pn electrostatics

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.1%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.19.8%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20%23%20For%20WASM%20(Pyodide)%2C%20__file__%20is%20not%20meaningful%3B%20use%20GitHub%20Pages%20URL%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test%20%3D%20Path(__file__).parent%20%2F%20%22images%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_test.exists()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20Path(__file__).parent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20FileNotFoundError%0A%20%20%20%20except%20Exception%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20IMAGE_BASE%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Fpn-electrostatics%2Fimages%22%20if%20ASSET_DIR%20is%20None%20else%20str(ASSET_DIR%20%2F%20%22images%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Physical%20constants%0A%20%20%20%20q%20%3D%201.6e-19%20%20%23%20C%0A%20%20%20%20kT%20%3D%200.02585%20%20%23%20eV%20at%20300K%0A%20%20%20%20ni_Si%20%3D%201.1e10%20%20%23%20cm%5E-3%20for%20Si%20at%20300K%0A%20%20%20%20eps_r%20%3D%2011.7%20%20%23%20relative%20permittivity%20of%20Si%0A%20%20%20%20eps_0%20%3D%208.854e-14%20%20%23%20F%2Fcm%20(vacuum%20permittivity%20in%20CGS)%0A%20%20%20%20eps_s%20%3D%20eps_r%20*%20eps_0%20%20%23%20F%2Fcm%0A%20%20%20%20Eg_Si%20%3D%201.12%20%20%23%20eV%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20PN%20Junction%20Electrostatics%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ECE350%2C%20Lecture%2017%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20notebook%20derives%20the%20electrostatic%20quantities%20of%20an%20abrupt%20junction%20at%20**thermal%20equilibrium**.%20Main%20concepts%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20The%20depletion%20approximation%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Built-in%20potential%20derivation%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20Charge%20%24%5Crightarrow%24%20Electric%20field%20%24%5Crightarrow%24%20Electrostatic%20potential%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20Depletion%20width%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20Interactive%20plots%3A%20%24%5Crho(x)%24%2C%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%24%2C%20%24V(x)%24%2C%20and%20energy%20band%20diagram%0A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20Eg_Si%2C%20IMAGE_BASE%2C%20eps_s%2C%20kT%2C%20mo%2C%20ni_Si%2C%20np%2C%20plt%2C%20q%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20The%20Abrupt%20Junction%20%26%20Depletion%20Approximation%0A%0A%20%20%20%20We%20solve%20for%20the%20electrostatics%20of%20the%20PN%20junction%20under%20the%20following%20simplifying%20assumptions%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**One-dimensional%20problem**%20--%20all%20quantities%20depend%20only%20on%20%24x%24.%0A%20%20%20%20-%20**Abrupt%20depletion%20edges**%20--%20the%20depletion%20region%20extends%20from%20%24x%20%3D%20-x_p%24%20(on%20the%20P-side)%20to%20%24x%20%3D%20x_n%24%20(on%20the%20N-side)%2C%20with%20abrupt%20transitions.%0A%20%20%20%20-%20**Zero%20electric%20field%20outside%20the%20depletion%20region**%20--%20%24%5Cmathcal%7BE%7D%20%3D%200%24%20for%20%24x%20%3C%20-x_p%24%20and%20%24x%20%3E%20x_n%24.%0A%20%20%20%20-%20**Complete%20ionization**%20--%20%24N_D%5E%2B%20%3D%20N_D%24%20and%20%24N_A%5E-%20%3D%20N_A%24.%0A%20%20%20%20-%20**Negligible%20free%20carriers%20in%20the%20depletion%20region**%20--%20%24n%2C%20p%20%5Cll%20N_A%2C%20N_D%24%20within%20the%20depletion%20region.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bmo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Flec13-09.png%22%2C%20width%3D%2250%25%22)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Under%20these%20assumptions%2C%20the%20**charge%20density**%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Crho(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20-qN_A%20%26%20-x_p%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%200%20%5C%5C%20qN_D%20%26%200%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20x_n%20%5C%5C%200%20%26%20%5Ctext%7Belsewhere%7D%20%5Cend%7Bcases%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Charge%20neutrality**%20requires%20the%20total%20positive%20charge%20to%20equal%20the%20total%20negative%20charge%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24qN_A%20%5Ccdot%20x_p%20%3D%20qN_D%20%5Ccdot%20x_n%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BN_A%20%5C%2C%20x_p%20%3D%20N_D%20%5C%2C%20x_n%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20depletion%20region%20extends%20**further%20into%20the%20lightly%20doped%20side**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%202.%20Built-in%20Potential%20Derivation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bmo.image(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Flec14-04.png%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D%2250%25%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20**built-in%20potential**%20(%24%5Cphi_%7Bbi%7D%24)%20of%20the%20PN%20junction%20is%20the%20total%20potential%20difference%20across%20the%20depletion%20region%20at%20equilibrium.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24q%5Cphi_%7Bbi%7D%20%3D%20qB%20-%20qA%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bwhere%7D%20%5Cquad%20B%20%3D%20(E_c%20-%20E_F)_%7B%5Ctext%7BP-side%7D%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7Band%7D%20%5Cquad%20A%20%3D%20(E_c%20-%20E_F)_%7B%5Ctext%7BN-side%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24qB%20%3D(E_c%20-%20E_F)_%7B%5Ctext%7BP-side%7D%7D%20%3D%20k_BT%20%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BN_c%7D%7Bn_%7B0%2CP%7D%7D%5Cright)%20%3D%20k_BT%20%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BN_c%20N_A%7D%7Bn_i%5E2%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24qA%20%3D(E_c%20-%20E_F)_%7B%5Ctext%7BN-side%7D%7D%20%3D%20k_BT%20%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BN_c%7D%7Bn_%7B0%2CN%7D%7D%5Cright)%20%3D%20k_BT%20%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BN_c%7D%7BN_D%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24q%5Cphi_%7Bbi%7D%20%3D%20B%20-%20A%20%3D%20k_BT%20%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BN_c%20N_A%7D%7Bn_i%5E2%7D%5Cright)%20-%20k_BT%20%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BN_c%7D%7BN_D%7D%5Cright)%24%24%20%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20%5Cboxed%7Bq%5Cphi_%7Bbi%7D%20%3D%20k_BT%20%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BN_A%20N_D%7D%7Bn_i%5E2%7D%5Cright)%7D%24%24%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Example%3A%20Magnitude%20of%20%24%5Cphi_%7Bbi%7D%24%0A%0A%20%20%20%20**Determine**%20the%20built-in%20potential%20of%20a%20Si%20PN%20junction%20at%20%24T%20%3D%20300%24%20K%20where%20%24N_A%20%3D%20N_D%20%3D%2010%5E%7B16%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cphi_%7Bbi%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BkT%7D%7Bq%7D%20%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BN_A%20N_D%7D%7Bn_i%5E2%7D%5Cright)%20%3D%2026%5Ctext%7B%20mV%7D%20%5Ctimes%20%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B10%5E%7B16%7D%20%5Ctimes%2010%5E%7B16%7D%7D%7B1.21%20%5Ctimes%2010%5E%7B20%7D%7D%5Cright)%20%3D%20%5Cboxed%7B0.71%20%5Ctext%7B%20V%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20we%20used%20%24n_i%5E2%20%3D%20(1.1%20%5Ctimes%2010%5E%7B10%7D)%5E2%20%3D%201.21%20%5Ctimes%2010%5E%7B20%7D%24%20cm%24%5E%7B-6%7D%24%20for%20Si%20at%20300%20K.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Charge%20%24%5Crightarrow%24%20Electric%20Field%20%24%5Crightarrow%24%20Electrostatic%20Potential%0A%0A%20%20%20%20Starting%20from%20Poisson's%20equation%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd%5Cmathcal%7BE%7D%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Crho(x)%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20we%20integrate%20in%20each%20region%2C%20applying%20the%20boundary%20conditions%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(-x_p)%20%3D%200%24%20and%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(x_n)%20%3D%200%24%3A%0A%0A%20%20%20%20**P-side%20of%20depletion%20region**%20(%24-x_p%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%200%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%20%3D%20-%5Cfrac%7BqN_A%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D(x%20%2B%20x_p)%24%24%0A%0A%20%20%20%20**N-side%20of%20depletion%20region**%20(%240%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20x_n%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_D%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D(x%20-%20x_n)%24%24%0A%0A%20%20%20%20Key%20observations%3A%0A%20%20%20%20-%20The%20electric%20field%20is%20**negative**%20everywhere%20in%20the%20depletion%20region.%0A%20%20%20%20-%20The%20**maximum%20magnitude**%20occurs%20at%20the%20metallurgical%20junction%20(%24x%20%3D%200%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7C%5Cmathcal%7BE%7D_%7B%5Cmax%7D%7C%20%3D%20%7C%5Cmathcal%7BE%7D(x%3D0)%7C%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_A%20x_p%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_D%20x_n%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20We%20recover%20again%20our%20charge%20neutrality%20condition%20(%24N_A%20x_p%20%3D%20N_D%20x_n%24).%0A%20%20%20%20-%20The%20depletion%20region%20extends%20further%20into%20the%20lightly%20doped%20side.%0A%20%20%20%20-%20One%20side%20junctions%3A%20P%24%5E%2B%24N%20and%20N%24%5E%2B%24P%20have%20a%20heavily%20doped%20P%20or%20N%20side%2C%20respectively.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Flec14-09.png%22%2C%20width%3D%22100%25%22%2C%20caption%3D%22Derivation%20of%20electric%20field%20from%20charge%20density%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%2C%20widths%3D%5B0.6%2C%200.4%5D%2C%20align%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Electrostatic%20Potential%0A%0A%20%20%20%20The%20electrostatic%20potential%20is%20obtained%20from%20%24%5Cmathcal%7BE%7D%20%3D%20-dV%2Fdx%24%2C%20i.e.%2C%20%24V(x)%20%3D%20-%5Cint%20%5Cmathcal%7BE%7D%5C%2C%20dx%24.%0A%0A%20%20%20%20Using%20the%20boundary%20condition%20%24V(-x_p)%20%3D%200%24%20(reference%20potential%20on%20the%20P-side)%3A%0A%0A%20%20%20%20**P-side%20of%20depletion%20region**%20(%24-x_p%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%200%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7BdV%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_A%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D(x%20%2B%20x_p)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24V(x)%20%3D%20%5Cint%20%5Cfrac%7BqN_A%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D(x%20%2B%20x_p)%5C%2C%20dx%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_A%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D(x%20%2B%20x_p)%5E2%20%2B%20C_1%2C%20%5Cquad%20V(-x_p)%20%3D%200%20%5Cimplies%20C_1%20%3D%200%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20%5Cboxed%7BV(x)%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_A%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D(x%20%2B%20x_p)%5E2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**N-side%20of%20depletion%20region**%20(%240%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20x_n%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7BdV%7D%7Bdx%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7BqN_D%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D(x%20-%20x_n)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24V(x)%20%3D%20-%20%5Cfrac%7BqN_D%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D(x%20-%20x_n)%5E2%20%2B%20C_2%2C%20%5Cquad%20V(x_n)%20%3D%20%5Cphi_%7Bbi%7D%20%5Cimplies%20C_2%20%3D%20%5Cphi_%7Bbi%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20%5Cboxed%7BV(x)%20%3D%20-%20%5Cfrac%7BqN_D%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D(x%20-%20x_n)%5E2%20%2B%20%5Cphi_%7Bbi%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Therefore%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20V(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%20%20%20%200%20%26%20%5Ctext%7Bfor%20%7D%20x%20%5Cleq%20-x_p%20%5C%5C%5B6pt%5D%0A%20%20%20%20%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7BqN_A%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D(x%20%2B%20x_p)%5E2%20%26%20%5Ctext%7Bfor%20%7D%20-x_p%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%200%20%5C%5C%5B6pt%5D%0A%20%20%20%20%5Cdisplaystyle%20%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20%5Cfrac%7BqN_D%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D(x%20-%20x_n)%5E2%20%26%20%5Ctext%7Bfor%20%7D%200%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20x_n%20%5C%5C%5B6pt%5D%0A%20%20%20%20%5Cphi_%7Bbi%7D%20%26%20%5Ctext%7Bfor%20%7D%20x%20%3E%20x_n%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bcases%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2FPN-potential.png%22%2C%20width%3D%22100%25%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%2C%20widths%3D%5B0.6%2C%200.4%5D%2C%20align%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20Depletion%20Width%0A%0A%0A%20%20%20%20Matching%20%24V(x)%24%20at%20%24x%20%3D%200%24%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24V(x%3D0)%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_A%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7Dx_p%5E2%20%3D%20-%5Cfrac%7BqN_D%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%20x_n%5E2%20%2B%20%5Cphi_%7Bbi%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Substitute%20(%24N_A%20x_p%20%3D%20N_D%20x_n%24)%20into%20the%20equation%20above%20and%20solve%20for%20%24x_n%24%20and%20%24x_p%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bx_n%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%7Bq%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7BN_A%7D%7BN_D(N_A%20%2B%20N_D)%7D%20%5Ccdot%20%5Cphi_%7Bbi%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bx_p%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%7Bq%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7BN_D%7D%7BN_A(N_A%20%2B%20N_D)%7D%20%5Ccdot%20%5Cphi_%7Bbi%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20total%20depletion%20width%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BW%20%3D%20x_n%20%2B%20x_p%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%7Bq%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7BN_A%20%2B%20N_D%7D%7BN_A%20N_D%7D%20%5Ccdot%20%5Cphi_%7Bbi%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Typical%20values%3A**%20For%20%24%5Cphi_%7Bbi%7D%20%5Capprox%200.8%24%20V%2C%20%24%5Cvarepsilon_s%20%3D%2011.7%5Cvarepsilon_0%24%2C%20and%20%24N_A%2C%20N_D%20%5Capprox%2010%5E%7B17%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24%2C%20the%20depletion%20width%20is%20%24W%20%5Capprox%200.1%24%20%24%5Cmu%24m.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20One-Sided%20(Asymmetric)%20Junctions%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20Sometimes%2C%20one%20side%20is%20doped%20much%20more%20heavily%20than%20the%20other.%20For%20example%2C%20in%20a%20%24P%5E%2BN%24%20junction%2C%20%24N_A%20%5Cgg%20N_D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Depletion%20width%20simplification%0A%0A%20%20%20%20When%20%24N_A%20%5Cgg%20N_D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24x_p%20%3D%20x_n%20%5Cfrac%7BN_D%7D%7BN_A%7D%20%5Cll%20x_n%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20depletion%20region%20is%20almost%20entirely%20on%20the%20**lightly%20doped**%20(N)%20side%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24W%20%5Capprox%20x_n%20%5Capprox%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%20%5Cphi_%7Bbi%7D%7D%7BqN_D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20More%20generally%2C%20if%20%24N_B%24%20is%20the%20lighter%20doping%20concentration%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BW%20%5Capprox%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%20%5Cphi_%7Bbi%7D%7D%7BqN_B%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Maximum%20electric%20field%0A%0A%20%20%20%20%24%24%7C%5Cmathcal%7BE%7D_%7B%5Cmax%7D%7C%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_B%20W%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2qN_B%20%5Cphi_%7Bbi%7D%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20this%20matters%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20one-sided%20approximation%20is%20common%20(%24P%5E%2BN%24%20and%20%24N%5E%2BP%24%20junctions).%0A%20%20%20%20-%20The%20depletion%20width%20is%20controlled%20by%20the%20**lighter**%20doping.%0A%20%20%20%20-%20This%20is%20the%20basis%20for%20the%20varactor%20diode%20(voltage-variable%20capacitor)%20and%20many%20other%20devices.%0A%20%20%20%20-%20The%20breakdown%20voltage%20is%20also%20determined%20primarily%20by%20the%20lightly%20doped%20side.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20Na_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2014%2C%2018%2C%20value%3D17%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log(N_A)%20%5Bcm%E2%81%BB%C2%B3%5D%22%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Nd_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2014%2C%2018%2C%20value%3D16%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log(N_D)%20%5Bcm%E2%81%BB%C2%B3%5D%22%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20Na_slider%2C%20Nd_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Eg_Si%2C%20Na_slider%2C%20Nd_slider%2C%20eps_s%2C%20kT%2C%20mo%2C%20ni_Si%2C%20np%2C%20plt%2C%20q)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Read%20slider%20values%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%2010%20**%20Na_slider.value%0A%20%20%20%20_Nd%20%3D%2010%20**%20Nd_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Built-in%20potential%0A%20%20%20%20_phi_bi%20%3D%20kT%20*%20np.log(_Na%20*%20_Nd%20%2F%20ni_Si**2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Depletion%20widths%20(cm)%0A%20%20%20%20_xn%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_s%20*%20_phi_bi%20%2F%20q%20*%20_Na%20%2F%20(_Nd%20*%20(_Na%20%2B%20_Nd)))%0A%20%20%20%20_xp%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_s%20*%20_phi_bi%20%2F%20q%20*%20_Nd%20%2F%20(_Na%20*%20(_Na%20%2B%20_Nd)))%0A%20%20%20%20_W%20%3D%20_xn%20%2B%20_xp%0A%0A%20%20%20%20%23%20Maximum%20electric%20field%20magnitude%20(V%2Fcm)%0A%20%20%20%20_E_max%20%3D%20q%20*%20_Na%20*%20_xp%20%2F%20eps_s%0A%0A%20%20%20%20%23%20Spatial%20grid%20(cm)%0A%20%20%20%20_margin%20%3D%202.5%0A%20%20%20%20_x_extent%20%3D%20max(_xn%2C%20_xp)%20*%20_margin%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(-_x_extent%2C%20_x_extent%2C%201000)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Charge%20density%20(C%2Fcm%5E3)%20---%0A%20%20%20%20_rho%20%3D%20np.piecewise(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_x%20%3C%20-_xp%2C%20(_x%20%3E%3D%20-_xp)%20%26%20(_x%20%3C%3D%200)%2C%20(_x%20%3E%200)%20%26%20(_x%20%3C%3D%20_xn)%2C%20_x%20%3E%20_xn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20-q%20*%20_Na%2C%20q%20*%20_Nd%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Electric%20field%20(V%2Fcm)%20---%0A%20%20%20%20_E_field%20%3D%20np.zeros_like(_x)%0A%20%20%20%20_mask_p%20%3D%20(_x%20%3E%3D%20-_xp)%20%26%20(_x%20%3C%3D%200)%0A%20%20%20%20_mask_n%20%3D%20(_x%20%3E%200)%20%26%20(_x%20%3C%3D%20_xn)%0A%20%20%20%20_E_field%5B_mask_p%5D%20%3D%20-q%20*%20_Na%20%2F%20eps_s%20*%20(_x%5B_mask_p%5D%20%2B%20_xp)%0A%20%20%20%20_E_field%5B_mask_n%5D%20%3D%20q%20*%20_Nd%20%2F%20eps_s%20*%20(_x%5B_mask_n%5D%20-%20_xn)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Electrostatic%20potential%20(V)%20---%0A%20%20%20%20_V%20%3D%20np.zeros_like(_x)%0A%20%20%20%20_mask_left%20%3D%20_x%20%3C%3D%20-_xp%0A%20%20%20%20_mask_right%20%3D%20_x%20%3E%20_xn%0A%20%20%20%20_V%5B_mask_left%5D%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_V%5B_mask_p%5D%20%3D%20q%20*%20_Na%20%2F%20(2%20*%20eps_s)%20*%20(_x%5B_mask_p%5D%20%2B%20_xp)%20**%202%0A%20%20%20%20_V%5B_mask_n%5D%20%3D%20_phi_bi%20-%20q%20*%20_Nd%20%2F%20(2%20*%20eps_s)%20*%20(_x%5B_mask_n%5D%20-%20_xn)%20**%202%0A%20%20%20%20_V%5B_mask_right%5D%20%3D%20_phi_bi%0A%0A%20%20%20%20%23%20Convert%20x-axis%20to%20micrometers%20for%20display%0A%20%20%20%20_x_um%20%3D%20_x%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xp_um%20%3D%20_xp%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xn_um%20%3D%20_xn%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Four-panel%20plot%20---%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(4%2C%201%2C%20figsize%3D(10%2C%2014)%2C%20sharex%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20(a)%20Charge%20density%20--%20plot%20rho%2Fq%20in%20units%20of%20cm%5E-3%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(_x_um%2C%20_rho%20%2F%20q%20*%201e-15%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_ylabel(r%22%24%5Crho%5C%2C%2F%5C%2Cq%24%20(%24%5Ctimes%2010%5E%7B15%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24N_A%24%20%3D%20%22%20%2B%20f%22%7B_Na%3A.1e%7D%22%20%2B%20r%22%20cm%24%5E%7B-3%7D%24%2C%20%24N_D%24%20%3D%20%22%20%2B%20f%22%7B_Nd%3A.1e%7D%22%20%2B%20r%22%20cm%24%5E%7B-3%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D13%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axhline(0%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axvline(-_xp_um%2C%20color%3D%22red%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24-x_p%24%20%3D%20%7B-_xp_um%3A.4f%7D%20%5Cu00b5m%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axvline(_xn_um%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24x_n%24%20%3D%20%7B_xn_um%3A.4f%7D%20%5Cu00b5m%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.fill_between(_x_um%2C%20_rho%20%2F%20q%20*%201e-15%2C%200%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.legend(fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axvline(0%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3D%22junction%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20(b)%20Electric%20field%20(V%2Fcm)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(_x_um%2C%20_E_field%2C%20%22r-%22%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set_ylabel(r%22%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%20(V%2Fcm)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.axhline(0%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.axvline(-_xp_um%2C%20color%3D%22red%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.axvline(_xn_um%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.fill_between(_x_um%2C%20_E_field%2C%200%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D%22red%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%24%5C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7B%5C%5Cmax%7D%7D%24%7C%20%3D%20%7B_E_max%3A.2e%7D%20V%2Fcm%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0%2C%20np.min(_E_field))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(0.3%20*%20_xn_um%20%2B%200.5%20*%20_xp_um%2C%20np.min(_E_field)%20*%200.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20color%3D%22red%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22-%3E%22%2C%20color%3D%22red%22%2C%20lw%3D1.5)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.axvline(0%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20(c)%20Electrostatic%20potential%20(V)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(_x_um%2C%20_V%2C%20%22g-%22%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.set_ylabel(r%22%24V%24%20(V)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axhline(0%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axhline(_phi_bi%2C%20color%3D%22green%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%24%20%3D%20%7B_phi_bi%3A.3f%7D%20V%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axvline(-_xp_um%2C%20color%3D%22red%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axvline(_xn_um%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.fill_between(_x_um%2C%20_V%2C%200%2C%20alpha%3D0.10%2C%20color%3D%22green%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axvline(0%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.legend(fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Energy%20bands%20from%20E_c%20%3D%20-V(x)%20%2B%20offset%2C%20with%20E_F%20%3D%200%20---%0A%20%20%20%20_EF_bd%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_Ec_offset%20%3D%20Eg_Si%20%2F%202%20%2B%20kT%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%20%20%23%20(E_c%20-%20E_F)%20on%20P-side%0A%20%20%20%20_Ec%20%3D%20_Ec_offset%20-%20_V%0A%20%20%20%20_Ev%20%3D%20_Ec%20-%20Eg_Si%0A%20%20%20%20_Ei%20%3D%20(_Ec%20%2B%20_Ev)%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20%23%20(d)%20Energy%20band%20diagram%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.plot(_x_um%2C%20_Ec%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Dr%22%24E_c%24%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.plot(_x_um%2C%20_Ev%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Dr%22%24E_v%24%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.plot(_x_um%2C%20_Ei%2C%20%22g%3A%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3Dr%22%24E_i%24%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.axhline(_EF_bd%2C%20color%3D%22red%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3Dr%22%24E_F%24%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.axvspan(-_xp_um%2C%20_xn_um%2C%20alpha%3D0.08%2C%20color%3D%22gray%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.axvline(0%2C%20color%3D%22black%22%2C%20linestyle%3D%22%3A%22%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.axvline(-_xp_um%2C%20color%3D%22red%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.axvline(_xn_um%2C%20color%3D%22blue%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_Ec_P_far%20%3D%20_Ec%5B0%5D%0A%20%20%20%20_Ec_N_far%20%3D%20_Ec%5B-1%5D%0A%20%20%20%20_x_arrow%20%3D%20_x_um%5B-1%5D%20*%200.85%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%20xy%3D(_x_arrow%2C%20_Ec_N_far)%2C%20xytext%3D(_x_arrow%2C%20_Ec_P_far)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D%22%3C-%3E%22%2C%20color%3D%22purple%22%2C%20lw%3D2)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_arrow%20*%201.05%2C%20(_Ec_P_far%20%2B%20_Ec_N_far)%20%2F%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%24q%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%24%20%3D%20%7B_phi_bi%3A.3f%7D%20eV%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20color%3D%22purple%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.set_ylabel(%22Energy%20(eV)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.set_xlabel(%22%24x%24%20(%5Cu00b5m)%22%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.legend(fontsize%3D16%2C%20loc%3D%22lower%20left%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B3%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Computed%20values%20summary%20---%0A%20%20%20%20_info%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Computed%20Values%20at%20Thermal%20Equilibrium%3A**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Symbol%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%3A---------%7C%3A------%3A%7C------%3A%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Built-in%20potential%20%7C%20%24%5C%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%24%20%7C%20%7B_phi_bi%3A.2f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20N-side%20depletion%20width%20%7C%20%24x_n%24%20%7C%20%7B_xn%20*%201e4%3A.3f%7D%20%5Cu00b5m%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20P-side%20depletion%20width%20%7C%20%24x_p%24%20%7C%20%7B_xp%20*%201e4%3A.3f%7D%20%5Cu00b5m%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Total%20depletion%20width%20%7C%20%24W_%7B%7Bdep%7D%7D%24%20%7C%20%7B_W%20*%201e4%3A.3f%7D%20%5Cu00b5m%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Maximum%20electric%20field%20%7C%20%24%5C%5Clvert%5C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7B%5C%5Cmax%7D%7D%5C%5Crvert%24%20%7C%20%7B_E_max%3A.2e%7D%20V%2Fcm%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_title%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Interactive%20Calculator%20of%20%24%5Crho%24%2C%20%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%2C%20%24V%24%2C%20and%20Energy%20Bands%20from%20%24N_A%24%20and%20%24N_D%24%22%22%22)%0A%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.hstack(%5BNa_slider%2C%20Nd_slider%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_title%2C%20_controls%2C%20plt.gca()%2C%20_info%5D%2C%20align%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%20of%20Equations%20(Abrupt%201D%20Junction)%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Expression%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---------%7C%3A-----------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Built-in%20potential%20%7C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cphi_%7Bbi%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BkT%7D%7Bq%7D%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BN_A%20N_D%7D%7Bn_i%5E2%7D%5Cright)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Charge%20neutrality%20%7C%20%24N_A%5C%2C%20x_p%20%3D%20N_D%5C%2C%20x_n%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Charge%20density%20%7C%20%24%5Crho%20%3D%20-qN_A%24%20(P-side)%2C%20%24%5Crho%20%3D%20%2BqN_D%24%20(N-side)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Electric%20field%20(P-side)%20%7C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cmathcal%7BE%7D(x)%20%3D%20-%5Cfrac%7BqN_A%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D(x%20%2B%20x_p)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Electric%20field%20(N-side)%20%7C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cmathcal%7BE%7D(x)%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_D%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D(x%20-%20x_n)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Max%20electric%20field%20%7C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cvert%20%5Cmathcal%7BE%7D_%7B%5Cmax%7D%20%5Cvert%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_A%20x_p%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_D%20x_n%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Potential%20(P-side)%20%7C%20%24%5Cdisplaystyle%20V(x)%20%3D%20%5Cfrac%7BqN_A%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D(x%20%2B%20x_p)%5E2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Potential%20(N-side)%20%7C%20%24%5Cdisplaystyle%20V(x)%20%3D%20%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20%5Cfrac%7BqN_D%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D(x%20-%20x_n)%5E2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20N-side%20depletion%20width%20%7C%20%24%5Cdisplaystyle%20x_n%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%7Bq%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_A%7D%7BN_D(N_A%20%2B%20N_D)%7D%5Ccdot%5Cphi_%7Bbi%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20P-side%20depletion%20width%20%7C%20%24%5Cdisplaystyle%20x_p%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%7Bq%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_D%7D%7BN_A(N_A%20%2B%20N_D)%7D%5Ccdot%5Cphi_%7Bbi%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Total%20depletion%20width%20%7C%20%24%5Cdisplaystyle%20W%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%7Bq%7D%5Ccdot%5Cfrac%7BN_A%20%2B%20N_D%7D%7BN_A%20N_D%7D%5Ccdot%5Cphi_%7Bbi%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20One-sided%20(%24N_A%20%5Cgg%20N_D%24)%20%7C%20%24%5Cdisplaystyle%20W%20%5Capprox%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%5C%2C%5Cphi_%7Bbi%7D%7D%7BqN_B%7D%7D%24%2C%20where%20%24N_B%24%20is%20the%20lighter%20doping%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A