mosfet iv

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.1%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.21.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20q%20%3D%201.6e-19%0A%20%20%20%20k%20%3D%201.381e-23%0A%20%20%20%20kT_300%20%3D%200.02585%20%20%23%20eV%0A%20%20%20%20eps_0%20%3D%208.854e-14%20%20%23%20F%2Fcm%0A%20%20%20%20eps_Si%20%3D%2011.7%0A%20%20%20%20eps_ox%20%3D%203.9%0A%20%20%20%20ni_Si%20%3D%201.1e10%20%20%23%20cm%5E-3%0A%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test%20%3D%20Path(__file__).parent%20%2F%20%22images%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_test.exists()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20Path(__file__).parent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20FileNotFoundError%0A%20%20%20%20except%20Exception%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20None%0A%20%20%20%20IMAGE_BASE%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Fmosfet-iv%2Fimages%22%20if%20ASSET_DIR%20is%20None%20else%20str(ASSET_DIR%20%2F%20%22images%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20MOSFET%20%24I_%7BDS%7D%24%E2%80%93%24V_%7BDS%7D%24%3A%20Derivation%20and%20Modifications%0A%20%20%20%20**ECE350%20Lecture%2034**%0A%0A%20%20%20%20Hu%2C%20Chapters%206%2C%207%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20derives%20the%20MOSFET%20current-voltage%20relationship%20from%20first%20principles%2C%20introduces%20four%20important%20modifications%20to%20the%20ideal%20model%2C%20and%20covers%20key%20short-channel%20effects.%0A%0A%20%20%20%20**Contents%3A**%0A%0A%20%20%20%201.%20Surface%20Mobility%0A%20%20%20%202.%20Derivation%20of%20the%20Square-Law%20IV%20Relation%0A%20%20%20%203.%20Transconductance%0A%20%20%20%204.%20Effective%20Oxide%20Capacitance%0A%20%20%20%205.%20Body%20Effect%0A%20%20%20%206.%20Velocity%20Saturation%0A%20%20%20%207.%20Parasitic%20Source-Drain%20Resistance%0A%20%20%20%208.%20Channel%20Length%20Modulation%0A%20%20%20%209.%20Interactive%20IV%20Comparison%20(all%20effects)%0A%20%20%20%2010.%20Subthreshold%20Conduction%0A%20%20%20%2011.%20%24V_t%24%20Roll-Off%20and%20DIBL%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%20IMAGE_BASE%2C%20eps_0%2C%20eps_Si%2C%20kT_300%2C%20mo%2C%20ni_Si%2C%20np%2C%20plt%2C%20q%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.image(f%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fsurface-mobility.png%22%2C%20width%3D400)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Surface%20Mobility%0A%0A%20%20%20%20Carriers%20in%20the%20MOSFET%20channel%20are%20confined%20to%20a%20thin%20layer%20at%20the%20oxide-semiconductor%20interface.%20The%20**surface%20mobility**%20%24%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%24%20(for%20electrons)%20is%20lower%20than%20the%20bulk%20mobility%20due%20to%20additional%20surface%20scattering%2C%20and%20depends%20on%20%24V_%7B%7BGS%7D%7D%24%2C%20%24V_t%24%2C%20and%20%24t_%7B%7Boxe%7D%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%7Bmo.as_html(_img)%7D%0A%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_coord_img%20%3D%20mo.image(f%22%7BIMAGE_BASE%7D%2FMOSFET-coord.png%22%2C%20width%3D500)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Derivation%20of%20MOSFET%20IV%20Relation%0A%0A%20%20%20%20The%20cross-section%20area%20for%20current%20flow%20is%20the%20channel%20width%20%24W%24%20times%20the%20inversion%20layer%20thickness%20%24h(x)%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20drift%20current%20density%20in%20the%20channel%20is%3A%0A%20%20%20%20%24%24J_N%20%3D%20q%20n%20%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%20%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D%20%3D%20q%20n%20%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%20%5Cleft(-%5Cfrac%7B%7BdV_%7B%7BCS%7D%7D%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24V_%7B%7BCS%7D%7D(x)%24%20is%20the%20channel-to-source%20voltage%20at%20position%20%24x%24%20along%20the%20channel.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Coordinate%20System%0A%0A%20%20%20%20%7Bmo.as_html(_coord_img)%7D%0A%0A%20%20%20%20-%20%24x%24%3A%20along%20the%20channel%20from%20source%20(%24x%3D0%24)%20to%20drain%20(%24x%3DL%24)%0A%20%20%20%20-%20%24y%24%3A%20perpendicular%20to%20M-O-S%0A%20%20%20%20-%20%24z%24%3A%20along%20the%20channel%20width%20%24W%24%0A%20%20%20%20-%20%24h(x)%24%3A%20inversion%20layer%20thickness%20at%20position%20%24x%24%0A%20%20%20%20-%20%24V_%7B%7BCS%7D%7D(x)%24%3A%20channel-to-source%20voltage%20at%20position%20%24x%24%20(%24V_%7B%7BCS%7D%7D(0)%20%3D%200%24%2C%20%24V_%7B%7BCS%7D%7D(L)%20%3D%20V_%7B%7BDS%7D%7D%24)%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Assumptions%0A%20%20%20%201.%20Current%20in%20the%20channel%20is%20due%20to%20**drift%20only**%0A%20%20%20%202.%20No%20current%20flows%20through%20the%20gate%20oxide%0A%20%20%20%203.%20Channel%20mobility%20%24%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%24%20is%20constant%20along%20the%20channel%0A%20%20%20%204.%20%24V_%7B%7BGS%7D%7D%20%3E%20V_t%24%20(above%20threshold)%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%201%3A%20Drift%20Current%20Density%0A%0A%20%20%20%20The%20drift%20current%20density%20in%20the%20channel%20and%20the%20lateral%20electric%20field%20are%3A%0A%20%20%20%20%24%24J_N%20%3D%20q%20%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%20n%20%5C%2C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_x%2C%20%5Cqquad%20%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_x%20%3D%20-%5Cfrac%7B%7BdV_%7B%7BCS%7D%7D%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%202%3A%20Integrate%20Over%20the%20Cross-Section%0A%0A%20%20%20%20The%20drain%20current%20is%20%24J_N%24%20integrated%20over%20the%20cross-section%20area%20in%20the%20%24y%24%E2%80%93%24z%24%20plane.%20%24W%24%20is%20the%20channel%20width%20(along%20%24z%24)%2C%20and%20%24h(x)%24%20is%20the%20channel%20height%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7B%7BDS%7D%7D%20%3D%20-W%20%5Cint_0%5E%7B%7Bh(x)%7D%7D%20J_N%20%5C%2C%20dy%20%3D%20W%20%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%20%5Cfrac%7B%7BdV_%7B%7BCS%7D%7D%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D%20%5Cint_0%5E%7B%7Bh(x)%7D%7D%20q%5C%2C%20n(x%2Cy)%5C%2C%20dy%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20negative%20sign%20arises%20because%20conventional%20current%20flows%20in%20the%20%24-x%24%20direction%20(from%20drain%20to%20source%20inside%20the%20channel).%0A%0A%20%20%20%20But%20the%20**sheet%20charge%20density**%20%24Q_%7B%7Binv%7D%7D%24%20is%20the%20volume%20charge%20density%20integrated%20over%20the%20thickness%20(height)%20of%20the%20channel%3A%0A%20%20%20%20%24%24Q_%7B%7Binv%7D%7D(x)%20%3D%20-%5Cint_0%5E%7B%7Bh(x)%7D%7D%20q%5C%2C%20n(x%2Cy)%5C%2C%20dy%24%24%0A%0A%20%20%20%20Therefore%3A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BI_%7B%7BDS%7D%7D%20%3D%20-W%20%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%20%5Cfrac%7B%7BdV_%7B%7BCS%7D%7D%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D%5C%2C%20Q_%7B%7Binv%7D%7D(x)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%203%3A%20Rearrange%20and%20Integrate%20Both%20Sides%0A%0A%20%20%20%20Rearrange%20and%20integrate%3A%20left%20side%20over%20%24x%24%20from%20%240%24%20to%20%24L%24%2C%20right%20side%20over%20%24V_%7B%7BCS%7D%7D%24%20from%20%240%24%20to%20%24V_%7B%7BDS%7D%7D%24%3A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cint_0%5EL%20I_%7B%7BDS%7D%7D%5C%2C%20dx%20%3D%20-W%20%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%20%5Cint_0%5E%7B%7BV_%7B%7BDS%7D%7D%7D%7D%20Q_%7B%7Binv%7D%7D(x)%5C%2C%20dV_%7B%7BCS%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24I_%7B%7BDS%7D%7D%24%20is%20constant%20along%20the%20channel%20(current%20continuity)%3A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7B%7BDS%7D%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B%7BW%20%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%7D%7D%7B%7BL%7D%7D%20%5Cint_0%5E%7B%7BV_%7B%7BDS%7D%7D%7D%7D%20Q_%7B%7Binv%7D%7D(x)%5C%2C%20dV_%7B%7BCS%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%204%3A%20Substitute%20%24Q_%7B%7Binv%7D%7D%24%0A%0A%20%20%20%20From%20the%20MOS%20capacitor%20analysis%2C%20the%20local%20inversion%20charge%20density%20is%3A%0A%20%20%20%20%24%24Q_%7B%7Binv%7D%7D(x)%20%3D%20-C_%7B%7Boxe%7D%7D%5Cbig%5BV_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_t%20-%20V_%7B%7BCS%7D%7D(x)%5Cbig%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Substituting%3A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7B%7BDS%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7BW%20%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%20C_%7B%7Boxe%7D%7D%7D%7D%7B%7BL%7D%7D%20%5Cint_0%5E%7B%7BV_%7B%7BDS%7D%7D%7D%7D%20%5Cbig(V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_t%20-%20V_%7B%7BCS%7D%7D%5Cbig)%5C%2C%20dV_%7B%7BCS%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BI_%7B%7BDS%7D%7D%20%3D%20%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%20C_%7B%7Boxe%7D%7D%20%5Cfrac%7B%7BW%7D%7D%7B%7BL%7D%7D%5Cleft%5B(V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_t)V_%7B%7BDS%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7B1%7D%7D%7B%7B2%7D%7DV_%7B%7BDS%7D%7D%5E2%5Cright%5D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20**square-law**%20IV%20relation%2C%20valid%20for%20%240%20%3C%20V_%7B%7BDS%7D%7D%20%3C%20V_%7B%7BDsat%7D%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(eps_0%2C%20eps_Si%2C%20kT_300%2C%20mo%2C%20ni_Si%2C%20np%2C%20plt%2C%20q)%3A%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%201e17%0A%20%20%20%20_tox%20%3D%205e-7%20%20%23%20cm%0A%20%20%20%20_Cox%20%3D%203.9%20*%20eps_0%20%2F%20_tox%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_Vt%20%3D%202%20*%20_phi_B%20%2B%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20*%20eps_0%20*%20q%20*%20_Na%20*%202%20*%20_phi_B)%20%2F%20_Cox%0A%20%20%20%20_mu_ns%20%3D%20300%20%20%23%20cm%5E2%2FV%C2%B7s%0A%20%20%20%20_W%20%3D%2010e-4%20%20%23%2010%20%C2%B5m%0A%20%20%20%20_L%20%3D%201e-4%20%20%20%23%201%20%C2%B5m%0A%0A%20%20%20%20_Vds%20%3D%20np.linspace(0%2C%203.5%2C%20500)%0A%20%20%20%20_Vgs_vals%20%3D%20%5B1.0%2C%201.5%2C%202.0%2C%202.5%2C%203.0%5D%0A%20%20%20%20_colors%20%3D%20%5B'%231f77b4'%2C%20'%23ff7f0e'%2C%20'%232ca02c'%2C%20'%23d62728'%2C%20'%239467bd'%5D%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax1%2C%20_ax2)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%205.5))%0A%0A%20%20%20%20_Idsat_list%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_Vov_list%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_vgs%20in%20enumerate(_Vgs_vals)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Vov%20%3D%20_vgs%20-%20_Vt%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_Vov%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Vdsat%20%3D%20_Vov%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ids_triode%20%3D%20_mu_ns%20*%20_Cox%20*%20_W%20%2F%20_L%20*%20(_Vov%20*%20_Vds%20-%200.5%20*%20_Vds**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Idsat%20%3D%200.5%20*%20_mu_ns%20*%20_Cox%20*%20_W%20%2F%20_L%20*%20_Vov**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ids%20%3D%20np.where(_Vds%20%3C%20_Vdsat%2C%20_ids_triode%2C%20_Idsat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ids%20%3D%20np.maximum(_ids%2C%200)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.plot(_Vds%2C%20_ids%20*%201e3%2C%20'-'%2C%20color%3D_colors%5B_i%5D%2C%20lw%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df'%24V_%7B%7BGS%7D%7D%24%20%3D%20%7B_vgs%3A.1f%7D%20V')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.plot(_Vdsat%2C%20_Idsat%20*%201e3%2C%20'o'%2C%20color%3D_colors%5B_i%5D%2C%20markersize%3D7%2C%20zorder%3D5)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Idsat_list.append(_Idsat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Vov_list.append(_Vov)%0A%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlabel('%24V_%7BDS%7D%24%20(V)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylabel('%24I_%7BDS%7D%24%20(mA)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax1.set_title('Square-Law%20%24I_%7BDS%7D%24%E2%80%93%24V_%7BDS%7D%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax1.legend(fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax1.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlim(0%2C%203.5)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylim(0%2C%20None)%0A%20%20%20%20for%20_sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.spines%5B_sp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20_Vov_arr%20%3D%20np.array(_Vov_list)%0A%20%20%20%20_Idsat_arr%20%3D%20np.array(_Idsat_list)%0A%20%20%20%20_Vov_fit%20%3D%20np.linspace(0%2C%20max(_Vov_arr)%20*%201.1%2C%20100)%0A%20%20%20%20_Idsat_fit%20%3D%200.5%20*%20_mu_ns%20*%20_Cox%20*%20_W%20%2F%20_L%20*%20_Vov_fit**2%0A%0A%20%20%20%20_ax2.plot(_Vov_fit%2C%20_Idsat_fit%20*%201e3%2C%20'k--'%2C%20lw%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr'%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cmu_%7Bns%7DC_%7Boxe%7D%5Cfrac%7BW%7D%7BL%7D(V_%7BGS%7D-V_t)%5E2%24')%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(len(_Vov_arr))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.plot(_Vov_arr%5B_i%5D%2C%20_Idsat_arr%5B_i%5D%20*%201e3%2C%20'o'%2C%20color%3D_colors%5B_i%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markersize%3D10%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlabel('%24V_%7BGS%7D%20-%20V_t%24%20(V)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylabel('%24I_%7BDsat%7D%24%20(mA)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax2.set_title('%24I_%7BDsat%7D%20%5C%5Cpropto%20(V_%7BGS%7D%20-%20V_t)%5E2%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax2.legend(fontsize%3D13%2C%20loc%3D'upper%20left')%0A%20%20%20%20_ax2.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlim(0%2C%20None)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylim(0%2C%20None)%0A%20%20%20%20for%20_sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.spines%5B_sp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%0A%20%20%20%20_text%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Saturation%0A%0A%20%20%20%20The%20current%20reaches%20a%20maximum%20when%20%24dI_%7B%7BDS%7D%7D%2FdV_%7B%7BDS%7D%7D%20%3D%200%24%3A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%7BdI_%7B%7BDS%7D%7D%7D%7D%7B%7BdV_%7B%7BDS%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%20C_%7B%7Boxe%7D%7D%20%5Cfrac%7B%7BW%7D%7D%7B%7BL%7D%7D%5Cbig%5B(V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_t)%20-%20V_%7B%7BDS%7D%7D%5Cbig%5D%20%3D%200%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20gives%20the%20**saturation%20voltage**%3A%0A%20%20%20%20%24%24V_%7B%7BDsat%7D%7D%20%3D%20V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_t%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20this%20point%2C%20%24Q_%7B%7Binv%7D%7D(L)%20%3D%200%24%20%E2%80%94%20the%20channel%20is%20%22pinched%20off%22%20at%20the%20drain%20end.%0A%0A%20%20%20%20The%20**saturation%20current**%20is%3A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7B%7BDsat%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B1%7D%7D%7B%7B2%7D%7D%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%20C_%7B%7Boxe%7D%7D%20%5Cfrac%7B%7BW%7D%7D%7B%7BL%7D%7D(V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_t)%5E2%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20%24V_%7B%7BDS%7D%7D%20%3E%20V_%7B%7BDsat%7D%7D%24%2C%20the%20current%20remains%20at%20%24I_%7B%7BDsat%7D%7D%24%20(ideally).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_caption%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20**Device%20parameters%3A**%20%24N_A%24%20%3D%2010%24%5E%7B%7B17%7D%7D%24%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%2C%20%24t_%7B%7Box%7D%7D%24%20%3D%205%20nm%2C%20%24%5Cmu_%7B%7Bns%7D%7D%24%20%3D%20300%20cm%24%5E2%24%2FV%C2%B7s%2C%20%24W%2FL%24%20%3D%2010%2C%20%24V_t%24%20%3D%20%7B_Vt%3A.3f%7D%20V.%20**Left%3A**%20%24I_%7B%7BDS%7D%7D%24-%24V_%7B%7BDS%7D%7D%24%20for%20several%20%24V_%7B%7BGS%7D%7D%24.%20Dots%20mark%20the%20onset%20of%20saturation.%20**Right%3A**%20%24I_%7B%7BDsat%7D%7D%24%20vs.%20%24V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_t%24%2C%20the%20quadratic%20(square-law)%20dependence.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_text%2C%20mo.as_html(_fig)%2C%20_caption%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Transconductance%0A%0A%20%20%20%20The%20**transconductance**%20%24g_m%24%20measures%20how%20well%20the%20gate%20voltage%20controls%20the%20drain%20current%3A%0A%20%20%20%20%24%24g_m%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20I_%7BDS%7D%7D%7B%5Cpartial%20V_%7BGS%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20triode%20region%3A%0A%20%20%20%20%24%24g_m%20%3D%20%5Cmu_%7Bns%7D%20C_%7Boxe%7D%20%5Cfrac%7BW%7D%7BL%7D%20V_%7BDS%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20saturation%20(%24V_%7BDS%7D%20%3D%20V_%7BDsat%7D%24)%2C%20this%20is%20maximized%3A%0A%20%20%20%20%24%24g_m%20%3D%20%5Cmu_%7Bns%7D%20C_%7Boxe%7D%20%5Cfrac%7BW%7D%7BL%7D(V_%7BGS%7D%20-%20V_t)%24%24%0A%0A%20%20%20%20Higher%20%24C_%7Boxe%7D%24%20(thinner%20oxide)%20leads%20to%20higher%20transconductance.%20%24C_%7Boxe%7D%24%20provides%20**charge%20control**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20Effective%20Oxide%20Capacitance%0A%0A%20%20%20%20In%20real%20devices%2C%20the%20oxide%20thickness%20is%20effectively%20wider%20than%20the%20physical%20%24t_%7Box%7D%24%20due%20to%3A%0A%20%20%20%20-%20**Poly-gate%20depletion**%20%E2%80%94%20the%20gate%20electrode%20itself%20has%20a%20small%20depletion%20region%0A%20%20%20%20-%20**Inversion%20layer%20thickness**%20%E2%80%94%20the%20channel%20charge%20centroid%20is%20slightly%20below%20the%20interface%0A%0A%20%20%20%20We%20define%20the%20**effective%20oxide%20thickness**%20%24t_%7Boxe%7D%20%3E%20t_%7Box%7D%24%20and%20use%3A%0A%20%20%20%20%24%24C_%7Boxe%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cepsilon_%7Box%7D%7D%7Bt_%7Boxe%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20in%20place%20of%20%24C_%7Box%7D%20%3D%20%5Cepsilon_%7Box%7D%2Ft_%7Box%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20**Effect%3A**%20The%20actual%20capacitance%20is%20slightly%20lower%20than%20the%20ideal%20value%2C%20reducing%20%24I_%7BDS%7D%24%20and%20%24g_m%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_body_mosfet_img%20%3D%20mo.image(f%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fbody-effect-MOSFET.png%22%2C%20width%3D300)%0A%20%20%20%20_body_model_img%20%3D%20mo.image(f%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fbody-effect-circuit-model.png%22%2C%20width%3D200)%0A%0A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20Body%20Effect%0A%0A%20%20%20%20**Body%20bias**%20(or%20back%20bias)%3A%20apply%20a%20voltage%20%24V_b%24%20to%20the%20body%20to%20adjust%20the%20threshold%20voltage.%20%24V_%7B%7BSB%7D%7D%24%20is%20the%20voltage%20at%20the%20source%20relative%20to%20the%20body.%0A%0A%20%20%20%20%7Bmo.as_html(mo.hstack(%5B_body_mosfet_img%2C%20_body_model_img%5D%2C%20justify%3D%22center%22))%7D%0A%0A%20%20%20%20Previously%2C%20for%20a%20MOS%20capacitor%20in%20inversion%20(without%20%24V_%7B%7BCS%7D%7D%24)%3A%0A%20%20%20%20%24%24Q_%7B%7Binv%7D%7D%20%3D%20-C_%7B%7Boxe%7D%7D(V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_%7B%7Bt0%7D%7D)%24%24%0A%20%20%20%20where%20%24V_%7B%7Bt0%7D%7D%24%20is%20the%20threshold%20voltage%20without%20body%20bias.%20%0A%0A%20%20%20%20Body%20bias%20adds%20charges%20to%20the%20depletion%20layer%2C%20modifying%20the%20inversion%20charge%3A%0A%20%20%20%20%24%24Q_%7B%7Binv%7D%7D%20%3D%20-C_%7B%7Boxe%7D%7D(V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_%7B%7Bt0%7D%7D)%20%2B%20C_%7B%7Bdep%7D%7D%20V_%7B%7BSB%7D%7D%24%24%0A%20%20%20%20where%3A%0A%20%20%20%20%24%24C_%7B%7Bdep%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cvarepsilon_s%7D%7D%7B%7BW_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%7D%7D%2C%20%5Cqquad%20W_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%7B%5Cfrac%7B%7B2%5Cvarepsilon_s%20(2%5Cphi_B)%7D%7D%7B%7BqN_a%7D%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Redefining%20the%20Threshold%20Voltage%0A%0A%20%20%20%20Let's%20redefine%20the%20threshold%20voltage%20to%20absorb%20the%20body%20bias%20term%3A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BV_t%20%3D%20V_%7B%7Bt0%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%7BC_%7B%7Bdep%7D%7D%7D%7D%7B%7BC_%7B%7Boxe%7D%7D%7D%7D%20V_%7B%7BSB%7D%7D%20%5Cequiv%20V_%7B%7Bt0%7D%7D%20%2B%20%5Calpha%20%5C%2C%20V_%7B%7BSB%7D%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Calpha%20%3D%20C_%7B%7Bdep%7D%7D%2FC_%7B%7Boxe%7D%7D%24%20is%20the%20**body%20effect%20parameter**%20and%3A%0A%20%20%20%20%24%24V_%7B%7Bt0%7D%7D%20%3D%20V_%7B%7Bfb%7D%7D%20%2B%202%5Cphi_B%20%2B%20%5Cfrac%7B%7B2%7D%7D%7B%7BC_%7B%7Boxe%7D%7D%7D%7D%5Csqrt%7B%7BqN_a%20%5Cvarepsilon_s%20%5Cphi_B%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20With%20this%20definition%2C%20%24Q_%7B%7Binv%7D%7D%20%3D%20-C_%7B%7Boxe%7D%7D(V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20V_t)%24%2C%20the%20same%20form%20as%20before.%0A%0A%20%20%20%20**Consequences%3A**%0A%20%20%20%20-%20Keep%20%24V_%7B%7BSB%7D%7D%20%3E%200%24%20so%20body-source%20and%20body-drain%20junctions%20remain%20in%20reverse%20bias%0A%20%20%20%20-%20But%20%24V_%7B%7BSB%7D%7D%20%3E%200%24%20means%20%24V_t%24%20is%20increased%20relative%20to%20%24V_%7B%7Bt0%7D%7D%24%2C%20and%20%24I_%7B%7BDS%7D%7D%24%20is%20reduced%20at%20the%20same%20%24V_%7B%7BGS%7D%7D%24%20and%20%24V_%7B%7BDS%7D%7D%24%20%E2%86%92%20**reduces%20circuit%20speed**%0A%20%20%20%20-%20In%20a%20circuit%2C%20multiple%20FETs%20share%20the%20same%20body%20but%20have%20different%20%24V_S%24%2C%20so%20%24V_%7B%7BSB%7D%7D%24%20varies%20%E2%86%92%20body%20effect%20should%20be%20**minimized**%0A%20%20%20%20-%20**Retrograde%20doping**%3A%20lightly%20doped%20surface%20with%20heavily%20doped%20body%20so%20%24W_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%24%20does%20not%20change%20much%20with%20%24V_%7B%7BSB%7D%7D%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Modification%20to%20%24Q_%7Binv%7D(x)%24%20and%20IV%20Relation%0A%0A%20%20%20%20Including%20the%20effective%20oxide%20capacitance%2C%20body%20effect%2C%20and%20channel%20voltage%20%24V_%7BCS%7D(x)%24%3A%0A%0A%20%20%20%20Without%20%24V_%7BCS%7D%24%3A%0A%20%20%20%20%24%24Q_%7Binv%7D%20%3D%20-C_%7Boxe%7D(V_%7BGS%7D%20-%20V_%7Bt0%7D)%20%2B%20C_%7Bdep%7D%20V_%7BSB%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Including%20%24V_%7BCS%7D(x)%24%3A%0A%20%20%20%20%24%24Q_%7Binv%7D(x)%20%3D%20-C_%7Boxe%7D(V_%7BGS%7D%20-%20V_%7Bt0%7D%20-%20V_%7BCS%7D)%20%2B%20C_%7Bdep%7D(V_%7BSB%7D%20%2B%20V_%7BCS%7D)%24%24%0A%20%20%20%20%24%24%3D%20-C_%7Boxe%7D(V_%7BGS%7D%20-%20m%5C%2C%20V_%7BCS%7D%20-%20V_t)%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24m%20%5Cequiv%201%20%2B%20%5Calpha%24%20is%20the%20**bulk-charge%20factor**%20(ideal%20MOSFET%3A%20%24m%20%3D%201%24).%0A%0A%20%20%20%20The%20IV%20relation%20with%20body%20effect%3A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BI_%7BDS%7D%20%3D%20%5Cmu_%7Bns%7D%20C_%7Boxe%7D%20%5Cfrac%7BW%7D%7BL%7D%5Cleft%5B(V_%7BGS%7D%20-%20V_t)V_%7BDS%7D%20-%20%5Cfrac%7Bm%7D%7B2%7DV_%7BDS%7D%5E2%5Cright%5D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Saturation%20voltage%2C%20current%2C%20and%20transconductance%3A%0A%20%20%20%20%24%24V_%7BDsat%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BV_%7BGS%7D%20-%20V_t%7D%7Bm%7D%2C%20%5Cqquad%20I_%7BDsat%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BW%7D%7B2mL%7DC_%7Boxe%7D%5Cmu_%7Bns%7D(V_%7BGS%7D%20-%20V_t)%5E2%2C%20%5Cqquad%20g_%7Bm%2Csat%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BW%5Cmu_%7Bns%7DC_%7Boxe%7D%7D%7BmL%7D(V_%7BGS%7D%20-%20V_t)%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%206.%20Velocity%20Saturation%0A%0A%20%20%20%20So%20far%2C%20the%20surface%20mobility%20is%20assumed%20constant.%20In%20reality%2C%20the%20carrier%20velocity%20saturates%20at%20high%20electric%20fields%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24v%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmu_%7Bns%7D%5C%2C%20%5Cmathcal%7BE%7D%7D%7B1%20%2B%20%5Cmathcal%7BE%7D%2F%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bsat%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bsat%7D%24%20is%20the%20saturation%20electric%20field%20(typically%20%24%5Csim%2010%5E5%24%20V%2Fcm%20for%20electrons%20in%20Si).%0A%0A%20%20%20%20As%20%24V_%7BDS%7D%24%20increases%2C%20the%20lateral%20electric%20field%20in%20the%20channel%20increases.%20When%20%24%5Cmathcal%7BE%7D%20%5Cgg%20%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bsat%7D%24%2C%20the%20velocity%20saturates%20at%20%24v_%7Bsat%7D%20%5Capprox%2010%5E7%24%20cm%2Fs.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Modified%20IV%20Relation%0A%0A%20%20%20%20Including%20velocity%20saturation%20in%20the%20derivation%20modifies%20the%20drain%20current%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7BDS%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmu_%7Bns%7D%20C_%7Boxe%7D%20%5Cfrac%7BW%7D%7BL%7D%5Cleft%5B(V_%7BGS%7D%20-%20V_t)V_%7BDS%7D%20-%20%5Cfrac%7Bm%7D%7B2%7DV_%7BDS%7D%5E2%5Cright%5D%7D%7B1%20%2B%20%5Cfrac%7BV_%7BDS%7D%7D%7B%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bsat%7D%20L%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20denominator%20is%20close%20to%20unity%20when%20%24L%24%20is%20long%20or%20%24V_%7BDS%7D%24%20is%20small%2C%20so%20the%20correction%20is%20negligible.%0A%0A%20%20%20%20**When%20does%20velocity%20saturation%20matter%3F**%0A%20%20%20%20For%20%24V_%7BDS%7D%20%5Csim%201%24%20V%20and%20%24%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bsat%7D%20%5Csim%2010%5E5%24%20V%2Fcm%3A%20significant%20when%20%24L%20%5Clesssim%201%5C%2C%5Cmu%24m%20since%20%24V_%7BDS%7D%2F(%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bsat%7DL)%20%5Csim%200.1%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Effects%3A%0A%20%20%20%20-%20%24I_%7BDS%7D%24%20is%20**reduced**%20at%20the%20same%20%24V_%7BGS%7D%24%2C%20%24V_%7BDS%7D%24%20%E2%86%92%20reduces%20switching%20speed%0A%20%20%20%20-%20%24I_%7BDsat%7D%24%20varies%20roughly%20**linearly**%20with%20%24(V_%7BGS%7D%20-%20V_t)%24%20rather%20than%20quadratically%0A%20%20%20%20-%20%24V_%7BDsat%7D%24%20is%20lower%20than%20the%20long-channel%20value%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_rsd_img%20%3D%20mo.image(f%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fsource-drain-resistance.png%22%2C%20width%3D500)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%207.%20Parasitic%20Source-Drain%20Resistance%0A%0A%20%20%20%20Real%20MOSFETs%20have%20ohmic%20resistance%20%24R_S%24%20and%20%24R_D%24%20in%20series%20with%20the%20source%20and%20drain.%20These%20resistances%20arise%20from%20the%20contact%20resistance%20and%20the%20sheet%20resistance%20of%20the%20n%E2%81%BA%20(or%20p%E2%81%BA)%20regions.%0A%0A%20%20%20%20%7Bmo.as_html(_rsd_img)%7D%0A%0A%20%20%20%20The%20effective%20drain-source%20voltage%20across%20the%20intrinsic%20channel%20is%20reduced%3A%0A%20%20%20%20%24%24V_%7B%7BDS%2C%5Ctext%7B%7Bintrinsic%7D%7D%7D%7D%20%3D%20V_%7B%7BDS%7D%7D%20-%20I_%7B%7BDS%7D%7D(R_S%20%2B%20R_D)%24%24%0A%0A%20%20%20%20To%20account%20for%20this%2C%20replace%20%24V_%7B%7BDS%7D%7D%24%20with%20%24V_%7B%7BDS%7D%7D%20-%20I_%7B%7BDS%7D%7D(R_S%20%2B%20R_D)%24%20in%20the%20IV%20relation.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%2C%20%24V_%7B%7BGS%2C%5Ctext%7B%7Bintrinsic%7D%7D%7D%7D%20%3D%20V_%7B%7BGS%7D%7D%20-%20I_%7B%7BDS%7D%7D%20R_S%24%20(the%20source%20resistance%20also%20reduces%20the%20effective%20gate%20overdrive).%0A%0A%20%20%20%20**Effect%3A**%20Reduces%20%24I_%7B%7BDS%7D%7D%24%20at%20the%20same%20external%20%24V_%7B%7BDS%7D%7D%24%20and%20%24V_%7B%7BGS%7D%7D%24%2C%20especially%20at%20high%20currents.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%208.%20Channel%20Length%20Modulation%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20long-channel%20model%2C%20%24I_%7BDS%7D%20%3D%20I_%7BDsat%7D%24%20(constant)%20for%20%24V_%7BDS%7D%20%3E%20V_%7BDsat%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20In%20reality%2C%20increasing%20%24V_%7BDS%7D%24%20beyond%20%24V_%7BDsat%7D%24%20pushes%20the%20pinch-off%20point%20slightly%20toward%20the%20source%2C%20effectively%20shortening%20the%20channel.%20A%20shorter%20channel%20means%20lower%20resistance%2C%20so%20%24I_%7BDS%7D%24%20increases%20slightly%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7BDS%7D%20%3D%20I_%7BDsat%7D(1%20%2B%20%5Clambda%20V_%7BDS%7D)%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Clambda%24%20is%20the%20**channel%20length%20modulation%20parameter**.%20The%20output%20conductance%20is%3A%0A%20%20%20%20%24%24g_d%20%3D%20%5Clambda%20I_%7BDsat%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20L_comp_slider%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0.05%2C%20stop%3D10.0%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24L%24%20(%C2%B5m)%22)%0A%20%20%20%20m_comp_slider%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D1.0%2C%20stop%3D1.5%2C%20value%3D1.0%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24m%24%20(bulk-charge%20factor)%22)%0A%20%20%20%20Esat_comp_slider%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D1e4%2C%20stop%3D5e5%2C%20value%3D1e5%2C%20step%3D1e4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bsat%7D%24%20(V%2Fcm)%22)%0A%20%20%20%20Rsd_comp_slider%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0%2C%20stop%3D200%2C%20value%3D0%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24R_S%20%2B%20R_D%24%20(%CE%A9)%22)%0A%20%20%20%20lambda_comp_slider%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0.0%2C%20stop%3D0.3%2C%20value%3D0.0%2C%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Clambda%24%20(V%E2%81%BB%C2%B9)%22)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Esat_comp_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20L_comp_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Rsd_comp_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lambda_comp_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m_comp_slider%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Esat_comp_slider%2C%0A%20%20%20%20L_comp_slider%2C%0A%20%20%20%20Rsd_comp_slider%2C%0A%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20kT_300%2C%0A%20%20%20%20lambda_comp_slider%2C%0A%20%20%20%20m_comp_slider%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_L_um%20%3D%20L_comp_slider.value%0A%20%20%20%20_L%20%3D%20_L_um%20*%201e-4%0A%20%20%20%20_m%20%3D%20m_comp_slider.value%0A%20%20%20%20_Esat%20%3D%20Esat_comp_slider.value%0A%20%20%20%20_Rsd%20%3D%20Rsd_comp_slider.value%0A%20%20%20%20_lam%20%3D%20lambda_comp_slider.value%0A%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%201e17%0A%20%20%20%20_tox%20%3D%205e-7%0A%20%20%20%20_Cox%20%3D%203.9%20*%20eps_0%20%2F%20_tox%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_Vt%20%3D%202%20*%20_phi_B%20%2B%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20*%20eps_0%20*%20q%20*%20_Na%20*%202%20*%20_phi_B)%20%2F%20_Cox%0A%20%20%20%20_mu_ns%20%3D%20300%0A%20%20%20%20_W%20%3D%2010e-4%0A%0A%20%20%20%20_Vds%20%3D%20np.linspace(0%2C%203.5%2C%20500)%0A%20%20%20%20_Vgs_vals%20%3D%20%5B1.0%2C%201.5%2C%202.0%2C%202.5%5D%0A%20%20%20%20_colors%20%3D%20%5B'%231f77b4'%2C%20'%23ff7f0e'%2C%20'%232ca02c'%2C%20'%23d62728'%5D%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_Vgs%20in%20enumerate(_Vgs_vals)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Vov%20%3D%20_Vgs%20-%20_Vt%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_Vov%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Vdsat_id%20%3D%20_Vov%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ids_ideal%20%3D%20np.where(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Vds%20%3C%20_Vdsat_id%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_mu_ns%20*%20_Cox%20*%20_W%20%2F%20_L%20*%20(_Vov%20*%20_Vds%20-%200.5%20*%20_Vds**2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.5%20*%20_mu_ns%20*%20_Cox%20*%20_W%20%2F%20_L%20*%20_Vov**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ids_ideal%20%3D%20np.maximum(_ids_ideal%2C%200)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ids_mod%20%3D%20np.zeros_like(_Vds)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_j%20in%20range(len(_Vds))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_id_prev%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_iter%20in%20range(50)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_vgs_int%20%3D%20_Vgs%20-%20_id_prev%20*%20_Rsd%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_vds_int%20%3D%20max(_Vds%5B_j%5D%20-%20_id_prev%20*%20_Rsd%2C%200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_vov_int%20%3D%20max(_vgs_int%20-%20_Vt%2C%200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_vov_int%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_id_new%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_E%20%3D%20_Esat%20*%20_L%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_vdsat%20%3D%20_E%20*%20(-1%20%2B%20np.sqrt(1%20%2B%202%20*%20_vov_int%20%2F%20(_m%20*%20_E)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_vds_int%20%3C%20_vdsat%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_id_new%20%3D%20_mu_ns%20*%20_Cox%20*%20_W%20%2F%20_L%20*%20(_vov_int%20*%20_vds_int%20-%20_m%20%2F%202%20*%20_vds_int**2)%20%2F%20(1%20%2B%20_vds_int%20%2F%20(_Esat%20*%20_L))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Idsat_int%20%3D%20_mu_ns%20*%20_Cox%20*%20_W%20%2F%20_L%20*%20(_vov_int%20*%20_vdsat%20-%20_m%20%2F%202%20*%20_vdsat**2)%20%2F%20(1%20%2B%20_vdsat%20%2F%20(_Esat%20*%20_L))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_id_new%20%3D%20_Idsat_int%20*%20(1%20%2B%20_lam%20*%20(_vds_int%20-%20_vdsat))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_id_new%20%3D%20max(_id_new%2C%200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_id_new%20-%20_id_prev)%20%3C%201e-10%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_id_prev%20%3D%200.5%20*%20_id_prev%20%2B%200.5%20*%20_id_new%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ids_mod%5B_j%5D%20%3D%20_id_new%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_Vds%2C%20_ids_ideal%20*%201e3%2C%20'--'%2C%20color%3D_colors%5B_i%5D%2C%20lw%3D1.5%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_Vds%2C%20_ids_mod%20*%201e3%2C%20'-'%2C%20color%3D_colors%5B_i%5D%2C%20lw%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df'%24V_%7B%7BGS%7D%7D%24%20%3D%20%7B_Vgs%3A.1f%7D%20V')%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel('%24V_%7BDS%7D%24%20(V)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel('%24I_%7BDS%7D%24%20(mA)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(f'Ideal%20(dashed)%20vs.%20Modified%20(solid)%3A%20%24m%24%3D%7B_m%3A.2f%7D%2C%20%24L%24%3D%7B_L_um%7D%20%C2%B5m%2C%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%24%5C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7Bsat%7D%7D%24%3D%7B_Esat%3A.0e%7D%20V%2Fcm%2C%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%24R_%7B%7BSD%7D%7D%24%3D%7B_Rsd%7D%20%CE%A9%2C%20%24%5C%5Clambda%24%3D%7B_lam%3A.2f%7D'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D13%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.legend(fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(0%2C%203.5)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(0%2C%20None)%0A%20%20%20%20for%20_sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.spines%5B_sp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%0A%20%20%20%20_slider_row%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BL_comp_slider%2C%20m_comp_slider%2C%20Esat_comp_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BRsd_comp_slider%2C%20lambda_comp_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%0A%0A%20%20%20%20_header%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%209.%20Interactive%20Comparison%3A%20%24I_%7B%7BDS%7D%7D%24%20vs.%20%24V_%7B%7BDS%7D%7D%24%20with%20Modifications%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_info%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20Each%20modification%20affects%20%24I_%7B%7BDS%7D%7D%24%3A%0A%20%20%20%20-%20**Body%20effect**%20(%24m%20%3E%201%24)%3A%20increases%20effective%20%24V_t%24%2C%20reduces%20%24V_%7B%7BDsat%7D%7D%24%0A%20%20%20%20-%20**Velocity%20saturation**%20(short%20%24L%24)%3A%20limits%20carrier%20velocity%20in%20channel%0A%20%20%20%20-%20**Parasitic%20%24R_%7B%7BSD%7D%7D%24**%3A%20drops%20voltage%20outside%20the%20intrinsic%20channel%0A%20%20%20%20-%20**Channel%20length%20modulation**%20(%24%5Clambda%20%3E%200%24)%3A%20finite%20slope%20in%20saturation%2C%20increases%20%24I_%7B%7BDS%7D%7D%24%20above%20%24V_%7B%7BDsat%7D%7D%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_header%2C%20_slider_row%2C%20mo.as_html(_fig)%2C%20_info%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.image(f%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fsubthreshold-swing.png%22%2C%20width%3D400)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%2010.%20Subthreshold%20Conduction%0A%0A%20%20%20%20When%20%24V_%7B%7BGS%7D%7D%20%3C%20V_t%24%2C%20the%20MOSFET%20is%20not%20truly%20%22off%22.%20A%20small%20**subthreshold%20current**%20flows%20due%20to%20diffusion%20of%20minority%20carriers%20over%20the%20source-channel%20barrier%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7B%7BDS%2Csub%7D%7D%20%5Cpropto%20%5Cexp%5Cleft(%5Cfrac%7B%7BV_%7B%7BGS%7D%7D%7D%7D%7B%7Bm%20%5Ccdot%20kT%2Fq%7D%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20**subthreshold%20swing**%20%24S%24%20measures%20how%20many%20millivolts%20of%20%24V_%7B%7BGS%7D%7D%24%20are%20needed%20to%20change%20%24I_%7B%7BDS%7D%7D%24%20by%20one%20decade%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24S%20%3D%20m%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%7BkT%7D%7D%7B%7Bq%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cln(10)%20%5Capprox%202.3%20%5Ccdot%20m%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%7BkT%7D%7D%7B%7Bq%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20room%20temperature%20with%20%24m%20%3D%201%24%3A%20%24S_%7B%7Bmin%7D%7D%20%3D%2060%24%20mV%2Fdecade%20(the%20**Boltzmann%20limit**).%0A%0A%20%20%20%20Typical%20values%3A%20%24S%20%5Csim%2080%24%E2%80%93%24100%24%20mV%2Fdecade%20(since%20%24m%20%3E%201%24).%0A%0A%20%20%20%20%7Bmo.as_html(mo.hstack(%5B_img%5D%2C%20justify%3D%22center%22))%7D%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Off-State%20Current%20%24I_%7B%7Boff%7D%7D%24%0A%0A%20%20%20%20%24I_%7B%7Boff%7D%7D%24%20is%20the%20drain%20current%20when%20%24V_%7B%7BGS%7D%7D%20%3D%200%24%20V.%20Using%20the%20threshold%20definition%20%24I_%7B%7BDS%7D%7D(V_t)%20%3D%20100%24%20nA%20%24%5Ctimes%20W%2FL%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7B%7Boff%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B100%5C%2C%5Ctext%7B%7BnA%7D%7D%20%5Ccdot%20W%7D%7D%7B%7BL%7D%7D%20%5Ccdot%2010%5E%7B%7B-V_t%20%2F%20S%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24I_%7B%7Boff%7D%7D%24%20is%20reduced%20when%20%24V_t%24%20is%20higher%20or%20%24S%24%20is%20lower.%20Shorter%20channels%20tend%20to%20have%20higher%20%24I_%7B%7Boff%7D%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_rolloff_img%20%3D%20mo.image(f%22%7BIMAGE_BASE%7D%2FVt-roll-off.png%22%2C%20width%3D400)%0A%20%20%20%20_dibl_img%20%3D%20mo.image(f%22%7BIMAGE_BASE%7D%2FDIBL.png%22%2C%20width%3D600)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%2011.%20%24V_t%24%20Roll-Off%20and%20Drain-Induced%20Barrier%20Lowering%20(DIBL)%0A%0A%20%20%20%20As%20the%20channel%20length%20%24L%24%20decreases%2C%20the%20threshold%20voltage%20drops.%20This%20is%20known%20as%20**%24V_t%24%20roll-off**.%20%0A%0A%20%20%20%20Reduction%20of%20%24V_t%24%20means%20higher%20%24I_%7B%7Boff%7D%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%7Bmo.as_html(mo.hstack(%5B_rolloff_img%5D%2C%20justify%3D%22center%22))%7D%0A%0A%20%20%20%20**Physical%20origin%3A%20Drain-Induced%20Barrier%20Lowering%20(DIBL)**%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20long-channel%20device%2C%20the%20potential%20barrier%20between%20source%20and%20drain%20is%20fully%20controlled%20by%20the%20gate%20and%20reaches%20its%20maximum%20value.%20%24V_t%24%20has%20its%20expected%20(designed)%20value.%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20short-channel%20device%2C%20the%20drain%20electric%20field%20encroaches%20on%20the%20source-channel%20barrier.%20The%20barrier%20cannot%20reach%20its%20full%20height%20%E2%86%92%20%24V_t%24%20is%20**reduced**.%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_t(%5Ctext%7B%7Bshort%7D%7D)%20%3D%20V_t(%5Ctext%7B%7Blong%7D%7D)%20-%20%5Ceta%20%5Ccdot%20V_%7B%7BDS%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Ceta%24%20is%20the%20DIBL%20coefficient%20(typically%2020%E2%80%93100%20mV%2FV).%0A%0A%20%20%20%20**Consequences%3A**%0A%20%20%20%20-%20Short-channel%20MOSFETs%20have%20**higher%20%24I_%7B%7Boff%7D%7D%24**%20(lower%20%24V_t%24%20means%20more%20subthreshold%20leakage)%0A%20%20%20%20-%20There%20is%20a%20**minimum%20channel%20length**%20below%20which%20the%20transistor%20cannot%20be%20adequately%20turned%20off%0A%20%20%20%20-%20DIBL%20makes%20%24V_t%24%20depend%20on%20%24V_%7B%7BDS%7D%7D%24%2C%20which%20is%20undesirable%20for%20circuit%20design%0A%0A%0A%20%20%20%20%7Bmo.as_html(mo.hstack(%5B_dibl_img%5D%2C%20justify%3D%22center%22))%7D%0A%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Modification%20%7C%20Effect%20on%20IV%20%7C%20Key%20Parameter%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A-------------%7C%3A-------------%7C%3A---------------%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Effective%20%24C_%7Boxe%7D%24**%20%7C%20Reduces%20%24I_%7BDS%7D%24%20and%20%24g_m%24%20%7C%20%24t_%7Boxe%7D%20%3E%20t_%7Box%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Body%20effect**%20%7C%20Increases%20%24V_t%24%2C%20reduces%20%24I_%7BDS%7D%24%3B%20%24V_%7BDsat%7D%20%3D%20(V_%7BGS%7D-V_t)%2Fm%24%20%7C%20%24m%20%3D%201%20%2B%20C_%7Bdep%7D%2FC_%7Boxe%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Velocity%20saturation**%20%7C%20Reduces%20%24I_%7BDS%7D%24%3B%20%24I_%7BDsat%7D%24%20becomes%20linear%20in%20%24V_%7BGS%7D-V_t%24%20%7C%20%24%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bsat%7D%20L%24%20vs.%20%24V_%7BDS%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Parasitic%20%24R_%7BSD%7D%24**%20%7C%20Reduces%20effective%20%24V_%7BDS%7D%24%20and%20%24V_%7BGS%7D%24%20%7C%20%24R_S%20%2B%20R_D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Channel%20length%20modulation**%20%7C%20%24I_%7BDS%7D%24%20has%20finite%20slope%20in%20saturation%20%7C%20%24%5Clambda%24%20(gives%20%24g_d%20%3D%20%5Clambda%20I_%7BDsat%7D%24)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Subthreshold%20swing**%20%7C%20Exponential%20turn-off%20below%20%24V_t%24%3B%20determines%20%24I_%7Boff%7D%24%20%7C%20%24S%20%5Cgeq%2060%24%20mV%2Fdec%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**DIBL**%20%7C%20%24V_t%24%20decreases%20with%20%24V_%7BDS%7D%24%20in%20short%20channels%20%7C%20%24%5Ceta%24%20(mV%2FV)%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Complete%20IV%20relation%20(triode%2C%20with%20all%20modifications)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7BDS%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmu_%7Bns%7D%20C_%7Boxe%7D%20%5Cdfrac%7BW%7D%7BL%7D%5Cleft%5B(V_%7BGS%7D%20-%20V_t)%20V_%7BDS%7D%20-%20%5Cdfrac%7Bm%7D%7B2%7DV_%7BDS%7D%5E2%5Cright%5D%7D%7B1%20%2B%20%5Cdfrac%7BV_%7BDS%7D%7D%7B%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bsat%7D%20L%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20with%20%24V_%7BDS%7D%24%20replaced%20by%20%24V_%7BDS%7D%20-%20I_%7BDS%7D(R_S%20%2B%20R_D)%24%20to%20account%20for%20parasitic%20resistance.%0A%0A%20%20%20%20**The%20key%20trade-off%20in%20MOSFET%20scaling%3A**%20Shrinking%20%24L%24%20increases%20speed%20and%20density%2C%20but%20worsens%20short-channel%20effects%20(DIBL%2C%20%24V_t%24%20roll-off%2C%20higher%20%24I_%7Boff%7D%24).%20Advanced%20device%20architectures%20(FinFET%2C%20nanosheets)%20are%20designed%20to%20maintain%20gate%20control%20as%20%24L%24%20scales%20below%2020%20nm.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A