20leading%20underscore%20so%20next%20cell%20can%20read%20.value%20(marimo%20convention)%0A%20%20%20%20n_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1.0%2C%20stop%3D2.0%2C%20value%3D1.0%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Ideality%20factor%20%24n%24%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20IS2_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-15%2C%20stop%3D-9%2C%20value%3D-12%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24I_0%24)%20%5BA%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ideality_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%205.4%20Ideality%20Factor%20Explorer%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bn_slider%2C%20IS2_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20IS2_slider%2C%20ideality_controls%2C%20n_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IS2_slider%2C%20ideality_controls%2C%20mo%2C%20n_slider%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_n_val%20%3D%20n_slider.value%0A%20%20%20%20_I0_val%20%3D%2010%20**%20IS2_slider.value%0A%20%20%20%20_kT_q_val%20%3D%200.02585%20%20%23%20V%20at%20300K%0A%0A%20%20%20%20_V%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%200.8%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Current%20with%20ideality%20factor%20n%0A%20%20%20%20_I_n%20%3D%20_I0_val%20*%20(np.exp(_V%20%2F%20(_n_val%20*%20_kT_q_val))%20-%201)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Reference%20curves%20for%20n%3D1%20and%20n%3D2%0A%20%20%20%20_I_n1%20%3D%20_I0_val%20*%20(np.exp(_V%20%2F%20(1.0%20*%20_kT_q_val))%20-%201)%0A%20%20%20%20_I_n2%20%3D%20_I0_val%20*%20(np.exp(_V%20%2F%20(2.0%20*%20_kT_q_val))%20-%201)%0A%0A%20%20%20%20_fig_n%2C%20_ax_n%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%207))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20reference%20curves%0A%20%20%20%20_ax_n.semilogy(_V%2C%20_I_n1%2C%20%22b--%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.4%2C%20label%3D%22%24n%24%20%3D%201%20(diffusion)%22)%0A%20%20%20%20_ax_n.semilogy(_V%2C%20_I_n2%2C%20%22r--%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.4%2C%20label%3D%22%24n%24%20%3D%202%20(recombination)%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20selected%20n%0A%20%20%20%20_ax_n.semilogy(_V%2C%20_I_n%2C%20%22k-%22%2C%20linewidth%3D3%2C%20label%3Df%22%24n%24%20%3D%20%7B_n_val%3A.2f%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Mark%20I_0%20(format%20as%20%C3%9710%5En)%0A%20%20%20%20def%20_x10_fmt_n(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%220%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20e%20%3D%20int(np.floor(np.log10(abs(x))))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%3D%20x%20%2F%20(10**e)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(m)%20%3E%3D%209.995%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%2F%3D%2010%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20e%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%7Bm%3A.2f%7D%C3%9710%24%5E%7B%7B%7Be%7D%7D%7D%24%22%0A%20%20%20%20_ax_n.axhline(_I0_val%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.7%2C%20linewidth%3D1)%0A%20%20%20%20_ax_n.text(0.01%2C%20_I0_val%20*%202%2C%20f%22%24I_0%24%20%3D%20%7B_x10_fmt_n(_I0_val)%7D%20A%22%2C%20fontsize%3D11%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Annotate%20slope%0A%20%20%20%20_slope_n%20%3D%201%20%2F%20(_n_val%20*%20_kT_q_val%20*%20np.log(10))%0A%20%20%20%20_slope_1%20%3D%201%20%2F%20(1.0%20*%20_kT_q_val%20*%20np.log(10))%0A%20%20%20%20_slope_2%20%3D%201%20%2F%20(2.0%20*%20_kT_q_val%20*%20np.log(10))%0A%0A%20%20%20%20_ax_n.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.50%2C%20_I0_val%20*%20np.exp(0.45%20%2F%20(_n_val%20*%20_kT_q_val))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Slope%3A%20%7B_slope_n%3A.1f%7D%20dec%2FV%5Cn(%24n%24%20%3D%20%7B_n_val%3A.2f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%20fontweight%3D%22bold%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D%22round%22%2C%20facecolor%3D%22lightyellow%22%2C%20alpha%3D0.9)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Shade%20approximate%20regions%20where%20each%20n%20dominates%0A%20%20%20%20_ax_n.axvspan(0%2C%200.3%2C%20alpha%3D0.05%2C%20color%3D%22red%22%2C%20label%3D%22Recombination%20regime%22)%0A%20%20%20%20_ax_n.axvspan(0.4%2C%200.65%2C%20alpha%3D0.05%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20label%3D%22Diffusion%20regime%22)%0A%0A%20%20%20%20_ax_n.text(0.15%2C%20_ax_n.get_ylim()%5B0%5D%20*%205%2C%20%22%24n%20%5C%5Capprox%202%24%5CnRecombination%5Cndominates%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20color%3D%22red%22%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_ax_n.text(0.52%2C%20_ax_n.get_ylim()%5B0%5D%20*%205%2C%20%22%24n%20%5C%5Capprox%201%24%5CnDiffusion%5Cndominates%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20alpha%3D0.7)%0A%0A%20%20%20%20_ax_n.set_xlabel(r%22%24V%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_n.set_ylabel(r%22%24I%24%20(A)%22%2C%20fontsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_n.set_title(%22Effect%20of%20Ideality%20Factor%20on%20Forward%20I-V%20Characteristic%22%2C%20fontsize%3D14%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax_n.legend(fontsize%3D11%2C%20loc%3D%22upper%20left%22)%0A%20%20%20%20_ax_n.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20_ax_n.set_xlim(0%2C%200.8)%0A%20%20%20%20_ax_n.set_ylim(_I0_val%20*%200.5%2C%20_I0_val%20*%20np.exp(0.8%20%2F%20(1.0%20*%20_kT_q_val))%20*%202)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_info_ideality%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Slopes%20on%20semi-log%20plot%3A**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24n%20%3D%201%24%3A%20%7B_slope_1%3A.1f%7D%20dec%2FV%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24n%20%3D%202%24%3A%20%7B_slope_2%3A.1f%7D%20dec%2FV%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24n%20%3D%20%7B_n_val%3A.2f%7D%24%3A%20**%7B_slope_n%3A.1f%7D%20dec%2FV**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20300%20K%2C%20the%20ideal%20slope%20(%24n%3D1%24)%20is%20approximately%20**16.7%20decades%2FV**%20(or%20equivalently%2060%20mV%2Fdecade).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Recombination%20current%20(%24n%3D2%24)%20gives%20about%20**8.4%20decades%2FV**%20(120%20mV%2Fdecade).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bideality_controls%2C%20_fig_n%2C%20_info_ideality%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A