pn iv

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.1%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.20.2%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test%20%3D%20Path(__file__).parent%20%2F%20%22images%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_test.exists()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20Path(__file__).parent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20FileNotFoundError%0A%20%20%20%20except%20Exception%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20None%0A%20%20%20%20IMAGE_BASE%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Fpn-iv%2Fimages%22%20if%20ASSET_DIR%20is%20None%20else%20str(ASSET_DIR%20%2F%20%22images%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Physical%20constants%0A%20%20%20%20q%20%3D%201.6e-19%20%20%20%20%20%20%20%23%20C%0A%20%20%20%20kT_eV%20%3D%200.02585%20%20%20%23%20eV%20at%20300K%0A%20%20%20%20kT_q%20%3D%200.02585%20%20%20%20%23%20V%20at%20300K%20(thermal%20voltage)%0A%20%20%20%20ni_Si%20%3D%201.1e10%20%20%20%20%23%20cm%5E-3%20for%20Si%20at%20300K%0A%20%20%20%20Eg_Si%20%3D%201.12%20%20%20%20%20%20%23%20eV%0A%20%20%20%20eps_r%20%3D%2011.7%0A%20%20%20%20eps_0%20%3D%208.854e-14%20%23%20F%2Fcm%0A%20%20%20%20eps_Si%20%3D%20eps_r%20*%20eps_0%0A%0A%20%20%20%20%23%20Typical%20mobility%20values%20for%20Si%20at%20300K%0A%20%20%20%20mu_n%20%3D%201350.0%20%20%23%20cm%5E2%2FV-s%0A%20%20%20%20mu_p%20%3D%20480.0%20%20%20%23%20cm%5E2%2FV-s%0A%20%20%20%20D_n%20%3D%20kT_q%20*%20mu_n%20%20%23%20cm%5E2%2Fs%20(Einstein%20relation)%0A%20%20%20%20D_p%20%3D%20kT_q%20*%20mu_p%20%20%23%20cm%5E2%2Fs%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20PN%20Junction%3A%20Current-Voltage%20Relation%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ECE350%2C%20Lecture%2019-21%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20interactive%20notebook%20covers%20the%20quantitative%20current-voltage%20characteristics%20of%20PN%20junction%20diodes%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Qualitative%20picture%20of%20current%20flow%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Ideal%20diode%20model%20(Shockley%20assumptions)%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20Minority%20carrier%20boundary%20conditions%20(law%20of%20the%20junction)%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20Solving%20the%20minority%20carrier%20diffusion%20equation%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20Derivation%20of%20the%20Shockley%20diode%20equation%0A%20%20%20%20%20%20%20%206.%20Interactive%20I-V%20characteristics%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20D_n%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20D_p%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20IMAGE_BASE%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kT_q%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mu_n%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mu_p%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_header%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Qualitative%20Description%22%22%22)%0A%20%20%20%20_text%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Zero%20Bias%20(Equilibrium)%0A%0A%20%20%20%20At%20thermal%20equilibrium%2C%20no%20net%20current%20flows.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Forward%20Bias%20(%24V%20%3E%200%24)%0A%0A%20%20%20%20When%20a%20positive%20voltage%20is%20applied%20to%20the%20P-side%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20potential%20barrier%20is%20**reduced**%20from%20%24q%5Cphi_%7Bbi%7D%24%20to%20%24q(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V)%24%0A%20%20%20%20-%20Some%20holes%20diffuse%20from%20P%20to%20N%20and%20become%20minority%20carriers%20in%20the%20N%20side%20(%22minority%20carrier%20injection%22)%0A%20%20%20%20-%20Similarly%2C%20minority%20carrier%20injection%20of%20electrons%20from%20N%20to%20P%0A%20%20%20%20-%20**Diffusion%20of%20minority%20carriers**%20in%20quasi-neutral%20regions%20%24%5Crightarrow%24%20current%0A%20%20%20%20-%20**Quasi-Fermi%20level%20split**%3A%20%24E_%7BFn%7D%20-%20E_%7BFp%7D%20%3D%20qV%24%0A%20%20%20%20-%20**Depletion%20width%20narrows**%3A%20since%20the%20effective%20voltage%20across%20the%20junction%20is%20reduced%2C%20less%20charge%20is%20needed%20to%20support%20it%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Reverse%20Bias%20(%24V%20%3C%200%24)%0A%0A%20%20%20%20When%20a%20negative%20voltage%20is%20applied%20to%20the%20P-side%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20potential%20barrier%20is%20**increased**%20to%20%24q(%5Cphi_%7Bbi%7D%20%2B%20%7CV%7C)%24%0A%20%20%20%20-%20Electrons%20in%20the%20P-side%20and%20holes%20in%20the%20N-side%20near%20the%20depletion%20edges%20are%20swept%20across%20by%20the%20electric%20field%0A%20%20%20%20-%20This%20produces%20a%20small%2C%20voltage-independent%20**drift**%20current.%20We%20call%20this%20the%20**reverse%20saturation%20current**%20%24I_0%24%0A%20%20%20%20-%20The%20current%20saturates%20because%20the%20supply%20of%20minority%20carriers%20is%20limited%20by%20thermal%20generation%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2FPN-biases.png%22%2C%20width%3D%22100%25%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_header%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5B_text%2C%20_img%5D%2C%20widths%3D%5B0.6%2C%200.4%5D%2C%20align%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Ideal%20Diode%20Model%20(Shockley%20Model)%0A%0A%20%20%20%20To%20derive%20an%20analytical%20expression%20for%20the%20I-V%20characteristic%2C%20we%20make%20the%20following%20simplifying%0A%20%20%20%20assumptions%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Steady%20state**%3A%20%24%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20n%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%5Cpartial%20p%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%3D%200%24%0A%0A%20%20%20%202.%20**Maxwell-Boltzmann%20statistics**%20apply%0A%0A%20%20%20%203.%20**One-dimensional%20geometry**%2C%20infinitely%20long%20diode%20(contacts%20at%20%24x%20%3D%20%5Cpm%5Cinfty%24)%0A%0A%20%20%20%204.%20**Total%20current%20is%20constant**%3A%20electron%20and%20hole%20currents%20are%20continuous%20and%20constant%20in%20the%20depletion%20region%20(i.e.%2C%20there%20is%20no%20recombination%20or%20generation%20in%20the%20depletion%20region)%3A%20%24%5Cfrac%7BdJ_n%7D%7Bdx%7D%20%3D%200%2C%20%5Cquad%20%5Cfrac%7BdJ_p%7D%7Bdx%7D%20%3D%200%24%20in%20the%20depletion%20region%0A%0A%20%20%20%205.%20**Low-level%20injection**%3A%20the%20applied%20voltage%20satisfies%20%24V%20%3C%20%5Cphi_%7Bbi%7D%24%2C%20and%20the%20voltage%0A%20%20%20%20%20%20%20is%20dropped%20entirely%20in%20the%20depletion%20region.%20The%20P%20and%20N%20sides%20have%20%24%5Cmathcal%7BE%7D%20%3D%200%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Roadmap%20for%20Analysis%0A%0A%20%20%20%20Since%20the%20current%20is%20dominated%20by%20the%20diffusion%20of%20carriers%2C%20we%20find%20the%20carrier%20concentrations%20as%20a%20function%20of%20space.%0A%0A%0A%20%20%20%201.%20Find%20excess%20hole%20concentration%20in%20the%20N-side%2C%20%24p'_N(x)%24%2C%20and%20excess%20electron%20concentration%20in%20the%20P-side%2C%20%24n'_P(x)%24.%0A%0A%20%20%20%202.%20Find%20the%20diffusion%20component%20of%20the%20current%20at%20the%20edges%20of%20the%20depletion%20layer%3A%20%24J_%7BP%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D(x%20%3D%20x_n)%24%20and%20%24J_%7BN%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D(x%20%3D%20-x_p)%24.%0A%0A%20%20%20%203.%20Since%20%24J%20%3D%20J_N%20%2B%20J_P%24%20and%20the%20current%20is%20assumed%20to%20be%20constant%20in%20the%20depletion%20region%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24J%20%3D%20J_%7BP%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D(x%20%3D%20x_n)%20%2B%20J_%7BN%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D(x%20%3D%20-x_p)%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_header%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Step%201%3A%20Minority%20Carrier%20Densities%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.hstack(%5Bmo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fdepletion-region.png%22%2C%20width%3D%2270%25%22)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_text%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20At%20the%20edges%20of%20the%20depletion%20region%2C%20the%20carrier%20concentrations%20are%20set%20by%20the%20quasi-Fermi%20levels.%0A%0A%20%20%20%20**Electron%20concentration%20at%20%24x%20%3D%20-x_p%24%20(P-side%20edge)%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24n(-x_p)%20%3D%20N_c%5C%2C%20e%5E%7B-(E_c%20-%20E_%7BFn%7D)%2Fk_B%20T%7D%20%3D%20N_c%5C%2C%20e%5E%7B-(E_c%20-%20E_%7BFp%7D)%2Fk_B%20T%7D%5C%2C%20e%5E%7B(E_%7BFn%7D%20-%20E_%7BFp%7D)%2Fk_B%20T%7D%20%3D%20n_%7BP0%7D%5C%2C%20e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24n_%7BP0%7D%24%20is%20the%20equilibrium%20electron%20concentration%20on%20the%20P-side.%0A%0A%20%20%20%20**Hole%20concentration%20at%20%24x%20%3D%20x_n%24%20(N-side%20edge)%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24p(x_n)%20%3D%20N_v%5C%2C%20e%5E%7B-(E_%7BFp%7D%20-%20E_v)%2Fk_B%20T%7D%20%3D%20N_v%5C%2C%20e%5E%7B-(E_%7BFn%7D%20-%20E_v)%2Fk_B%20T%7D%5C%2C%20e%5E%7B(E_%7BFn%7D%20-%20E_%7BFp%7D)%2Fk_B%20T%7D%20%3D%20p_%7BN0%7D%5C%2C%20e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24p_%7BN0%7D%24%20is%20the%20equilibrium%20hole%20concentration%20on%20the%20N-side.%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24n_%7BP0%7D%20%5Capprox%20n_i%5E2%20%2F%20N_a%24%20and%20%24p_%7BN0%7D%20%5Capprox%20n_i%5E2%20%2F%20N_d%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn(-x_p)%20%5Capprox%20%5Cfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_a%7D%5C%2C%20e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20%5Cqquad%20p(x_n)%20%5Capprox%20%5Cfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_d%7D%5C%2C%20e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Excess%20Carriers%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn_P'(-x_p)%20%5Cequiv%20n(-x_p)%20-%20n_%7BP0%7D%20%3D%20n_%7BP0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bp_N'(x_n)%20%5Cequiv%20p(x_n)%20-%20p_%7BN0%7D%20%3D%20p_%7BN0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20Under%20**forward%20bias**%20(%24V%20%3E%200%24)%3A%20excess%20carriers%20are%20**injected**%20(%24n_P'%20%3E%200%24%2C%20%24p_N'%20%3E%200%24)%0A%20%20%20%20-%20Under%20**reverse%20bias**%20(%24V%20%3C%200%24)%3A%20minority%20carriers%20are%20**extracted**%20(%24n_P'%20%3C%200%24%2C%20%24p_N'%20%3C%200%24)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_header%2C%20_img%2C%20_text%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Sliders%3A%20N_a%2C%20N_d%20from%2010%5E14%20to%2010%5E18%20(step%200.5%20in%20exponent)%2C%20V%20from%200%20to%200.6%20V%0A%20%20%20%20%23%20No%20leading%20underscore%20so%20these%20are%20exported%20to%20the%20next%20cell%20(marimo%20convention)%0A%20%20%20%20Na_log_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D14.0%2C%20stop%3D18.0%2C%20value%3D18.0%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%E2%82%81%E2%82%80(N_a)%20%5Bcm%E2%81%BB%C2%B3%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Nd_log_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D14.0%2C%20stop%3D18.0%2C%20value%3D16.0%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%E2%82%81%E2%82%80(N_d)%20%5Bcm%E2%81%BB%C2%B3%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20V_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%20stop%3D0.6%2C%20value%3D0.6%2C%20step%3D0.02%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Applied%20voltage%20V%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_calc_header%20%3D%20mo.md(%22%23%23%23%20Step%201%20%E2%80%94%20Example%3A%20Minority%20and%20Excess%20Carrier%20Concentrations%22)%0A%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.hstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Na_log_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Nd_log_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V_slider%2C%0A%20%20%20%20%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%0A%20%20%20%20step1_header%20%3D%20mo.vstack(%5B_calc_header%2C%20_controls%5D)%0A%20%20%20%20return%20Na_log_slider%2C%20Nd_log_slider%2C%20V_slider%2C%20step1_header%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Na_log_slider%2C%0A%20%20%20%20Nd_log_slider%2C%0A%20%20%20%20V_slider%2C%0A%20%20%20%20kT_q%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20step1_header%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Read%20slider%20values%20in%20a%20separate%20cell%20(marimo%3A%20no%20.value%20access%20in%20the%20cell%20that%20creates%20the%20UI%20element)%0A%20%20%20%20_Na_cm3%20%3D%2010.0%20**%20Na_log_slider.value%0A%20%20%20%20_Nd_cm3%20%3D%2010.0%20**%20Nd_log_slider.value%0A%20%20%20%20_V%20%3D%20V_slider.value%0A%20%20%20%20_n_P0%20%3D%20ni_Si**2%20%2F%20_Na_cm3%0A%20%20%20%20_p_N0%20%3D%20ni_Si**2%20%2F%20_Nd_cm3%0A%20%20%20%20_n_at_neg_xP%20%3D%20_n_P0%20*%20np.exp(_V%20%2F%20kT_q)%0A%20%20%20%20_p_at_xN%20%3D%20_p_N0%20*%20np.exp(_V%20%2F%20kT_q)%0A%20%20%20%20_excess_n_P%20%3D%20_n_at_neg_xP%20-%20_n_P0%0A%20%20%20%20_excess_p_N%20%3D%20_p_at_xN%20-%20_p_N0%0A%0A%20%20%20%20def%20_x10(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Format%20number%20as%20mantissa%20%C3%97%2010%5Eexp%20for%20LaTeX%20(e.g.%201.23%20%C3%97%2010%5E4).%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%220%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exp%20%3D%20int(np.floor(np.log10(abs(x))))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mantissa%20%3D%20x%20%2F%20(10**exp)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(mantissa)%20%3E%3D%209.995%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mantissa%20%2F%3D%2010%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exp%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%7Bmantissa%3A.2f%7D%20%5C%5Ctimes%2010%5E%7B%7B%7Bexp%7D%7D%7D%22%0A%0A%20%20%20%20_eq_nP0%20%3D%20f%22%24%24n_%7B%7BP0%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7Bn_i%5E2%7D%7D%7B%7BN_a%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B(%7B_x10(ni_Si)%7D)%5E2%7D%7D%7B%7B%7B_x10(_Na_cm3)%7D%7D%7D%20%3D%20%7B_x10(_n_P0)%7D%5C%5C%20%5C%5Cmathrm%7B%7Bcm%7D%7D%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%24%22%0A%20%20%20%20_eq_pN0%20%3D%20f%22%24%24p_%7B%7BN0%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7Bn_i%5E2%7D%7D%7B%7BN_d%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B(%7B_x10(ni_Si)%7D)%5E2%7D%7D%7B%7B%7B_x10(_Nd_cm3)%7D%7D%7D%20%3D%20%7B_x10(_p_N0)%7D%5C%5C%20%5C%5Cmathrm%7B%7Bcm%7D%7D%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%24%22%0A%20%20%20%20_part_equil%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22**Equilibrium%20minority%20carrier%20concentrations**%20(in%20the%20quasi-neutral%20P%20and%20N%20regions%2C%20far%20from%20the%20junction)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22-%20**P-side%3A**%20electrons%20are%20minority%20carriers%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(_eq_nP0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22-%20**N-side%3A**%20holes%20are%20minority%20carriers%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(_eq_pN0)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20_n_eq%20%3D%20f%22%24%24n(-x_p)%20%3D%20n_%7B%7BP0%7D%7D%5C%5C%2C%20e%5E%7B%7BqV%2Fk_B%20T%7D%7D%20%3D%20n_%7B%7BP0%7D%7D%5C%5C%2C%20e%5E%7B%7BV%2FV_T%7D%7D%20%3D%20%7B_x10(_n_P0)%7D%20%5C%5Ctimes%20e%5E%7B%7B%7B_V%3A.2f%7D%2F%7BkT_q%3A.3f%7D%7D%7D%20%3D%20%7B_x10(_n_at_neg_xP)%7D%5C%5C%20%5C%5Cmathrm%7B%7Bcm%7D%7D%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%24%22%0A%20%20%20%20_p_eq%20%3D%20f%22%24%24p(x_n)%20%3D%20p_%7B%7BN0%7D%7D%5C%5C%2C%20e%5E%7B%7BqV%2Fk_B%20T%7D%7D%20%3D%20p_%7B%7BN0%7D%7D%5C%5C%2C%20e%5E%7B%7BV%2FV_T%7D%7D%20%3D%20%7B_x10(_p_N0)%7D%20%5C%5Ctimes%20e%5E%7B%7B%7B_V%3A.2f%7D%2F%7BkT_q%3A.3f%7D%7D%7D%20%3D%20%7B_x10(_p_at_xN)%7D%5C%5C%20%5C%5Cmathrm%7B%7Bcm%7D%7D%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%24%22%0A%20%20%20%20_part_i%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Part%20(i)%20%E2%80%94%20Minority%20carrier%20concentrations%20at%20depletion%20layer%20edges**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Electron%20concentration%20at%20%24x%3D-x_p%24%20(p-side%20edge)%3A%20%24n(-x_p)%20%3D%20n_%7B%7BP0%7D%7D%5C%5C%2C%20e%5E%7B%7BqV%2Fk_B%20T%7D%7D%24%2C%20where%20%24k_B%20T%2Fq%20%5C%5Capprox%200.026%5C%5C%20%5C%5Cmathrm%7B%7BV%7D%7D%24%20at%20300K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B_n_eq%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Hole%20concentration%20at%20%24x%3Dx_n%24%20(n-side%20edge)%3A%20%24p(x_n)%20%3D%20p_%7B%7BN0%7D%7D%5C%5C%2C%20e%5E%7B%7BqV%2Fk_B%20T%7D%7D%24%2C%20where%20%24k_B%20T%2Fq%20%5C%5Capprox%200.026%5C%5C%20%5C%5Cmathrm%7B%7BV%7D%7D%24%20at%20300K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B_p_eq%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_excess_n_eq%20%3D%20f%22%24%24n_P'(-x_p)%20%5C%5Cequiv%20n(-x_p)%20-%20n_%7B%7BP0%7D%7D%20%3D%20%7B_x10(_n_at_neg_xP)%7D%20-%20%7B_x10(_n_P0)%7D%20%3D%20%7B_x10(_excess_n_P)%7D%5C%5C%20%5C%5Cmathrm%7B%7Bcm%7D%7D%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%24%22%0A%20%20%20%20_excess_p_eq%20%3D%20f%22%24%24p_N'(x_n)%20%5C%5Cequiv%20p(x_n)%20-%20p_%7B%7BN0%7D%7D%20%3D%20%7B_x10(_p_at_xN)%7D%20-%20%7B_x10(_p_N0)%7D%20%3D%20%7B_x10(_excess_p_N)%7D%5C%5C%20%5C%5Cmathrm%7B%7Bcm%7D%7D%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%24%22%0A%0A%20%20%20%20_takeaway%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**Takeaway%3A**%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Compare%20the%20equilibrium%20values%20%24n_%7B%7BP0%7D%7D%20%3D%20%7B_x10(_n_P0)%7D%5C%5C%2C%20%5C%5Cmathrm%7B%7Bcm%7D%7D%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20and%20%24p_%7B%7BN0%7D%7D%20%3D%20%7B_x10(_p_N0)%7D%5C%5C%2C%20%5C%5Cmathrm%7B%7Bcm%7D%7D%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20to%20the%20concentrations%20at%20the%20depletion%20edges%20under%20forward%20bias%3A%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24n(-x_p)%20%3D%20%7B_x10(_n_at_neg_xP)%7D%5C%5C%2C%20%5C%5Cmathrm%7B%7Bcm%7D%7D%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20and%20%24p(x_n)%20%3D%20%7B_x10(_p_at_xN)%7D%5C%5C%2C%20%5C%5Cmathrm%7B%7Bcm%7D%7D%5E%7B%7B-3%7D%7D%24.%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20minority%20carrier%20concentrations%20at%20the%20depletion%20edges%20are%20**completely%20dominated%20by%20the%20excess%20carriers**%20in%20forward%20bias%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22(%24n(-x_p)%20%5Capprox%20n_P'(-x_p)%24%2C%20%24p(x_n)%20%5Capprox%20p_N'(x_n)%24%20when%20%24e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20%5Cgg%201%24).%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_part_ii%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22**Part%20(ii)%20%E2%80%94%20Excess%20minority%20carrier%20concentrations**%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22-%20Excess%20electron%20concentration%20at%20%24x%3D-x_p%24%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(_excess_n_eq)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22-%20Excess%20hole%20concentration%20at%20%24x%3Dx_n%24%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(_excess_p_eq)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(_takeaway)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bstep1_header%2C%20_part_equil%2C%20_part_i%2C%20_part_ii%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_coord_caption%20%3D%20mo.md(r%22*Schematic%3A%20depletion%20edges%20at%20%24-x_p%24%20and%20%24x_n%24.*%22)%0A%20%20%20%20headerfig%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%23%23%20Minority%20Carrier%20Diffusion%20Equation%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bmo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fdepletion-region.png%22%2C%20width%3D%2260%25%22)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_coord_caption%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(headerfig%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(headerfig%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_text%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%201%20(continued)%3A%20Solve%20for%20%24p_N'(x)%24%20(excess%20holes%20in%20the%20N-region)%0A%0A%20%20%20%20**Domain%3A**%20%24x_n%20%3C%20x%20%3C%20%5Cinfty%24%20(quasi-neutral%20N-side)%0A%0A%20%20%20%20**Differential%20equation%3A**%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd%5E2%20p_N'%7D%7Bdx%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bp_N'%7D%7BL_p%5E2%7D%24%24%0A%20%20%20%20where%20%24L_p%20%3D%20%5Csqrt%7BD_p%20%5Ctau_p%7D%24%20is%20the%20**hole%20diffusion%20length**%20and%20%24%5Ctau_p%24%20is%20the%20hole%20minority%20carrier%20lifetime.%0A%0A%20%20%20%20**Boundary%20conditions%20(infinitely%20long%20diode)%3A**%0A%20%20%20%201.%20At%20the%20edge%20of%20the%20depletion%20region%20on%20the%20N-side%3A%20%24p_N'(x_n)%20%3D%20p_%7BN0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%24%20(with%20%24p_%7BN0%7D%20%3D%20n_i%5E2%2FN_d%24).%0A%20%20%20%202.%20Far%20into%20the%20N-region%3A%20%24p_N'(%5Cinfty)%20%3D%200%24%20(infinite%20diode%20approx.).%0A%0A%20%20%20%20**Solution%3A**%20General%20form%20is%20%24p_N'(x)%20%3D%20A%5C%2C%20e%5E%7B(x-x_n)%2FL_p%7D%20%2B%20B%5C%2C%20e%5E%7B-(x-x_n)%2FL_p%7D%24.%20The%20condition%20%24p_N'(%5Cinfty)%20%3D%200%24%20gives%20%24A%20%3D%200%24.%20Applying%20the%20boundary%20condition%20at%20%24x%20%3D%20x_n%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bp_N'(x)%20%3D%20p_%7BN0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%20e%5E%7B-(x-x_n)%2FL_p%7D%2C%20%5Cqquad%20x%20%5Cgeq%20x_n%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Excess%20holes%20decay%20**exponentially**%20away%20from%20the%20depletion%20edge%20with%20characteristic%20length%20%24L_p%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bheaderfig%2C%20_text%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%201%20(continued)%3A%20Solve%20for%20%24n_P'(x)%24%20(excess%20electrons%20in%20the%20P-region)%0A%0A%20%20%20%20**Domain%3A**%20%24-%5Cinfty%20%3C%20x%20%3C%20-x_p%24%20(quasi-neutral%20P-side)%0A%0A%20%20%20%20**Differential%20equation%3A**%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd%5E2%20n_P'%7D%7Bdx%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn_P'%7D%7BL_n%5E2%7D%24%24%0A%20%20%20%20where%20%24L_n%20%3D%20%5Csqrt%7BD_n%20%5Ctau_n%7D%24%20is%20the%20**electron%20diffusion%20length**.%0A%0A%20%20%20%20**Boundary%20conditions%20(infinitely%20long%20diode)%3A**%0A%20%20%20%201.%20At%20the%20edge%20of%20the%20depletion%20region%20on%20the%20P-side%3A%20%24n_P'(-x_p)%20%3D%20n_%7BP0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%24%20(with%20%24n_%7BP0%7D%20%3D%20n_i%5E2%2FN_a%24).%0A%20%20%20%202.%20Far%20into%20the%20P-region%3A%20%24n_P'(-%5Cinfty)%20%3D%200%24%20(infinite%20diode%20approx.).%0A%0A%20%20%20%20**Solution%3A**%20General%20form%20is%20%24n_P'(x)%20%3D%20A%5C%2C%20e%5E%7B(x%2Bx_p)%2FL_n%7D%20%2B%20B%5C%2C%20e%5E%7B-(x%2Bx_p)%2FL_n%7D%24.%20The%20condition%20%24n_P'(-%5Cinfty)%20%3D%200%24%20gives%20%24B%20%3D%200%24.%20Applying%20the%20boundary%20condition%20at%20%24x%20%3D%20-x_p%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn_P'(x)%20%3D%20n_%7BP0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%20e%5E%7B(x%2Bx_p)%2FL_n%7D%2C%20%5Cqquad%20x%20%5Cleq%20-x_p%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Excess%20electrons%20decay%20**exponentially**%20away%20from%20the%20depletion%20edge%20with%20characteristic%20length%20%24L_n%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20No%20leading%20underscore%20so%20these%20are%20exported%20to%20the%20next%20cell%20(marimo%20convention)%0A%20%20%20%20Va_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-2.0%2C%20stop%3D0.7%2C%20value%3D0.3%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Applied%20voltage%20%24V%24%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Na_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D15%2C%20stop%3D18%2C%20value%3D16%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24N_a%24)%20%5Bcm%24%5E%7B-3%7D%24%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Nd_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D15%2C%20stop%3D19%2C%20value%3D16%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24N_d%24)%20%5Bcm%24%5E%7B-3%7D%24%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Lp_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%20stop%3D20%2C%20value%3D5%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24L_p%24%20(um)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Ln_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%20stop%3D20%2C%20value%3D5%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24L_n%24%20(um)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20carrier_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Settings%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BVa_slider%2C%20Na_slider%2C%20Nd_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BLp_slider%2C%20Ln_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ln_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Lp_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Na_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Nd_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Va_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20carrier_controls%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20D_n%2C%0A%20%20%20%20D_p%2C%0A%20%20%20%20Ln_slider%2C%0A%20%20%20%20Lp_slider%2C%0A%20%20%20%20Na_slider%2C%0A%20%20%20%20Nd_slider%2C%0A%20%20%20%20Va_slider%2C%0A%20%20%20%20carrier_controls%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20kT_q%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Read%20slider%20values%20(sliders%20defined%20in%20previous%20cell%3B%20no%20leading%20underscore%20so%20they%20are%20exported)%0A%20%20%20%20_Va%20%3D%20Va_slider.value%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%2010%20**%20Na_slider.value%0A%20%20%20%20_Nd%20%3D%2010%20**%20Nd_slider.value%0A%20%20%20%20_Lp_um%20%3D%20Lp_slider.value%0A%20%20%20%20_Ln_um%20%3D%20Ln_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Convert%20diffusion%20lengths%20to%20cm%0A%20%20%20%20_Lp%20%3D%20_Lp_um%20*%201e-4%20%20%23%20um%20to%20cm%0A%20%20%20%20_Ln%20%3D%20_Ln_um%20*%201e-4%20%20%23%20um%20to%20cm%0A%0A%20%20%20%20%23%20Built-in%20potential%0A%20%20%20%20_phi_bi%20%3D%20kT_q%20*%20np.log(_Na%20*%20_Nd%20%2F%20ni_Si**2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Depletion%20widths%20at%20applied%20voltage%20(must%20ensure%20phi_bi%20-%20Va%20%3E%200%20for%20forward%20bias)%0A%20%20%20%20_V_eff%20%3D%20_phi_bi%20-%20_Va%0A%20%20%20%20if%20_V_eff%20%3C%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_eff%20%3D%200.01%20%20%23%20prevent%20negative%20under%20barrier%0A%0A%20%20%20%20_xn%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20*%20_V_eff%20%2F%20q%20*%20_Na%20%2F%20(_Nd%20*%20(_Na%20%2B%20_Nd)))%0A%20%20%20%20_xp%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20*%20_V_eff%20%2F%20q%20*%20_Nd%20%2F%20(_Na%20*%20(_Na%20%2B%20_Nd)))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Equilibrium%20minority%20carrier%20concentrations%0A%20%20%20%20_pn0%20%3D%20ni_Si**2%20%2F%20_Nd%20%20%23%20holes%20in%20N-side%0A%20%20%20%20_np0%20%3D%20ni_Si**2%20%2F%20_Na%20%20%23%20electrons%20in%20P-side%0A%0A%20%20%20%20%23%20Excess%20carrier%20at%20depletion%20edges%0A%20%20%20%20_exp_factor%20%3D%20np.exp(_Va%20%2F%20kT_q)%20-%201%0A%20%20%20%20_delta_pn_edge%20%3D%20_pn0%20*%20_exp_factor%0A%20%20%20%20_delta_np_edge%20%3D%20_np0%20*%20_exp_factor%0A%0A%20%20%20%20%23%20Spatial%20grids%20(in%20cm%2C%20converted%20to%20um%20for%20plotting)%0A%20%20%20%20_x_margin_n%20%3D%204.0%20*%20_Lp%20%20%23%20show%20several%20diffusion%20lengths%0A%20%20%20%20_x_margin_p%20%3D%204.0%20*%20_Ln%0A%0A%20%20%20%20%23%20N-side%3A%20x%20%3E%3D%20x_n%0A%20%20%20%20_x_n_region%20%3D%20np.linspace(_xn%2C%20_xn%20%2B%20_x_margin_n%2C%20300)%0A%20%20%20%20_delta_pn%20%3D%20_delta_pn_edge%20*%20np.exp((_xn%20-%20_x_n_region)%20%2F%20_Lp)%0A%0A%20%20%20%20%23%20P-side%3A%20x%20%3C%3D%20-x_p%0A%20%20%20%20_x_p_region%20%3D%20np.linspace(-_xp%20-%20_x_margin_p%2C%20-_xp%2C%20300)%0A%20%20%20%20_delta_np%20%3D%20_delta_np_edge%20*%20np.exp((_xp%20%2B%20_x_p_region)%20%2F%20_Ln)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Total%20minority%20carrier%20concentrations%0A%20%20%20%20_pn_total%20%3D%20_pn0%20%2B%20_delta_pn%0A%20%20%20%20_np_total%20%3D%20_np0%20%2B%20_delta_np%0A%0A%20%20%20%20%23%20Current%20densities%20at%20depletion%20edges%0A%20%20%20%20_Jp_xn%20%3D%20q%20*%20D_p%20%2F%20_Lp%20*%20_pn0%20*%20_exp_factor%0A%20%20%20%20_Jn_xp%20%3D%20q%20*%20D_n%20%2F%20_Ln%20*%20_np0%20*%20_exp_factor%0A%20%20%20%20_Jtotal%20%3D%20_Jp_xn%20%2B%20_Jn_xp%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Plotting%20---%20(use%20_fig%2C%20_ax1%2C%20_ax2%20so%20we%20don't%20redefine%20names%20from%20other%20cells)%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax1%2C%20_ax2)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Convert%20positions%20to%20um%20for%20display%0A%20%20%20%20_x_n_um%20%3D%20_x_n_region%20*%201e4%0A%20%20%20%20_x_p_um%20%3D%20_x_p_region%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xn_um%20%3D%20_xn%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xp_um%20%3D%20_xp%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%20plot%3A%20Excess%20minority%20carrier%20concentration%0A%20%20%20%20_ax1.plot(_x_p_um%2C%20_delta_np%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Dr%22%24n'_P(x)%24%20(electrons%20in%20P)%22)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(_x_n_um%2C%20_delta_pn%2C%20%22r-%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Dr%22%24p'_N(x)%24%20(holes%20in%20N)%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Shade%20depletion%20region%20between%20the%20two%20distributions%0A%20%20%20%20_ax1.axvspan(-_xp_um%2C%20_xn_um%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20label%3D%22Depletion%20region%22)%0A%20%20%20%20_ax1.text(0.5%20*%20(-_xp_um%20%2B%20_xn_um)%2C%200.5%2C%20%22Depletion%22%2C%20fontsize%3D12%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20color%3D%22gray%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20transform%3D_ax1.get_xaxis_transform())%0A%20%20%20%20_ax1.axhline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20linewidth%3D0.5%2C%20linestyle%3D%22-%22)%0A%20%20%20%20_ax1.axvline(-_xp_um%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D1%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax1.axvline(_xn_um%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D1%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlabel(r%22Position%20%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylabel(r%22Excess%20carrier%20concentration%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlim(-40%2C%2040)%0A%20%20%20%20_bias_label%20%3D%20%22Forward%22%20if%20_Va%20%3E%200%20else%20(%22Reverse%22%20if%20_Va%20%3C%200%20else%20%22Zero%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_title(f%22Excess%20Minority%20Carriers%20(%7B_bias_label%7D%20bias%2C%20%24V%24%20%3D%20%7B_Va%3A.2f%7D%20V)%22%2C%20fontsize%3D13%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax1.legend(fontsize%3D11%2C%20loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20_ax1.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Annotate%20diffusion%20lengths%20(only%20in%20forward%20bias%20when%20excess%20%3E%200)%0A%20%20%20%20if%20_Va%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20L_p%20on%20N-side%20(red%20curve)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%20xy%3D(_xn_um%20%2B%20_Lp_um%2C%20_delta_pn_edge%20*%20np.exp(-1))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_xn_um%2C%20_delta_pn_edge%20*%20np.exp(-1))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22%3C-%3E%22%2C%20color%3D%22red%22%2C%20lw%3D1.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xn_um%20%2B%20_Lp_um%20%2F%202%2C%20_delta_pn_edge%20*%20np.exp(-1)%20*%201.15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24L_p%24%20%3D%20%7B_Lp_um%7D%20%CE%BCm%22%2C%20fontsize%3D10%2C%20color%3D%22red%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20L_n%20on%20P-side%20(blue%20curve)%3A%20arrow%20from%20-x_p%20leftward%20by%20L_n%20at%201%2Fe%20height%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_ln%20%3D%20_delta_np_edge%20*%20np.exp(-1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ln_start%20%3D%20-_xp_um%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ln_end%20%3D%20-_xp_um%20-%20_Ln_um%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%20xy%3D(_x_ln_end%2C%20_y_ln)%2C%20xytext%3D(_x_ln_start%2C%20_y_ln)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22%3C-%3E%22%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20lw%3D1.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ylim%20%3D%20_ax1.get_ylim()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_label_ln%20%3D%20max(_y_ln%20*%201.15%2C%20_ylim%5B0%5D%20%2B%200.02%20*%20(_ylim%5B1%5D%20-%20_ylim%5B0%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ln_start%20%2B%20(_x_ln_end%20-%20_x_ln_start)%20%2F%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_y_label_ln%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24L_n%24%20%3D%20%7B_Ln_um%7D%20%CE%BCm%22%2C%20fontsize%3D10%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Right%20plot%3A%20Total%20minority%20carrier%20concentration%20(log%20scale)%0A%20%20%20%20_ax2.semilogy(_x_p_um%2C%20np.maximum(_np_total%2C%201e-1)%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24n_p(x)%24%20(electrons%20in%20P)%22)%0A%20%20%20%20_ax2.semilogy(_x_n_um%2C%20np.maximum(_pn_total%2C%201e-1)%2C%20%22r-%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24p_n(x)%24%20(holes%20in%20N)%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Equilibrium%20levels%20(format%20as%20%C3%9710%5En%2C%20not%20e%2B4)%0A%20%20%20%20def%20_x10_label(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%220%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20e%20%3D%20int(np.floor(np.log10(abs(x))))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%3D%20x%20%2F%20(10**e)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(m)%20%3E%3D%209.995%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%2F%3D%2010%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20e%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%7Bm%3A.2f%7D%20%5C%5Ctimes%2010%5E%7B%7B%7Be%7D%7D%7D%22%0A%20%20%20%20_ax2.axhline(_pn0%2C%20color%3D%22r%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%20label%3Df%22%24p_%7B%7Bn0%7D%7D%24%20%3D%20%7B_x10_label(_pn0)%7D%22)%0A%20%20%20%20_ax2.axhline(_np0%2C%20color%3D%22b%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%20label%3Df%22%24n_%7B%7Bp0%7D%7D%24%20%3D%20%7B_x10_label(_np0)%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20_ax2.axvspan(-_xp_um%2C%20_xn_um%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%20%20%20%20_ax2.axvline(-_xp_um%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D1%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax2.axvline(_xn_um%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D1%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlabel(r%22Position%20%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylabel(r%22Carrier%20concentration%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%20fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlim(-40%2C%2040)%0A%20%20%20%20_ax2.set_title(%22Total%20Minority%20Carrier%20Profile%20(log%20scale)%22%2C%20fontsize%3D13%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax2.legend(fontsize%3D10%2C%20loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20_ax2.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D%22both%22)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20def%20_x10_fmt(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Format%20number%20as%20mantissa%20%C3%9710%5Eexp%20with%202%20decimal%20places%20(for%20table).%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%220%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exp%20%3D%20int(np.floor(np.log10(abs(x))))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mantissa%20%3D%20x%20%2F%20(10**exp)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(mantissa)%20%3E%3D%209.995%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mantissa%20%2F%3D%2010%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exp%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%7Bmantissa%3A.2f%7D%C3%9710%24%5E%7B%7B%7Bexp%7D%7D%7D%24%22%0A%0A%20%20%20%20_info%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22**Computed%20values%3A**%5Cn%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C%20Quantity%20%7C%20Value%20%7C%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C----------%7C-------%7C%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%24%5C%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%24%20%7C%20%7B_phi_bi%3A.2f%7D%20V%20%7C%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%24x_n%24%20%7C%20%7B_xn*1e4%3A.2f%7D%20%CE%BCm%20%7C%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%24x_p%24%20%7C%20%7B_xp*1e4%3A.2f%7D%20%CE%BCm%20%7C%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%24p_%7B%7Bn0%7D%7D%24%20%7C%20%7B_x10_fmt(_pn0)%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%24n_%7B%7Bp0%7D%7D%24%20%7C%20%7B_x10_fmt(_np0)%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%24p'_N(x_n)%24%20%7C%20%7B_x10_fmt(_delta_pn_edge)%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%24n'_P(-x_p)%24%20%7C%20%7B_x10_fmt(_delta_np_edge)%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%5Cn%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_header%20%3D%20mo.md(%22%23%23%23%20Step%201%20%E2%80%94%20Interactive%3A%20Minority%20Carrier%20Distributions%22)%0A%20%20%20%20%23%20Last%20expression%20%2B%20return%20so%20marimo%20displays%20the%20output%0A%20%20%20%20_out%20%3D%20mo.vstack(%5B_header%2C%20carrier_controls%2C%20_fig%2C%20_info%5D)%0A%20%20%20%20_out%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Observations%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Minority%20carrier%20densities%20are%20increased%20relative%20to%20equilibrium%20values%20near%20the%20depletion%20region%20edges%20under%20forward%20bias%20(minority%20carrier%20injection).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Minority%20carrier%20densities%20are%20reduced%20relative%20to%20equilibrium%20values%20near%20the%20depletion%20region%20edges%20under%20reverse%20bias.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fminority-carrier-dist.png%22%2C%20width%3D%22100%25%22)%2C%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Step%202%3A%20Find%20%24J_%7BP%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D(x%20%3D%20x_n)%24%20and%20%24J_%7BN%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D(x%20%3D%20-x_p)%24%0A%0A%20%20%20%20Since%20there%20is%20no%20electric%20field%20in%20the%20quasi-neutral%20regions%20(low-level%20injection)%2C%20current%0A%20%20%20%20is%20carried%20entirely%20by%20**diffusion**%20of%20minority%20carriers.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202.1%20Hole%20diffusion%20current%20density%20(%24J_%7BP%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D%24)%0A%0A%20%20%20%20**%24J_%7BP%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D(x%20%3D%20x_n)%24**%0A%0A%20%20%20%20%24%24J_%7Bp%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D%20%3D%20-q%20D_p%20%5Cfrac%7Bdp'_N(x)%7D%7Bdx%7D%0A%20%20%20%20%3D%20q%20%5Cfrac%7BD_p%7D%7BL_p%7D%5C%2C%20p_%7BN0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%20e%5E%7B-(x-x_n)%2FL_p%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20the%20N-side%20edge%20of%20the%20depletion%20region%20(%24x%20%3D%20x_n%24%2C%20so%20%24e%5E%7B-(x-x_n)%2FL_p%7D%20%3D%201%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BJ_%7Bp%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D(x%20%3D%20x_n)%20%3D%20q%20%5Cfrac%7BD_p%7D%7BL_p%7D%5C%2C%20p_%7BN0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20(with%20%24p_%7BN0%7D%20%3D%20n_i%5E2%2FN_d%24.)%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202.2%20Electron%20diffusion%20current%20density%20(%24J_%7BN%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D%24)%0A%0A%20%20%20%20**%24J_%7BN%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D(x%20%3D%20-x_p)%24**%0A%0A%20%20%20%20%24%24J_%7Bn%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D%20%3D%20q%20D_n%20%5Cfrac%7Bdn'_P(x)%7D%7Bdx%7D%0A%20%20%20%20%3D%20q%20%5Cfrac%7BD_n%7D%7BL_n%7D%5C%2C%20n_%7BP0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%20e%5E%7B(x%2Bx_p)%2FL_n%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20the%20P-side%20edge%20of%20the%20depletion%20region%20(%24x%20%3D%20-x_p%24%2C%20so%20%24e%5E%7B(x%2Bx_p)%2FL_n%7D%20%3D%201%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BJ_%7Bn%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D(x%20%3D%20-x_p)%20%3D%20q%20%5Cfrac%7BD_n%7D%7BL_n%7D%5C%2C%20n_%7BP0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20(with%20%24n_%7BP0%7D%20%3D%20n_i%5E2%2FN_a%24.)%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Step%203%3A%20Total%20current%0A%0A%20%20%20%20-%20%24J%20%3D%20J_%7BP%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D(x%20%3D%20x_n)%20%2B%20J_%7BN%2C%5Ctext%7Bdiff%7D%7D(x%20%3D%20-x_p)%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BJ%20%3D%20q%5Cleft(%5Cfrac%7BD_n%5C%2C%20n_%7BP0%7D%7D%7BL_n%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BD_p%5C%2C%20p_%7BN0%7D%7D%7BL_p%7D%5Cright)%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Diode%20I%E2%80%93V%20relation%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24I%20%3D%20I_0%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%2C%20%5Cqquad%20I_0%20%3D%20qA%5Cleft(%5Cfrac%7BD_n%5C%2C%20n_%7BP0%7D%7D%7BL_n%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BD_p%5C%2C%20p_%7BN0%7D%7D%7BL_p%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20(%24A%24%20%3D%20diode%20cross-sectional%20area%3B%20%24I_0%24%20is%20the%20reverse%20saturation%20current.)%0A%0A%20%20%20%20**Simplification**%20(for%20uniformly%20doped%20diodes)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24n_%7BP0%7D%20%5Capprox%20%5Cfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_a%7D%2C%20%5Cqquad%20p_%7BN0%7D%20%5Capprox%20%5Cfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_d%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20D_n%2C%0A%20%20%20%20D_p%2C%0A%20%20%20%20Ln_slider%2C%0A%20%20%20%20Lp_slider%2C%0A%20%20%20%20Na_slider%2C%0A%20%20%20%20Nd_slider%2C%0A%20%20%20%20Va_slider%2C%0A%20%20%20%20carrier_controls%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20kT_q%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Hole%20and%20electron%20currents%20vs%20x%20(reuse%20Minority%20Carrier%20Distribution%20sliders)%0A%20%20%20%20_Va%20%3D%20Va_slider.value%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%2010%20**%20Na_slider.value%0A%20%20%20%20_Nd%20%3D%2010%20**%20Nd_slider.value%0A%20%20%20%20_Lp_um%20%3D%20Lp_slider.value%0A%20%20%20%20_Ln_um%20%3D%20Ln_slider.value%0A%20%20%20%20_Lp%20%3D%20_Lp_um%20*%201e-4%0A%20%20%20%20_Ln%20%3D%20_Ln_um%20*%201e-4%0A%0A%20%20%20%20_phi_bi%20%3D%20kT_q%20*%20np.log(_Na%20*%20_Nd%20%2F%20ni_Si**2)%0A%20%20%20%20_V_eff%20%3D%20_phi_bi%20-%20_Va%0A%20%20%20%20if%20_V_eff%20%3C%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_eff%20%3D%200.01%0A%20%20%20%20_xn%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20*%20_V_eff%20%2F%20q%20*%20_Na%20%2F%20(_Nd%20*%20(_Na%20%2B%20_Nd)))%0A%20%20%20%20_xp%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20*%20_V_eff%20%2F%20q%20*%20_Nd%20%2F%20(_Na%20*%20(_Na%20%2B%20_Nd)))%0A%0A%20%20%20%20_pn0%20%3D%20ni_Si**2%20%2F%20_Nd%0A%20%20%20%20_np0%20%3D%20ni_Si**2%20%2F%20_Na%0A%20%20%20%20_exp_factor%20%3D%20np.exp(_Va%20%2F%20kT_q)%20-%201%0A%20%20%20%20_Jp_xn%20%3D%20q%20*%20D_p%20%2F%20_Lp%20*%20_pn0%20*%20_exp_factor%0A%20%20%20%20_Jn_xp%20%3D%20q%20*%20D_n%20%2F%20_Ln%20*%20_np0%20*%20_exp_factor%0A%20%20%20%20_Jtotal%20%3D%20_Jp_xn%20%2B%20_Jn_xp%0A%0A%20%20%20%20%23%20Spatial%20grid%20spanning%20P%2C%20depletion%2C%20N%20(in%20cm)%0A%20%20%20%20_x_margin_p%20%3D%204.0%20*%20_Ln%0A%20%20%20%20_x_margin_n%20%3D%204.0%20*%20_Lp%0A%20%20%20%20_x_p%20%3D%20np.linspace(-_xp%20-%20_x_margin_p%2C%20-_xp%2C%20200)%0A%20%20%20%20_x_dep%20%3D%20np.linspace(-_xp%2C%20_xn%2C%2080)%0A%20%20%20%20_x_n%20%3D%20np.linspace(_xn%2C%20_xn%20%2B%20_x_margin_n%2C%20200)%0A%20%20%20%20_x_all%20%3D%20np.concatenate(%5B_x_p%2C%20_x_dep%5B1%3A-1%5D%2C%20_x_n%5D)%20%20%23%20avoid%20duplicate%20edges%0A%0A%20%20%20%20%23%20Current%20densities%3A%20diffusion%20from%20expressions%3B%20majority%20%3D%20J_tot%20-%20J_diffusion%0A%20%20%20%20%23%20P-side%20(x%20%3C%3D%20-x_p)%3A%20J_n%20%3D%20diffusion%20(electrons)%2C%20J_p%20%3D%20J_tot%20-%20J_n%20(drift%20majority)%0A%20%20%20%20_Jn_diff_P%20%3D%20q%20*%20D_n%20%2F%20_Ln%20*%20_np0%20*%20_exp_factor%20*%20np.exp((_x_p%20%2B%20_xp)%20%2F%20_Ln)%0A%20%20%20%20_Jp_P%20%3D%20_Jtotal%20-%20_Jn_diff_P%0A%20%20%20%20%23%20Depletion%20(-x_p%20%3C%3D%20x%20%3C%3D%20x_n)%3A%20J_n%20and%20J_p%20constant%20(no%20G-R)%0A%20%20%20%20_Jn_dep%20%3D%20np.full_like(_x_dep%2C%20_Jn_xp)%0A%20%20%20%20_Jp_dep%20%3D%20np.full_like(_x_dep%2C%20_Jp_xn)%0A%20%20%20%20%23%20N-side%20(x%20%3E%3D%20x_n)%3A%20J_p%20%3D%20diffusion%20(holes)%2C%20J_n%20%3D%20J_tot%20-%20J_p%20(drift%20majority)%0A%20%20%20%20_Jp_diff_N%20%3D%20q%20*%20D_p%20%2F%20_Lp%20*%20_pn0%20*%20_exp_factor%20*%20np.exp(-(_x_n%20-%20_xn)%20%2F%20_Lp)%0A%20%20%20%20_Jn_N%20%3D%20_Jtotal%20-%20_Jp_diff_N%0A%0A%20%20%20%20_Jn_plot%20%3D%20np.concatenate(%5B_Jn_diff_P%2C%20_Jn_dep%5B1%3A-1%5D%2C%20_Jn_N%5D)%0A%20%20%20%20_Jp_plot%20%3D%20np.concatenate(%5B_Jp_P%2C%20_Jp_dep%5B1%3A-1%5D%2C%20_Jp_diff_N%5D)%0A%20%20%20%20_x_um%20%3D%20_x_all%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xn_um%20%3D%20_xn%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xp_um%20%3D%20_xp%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20_fig_j%2C%20_ax_j%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(12%2C%206)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_ax_j.plot(_x_um%2C%20_Jn_plot%20*%201e3%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Dr%22%24J_n%24%20(electron)%22)%0A%20%20%20%20_ax_j.plot(_x_um%2C%20_Jp_plot%20*%201e3%2C%20%22r-%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Dr%22%24J_p%24%20(hole)%22)%0A%20%20%20%20_ax_j.axhline(_Jtotal%20*%201e3%2C%20color%3D%22k%22%2C%20linestyle%3D%22-%22%2C%20linewidth%3D3.5%2C%20label%3Dr%22%24J_%7Btotal%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_ax_j.axvspan(-_xp_um%2C%20_xn_um%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%20%20%20%20_ax_j.axvline(-_xp_um%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D1%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_ax_j.axvline(_xn_um%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D1%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_ax_j.axhline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_j.set_xlabel(r%22Position%20%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%2C%20fontsize%3D18)%0A%20%20%20%20_ax_j.set_ylabel(r%22Current%20density%20(mA%2Fcm%C2%B2)%22%2C%20fontsize%3D18)%0A%20%20%20%20_ax_j.set_xlim(-40%2C%2040)%0A%20%20%20%20_ax_j.set_title(r%22Hole%20and%20electron%20currents%20%20(%24J%20%3D%20J_p%20%2B%20J_n%24%20constant)%22%2C%20fontsize%3D18%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax_j.legend(fontsize%3D11%2C%20loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20_ax_j.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax_j.text(-_xp_um%20-%20_Ln_um%20*%201.5%2C%20_Jtotal%20*%201e3%20*%200.75%2C%20%22drift%5Cn(majority%20%24J_p%24)%22%2C%20fontsize%3D16%2C%20color%3D%22red%22%2C%20ha%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_ax_j.text(_xn_um%20%2B%20_Lp_um%20*%201.5%2C%20_Jtotal%20*%201e3%20*%200.75%2C%20%22drift%5Cn(majority%20%24J_n%24)%22%2C%20fontsize%3D16%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20ha%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_ax_j.text(-_xp_um%20-%20_Ln_um%20%2C%20_Jn_xp%20*%201e3%20*%200.4%2C%20%22diffusion%5Cn(%24J_n%24)%22%2C%20fontsize%3D16%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20ha%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_ax_j.text(_xn_um%20%2B%20_Lp_um%20%2C%20_Jp_xn%20*%201e3%20*%200.4%2C%20%22diffusion%5Cn(%24J_p%24)%22%2C%20fontsize%3D16%2C%20color%3D%22red%22%2C%20ha%3D%22center%22)%0A%0A%20%20%20%20_caption%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20-%20Same%20sliders%20as%20Minority%20Carrier%20Distribution.%20Changing%20them%20updates%20both%20plots.%0A%20%20%20%20-%20**Current%20is%20constant%20in%20the%20diode%3A**%20%24J_%7Btotal%7D%20%3D%20J_p%20%2B%20J_n%24.%20%20%0A%20%20%20%20-%20In%20quasi-neutral%20regions%2C%20minority%20current%20is%20**diffusion**%3B%20majority%20current%20is%20due%20to%20**drift**%20%24J_%7Bdrift%7D%20%3D%20J_%7Btotal%7D%20-%20J_%7Bdiffusion%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Since%20%24J_%7Bdrift%7D%20%5Cneq%200%24%2C%20%24%5Cmathcal%7BE%7D%20%5Cneq%200%24%20in%20the%20quasi-neutral%20region!%20%0A%20%20%20%20-%20In%20the%20depletion%20region%2C%20%24J_n%24%20and%20%24J_p%24%20are%20constant%20(no%20G%E2%80%93R).%20%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20_header%20%3D%20mo.md(%22%23%23%23%20Interactive%3A%20Hole%20and%20Electron%20Currents%20(Steps%202%20%26%203)%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_header%2C%20carrier_controls%2C%20_fig_j%2C%20_caption%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(carrier_controls%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20T_slider_J%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D250%2C%20stop%3D400%2C%20value%3D300%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Temperature%20%24T%24%20(K)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20J_fixed_log_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%20stop%3D1.5%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%E2%82%81%E2%82%80(Fixed%20%24J%24%20in%20mA%2Fcm%C2%B2)%20for%20d%24V%24%2Fd%24T%24%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20iv_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20carrier_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BT_slider_J%2C%20J_fixed_log_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20J_fixed_log_slider%2C%20T_slider_J%2C%20iv_controls%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20J_fixed_log_slider%2C%0A%20%20%20%20Ln_slider%2C%0A%20%20%20%20Lp_slider%2C%0A%20%20%20%20Na_slider%2C%0A%20%20%20%20Nd_slider%2C%0A%20%20%20%20T_slider_J%2C%0A%20%20%20%20iv_controls%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20mu_n%2C%0A%20%20%20%20mu_p%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Silicon%3A%20temperature-dependent%20n_i%20and%20k_B%20T%0A%20%20%20%20_k_B_eV%20%3D%208.617e-5%20%20%23%20eV%2FK%0A%20%20%20%20_T%20%3D%20T_slider_J.value%0A%20%20%20%20_kT_q%20%3D%20_k_B_eV%20*%20_T%20%20%23%20k_B%20T%20%2F%20q%20in%20V%0A%20%20%20%20_Nc_300%20%3D%202.86e19%20%20%20%23%20cm%5E-3%20(Si)%0A%20%20%20%20_Nv_300%20%3D%203.10e19%20%20%20%23%20cm%5E-3%20(Si)%0A%20%20%20%20_Nc%20%3D%20_Nc_300%20*%20(_T%20%2F%20300)%20**%201.5%0A%20%20%20%20_Nv%20%3D%20_Nv_300%20*%20(_T%20%2F%20300)%20**%201.5%0A%20%20%20%20_ni_T%20%3D%20np.sqrt(_Nc%20*%20_Nv%20*%20np.exp(-Eg_Si%20%2F%20(_k_B_eV%20*%20_T)))%0A%0A%20%20%20%20_D_n%20%3D%20_kT_q%20*%20mu_n%20%20%23%20cm%5E2%2Fs%0A%20%20%20%20_D_p%20%3D%20_kT_q%20*%20mu_p%20%20%23%20cm%5E2%2Fs%0A%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%2010%20**%20Na_slider.value%0A%20%20%20%20_Nd%20%3D%2010%20**%20Nd_slider.value%0A%20%20%20%20_Ln_um%20%3D%20Ln_slider.value%0A%20%20%20%20_Lp_um%20%3D%20Lp_slider.value%0A%20%20%20%20_Ln%20%3D%20_Ln_um%20*%201e-4%20%20%23%20cm%0A%20%20%20%20_Lp%20%3D%20_Lp_um%20*%201e-4%20%20%23%20cm%0A%0A%20%20%20%20_n_P0%20%3D%20_ni_T**2%20%2F%20_Na%0A%20%20%20%20_p_N0%20%3D%20_ni_T**2%20%2F%20_Nd%0A%20%20%20%20_J_0%20%3D%20q%20*%20(_D_n%20*%20_n_P0%20%2F%20_Ln%20%2B%20_D_p%20*%20_p_N0%20%2F%20_Lp)%0A%0A%20%20%20%20_V%20%3D%20np.linspace(-2%2C%200.8%2C%20500)%0A%20%20%20%20_J%20%3D%20_J_0%20*%20(np.exp(_V%20%2F%20_kT_q)%20-%201)%20%20%23%20J%20%3D%20J_0%20(exp(q%20V%20%2F%20k_B%20T)%20-%201)%0A%20%20%20%20_J_mA_cm2%20%3D%20_J%20*%201e3%20%20%23%20mA%2Fcm%C2%B2%0A%0A%20%20%20%20_eq_block%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Interactive%20I%E2%80%93V%20Characteristics%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Temperature%20dependence%20and%20I%E2%80%93V%20relation%0A%0A%20%20%20%20-%20Neglect%20the%20temperature%20dependence%20of%20%24m_n%5E*%24%2C%20%24m_p%5E*%24%2C%20diffusion%20coefficients%2C%20diffusion%20length%2C%20and%20%24E_g%24%20(true%20for%20small%20perturbations%20in%20temperature)%0A%0A%20%20%20%20-%20Intrinsic%20concentration%3A%20%24n_i%5E2(T)%20%3D%20N_c(T)%5C%2C%20N_v(T)%5C%2C%20%5Cexp(-E_g%2Fk_B%20T)%24%2C%20with%20%24N_c%2C%5C%2C%20N_v%20%5Cpropto%20T%5E%7B3%2F2%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20-%20Minority%20densities%3A%20%24n_%7BP0%7D%20%3D%20n_i%5E2%2FN_a%24%2C%20%24%5Cquad%20p_%7BN0%7D%20%3D%20n_i%5E2%2FN_d%24%0A%0A%20%20%20%20-%20Saturation%20current%20density%3A%20%24J_0%20%3D%20q%5Cleft(%5Cfrac%7BD_n%5C%2C%20n_%7BP0%7D%7D%7BL_n%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BD_p%5C%2C%20p_%7BN0%7D%7D%7BL_p%7D%5Cright)%24%0A%0A%20%20%20%20-%20Current%20density%20vs%20voltage%3A%20%24%5Cboxed%7BJ%20%3D%20J_0%5Cleft(e%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright)%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig_iv%2C%20(_ax1_iv%2C%20_ax2_iv)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%206)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Left%3A%20J%20vs%20V%20(linear)%20---%0A%20%20%20%20_ax1_iv.plot(_V%2C%20_J_mA_cm2%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax1_iv.axhline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax1_iv.axvline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_J_max%20%3D%20_J_0%20*%20(np.exp(0.8%20%2F%20_kT_q)%20-%201)%20*%201e3%0A%20%20%20%20_ax1_iv.set_ylim(-abs(_J_0)%20*%201e3%20*%201.2%2C%20max(_J_max%20*%201.1%2C%200.01))%0A%20%20%20%20_ax1_iv.axhline(-_J_0%20*%201e3%2C%20color%3D%22r%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.7%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax1_iv.set_xlabel(r%22%24V%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax1_iv.set_ylabel(r%22%24J%24%20(mA%2Fcm%C2%B2)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax1_iv.set_title(r%22%24J%24%E2%80%93%24V%24%20(linear)%22%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax1_iv.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Right%3A%20%7CJ%7C%20vs%20V%20(semi-log)%20---%0A%20%20%20%20_J_plot%20%3D%20np.where(_J%20%3E%200%2C%20_J%2C%20-_J)%0A%20%20%20%20_J_plot%20%3D%20np.maximum(_J_plot%2C%201e-20)%0A%20%20%20%20_ax2_iv.semilogy(_V%2C%20_J_plot%20*%201e3%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Dr%22%24%7CJ%7C%24%22)%0A%20%20%20%20_ax2_iv.axhline(_J_0%20*%201e3%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.7%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20def%20_x10_fmt_iv(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%220%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20e%20%3D%20int(np.floor(np.log10(abs(x))))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%3D%20x%20%2F%20(10**e)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(m)%20%3E%3D%209.995%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%2F%3D%2010%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20e%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%7Bm%3A.2f%7D%C3%9710%24%5E%7B%7B%7Be%7D%7D%7D%24%22%0A%20%20%20%20_ax2_iv.text(-1.8%2C%20_J_0%20*%201e3%20*%202%2C%20f%22%24J_0%24%20%3D%20%7B_x10_fmt_iv(_J_0*1e3)%7D%20mA%2Fcm%C2%B2%22%2C%20fontsize%3D11%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%20%20%20%20_slope%20%3D%201%20%2F%20(_kT_q%20*%20np.log(10))%0A%20%20%20%20_ax2_iv.text(0.4%2C%20_J_0%20*%20np.exp(0.35%20%2F%20_kT_q)%20*%201e3%20*%200.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Slope%20%24%5C%5Capprox%20q%2Fk_B%20T%5C%5Ccdot%5C%5Cln(10)%5E%7B%7B-1%7D%7D%24%5Cn%3D%20%7B_slope%3A.1f%7D%20dec%2FV%5Cn(%24T%24%20%3D%20%7B_T%7D%20K)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D%22round%22%2C%20facecolor%3D%22lightyellow%22%2C%20alpha%3D0.8))%0A%20%20%20%20_ax2_iv.set_xlabel(r%22%24V%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax2_iv.set_ylabel(r%22%24%7CJ%7C%24%20(mA%2Fcm%C2%B2)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax2_iv.set_title(r%22%24J%24%E2%80%93%24V%24%20(semi-log)%22%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax2_iv.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20_ax2_iv.set_xlim(-2%2C%200.85)%0A%0A%20%20%20%20_values%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**At%20%24T%24%20%3D%20%7B_T%7D%20K%3A**%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24n_i%24%20%3D%20%7B_x10_fmt_iv(_ni_T)%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24n_%7B%7BP0%7D%7D%24%20%3D%20%7B_x10_fmt_iv(_n_P0)%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24p_%7B%7BN0%7D%7D%24%20%3D%20%7B_x10_fmt_iv(_p_N0)%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%24J_0%24%20%3D%20%7B_x10_fmt_iv(_J_0*1e3)%7D%20mA%2Fcm%C2%B2.%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20dV%2FdT%20at%20fixed%20J%3A%20V(T)%20such%20that%20J%20%3D%20J_0(T)*(exp(V%2F(kT%2Fq))%20-%201)%2C%20then%20numerical%20derivative%0A%20%20%20%20_J_fixed_mA%20%3D%2010.0%20**%20J_fixed_log_slider.value%20%20%23%20mA%2Fcm%C2%B2%0A%20%20%20%20_J_fixed%20%3D%20_J_fixed_mA%20*%201e-3%20%20%23%20A%2Fcm%C2%B2%0A%20%20%20%20_T_arr%20%3D%20np.linspace(260%2C%20390%2C%20300)%0A%20%20%20%20_ni_arr%20%3D%20np.sqrt(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Nc_300%20*%20_Nv_300%20*%20(_T_arr%20%2F%20300)%20**%203%20*%20np.exp(-Eg_Si%20%2F%20(_k_B_eV%20*%20_T_arr))%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_kT_q_arr%20%3D%20_k_B_eV%20*%20_T_arr%0A%20%20%20%20_Dn_arr%20%3D%20_kT_q_arr%20*%20mu_n%0A%20%20%20%20_Dp_arr%20%3D%20_kT_q_arr%20*%20mu_p%0A%20%20%20%20_nP0_arr%20%3D%20_ni_arr**2%20%2F%20_Na%0A%20%20%20%20_pN0_arr%20%3D%20_ni_arr**2%20%2F%20_Nd%0A%20%20%20%20_J0_arr%20%3D%20q%20*%20(_Dn_arr%20*%20_nP0_arr%20%2F%20_Ln%20%2B%20_Dp_arr%20*%20_pN0_arr%20%2F%20_Lp)%0A%20%20%20%20%23%20V%20%3D%20(k_B*T%2Fq)%20*%20ln(1%20%2B%20J%2FJ_0(T))%0A%20%20%20%20_V_at_J%20%3D%20_kT_q_arr%20*%20np.log(1.0%20%2B%20_J_fixed%20%2F%20np.maximum(_J0_arr%2C%201e-30))%0A%20%20%20%20_dV_dT%20%3D%20np.gradient(_V_at_J%2C%20_T_arr)%20%20%23%20V%2FK%0A%0A%20%20%20%20_fig_dV%2C%20_ax_dV%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%205)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_ax_dV.plot(_T_arr%2C%20_dV_dT%20*%201e3%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2.5)%20%20%23%20mV%2FK%20for%20readability%0A%20%20%20%20_ax_dV.axhline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_dV.set_xlabel(r%22Temperature%20%24T%24%20(K)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_dV.set_ylabel(r%22%24dV%2FdT%24%20(mV%2FK)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_dV.set_title(r%22%24dV%2FdT%24%20at%20fixed%20%24J%24%20%3D%20%22%20%2B%20f%22%7B_J_fixed_mA%3A.3g%7D%20mA%2Fcm%C2%B2%22%2C%20fontsize%3D14%2C%20fontweight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax_dV.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_eq_block%2C%20iv_controls%2C%20_values%2C%20_fig_iv%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_dV%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%20of%20Key%20Equations%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Expression%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20np%20product%20%7C%20%24np%20%3D%20n_i%5E2%20%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cdfrac%7BqV%7D%7Bk_B%20T%7D%5Cright)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Excess%20holes%20(N-side)%20%7C%20%24p_N'(x)%20%3D%20%5Cdfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_d%7D%5Cleft%5Be%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright%5D%20e%5E%7B-(x-x_n)%2FL_p%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Excess%20electrons%20(P-side)%20%7C%20%24n_P'(x)%20%3D%20%5Cdfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_a%7D%5Cleft%5Be%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright%5D%20e%5E%7B(x%2Bx_p)%2FL_n%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Diffusion%20lengths%20%7C%20%24L_p%20%3D%20%5Csqrt%7BD_p%20%5Ctau_p%7D%24%2C%20%24%5Cquad%20L_n%20%3D%20%5Csqrt%7BD_n%20%5Ctau_n%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Hole%20current%20at%20%24x_n%24%20%7C%20%24J_p%20%3D%20%5Cdfrac%7BqD_p%7D%7BL_p%7D%5Cdfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_d%7D%5Cleft%5Be%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright%5D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Electron%20current%20at%20%24-x_p%24%20%7C%20%24J_n%20%3D%20%5Cdfrac%7BqD_n%7D%7BL_n%7D%5Cdfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_a%7D%5Cleft%5Be%5E%7BqV%2Fk_B%20T%7D%20-%201%5Cright%5D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Saturation%20current**%20%7C%20%24J_0%20%3D%20q%5Cleft(%5Cdfrac%7BD_p%7D%7BL_p%7D%5Cdfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_d%7D%20%2B%20%5Cdfrac%7BD_n%7D%7BL_n%7D%5Cdfrac%7Bn_i%5E2%7D%7BN_a%7D%5Cright)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Shockley%20diode%20equation**%20%7C%20%24I%20%3D%20I_0%5Cleft%5B%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cdfrac%7BqV%7D%7Bk_B%20T%7D%5Cright)%20-%201%5Cright%5D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A