mos energy bands

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.1%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.21.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20q%20%3D%201.6e-19%0A%20%20%20%20k%20%3D%201.381e-23%0A%20%20%20%20kT_300%20%3D%200.02585%0A%20%20%20%20eps_0%20%3D%208.854e-14%20%20%20%23%20F%2Fcm%0A%20%20%20%20eps_Si%20%3D%2011.7%0A%20%20%20%20eps_ox%20%3D%203.9%0A%20%20%20%20ni_Si%20%3D%201.1e10%0A%20%20%20%20Eg_Si%20%3D%201.12%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20eV%0A%20%20%20%20chi_Si%20%3D%204.05%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20eV%0A%20%20%20%20Nc_Si%20%3D%202.86e19%0A%20%20%20%20Nv_Si%20%3D%201.08e19%0A%0A%20%20%20%20%23%20Intrinsic%20level%20position%20(NOT%20at%20mid-gap)%0A%20%20%20%20%23%20E_c%20-%20E_Fi%20%3D%20Eg%2F2%20%2B%20(kT%2F2)*ln(Nc%2FNv)%0A%20%20%20%20%23%20E_Fi%20-%20E_v%20%3D%20Eg%2F2%20%2B%20(kT%2F2)*ln(Nv%2FNc)%0A%20%20%20%20Ec_minus_Ei%20%3D%20Eg_Si%20%2F%202%20%2B%20kT_300%20%2F%202%20*%20np.log(Nc_Si%20%2F%20Nv_Si)%0A%20%20%20%20Ei_minus_Ev%20%3D%20Eg_Si%20%2F%202%20%2B%20kT_300%20%2F%202%20*%20np.log(Nv_Si%20%2F%20Nc_Si)%0A%0A%20%20%20%20%23%20SiO2%20band%20offsets%0A%20%20%20%20Eg_ox%20%3D%209.0%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20eV%0A%20%20%20%20chi_ox%20%3D%200.95%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20eV%0A%20%20%20%20dEc_ox%20%3D%20chi_Si%20-%20chi_ox%20%20%23%20conduction%20band%20offset%20Si-SiO2%20~3.1%20eV%0A%20%20%20%20dEv_ox%20%3D%20Eg_ox%20-%20Eg_Si%20-%20dEc_ox%20%20%23%20valence%20band%20offset%20~4.8%20eV%0A%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test%20%3D%20Path(__file__).parent%20%2F%20%22images%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_test.exists()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20Path(__file__).parent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20FileNotFoundError%0A%20%20%20%20except%20Exception%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20None%0A%20%20%20%20IMAGE_BASE%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Fmos-energy-bands%2Fimages%22%20if%20ASSET_DIR%20is%20None%20else%20str(ASSET_DIR%20%2F%20%22images%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20MOS%20Capacitor%3A%20Energy%20Bands%20and%20Electrostatics%0A%20%20%20%20**ECE350%20Lectures%2029-30**%0A%0A%20%20%20%20Hu%2C%20Chapter%205%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20develops%20the%20energy%20band%20structure%20and%20electrostatics%20of%20the%20Metal-Oxide-Semiconductor%20(MOS)%20capacitor%20%E2%80%94%20the%20heart%20of%20the%20MOSFET.%0A%0A%20%20%20%20**Contents%3A**%0A%0A%20%20%20%201.%20**MOS%20Structure%20Overview**%20%E2%80%94%20ideal%20MOS%20assumptions%2C%20flat-band%20energy%20diagram%0A%20%20%20%202.%20**Applying%20a%20Gate%20Voltage**%20%E2%80%94%20regimes%20of%20operation%20(accumulation%2C%20depletion%2C%20threshold%2C%20inversion)%2C%20energy%20band%20diagrams%20in%20each%20regime%2C%20interactive%20P-type%20energy%20bands%0A%20%20%20%203.%20**Threshold%20Condition**%20%E2%80%94%20derivation%20of%20why%20%24%5Cphi_s%20%3D%202%5Cphi_B%24%20at%20threshold%0A%20%20%20%204.%20**Electrostatics%20of%20the%20MOS%20Capacitor**%20%E2%80%94%20charge%20density%2C%20electric%20field%2C%20and%20potential%20from%20Poisson's%20equation%3B%20interactive%20P-type%20electrostatics%0A%20%20%20%205.%20**Threshold%20Voltage%20Derivation**%20%E2%80%94%20%24W_%7Bdep%2Cmax%7D%24%2C%20%24V_T%24%20expression%2C%20numerical%20example%0A%20%20%20%206.%20**N-Body%20vs.%20P-Body%20MOS%20Capacitor**%20%E2%80%94%20comparison%20table%2C%20interactive%20N-type%20energy%20bands%20and%20electrostatics%0A%20%20%20%207.%20**Summary**%20%E2%80%94%20key%20equations%20and%20concepts%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_minus_Ei%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ei_minus_Ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dEc_ox%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dEv_ox%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps_ox%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kT_300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20MOS%20Structure%20Overview%0A%0A%20%20%20%20The%20**MOS%20capacitor**%20consists%20of%20three%20layers%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Metal%20gate**%20%E2%80%94%20a%20conductor%20(e.g.%2C%20aluminum%2C%20polysilicon)%0A%20%20%20%202.%20**Oxide**%20%E2%80%94%20a%20thin%20insulating%20layer%20of%20SiO%24_2%24%20(typical%20thickness%202%E2%80%9320%20nm)%0A%20%20%20%203.%20**Semiconductor%20body**%20%E2%80%94%20assume%20p-type%20silicon%20first%20(the%20%22substrate%22%20or%20%22body%22)%0A%0A%20%20%20%20The%20MOS%20capacitor%20is%20the%20heart%20of%20the%20MOSFET%2C%20the%20most%20important%20device%20in%20modern%20electronics.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Ideal%20MOS%20Assumptions%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20entire%20gate%20is%20at%20the%20same%20potential%20(metal%20has%20zero%20resistance)%0A%20%20%20%20-%20The%20oxide%20is%20a%20perfect%20insulator%20(no%20current%20flows%20through%20it)%0A%20%20%20%20-%20No%20charges%20in%20the%20oxide%20or%20at%20the%20oxide-semiconductor%20interface%0A%20%20%20%20-%20The%20semiconductor%20is%20uniformly%20doped%20and%20thick%20enough%20for%20bulk%20properties%0A%20%20%20%20-%20%24%5CPsi_M%20%3D%20%5CPsi_S%24%20(gate%20and%20semiconductor%20work%20functions%20are%20identical)%0A%0A%20%20%20%20Under%20these%20assumptions%2C%20the%20bands%20in%20the%20semiconductor%20are%20**flat**%20at%20%24V_G%20%3D%200%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Ec_minus_Ei%2C%0A%20%20%20%20Ei_minus_Ev%2C%0A%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20dEc_ox%2C%0A%20%20%20%20dEv_ox%2C%0A%20%20%20%20kT_300%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%0A%0A%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_Ei_bulk%20%3D%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Ec_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20%2B%20Ec_minus_Ei%0A%20%20%20%20_Ev_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20Ei_minus_Ev%0A%0A%20%20%20%20_Evac%20%3D%20_Ec_bulk%20%2B%20chi_Si%0A%0A%20%20%20%20_Psi_S%20%3D%20chi_Si%20%2B%20Ec_minus_Ei%20%2B%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Psi_M%20%3D%20_Psi_S%0A%0A%20%20%20%20_EFm%20%3D%20_EF%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8.8%2C%204.8))%0A%0A%20%20%20%20_xM%20%3D%20%5B-1.8%2C%20-1.2%5D%0A%20%20%20%20_xO%20%3D%20%5B-1.2%2C%200.0%5D%0A%20%20%20%20_xS%20%3D%20%5B0.0%2C%202.0%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Metal%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xM%2C%20_EFm%20-%202.5%2C%20_EFm%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.35)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xM%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xM%5B0%5D%20%2B%200.05%2C%20_EFm%20%2B%200.12%2C%20'%24E_F%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xM%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xM%5B0%5D%20%2B%200.05%2C%20_Evac%20%2B%200.12%2C%20'%24E_%7Bvac%7D%24'%2C%20fontsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Work%20function%20annotation%20(metal)%0A%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20_xwf_m%20%3D%20-1.5%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xwf_m%2C%20_xwf_m%5D%2C%20%5B_EFm%2C%20_Evac%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xwf_m%20-%20_cap%2C%20_xwf_m%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xwf_m%20-%20_cap%2C%20_xwf_m%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xwf_m%20%2B%200.1%2C%20(_EFm%20%2B%20_Evac)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5CPsi_M%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'purple'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Oxide%20%E2%80%94%20wide-gap%20insulator%20with%20Ec%2Cox%20and%20Ev%2Cox%0A%20%20%20%20_Ec_ox_semi%20%3D%20_Ec_bulk%20%2B%20dEc_ox%0A%20%20%20%20_Ev_ox_semi%20%3D%20_Ev_bulk%20-%20dEv_ox%0A%20%20%20%20_Ec_ox_metal%20%3D%20_Ec_ox_semi%20%20%23%20flat-band%3A%20no%20E-field%20in%20oxide%0A%20%20%20%20_Ev_ox_metal%20%3D%20_Ev_ox_semi%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_metal%2C%20_Ev_ox_semi%5D%2C%20%5B_Ec_ox_metal%2C%20_Ec_ox_semi%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'%23ffffcc'%2C%20alpha%3D0.5%2C%20edgecolor%3D'none')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xO%2C%20%5B_Ec_ox_metal%2C%20_Ec_ox_semi%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_metal%2C%20_Ev_ox_semi%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.text(-0.6%2C%20_Ec_ox_semi%20%2B%200.15%2C%20'%24E_%7Bc%2Cox%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center')%0A%20%20%20%20_ax.text(-0.6%2C%20_Ev_ox_semi%20-%200.3%2C%20'%24E_%7Bv%2Cox%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Semiconductor%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xS%2C%20%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xS%2C%20%5B_Ev_bulk%2C%20_Ev_bulk%5D%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xS%2C%20%5B_Ei_bulk%2C%20_Ei_bulk%5D%2C%20'k--'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xS%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xS%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20_ax.text(2.1%2C%20_Ec_bulk%2C%20'%24E_c%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax.text(2.1%2C%20_Ev_bulk%2C%20'%24E_v%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax.text(2.1%2C%20_Ei_bulk%2C%20'%24E_%7BFi%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_ax.text(2.1%2C%20_EF%2C%20'%24E_%7BFs%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax.text(2.1%2C%20_Evac%2C%20'%24E_%7Bvac%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Electron%20affinity%20annotation%0A%20%20%20%20_xchi%20%3D%201.2%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xchi%2C%20_xchi%5D%2C%20%5B_Ec_bulk%2C%20_Evac%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xchi%20-%20_cap%2C%20_xchi%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xchi%20-%20_cap%2C%20_xchi%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xchi%20%2B%200.12%2C%20(_Ec_bulk%20%2B%20_Evac)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cchi%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Semiconductor%20work%20function%20annotation%0A%20%20%20%20_xwf_s%20%3D%201.7%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xwf_s%2C%20_xwf_s%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_Evac%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xwf_s%20-%20_cap%2C%20_xwf_s%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xwf_s%20-%20_cap%2C%20_xwf_s%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xwf_s%20%2B%200.12%2C%20(_EF%20%2B%20_Evac)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5CPsi_S%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'purple'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%23%20phi_B%20annotation%0A%20%20%20%20_xphi%20%3D%200.7%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xphi%2C%20_xphi%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_Ei_bulk%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xphi%20-%20_cap%2C%20_xphi%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xphi%20-%20_cap%2C%20_xphi%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ei_bulk%2C%20_Ei_bulk%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xphi%20%2B%200.12%2C%20(_EF%20%2B%20_Ei_bulk)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_B%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'purple'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Interface%20lines%20(from%20Ev%2Cox%20to%20Ec%2Cox)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B-1.2%2C%20-1.2%5D%2C%20%5B_Ev_ox_metal%2C%20_Ec_ox_metal%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B_Ev_ox_semi%2C%20_Ec_ox_semi%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Region%20labels%0A%20%20%20%20_ax.text(-1.5%2C%20_Ev_ox_semi%20-%200.5%2C%20'Metal%5Cn(Gate)'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.text(2.0%2C%20_Ev_ox_semi%20-%200.5%2C%20'P-type%20Si'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(-2.1%2C%203.0)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(_Ev_ox_semi%20-%201.0%2C%20_Evac%20%2B%200.8)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(r'Flat-Band%20Energy%20Diagram%20(Ideal%20MOS%2C%20%24V_G%20%3D%200%24%2C%20%24%5CPsi_M%20%3D%20%5CPsi_S%24)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20for%20_sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%2C%20'bottom'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.spines%5B_sp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%0A%20%20%20%20_caption%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20**Flat-band%20diagram**%20for%20an%20ideal%20MOS%20capacitor%20with%20p-type%20Si%20body%20(%24N_A%24%20%3D%20%7B_Na%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24).%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cphi_B%20%3D%20E_%7B%7BFi%7D%7D%20-%20E_%7B%7BFs%2C%20bulk%7D%7D%20%3D%20(kT%2Fq)%5Cln(N_A%2Fn_i)%24%20%3D%20%7B_phi_B%3A.3f%7D%20eV.%20%0A%20%20%20%20-%20%24%5CPsi_S%20%3D%20%5Cchi%20%2B%20(E_c%20-%20E_%7B%7BFs%2C%20bulk%7D%7D)%24%20%3D%20%7B_Psi_S%3A.3f%7D%20eV%0A%20%20%20%20-%20In%20the%20ideal%20MOS%2C%20%24%5CPsi_M%20%3D%20%5CPsi_S%24%2C%20so%20%20bands%20are%20flat%20at%20%24V_G%20%3D%200%24.%0A%20%20%20%20-%20The%20oxide%20has%20a%20large%20band%20gap%20(%24E_g%20%5Capprox%209%24%20eV).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bmo.as_html(_fig)%2C%20_caption%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Applying%20a%20Gate%20Voltage%0A%0A%20%20%20%20When%20a%20voltage%20%24V_G%24%20is%20applied%20to%20the%20metal%20gate%20relative%20to%20the%20semiconductor%20body%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20metal%20Fermi%20level%20shifts%20relative%20to%20the%20semiconductor%20Fermi%20level%3A%20%24E_%7BF%2CM%7D%20-%20E_%7BF%2CS%7D%20%3D%20-qV_G%24%0A%20%20%20%20-%20The%20voltage%20drops%20partly%20across%20the%20oxide%20(%24V_%7Box%7D%24)%20and%20partly%20across%20the%20semiconductor%20surface%20(%24%5Cphi_s%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BV_G%20%3D%20%5Cphi_s%20%2B%20V_%7Box%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cphi_s%24%20is%20the%20**surface%20potential**%3A%20voltage%20dropped%20in%20the%20semiconductor%0A%20%20%20%20-%20%24V_%7B%7Box%7D%7D%24%20is%20the%20voltage%20dropped%20in%20the%20oxide%0A%0A%20%20%20%20**Sign%20convention%3A**%20%24%5Cphi_s%20%3E%200%24%20means%20the%20bands%20bend%20**downward**%20at%20the%20surface%20(toward%20inversion%20for%20p-type).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Regimes%20of%20Operation%20(P-type%20body)%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Regime%20%7C%20Condition%20%7C%20Surface%20%7C%20Band%20Bending%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A-------%7C%3A----------%7C%3A--------%7C%3A-------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Accumulation**%20%7C%20%24V_G%20%3C%200%24%20%7C%20Holes%20accumulate%20%7C%20Bands%20bend%20**up**%20(%24%5Cphi_s%20%3C%200%24)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Flat%20band**%20%7C%20%24V_G%20%3D%200%24%20%7C%20No%20excess%20charge%20%7C%20No%20bending%20(%24%5Cphi_s%20%3D%200%24)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Depletion**%20%7C%20%240%20%3C%20V_G%20%3C%20V_T%24%20%7C%20Depletion%20region%20forms%20%7C%20Bands%20bend%20**down**%20(%240%20%3C%20%5Cphi_s%20%3C%202%5Cphi_B%24)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Threshold**%20%7C%20%24V_G%20%3D%20V_T%24%20%7C%20%24n_s%20%3D%20N_A%24%20%7C%20%24%5Cphi_s%20%3D%202%5Cphi_B%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Inversion**%20%7C%20%24V_G%20%3E%20V_T%24%20%7C%20Electron%20inversion%20layer%20%7C%20%24%5Cphi_s%20%5Capprox%202%5Cphi_B%24%20(pinned)%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Ec_minus_Ei%2C%0A%20%20%20%20Ei_minus_Ev%2C%0A%20%20%20%20dEc_ox%2C%0A%20%20%20%20dEv_ox%2C%0A%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20kT_300%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_Ei_bulk%20%3D%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Ec_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20%2B%20Ec_minus_Ei%0A%20%20%20%20_Ev_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20Ei_minus_Ev%0A%0A%20%20%20%20_phi_st%20%3D%202%20*%20_phi_B%0A%20%20%20%20_eps_s%20%3D%20eps_Si%20*%20eps_0%0A%20%20%20%20_Wdep_max_cm%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_s%20*%20_phi_st%20%2F%20(q%20*%20_Na))%0A%20%20%20%20_Cox%20%3D%20eps_0%20*%203.9%20%2F%20(5e-7)%0A%20%20%20%20_Vt%20%3D%20_phi_st%20%2B%20q%20*%20_Na%20*%20_Wdep_max_cm%20%2F%20_Cox%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20_eps_s%20*%20_Na)%20%2F%20_Cox%0A%0A%20%20%20%20_regimes%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Accumulation%20(%24V_G%20%3C%200%24)%22%2C%20-1.5%2C%20'%23d62728')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Depletion%20(%240%20%3C%20V_G%20%3C%20V_T%24)%22%2C%20_Vt%20*%200.5%2C%20'%232ca02c')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Threshold%20(%24V_G%20%3D%20V_T%24)%22%2C%20_Vt%2C%20'%23ff7f0e')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Inversion%20(%24V_G%20%3E%20V_T%24)%22%2C%20_Vt%20%2B%201.5%2C%20'%231f77b4')%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%204%2C%20figsize%3D(18%2C%207.5)%2C%20sharey%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20for%20_idx%2C%20(_label%2C%20_Vg%2C%20_color)%20in%20enumerate(_regimes)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B_idx%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Solve%20for%20surface%20potential%20from%20gate%20voltage%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_Vg%20%3E%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s%20%3D%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3C%201e-6%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s%20%3D%201e-6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_f%20%3D%20_phi_s%20%2B%20_gamma%20*%20np.sqrt(_phi_s)%20-%20_Vg%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_df%20%3D%201%20%2B%20_gamma%20%2F%20(2%20*%20np.sqrt(_phi_s))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s%20-%3D%20_f%20%2F%20_df%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_f)%20%3C%201e-8%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s%20%3D%20min(_phi_s%2C%20_phi_st)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_s%20*%20_phi_s%20%2F%20(q%20*%20_Na))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s%20%3D%20_Vg%20*%200.25%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep%20%3D%200%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_EFm%20%3D%20_EF%20-%20_Vg%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Spatial%20coordinates%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xM%20%3D%20%5B-1.8%2C%20-1.2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xO%20%3D%20%5B-1.2%2C%200.0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc_end%20%3D%202.5%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Semiconductor%20band%20profile%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3E%200.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_plot%20%3D%20min(2.5%2C%20max(0.3%2C%20_Wdep%20*%201e4%20*%202.5))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_dep%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_Wdep_plot%2C%20200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_flat%20%3D%20np.linspace(_Wdep_plot%2C%20_x_sc_end%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bending%20%3D%20_phi_s%20*%20(1%20-%20_x_dep%20%2F%20_Wdep_plot)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_dep%20%3D%20_Ec_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_dep%20%3D%20_Ev_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_dep%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_x_dep%2C%20_x_flat%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ec_dep%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ec_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ev_dep%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ev_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ei_dep%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ei_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20_phi_s%20%3C%20-0.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bend_len%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_acc%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_bend_len%2C%20100)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_flat%20%3D%20np.linspace(_bend_len%2C%20_x_sc_end%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bending%20%3D%20_phi_s%20*%20(1%20-%20_x_acc%20%2F%20_bend_len)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_acc%20%3D%20_Ec_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_acc%20%3D%20_Ev_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_acc%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_x_acc%2C%20_x_flat%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ec_acc%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ec_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ev_acc%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ev_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ei_acc%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ei_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.array(%5B0%2C%20_x_sc_end%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ev_bulk%2C%20_Ev_bulk%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ei_bulk%2C%20_Ei_bulk%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Metal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.fill_between(_xM%2C%20_EFm%20-%202.0%2C%20_EFm%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_xM%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xM%5B0%5D%20%2B%200.05%2C%20_EFm%20%2B%200.1%2C%20'%24E_%7BF%2CM%7D%24'%2C%20fontsize%3D11%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Oxide%20bands%20(Ec%2Cox%20and%20Ev%2Cox)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_ox_s%20%3D%20_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20dEc_ox%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_ox_s%20%3D%20_Ev_sc%5B0%5D%20-%20dEv_ox%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_ox_tilt%20%3D%20_Vg%20-%20_phi_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_ox_m%20%3D%20_Ec_ox_s%20-%20_V_ox_tilt%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_ox_m%20%3D%20_Ev_ox_s%20-%20_V_ox_tilt%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.fill_between(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s%5D%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'%23ffffcc'%2C%20alpha%3D0.4%2C%20edgecolor%3D'none')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_xO%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Semiconductor%20bands%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ec_sc%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ev_sc%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ei_sc%2C%20'k--'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%20_x_sc_end%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Interface%20lines%20(from%20Ev%2Cox%20to%20Ec%2Cox)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B-1.2%2C%20-1.2%5D%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ec_ox_m%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B_Ev_ox_s%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Labels%20at%20right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_idx%20%3D%3D%203%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(2.6%2C%20_Ec_bulk%2C%20'%24E_c%24'%2C%20fontsize%3D12%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(2.6%2C%20_Ev_bulk%2C%20'%24E_v%24'%2C%20fontsize%3D12%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(2.6%2C%20_Ei_bulk%2C%20'%24E_%7BFi%7D%24'%2C%20fontsize%3D12%2C%20va%3D'center'%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(2.6%2C%20_EF%2C%20'%24E_%7BFs%7D%24'%2C%20fontsize%3D12%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20phi_s%20annotation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_phi_s)%20%3E%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xann%20%3D%200.15%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%2C%20_xann%5D%2C%20%5B_Ec_sc%5B0%5D%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_sc%5B0%5D%2C%20_Ec_sc%5B0%5D%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xann%20%2B%200.15%2C%20(_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20_Ec_bulk)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_s%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20phi_B%20annotation%20(between%20E_Fi%2Cbulk%20and%20E_F%20in%20bulk)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xpB%20%3D%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xpB%2C%20_xpB%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_Ei_bulk%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xpB%20-%20_cap%2C%20_xpB%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xpB%20-%20_cap%2C%20_xpB%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ei_bulk%2C%20_Ei_bulk%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xpB%20%2B%200.12%2C%20(_EF%20%2B%20_Ei_bulk)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_B%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D11%2C%20color%3D'purple'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20V_ox%20annotation%20at%20oxide-metal%20interface%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_V_ox_tilt)%20%3E%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xvox%20%3D%20-1.05%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bracket_top%20%3D%20_Ec_ox_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bracket_bot%20%3D%20_Ec_ox_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_min_visual%20%3D%200.4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_bracket_top%20-%20_bracket_bot)%20%3C%20_min_visual%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_mid%20%3D%20(_bracket_top%20%2B%20_bracket_bot)%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_sign%20%3D%201%20if%20_bracket_top%20%3E%3D%20_bracket_bot%20else%20-1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bracket_top%20%3D%20_mid%20%2B%20_sign%20*%20_min_visual%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bracket_bot%20%3D%20_mid%20-%20_sign%20*%20_min_visual%20%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvox%2C%20_xvox%5D%2C%20%5B_bracket_bot%2C%20_bracket_top%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvox%20-%20_cap%2C%20_xvox%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_bracket_bot%2C%20_bracket_bot%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvox%20-%20_cap%2C%20_xvox%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_bracket_top%2C%20_bracket_top%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xvox%20%2B%200.12%2C%20(_bracket_bot%20%2B%20_bracket_top)%20%2F%202%2C%20r'%24qV_%7Box%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D11%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20va%3D'center'%2C%20ha%3D'left')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Title%20with%20regime%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_title(_label%2C%20fontsize%3D13%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D_color)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D12)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlim(-2.0%2C%203.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_idx%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D14)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%2C%20'bottom'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.spines%5B_sp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_ylim(_Ev_bulk%20-%20dEv_ox%20-%201.0%2C%20_Ec_bulk%20%2B%20dEc_ox%20%2B%201.5)%0A%20%20%20%20_fig.suptitle('MOS%20Energy%20Bands%20in%20Each%20Regime%20(P-type%20body)'%2C%20fontsize%3D18%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%20y%3D1.02)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%0A%20%20%20%20_caption%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Four%20regimes%20of%20the%20MOS%20capacitor**%20(p-type%20body%2C%20ideal%20%24%5CPsi_M%20%3D%20%5CPsi_S%24).%0A%0A%20%20%20%20-%20**Accumulation%3A**%20%24V_G%20%3C%200%24%2C%20bands%20bend%20up%2C%20holes%20pile%20up%20at%20the%20surface.%0A%20%20%20%20-%20**Depletion%3A**%20%24V_G%20%3E%200%24%2C%20bands%20bend%20down%2C%20depletion%20region%20forms.%0A%20%20%20%20-%20**Threshold%3A**%20%24%5Cphi_s%20%3D%202%5Cphi_B%24%2C%20surface%20electron%20concentration%20equals%20bulk%20hole%20concentration.%0A%20%20%20%20-%20**Inversion%3A**%20%24V_G%20%3E%20V_T%24%2C%20strong%20electron%20inversion%20layer%20at%20surface%3B%20%24%5Cphi_s%24%20pinned%20at%20%24%5Capprox%202%5Cphi_B%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20oxide%20conduction%20and%20valence%20band%20edges%20tilt%20under%20applied%20voltage%20due%20to%20the%20electric%20field%20across%20the%20oxide.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bmo.as_html(_fig)%2C%20_caption%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(Ec_minus_Ei%2C%20Ei_minus_Ev%2C%20kT_300%2C%20mo%2C%20ni_Si%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Threshold%20Condition%3A%20Why%20%24%5Cphi_s%20%3D%202%5Cphi_B%24%0A%0A%20%20%20%20**Definition%20of%20threshold%3A**%20the%20gate%20voltage%20%24V_T%24%20at%20which%20the%20surface%20electron%0A%20%20%20%20concentration%20equals%20the%20bulk%20hole%20concentration%2C%20i.e.%2C%20%24n_s%20%3D%20N_A%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%201%3A%20Define%20%24%5Cphi_B%24%0A%0A%20%20%20%20The%20**bulk%20potential**%20%24%5Cphi_B%24%20measures%20the%20separation%20between%20the%20intrinsic%20level%0A%20%20%20%20and%20the%20Fermi%20level%20in%20the%20bulk%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24q%5Cphi_B%20%5Cequiv%20E_%7B%7BFi%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D%20-%20E_%7B%7BF_s%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20From%20the%20carrier%20concentration%20%24p%20%3D%20n_i%20%5Cexp%5C!%5Cbigl((E_%7B%7BFi%7D%7D%20-%20E_F)%2FkT%5Cbigr)%20%3D%20N_A%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7Bq%5Cphi_B%20%3D%20kT%20%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7BN_A%7D%7D%7B%7Bn_i%7D%7D%5Cright)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20%24%7B%7BN_A%20%3D%20%7D%7D%24%20%7B_Na%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20at%20300%20K%3A%20%24%5Cphi_B%24%20%3D%20%7B_phi_B%3A.4f%7D%20V.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%202%3A%20Surface%20electron%20concentration%20at%20threshold%0A%0A%20%20%20%20At%20the%20surface%20(%24x%20%3D%200%24)%2C%20the%20electron%20concentration%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24n_s%20%3D%20N_c%20%5C%2C%20e%5E%7B%7B-(E_%7B%7Bc%2C%5Ctext%7B%7Bsurf%7D%7D%7D%7D%20-%20E_%7B%7BF_s%7D%7D)%2FkT%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%7B%7BE_%7B%7Bc%2C%5Ctext%7B%7Bsurf%7D%7D%7D%7D%7D%7D%24%20is%20the%20conduction%20band%20energy%20at%20the%20surface.%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20bulk%2C%20the%20hole%20concentration%20satisfies%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24N_A%20%3D%20N_v%20%5C%2C%20e%5E%7B%7B-(E_%7B%7BF_s%7D%7D%20-%20E_%7B%7Bv%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D)%2FkT%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20**threshold**%2C%20we%20require%20%24n_s%20%3D%20N_A%24.%20Setting%20these%20equal%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24N_c%20%5C%2C%20e%5E%7B%7B-(E_%7B%7Bc%2C%5Ctext%7B%7Bsurf%7D%7D%7D%7D%20-%20E_%7B%7BF_s%7D%7D)%2FkT%7D%7D%20%3D%20N_v%20%5C%2C%20e%5E%7B%7B-(E_%7B%7BF_s%7D%7D%20-%20E_%7B%7Bv%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D)%2FkT%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Taking%20the%20logarithm%20and%20rearranging%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24(E_%7B%7Bc%2C%5Ctext%7B%7Bsurf%7D%7D%7D%7D%20-%20E_%7B%7BF_s%7D%7D)%20-%20(E_%7B%7BF_s%7D%7D%20-%20E_%7B%7Bv%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D)%20%3D%20-kT%20%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7BN_v%7D%7D%7B%7BN_c%7D%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%203%3A%20Connecting%20to%20band%20bending%0A%0A%20%20%20%20Recall%20the%20intrinsic%20level%20satisfies%20%24E_%7B%7BFi%7D%7D%20-%20E_v%20%3D%20%5Cfrac%7B%7BE_g%7D%7D%7B%7B2%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%7BkT%7D%7D%7B%7B2%7D%7D%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7BN_v%7D%7D%7B%7BN_c%7D%7D%5Cright)%24%2C%20so%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24E_c%20-%20E_%7B%7BFi%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7BE_g%7D%7D%7B%7B2%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B%7BkT%7D%7D%7B%7B2%7D%7D%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7BN_v%7D%7D%7B%7BN_c%7D%7D%5Cright)%20%3D%20E_g%20-%20(E_%7B%7BFi%7D%7D%20-%20E_v)%24%24%0A%0A%20%20%20%20Substituting%20%24-kT%5Cln(N_v%2FN_c)%20%3D%20(E_c%20-%20E_%7B%7BFi%7D%7D)%20-%20(E_%7B%7BFi%7D%7D%20-%20E_v)%24%20into%20the%20threshold%20equation%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24(E_%7B%7Bc%2C%5Ctext%7B%7Bsurf%7D%7D%7D%7D%20-%20E_%7B%7BF_s%7D%7D)%20-%20(E_%7B%7BF_s%7D%7D%20-%20E_%7B%7Bv%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D)%20%3D%20(E_%7B%7Bc%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D%20-%20E_%7B%7BFi%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D)%20-%20(E_%7B%7BFi%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D%20-%20E_%7B%7Bv%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D)%24%24%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24E_%7B%7Bc%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D%20-%20E_%7B%7Bv%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D%20%3D%20E_g%24%20and%20%24(E_%7B%7Bc%2C%5Ctext%7B%7Bsurf%7D%7D%7D%7D%20-%20E_%7B%7BF_s%7D%7D)%20%3D%20(E_%7B%7Bc%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D%20-%20E_%7B%7BF_s%7D%7D)%20-%20q%5Cphi_s%24%2C%20this%20simplifies%20to%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7Bq%5Cphi_s%20%3D%202(E_%7B%7BFi%2C%5Ctext%7B%7Bbulk%7D%7D%7D%7D%20-%20E_%7B%7BF_s%7D%7D)%20%3D%202%20q%5Cphi_B%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Therefore%20the%20**threshold%20surface%20potential**%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7B%5Cphi_%7B%7Bs%2CT%7D%7D%20%3D%202%5Cphi_B%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B2kT%7D%7D%7B%7Bq%7D%7D%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7BN_A%7D%7D%7B%7Bn_i%7D%7D%5Cright)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20%24%7B%7BN_A%20%3D%20%7D%7D%24%20%7B_Na%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%3A%20%24%5Cphi_%7B%7Bs%2CT%7D%7D%20%3D%202%5Cphi_B%24%20%3D%20%7B2*_phi_B%3A.4f%7D%20V.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Physical%20meaning%0A%0A%20%20%20%20At%20flat%20band%2C%20the%20surface%20is%20p-type%20with%20%24p_s%20%3D%20N_A%24%20and%20%24E_%7B%7BFi%7D%7D%24%20is%20above%20%24E_F%24%20by%20%24q%5Cphi_B%24.%0A%0A%20%20%20%20-%20After%20bending%20the%20bands%20down%20by%20%24q%5Cphi_B%24%2C%20we%20reach%20%24E_%7B%7BFi%7D%7D%20%3D%20E_F%24%20at%20the%20surface%20%E2%80%94%20the%20surface%20is%20**intrinsic**%20(%24n_s%20%3D%20p_s%20%3D%20n_i%24).%0A%20%20%20%20-%20After%20bending%20by%20another%20%24q%5Cphi_B%24%20(total%20%242q%5Cphi_B%24)%2C%20the%20surface%20is%20now%20as%20**n-type**%20as%20the%20bulk%20was%20p-type%3A%20%24n_s%20%3D%20N_A%24.%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20**threshold%20condition**%3A%20the%20surface%20has%20been%20%22inverted%22%20from%20p-type%20to%20n-type.%0A%0A%20%20%20%20%3C!--%0A%20%20%20%20**Note%3A**%20%24E_c%20-%20E_%7B%7BFi%7D%7D%24%20%3D%20%7BEc_minus_Ei%3A.4f%7D%20eV%20and%20%24E_%7B%7BFi%7D%7D%20-%20E_v%24%20%3D%20%7BEi_minus_Ev%3A.4f%7D%20eV%0A%20%20%20%20(%24E_%7B%7BFi%7D%7D%24%20is%20%7B1000*(Ec_minus_Ei%20-%20Ei_minus_Ev)%2F2%3A.1f%7D%20meV%20below%20mid-gap%20because%20%24N_c%20%3E%20N_v%24).%0A%20%20%20%20The%20derivation%20above%20uses%20the%20exact%20density-of-states%20expressions%2C%20not%20the%20mid-gap%20approximation.%0A%20%20%20%20--%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20Vg_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-3.0%2C%20stop%3D3.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24V_G%24%20(V)%22%2C%20full_width%3DFalse%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Na_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D15%2C%20stop%3D18%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D16.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Clog_%7B10%7D(N_A)%24%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%20full_width%3DFalse%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tox_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D2.0%2C%20stop%3D20.0%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24t_%7Box%7D%24%20(nm)%22%2C%20full_width%3DFalse%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20Na_slider%2C%20Vg_slider%2C%20tox_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Ec_minus_Ei%2C%0A%20%20%20%20Ei_minus_Ev%2C%0A%20%20%20%20Na_slider%2C%0A%20%20%20%20Vg_slider%2C%0A%20%20%20%20dEc_ox%2C%0A%20%20%20%20dEv_ox%2C%0A%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20eps_ox%2C%0A%20%20%20%20kT_300%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A%20%20%20%20tox_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_Vg%20%3D%20Vg_slider.value%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%2010%20**%20Na_slider.value%0A%20%20%20%20_tox_nm%20%3D%20tox_slider.value%0A%20%20%20%20_tox_cm%20%3D%20_tox_nm%20*%201e-7%0A%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_Cox%20%3D%20eps_ox%20*%20eps_0%20%2F%20_tox_cm%0A%0A%20%20%20%20_phi_st%20%3D%202%20*%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Wdep_max%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20*%20eps_0%20*%20_phi_st%20%2F%20(q%20*%20_Na))%0A%20%20%20%20_Qd_max%20%3D%20q%20*%20_Na%20*%20_Wdep_max%0A%20%20%20%20_Vt%20%3D%20_phi_st%20%2B%20_Qd_max%20%2F%20_Cox%0A%0A%20%20%20%20_eps_s%20%3D%20eps_Si%20*%20eps_0%0A%0A%20%20%20%20def%20_solve_phi_s(Vg%2C%20Na%2C%20Cox%2C%20phi_B)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(Vg)%20%3C%201e-6%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s_max%20%3D%202%20*%20phi_B%20%2B%206%20*%20kT_300%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gamma%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20_eps_s%20*%20Na)%20%2F%20Cox%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20Vg%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20phi_s%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%200.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20phi_s%20%3E%20phi_s_max%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%20phi_s_max%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%20%3D%20phi_s%20%2B%20gamma%20*%20np.sqrt(phi_s)%20-%20Vg%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20df%20%3D%201%20%2B%20gamma%20%2F%20(2%20*%20np.sqrt(phi_s))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20f%20%2F%20df%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20-%3D%20delta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(delta)%20%3C%201e-8%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20min(phi_s%2C%20phi_s_max)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%20-0.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20phi_s%20%3E%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%20-0.001%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20u_s%20%3D%20min(-phi_s%20%2F%20kT_300%2C%20500)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arg%20%3D%20max(np.exp(u_s)%20-%20u_s%20-%201%2C%200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Q_s%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20_eps_s%20*%20Na%20*%20kT_300%20*%20arg)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%20%3D%20phi_s%20-%20Q_s%20%2F%20Cox%20-%20Vg%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20Q_s%20%3E%201e-20%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dQ_s%20%3D%20-q%20*%20_eps_s%20*%20Na%20*%20(np.exp(u_s)%20-%201)%20%2F%20Q_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dQ_s%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20df%20%3D%201%20-%20dQ_s%20%2F%20Cox%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(df)%20%3C%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20f%20%2F%20df%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20-%3D%20delta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(delta)%20%3C%201e-8%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20max(phi_s%2C%20-1.0)%0A%0A%20%20%20%20_phi_s%20%3D%20_solve_phi_s(_Vg%2C%20_Na%2C%20_Cox%2C%20_phi_B)%0A%0A%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3C%20-0.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Accumulation%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%23d62728'%0A%20%20%20%20elif%20abs(_phi_s)%20%3C%3D%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Flat%20Band%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%237f7f7f'%0A%20%20%20%20elif%20_phi_s%20%3C%202%20*%20_phi_B%20-%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Depletion%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%232ca02c'%0A%20%20%20%20elif%20abs(_phi_s%20-%202%20*%20_phi_B)%20%3C%200.15%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Threshold%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%23ff7f0e'%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Strong%20Inversion%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%231f77b4'%0A%0A%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20*%20eps_0%20*%20min(_phi_s%2C%20_phi_st)%20%2F%20(q%20*%20_Na))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_um%20%3D%20_Wdep%20*%201e4%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_um%20%3D%200.0%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%20Energy%20band%20diagram%20%3D%3D%3D%0A%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_Ei_bulk%20%3D%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Ec_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20%2B%20Ec_minus_Ei%0A%20%20%20%20_Ev_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20Ei_minus_Ev%0A%20%20%20%20_EFm%20%3D%20_EF%20-%20_Vg%20%20%23%20EFm%20-%20EFs%20%3D%20-qVg%20(in%20eV%20units)%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8.8%2C%204.8))%0A%0A%20%20%20%20_xM%20%3D%20%5B-1.8%2C%20-1.2%5D%0A%20%20%20%20_xO%20%3D%20%5B-1.2%2C%200.0%5D%0A%20%20%20%20_x_sc_end%20%3D%203.0%0A%0A%20%20%20%20%23%20Semiconductor%20band%20profile%0A%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3E%200.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_plot%20%3D%20min(2.5%2C%20max(0.4%2C%20_Wdep%20*%201e4%20*%202.5))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_dep%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_Wdep_plot%2C%20300)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_flat%20%3D%20np.linspace(_Wdep_plot%2C%20_x_sc_end%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bending%20%3D%20_phi_s%20*%20(1%20-%20_x_dep%20%2F%20_Wdep_plot)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_dep%20%3D%20_Ec_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_dep%20%3D%20_Ev_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_dep%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_x_dep%2C%20_x_flat%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ec_dep%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ec_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ev_dep%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ev_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ei_dep%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ei_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20elif%20_phi_s%20%3C%20-0.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bend_len%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_acc%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_bend_len%2C%20150)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_flat%20%3D%20np.linspace(_bend_len%2C%20_x_sc_end%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bending%20%3D%20_phi_s%20*%20(1%20-%20_x_acc%20%2F%20_bend_len)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_x_acc%2C%20_x_flat%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ec_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ec_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ev_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ev_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ei_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ei_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.array(%5B0%2C%20_x_sc_end%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ev_bulk%2C%20_Ev_bulk%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ei_bulk%2C%20_Ei_bulk%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Metal%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xM%2C%20_EFm%20-%203.0%2C%20_EFm%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xM%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xM%5B0%5D%20%2B%200.05%2C%20_EFm%20%2B%200.1%2C%20'%24E_%7BF%2CM%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Oxide%20bands%20(Ec%2Cox%20and%20Ev%2Cox)%0A%20%20%20%20_Ec_ox_s%20%3D%20_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20dEc_ox%0A%20%20%20%20_Ev_ox_s%20%3D%20_Ev_sc%5B0%5D%20-%20dEv_ox%0A%20%20%20%20_V_ox%20%3D%20_Vg%20-%20_phi_s%0A%20%20%20%20_Ec_ox_m%20%3D%20_Ec_ox_s%20-%20_V_ox%0A%20%20%20%20_Ev_ox_m%20%3D%20_Ev_ox_s%20-%20_V_ox%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s%5D%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'%23ffffcc'%2C%20alpha%3D0.4%2C%20edgecolor%3D'none')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xO%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Semiconductor%20bands%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ec_sc%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ev_sc%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_v%24')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ei_sc%2C%20'k--'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D'%24E_%7BFi%7D%24')%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%20_x_sc_end%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'%24E_%7BFs%7D%24')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Labels%0A%20%20%20%20_ax.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_Ec_bulk%2C%20'%24E_c%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_Ev_bulk%2C%20'%24E_v%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_Ei_bulk%2C%20'%24E_%7BFi%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_ax.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_EF%2C%20'%24E_%7BFs%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Interface%20lines%20(from%20Ev%2Cox%20to%20Ec%2Cox)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B-1.2%2C%20-1.2%5D%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ec_ox_m%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B_Ev_ox_s%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20%23%20phi_s%20annotation%0A%20%20%20%20if%20abs(_phi_s)%20%3E%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xann%20%3D%200.2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%2C%20_xann%5D%2C%20%5B_Ec_sc%5B0%5D%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_sc%5B0%5D%2C%20_Ec_sc%5B0%5D%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xann%20%2B%200.15%2C%20(_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20_Ec_bulk)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_s%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%23%20phi_B%20annotation%20(between%20E_Fi%2Cbulk%20and%20E_F%20in%20bulk)%0A%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20_xpB%20%3D%20_x_sc_end%20-%200.6%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xpB%2C%20_xpB%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_Ei_bulk%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xpB%20-%20_cap%2C%20_xpB%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xpB%20-%20_cap%2C%20_xpB%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ei_bulk%2C%20_Ei_bulk%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xpB%20%2B%200.12%2C%20(_EF%20%2B%20_Ei_bulk)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_B%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'purple'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%23%20V_ox%20annotation%20at%20oxide-metal%20interface%0A%20%20%20%20if%20abs(_V_ox)%20%3E%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xvox%20%3D%20-1.15%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvox%2C%20_xvox%5D%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvox%20-%20_cap%2C%20_xvox%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_m%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvox%20-%20_cap%2C%20_xvox%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_ox_s%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xvox%20-%200.12%2C%20(_Ec_ox_m%20%2B%20_Ec_ox_s)%20%2F%202%2C%20r'%24qV_%7Box%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20va%3D'center'%2C%20ha%3D'right')%0A%0A%20%20%20%20%23%20qVG%20annotation%0A%20%20%20%20if%20abs(_Vg)%20%3E%200.1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xvg%20%3D%20-1.35%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvg%2C%20_xvg%5D%2C%20%5B_EFm%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvg%20-%20_cap%2C%20_xvg%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvg%20-%20_cap%2C%20_xvg%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xvg%20-%200.15%2C%20(_EFm%20%2B%20_EF)%20%2F%202%2C%20r'%24qV_G%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkred'%2C%20va%3D'center'%2C%20ha%3D'right')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Depletion%20width%20marker%0A%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3E%200.1%20and%20_Wdep%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_plot_val%20%3D%20min(2.5%2C%20max(0.4%2C%20_Wdep%20*%201e4%20*%202.5))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(_Wdep_plot_val%2C%20color%3D'gray'%2C%20ls%3D'%3A'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ydep%20%3D%20_Ev_bulk%20-%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%20_Wdep_plot_val%5D%2C%20%5B_ydep%2C%20_ydep%5D%2C%20color%3D'gray'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B_ydep%20-%200.06%2C%20_ydep%20%2B%200.06%5D%2C%20color%3D'gray'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_Wdep_plot_val%2C%20_Wdep_plot_val%5D%2C%20%5B_ydep%20-%200.06%2C%20_ydep%20%2B%200.06%5D%2C%20color%3D'gray'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_Wdep_plot_val%20%2F%202%2C%20_ydep%20-%200.2%2C%20'%24W_%7Bdep%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'gray')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Regime%20label%0A%20%20%20%20_ax.text((_x_sc_end%20%2B%200)%20%2F%202%2C%20_Ec_bulk%20%2B%20dEc_ox%20%2B%200.05%2C%20_regime%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D18%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D_regime_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round%2Cpad%3D0.3'%2C%20facecolor%3D'white'%2C%20edgecolor%3D_regime_color%2C%20alpha%3D0.9))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Oxide%20band%20labels%0A%20%20%20%20_ax.text(-0.6%2C%20max(_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s)%20%2B%200.15%2C%20'%24E_%7Bc%2Cox%7D%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center')%0A%20%20%20%20_ax.text(-0.6%2C%20min(_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s)%20-%200.3%2C%20'%24E_%7Bv%2Cox%7D%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Region%20labels%0A%20%20%20%20_ax.text(-1.5%2C%20min(_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s)%20-%200.8%2C%20'Metal%5Cn(Gate)'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.text(0.7%20*%20_x_sc_end%20%2F%202%20%2B%200.5%2C%20min(_Ev_ox_s%2C%20_Ev_ox_m)%20-%200.8%2C%20'P-type%20Si'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_y_lo%20%3D%20min(_Ev_ox_s%2C%20_Ev_ox_m%2C%20_EFm)%20-%201.5%0A%20%20%20%20_y_hi%20%3D%20max(_Ec_bulk%20%2B%20dEc_ox%20%2B%200.8%2C%20_Ec_ox_m%20%2B%200.5%2C%20_EFm%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(-2.1%2C%20_x_sc_end%20%2B%200.8)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(_y_lo%2C%20_y_hi)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_title('MOS%20Energy%20Band%20Diagram'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20for%20_sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%2C%20'bottom'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.spines%5B_sp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%0A%20%20%20%20_info%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---------%7C%3A------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Regime**%20%7C%20%7B_regime%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_G%24%20%7C%20%7B_Vg%3A.2f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_B%24%20%7C%20%7B_phi_B%3A.4f%7D%20eV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_s%24%20(surface%20potential)%20%7C%20%7B_phi_s%3A.4f%7D%20eV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_%7B%7Box%7D%7D%20%3D%20V_G%20-%20%5Cphi_s%24%20%7C%20%7B_V_ox%3A.4f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%242%5Cphi_B%24%20(threshold%20condition)%20%7C%20%7B2*_phi_B%3A.4f%7D%20eV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24W_%7B%7Bdep%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Wdep%3A.2e%7D%20cm%20%3D%20%7B_Wdep_um%3A.3f%7D%20%24%5Cmu%24m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24W_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Wdep_max%3A.2e%7D%20cm%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24C_%7B%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Cox%3A.2e%7D%20F%2Fcm%24%5E2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_T%24%20(threshold%20voltage)%20%7C%20%7B_Vt%3A.3f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24N_A%24%20%7C%20%7B_Na%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24t_%7B%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%7B_tox_nm%3A.1f%7D%20nm%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.vstack(%5BVg_slider%2C%20Na_slider%2C%20tox_slider%5D)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Interactive%20Energy%20Band%20Diagram%20(P-type)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_fig)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_info%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Electrostatics%20of%20the%20MOS%20Capacitor%0A%0A%20%20%20%20We%20now%20need%20to%20find%20%24V_%7Box%7D%24%20to%20relate%20%24V_G%24%20to%20the%20surface%20potential%20%24%5Cphi_s%24%2C%20since%20%24V_G%20%3D%20%5Cphi_s%20%2B%20V_%7Box%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20We%20work%20in%20the%20**depletion%20approximation**%3A%20mobile%20carriers%20are%20swept%20away%2C%20leaving%20only%20the%20fixed%0A%20%20%20%20ionized%20acceptors%20%24-qN_A%24%20in%20a%20depletion%20region%20of%20width%20%24W_%7Bdep%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%201%3A%20Charge%20density%20in%20depletion%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20semiconductor%2C%20we%20define%20%24x%20%3D%200%24%20at%20the%20oxide-semiconductor%20interface%20and%20%24x%24%20increases%20into%20the%20bulk%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Crho(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20-q%20N_A%20%26%200%20%5Cle%20x%20%5Cle%20W_%7Bdep%7D%20%5C%5C%200%20%26%20x%20%3E%20W_%7Bdep%7D%20%5Cend%7Bcases%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%202%3A%20Electric%20field%20(Gauss's%20law)%0A%0A%20%20%20%20Poisson's%20equation%20in%20the%20semiconductor%20gives%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd%5Cmathcal%7BE%7D%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Crho(x)%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20With%20the%20boundary%20condition%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(W_%7Bdep%7D)%20%3D%200%24%2C%20integrating%20from%20%24x%24%20to%20%24W_%7Bdep%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cmathcal%7BE%7D(x)%20%3D%20%5Cfrac%7Bq%20N_A%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D(W_%7Bdep%7D%20-%20x)%2C%20%5Cquad%200%20%5Cle%20x%20%5Cle%20W_%7Bdep%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20maximum%20electric%20field%20magnitude%20is%20at%20the%20surface%20(%24x%20%3D%200%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bmax%7D%20%3D%20%5Cmathcal%7BE%7D(0)%20%3D%20%5Cfrac%7Bq%20N_A%20W_%7Bdep%7D%7D%7B%5Cvarepsilon_s%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%203%3A%20Electrostatic%20potential%0A%0A%20%20%20%20The%20potential%20is%20related%20to%20the%20electric%20field%20by%20%24-%5Cdfrac%7BdV%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cmathcal%7BE%7D%24.%20With%20the%20boundary%20condition%20%24V(W_%7Bdep%7D)%20%3D%200%24%2C%0A%20%20%20%20integrating%20from%20%24x%24%20to%20%24W_%7Bdep%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BV(x)%20%3D%20%5Cfrac%7Bq%20N_A%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D(W_%7Bdep%7D%20-%20x)%5E2%2C%20%5Cquad%200%20%5Cle%20x%20%5Cle%20W_%7Bdep%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20the%20surface%20(%24x%20%3D%200%24)%2C%20the%20surface%20potential%20equals%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24V(0)%20%3D%20%5Cphi_s%20%3D%20%5Cfrac%7Bq%20N_A%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%20W_%7Bdep%7D%5E2%24%24%0A%0A%20%20%20%20Solving%20for%20the%20depletion%20width%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BW_%7Bdep%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%20%5Cphi_s%7D%7Bq%20N_A%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%204%3A%20Oxide%20electric%20field%20and%20voltage%0A%0A%20%20%20%20The%20oxide%20has%20uniform%20electric%20field%20(no%20free%20charge%20in%20the%20oxide)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cmathcal%7BE%7D_%7Box%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BV_%7Box%7D%7D%7Bt_%7Box%7D%7D%20%5Ctag%7B1%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20%24x%20%3D%200%24%2C%20the%20**normal%20component%20of%20the%20displacement%20field**%20%24%5Cmathbf%7BD%7D%24%20must%20be%20continuous%20across%20the%0A%20%20%20%20oxide%E2%80%93semiconductor%20interface%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24D_%7Box%7D%20%3D%20D_s%20%5Cquad%5CRightarrow%5Cquad%20%5Cvarepsilon_%7Box%7D%5C%2C%5Cmathcal%7BE%7D_%7Box%7D%20%3D%20%5Cvarepsilon_s%5C%2C%5Cmathcal%7BE%7D(0)%20%3D%20q%20N_A%20W_%7Bdep%7D%20%5Ctag%7B2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20From%20(1)%20and%20(2)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_%7Box%7D%20%3D%20%5Cmathcal%7BE%7D_%7Box%7D%5C%2C%20t_%7Box%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bq%20N_A%7D%7B%5Cvarepsilon_%7Box%7D%7D%20t_%7Box%7D%5C%2C%20W_%7Bdep%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bq%20N_A%20W_%7Bdep%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20the%20**oxide%20capacitance%20per%20unit%20area**%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BC_%7Box%7D%20%5Cequiv%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_%7Box%7D%7D%7Bt_%7Box%7D%7D%7D%20%5Cquad%20%5B%5Ctext%7BF%2Fcm%7D%5E2%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20and%20the%20**depletion%20charge%20per%20unit%20area**%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24Q_%7Bdep%7D%20%3D%20q%20N_A%20W_%7Bdep%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%205%3A%20Gate%20voltage%20equation%0A%0A%20%20%20%20Substituting%20%24V_%7Box%7D%20%3D%20Q_%7Bdep%7D%2FC_%7Box%7D%24%20into%20%24V_G%20%3D%20%5Cphi_s%20%2B%20V_%7Box%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BV_G%20%3D%20%5Cphi_s%20%2B%20%5Cfrac%7Bq%20N_A%20W_%7Bdep%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bq%20N_A%20W_%7Bdep%7D%5E2%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bq%20N_A%20W_%7Bdep%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Or%20equivalently%2C%20expressing%20everything%20in%20terms%20of%20%24%5Cphi_s%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BV_G%20%3D%20%5Cphi_s%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%20q%20%5Cvarepsilon_s%20N_A%20%5Cphi_s%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Given%20%24V_G%24%2C%20we%20can%20solve%20for%20%24W_%7Bdep%7D%24%20(and%20hence%20%24%5Cphi_s%24).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20Vg_es_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-3.0%2C%20stop%3D3.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24V_G%24%20(V)%22%2C%20full_width%3DFalse%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Na_es_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D15%2C%20stop%3D18%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D16.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Clog_%7B10%7D(N_A)%24%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%20full_width%3DFalse%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tox_es_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D2.0%2C%20stop%3D20.0%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24t_%7Box%7D%24%20(nm)%22%2C%20full_width%3DFalse%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20Na_es_slider%2C%20Vg_es_slider%2C%20tox_es_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Na_es_slider%2C%0A%20%20%20%20Vg_es_slider%2C%0A%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20eps_ox%2C%0A%20%20%20%20kT_300%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A%20%20%20%20tox_es_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_Vg%20%3D%20Vg_es_slider.value%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%2010%20**%20Na_es_slider.value%0A%20%20%20%20_tox_cm%20%3D%20tox_es_slider.value%20*%201e-7%0A%20%20%20%20_eps_s%20%3D%20eps_Si%20*%20eps_0%0A%20%20%20%20_Cox%20%3D%20eps_ox%20*%20eps_0%20%2F%20_tox_cm%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_phi_st%20%3D%202%20*%20_phi_B%0A%0A%20%20%20%20_Wdep_max%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_s%20*%20_phi_st%20%2F%20(q%20*%20_Na))%0A%20%20%20%20_Qd_max%20%3D%20q%20*%20_Na%20*%20_Wdep_max%0A%20%20%20%20_Vt%20%3D%20_phi_st%20%2B%20_Qd_max%20%2F%20_Cox%0A%0A%20%20%20%20def%20_solve_phi_s_p(Vg)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(Vg)%20%3C%201e-6%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gamma%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20_eps_s%20*%20_Na)%20%2F%20_Cox%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20Vg%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s_max%20%3D%20_phi_st%20%2B%206%20*%20kT_300%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20phi_s%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%200.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20phi_s%20%3E%20phi_s_max%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%20phi_s_max%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%20%3D%20phi_s%20%2B%20gamma%20*%20np.sqrt(phi_s)%20-%20Vg%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20df%20%3D%201%20%2B%20gamma%20%2F%20(2%20*%20np.sqrt(phi_s))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20f%20%2F%20df%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20-%3D%20delta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(delta)%20%3C%201e-8%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20min(phi_s%2C%20phi_s_max)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%20-0.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20phi_s%20%3E%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%20-0.001%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20u_s%20%3D%20min(-phi_s%20%2F%20kT_300%2C%20500)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arg%20%3D%20max(np.exp(u_s)%20-%20u_s%20-%201%2C%200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Q_s%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20_eps_s%20*%20_Na%20*%20kT_300%20*%20arg)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%20%3D%20phi_s%20-%20Q_s%20%2F%20_Cox%20-%20Vg%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20Q_s%20%3E%201e-20%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dQ_s%20%3D%20-q%20*%20_eps_s%20*%20_Na%20*%20(np.exp(u_s)%20-%201)%20%2F%20Q_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dQ_s%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20df%20%3D%201%20-%20dQ_s%20%2F%20_Cox%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(df)%20%3C%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20f%20%2F%20df%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20-%3D%20delta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(delta)%20%3C%201e-8%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20max(phi_s%2C%20-1.0)%0A%0A%20%20%20%20_phi_s%20%3D%20_solve_phi_s_p(_Vg)%0A%0A%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3C%20-0.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Accumulation%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%23d62728'%0A%20%20%20%20elif%20abs(_phi_s)%20%3C%3D%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Flat%20Band%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%237f7f7f'%0A%20%20%20%20elif%20_phi_s%20%3C%20_phi_st%20-%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Depletion%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%232ca02c'%0A%20%20%20%20elif%20abs(_phi_s%20-%20_phi_st)%20%3C%200.15%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Threshold%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%23ff7f0e'%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Strong%20Inversion%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%231f77b4'%0A%0A%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3E%200.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_s%20*%20min(_phi_s%2C%20_phi_st)%20%2F%20(q%20*%20_Na))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_um%20%3D%20_Wdep%20*%201e4%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_um%20%3D%200.0%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%20Compute%20electrostatics%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3E%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_es%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_Wdep%2C%20500)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_es_um%20%3D%20_x_es%20*%201e4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ext%20%3D%20np.linspace(_Wdep%2C%20_Wdep%20*%201.5%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ext_um%20%3D%20_x_ext%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rho%20%3D%20np.full_like(_x_es%2C%20-q%20*%20_Na)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_field%20%3D%20q%20*%20_Na%20%2F%20_eps_s%20*%20(_Wdep%20-%20_x_es)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_max%20%3D%20q%20*%20_Na%20*%20_Wdep%20%2F%20_eps_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_es%20%3D%20_phi_s%20*%20(1%20-%20_x_es%20%2F%20_Wdep)%20**%202%0A%0A%20%20%20%20elif%20_phi_s%20%3C%20-0.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_L_D%20%3D%20np.sqrt(_eps_s%20*%20kT_300%20%2F%20(q%20*%20_Na))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_N_pts%20%3D%20600%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_cutoff%20%3D%20-kT_300%20*%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_arr%20%3D%20np.linspace(_phi_s%2C%20_V_cutoff%2C%20_N_pts)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_u_arr%20%3D%20-_V_arr%20%2F%20kT_300%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_sq%20%3D%202%20*%20q%20*%20_Na%20*%20kT_300%20%2F%20_eps_s%20*%20(np.exp(_u_arr)%20-%20_u_arr%20-%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_abs%20%3D%20np.sqrt(np.maximum(_E_sq%2C%201e-10))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_arr%20%3D%20-_E_abs%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dV%20%3D%20np.diff(_V_arr)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_abs_mid%20%3D%200.5%20*%20(_E_abs%5B%3A-1%5D%20%2B%20_E_abs%5B1%3A%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_abs_mid%20%3D%20np.maximum(_E_abs_mid%2C%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dx_arr%20%3D%20_dV%20%2F%20_E_abs_mid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_arr%20%3D%20np.concatenate(%5B%5B0%5D%2C%20np.cumsum(_dx_arr)%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_es%20%3D%20_x_arr%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_es_um%20%3D%20_x_es%20*%201e4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_end_cm%20%3D%20_x_arr%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ext%20%3D%20np.linspace(_x_end_cm%2C%20_x_end_cm%20%2B%204%20*%20_L_D%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ext_um%20%3D%20_x_ext%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rho%20%3D%20q%20*%20_Na%20*%20(np.exp(_u_arr)%20-%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_field%20%3D%20_E_arr%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_max%20%3D%20_E_arr%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_es%20%3D%20_V_arr%0A%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_es%20%3D%20np.array(%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_es_um%20%3D%20np.array(%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ext%20%3D%20np.linspace(0%2C%200.5e-4%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ext_um%20%3D%20_x_ext%20*%201e4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rho%20%3D%20np.array(%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_field%20%3D%20np.array(%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_max%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_es%20%3D%20np.array(%5B0%5D)%0A%0A%20%20%20%20_rho_ext%20%3D%20np.zeros_like(_x_ext)%0A%20%20%20%20_E_ext%20%3D%20np.zeros_like(_x_ext)%0A%20%20%20%20_V_ext%20%3D%20np.zeros_like(_x_ext)%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax_rho%2C%20_ax_E%2C%20_ax_V)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(16%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(_x_es_um%2C%20_rho%20%2F%20q%20*%201e-15%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(_x_ext_um%2C%20_rho_ext%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_rho.fill_between(_x_es_um%2C%200%2C%20_rho%20%2F%20q%20*%201e-15%2C%20alpha%3D0.2%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax_rho.axhline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_ylabel(r'%24%5Crho%20%2F%20q%24%20(%24%5Ctimes%2010%5E%7B15%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_xlabel(r'%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_title(r'Charge%20density%20%24%5Crho(x)%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_rho.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_rho.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_Qm%20%3D%20_Cox%20*%20(_Vg%20-%20_phi_s)%0A%20%20%20%20_Qdep_total%20%3D%20-q%20*%20_Na%20*%20_Wdep%20if%20_phi_s%20%3E%200.01%20else%200.0%0A%20%20%20%20_Qinv_p%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3E%3D%20_phi_st%20-%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Qinv_p%20%3D%20-(_Qm%20%2B%20_Qdep_total)%0A%0A%20%20%20%20if%20abs(_Qm)%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_end%20%3D%20max(_x_ext_um%5B-1%5D%2C%200.02)%20if%20len(_x_ext_um)%20%3E%201%20else%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gap%20%3D%20max(0.12%20*%20_x_end%2C%200.008)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bw%20%3D%20_gap%20*%200.35%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rho_sc%20%3D%20_rho%20%2F%20q%20*%201e-15%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pk%20%3D%20max(np.max(np.abs(_rho_sc))%2C%200.1)%20if%20len(_rho_sc)%20%3E%201%20else%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Qdep_ref%20%3D%20_Qd_max%20if%20_Qd_max%20%3E%201e-20%20else%20abs(_Qm)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bh%20%3D%20(_Qm%20%2F%20_Qdep_ref)%20*%20_pk%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.bar(-_gap%20-%20_bw%2C%20_bh%2C%20width%3D_bw%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20alpha%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D'k'%2C%20linewidth%3D1%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sgn%20%3D%20'%2B'%20if%20_Qm%20%3E%200%20else%20'%5Cu2212'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.text(-_gap%20-%20_bw%20%2F%202%2C%20_bh%20%2B%20np.sign(_bh)%20*%20_pk%20*%200.12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%7B_sgn%7D%24Q_M%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D'darkorange')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.axvspan(-_gap%2C%200%2C%20color%3D'%23ffffcc'%2C%20alpha%3D0.15%2C%20zorder%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.text(-_gap%20%2F%202%2C%20_pk%20*%200.03%2C%20'oxide'%2C%20fontsize%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%20alpha%3D0.4%2C%20style%3D'italic')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_Qinv_p)%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bh_inv%20%3D%20(_Qinv_p%20%2F%20_Qdep_ref)%20*%20_pk%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.bar(0%2C%20_bh_inv%2C%20width%3D_bw%2C%20color%3D'purple'%2C%20alpha%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D'k'%2C%20linewidth%3D1%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_sgn_inv%20%3D%20'%5Cu2212'%20if%20_Qinv_p%20%3C%200%20else%20'%2B'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.text(_bw%20%2F%202%20%2B%200.002%20*%20_x_end%2C%20_bh_inv%20%2B%20np.sign(_bh_inv)%20*%20_pk%20*%200.12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%7B_sgn_inv%7D%24Q_%7B%7Binv%7D%7D%24'%2C%20fontsize%3D12%2C%20ha%3D'left'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D'purple')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.set_xlim(-_gap%20-%20_bw%20*%203%2C%20_x_end%20*%201.05)%0A%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_es_um%2C%20_E_field%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_ext_um%2C%20_E_ext%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.fill_between(_x_es_um%2C%200%2C%20_E_field%2C%20alpha%3D0.2%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax_E.axhline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_ylabel(r'%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%20(V%2Fcm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_xlabel(r'%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_title(r'Electric%20field%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_E.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_E.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20if%20abs(_E_max)%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_E.text(0.95%2C%200.95%2C%20f'%24%7C%5C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7Bmax%7D%7D%7C%24%20%3D%20%7Babs(_E_max)%3A.2e%7D%20V%2Fcm'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D13%2C%20transform%3D_ax_E.transAxes%2C%20va%3D'top'%2C%20ha%3D'right'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round%2Cpad%3D0.3'%2C%20fc%3D'white'%2C%20alpha%3D0.8))%0A%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_es_um%2C%20_V_es%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_ext_um%2C%20_V_ext%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_V.fill_between(_x_es_um%2C%200%2C%20_V_es%2C%20alpha%3D0.2%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax_V.axhline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20if%20abs(_phi_s)%20%3E%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_V.axhline(_phi_s%2C%20color%3D'gray'%2C%20ls%3D'%3A'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_off%20%3D%200.01%20if%20_phi_s%20%3E%200%20else%20-0.03%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_V.text(0.01%2C%20_phi_s%20%2B%20_y_off%2C%20f'%24%5C%5Cphi_s%24%20%3D%20%7B_phi_s%3A.3f%7D%20V'%2C%20fontsize%3D13%2C%20color%3D'gray')%0A%20%20%20%20_ax_V.set_ylabel(r'%24V(x)%24%20(V)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_xlabel(r'%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_title(r'Potential%20%24V(x)%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_V.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_V.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_fig.suptitle(f'P-type%20MOS%20Electrostatics%20%E2%80%94%20%7B_regime%7D'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D_regime_color%2C%20y%3D1.02)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%0A%20%20%20%20_info%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---------%7C%3A------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Regime**%20%7C%20%7B_regime%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_G%24%20%7C%20%7B_Vg%3A.2f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_s%24%20(surface%20potential)%20%7C%20%7B_phi_s%3A.4f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_B%24%20%7C%20%7B_phi_B%3A.4f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%242%5Cphi_B%24%20(threshold%20condition)%20%7C%20%7B_phi_st%3A.4f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24W_%7B%7Bdep%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Wdep%3A.2e%7D%20cm%20%3D%20%7B_Wdep_um%3A.3f%7D%20%24%5Cmu%24m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24W_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Wdep_max%3A.2e%7D%20cm%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_T%24%20(threshold%20voltage)%20%7C%20%7B_Vt%3A.3f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7Bmax%7D%7D%24%20%7C%20%7B_E_max%3A.2e%7D%20V%2Fcm%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Q_M%24%20(gate%20charge%2Farea)%20%7C%20%7B_Qm%3A.2e%7D%20C%2Fcm%C2%B2%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Q_%7B%7Binv%7D%7D%24%20(inversion%20charge%2Farea)%20%7C%20%7B_Qinv_p%3A.2e%7D%20C%2Fcm%C2%B2%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24N_A%24%20%7C%20%7B_Na%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24t_%7B%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%7Btox_es_slider.value%3A.1f%7D%20nm%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Vg_es_slider%2C%20Na_es_slider%2C%20tox_es_slider%5D)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Interactive%20Electrostatics%20(P-type)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_fig)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_info%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(eps_0%2C%20eps_Si%2C%20eps_ox%2C%20kT_300%2C%20mo%2C%20ni_Si%2C%20np%2C%20q)%3A%0A%20%20%20%20_Na_ex%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_tox_ex%20%3D%205e-7%20%20%23%205%20nm%0A%0A%20%20%20%20_phi_B_ex%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Na_ex%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_phi_st_ex%20%3D%202%20*%20_phi_B_ex%0A%20%20%20%20_Cox_ex%20%3D%20eps_ox%20*%20eps_0%20%2F%20_tox_ex%0A%20%20%20%20_eps_s%20%3D%20eps_Si%20*%20eps_0%0A%20%20%20%20_Wdep_max_ex%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_s%20*%20_phi_st_ex%20%2F%20(q%20*%20_Na_ex))%0A%20%20%20%20_Qd_max_ex%20%3D%20q%20*%20_Na_ex%20*%20_Wdep_max_ex%0A%20%20%20%20_Vt_ex%20%3D%20_phi_st_ex%20%2B%20_Qd_max_ex%20%2F%20_Cox_ex%0A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Threshold%20Voltage%20Derivation%0A%0A%20%20%20%20At%20threshold%2C%20%24%5Cphi_s%20%3D%20%5Cphi_%7B%7Bs%2CT%7D%7D%20%3D%202%5Cphi_B%24%20and%20the%20depletion%20layer%20reaches%20its%20maximum%20width.%0A%20%20%20%20We%20substitute%20%24%5Cphi_s%20%3D%202%5Cphi_B%24%20into%20the%20gate%20voltage%20equation%20derived%20above%20to%20find%20%24V_T%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%201%3A%20Maximum%20depletion%20width%20at%20threshold%0A%0A%20%20%20%20From%20%24W_%7B%7Bdep%7D%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%7B2%5Cvarepsilon_s%20%5Cphi_s%20%2F%20(qN_A)%7D%7D%24%2C%20substituting%20%24%5Cphi_s%20%3D%202%5Cphi_B%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BW_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%7B%5Cfrac%7B%7B4%5Cvarepsilon_s%20%5Cphi_B%7D%7D%7B%7Bq%20N_A%7D%7D%7D%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%202%3A%20Depletion%20charge%20at%20threshold%0A%0A%20%20%20%20%24%24Q_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%20%3D%20q%20N_A%20W_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%7B2%20q%20%5Cvarepsilon_s%20N_A%20%5Ccdot%202%5Cphi_B%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%203%3A%20Threshold%20voltage%0A%0A%20%20%20%20Substituting%20into%20%24V_G%20%3D%20%5Cphi_s%20%2B%20Q_%7B%7Bdep%7D%7D%2FC_%7B%7Box%7D%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BV_T%20%3D%202%5Cphi_B%20%2B%20%5Cfrac%7B%7BQ_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%7D%7D%7B%7BC_%7B%7Box%7D%7D%7D%7D%20%3D%202%5Cphi_B%20%2B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%7BC_%7B%7Box%7D%7D%7D%7D%5Csqrt%7B%7Bq%20N_A%20%5Cvarepsilon_s%20%5Cphi_B%7D%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24C_%7B%7Box%7D%7D%20%3D%20%5Cvarepsilon_%7B%7Box%7D%7D%20%2F%20t_%7B%7Box%7D%7D%24%20is%20the%20oxide%20capacitance%20per%20unit%20area.%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20%242%5Cphi_B%24%20term%20is%20the%20surface%20potential%20needed%20to%20invert%20the%20surface.%0A%20%20%20%20-%20The%20%24Q_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%2FC_%7B%7Box%7D%7D%24%20term%20is%20the%20voltage%20drop%20across%20the%20oxide%20to%20support%20the%20depletion%20charge.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Numerical%20Example%20(%24%7B%7BN_A%20%3D%20%7D%7D%24%20%7B_Na_ex%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%2C%20%24t_%7B%7Box%7D%7D%24%20%3D%205%20nm)%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Expression%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---------%7C%3A-----------%7C%3A------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_B%24%20%7C%20%24(kT%2Fq)%5Cln(N_A%2Fn_i)%24%20%7C%20%7B_phi_B_ex%3A.4f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%242%5Cphi_B%24%20%7C%20%7C%20%7B_phi_st_ex%3A.4f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24W_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%24%20%7C%20%24%5Csqrt%7B%7B4%5Cvarepsilon_s%20%5Cphi_B%20%2F%20(qN_A)%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Wdep_max_ex%3A.2e%7D%20cm%20%3D%20%7B_Wdep_max_ex*1e4%3A.3f%7D%20%24%5Cmu%24m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24C_%7B%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%24%5Cvarepsilon_%7B%7Box%7D%7D%20%2F%20t_%7B%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Cox_ex%3A.2e%7D%20F%2Fcm%24%5E2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Q_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%24%20%7C%20%24qN_A%20W_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Qd_max_ex%3A.2e%7D%20C%2Fcm%24%5E2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_T%24%20%7C%20%242%5Cphi_B%20%2B%20Q_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%2FC_%7B%7Box%7D%7D%24%20%7C%20**%7B_Vt_ex%3A.3f%7D%20V**%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%24V_T%24%20increases%20with%20higher%20%24N_A%24%20(more%20charge%20to%20deplete)%20and%20larger%20%24t_%7B%7Box%7D%7D%24%20(less%20oxide%20capacitance).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20N-Body%20vs.%20P-Body%20MOS%20Capacitor%0A%0A%20%20%20%20The%20same%20physics%20applies%20to%20an%20N-type%20semiconductor%20body%2C%20with%20reversed%20signs.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Property%20%7C%20P-body%20(NMOS)%20%7C%20N-body%20(PMOS)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---------%7C%3A--------------%7C%3A--------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Substrate**%20%7C%20%24N_A%24%20(acceptors)%20%7C%20%24N_D%24%20(donors)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Majority%20carriers**%20%7C%20Holes%20%7C%20Electrons%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Inversion%20carriers**%20%7C%20Electrons%20%7C%20Holes%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Accumulation**%20%7C%20%24V_G%20%3C%200%24%20%7C%20%24V_G%20%3E%200%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Inversion**%20%7C%20%24V_G%20%3E%20V_T%20%3E%200%24%20%7C%20%24V_G%20%3C%20V_T%20%3C%200%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**%24%5Cphi_B%24**%20%7C%20%24(kT%2Fq)%5Cln(N_A%2Fn_i)%20%3E%200%24%20%7C%20%24(kT%2Fq)%5Cln(N_D%2Fn_i)%20%3E%200%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**%24V_T%24**%20%7C%20%242%5Cphi_B%20%2B%20Q_%7Bdep%2Cmax%7D%2FC_%7Box%7D%20%3E%200%24%20%7C%20%24-2%5Cphi_B%20-%20Q_%7Bdep%2Cmax%7D%2FC_%7Box%7D%20%3C%200%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Bands%20at%20inversion**%20%7C%20Bend%20**down**%20%7C%20Bend%20**up**%20%7C%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20N-body%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Inversion**%20(holes%20at%20surface)%20occurs%20for%20%24V_G%20%3C%20V_T%24%2C%20where%20%24V_T%20%3C%200%24%0A%20%20%20%20-%20The%20depletion%20region%20contains%20uncompensated%20*positive*%20donor%20charges%20(%24%5Crho%20%3D%20%2BqN_D%24)%0A%20%20%20%20-%20All%20expressions%20are%20the%20same%20with%20%24N_A%20%5Cto%20N_D%24%20and%20sign%20reversals%20on%20%24V_G%24%2C%20%24V_T%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20Vg_n_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-3.0%2C%20stop%3D3.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24V_G%24%20(V)%22%2C%20full_width%3DFalse%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Nd_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D15%2C%20stop%3D18%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D16.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Clog_%7B10%7D(N_D)%24%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%20full_width%3DFalse%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tox_n_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D2.0%2C%20stop%3D20.0%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24t_%7Box%7D%24%20(nm)%22%2C%20full_width%3DFalse%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20Nd_slider%2C%20Vg_n_slider%2C%20tox_n_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Ec_minus_Ei%2C%0A%20%20%20%20Ei_minus_Ev%2C%0A%20%20%20%20Nd_slider%2C%0A%20%20%20%20Vg_n_slider%2C%0A%20%20%20%20dEc_ox%2C%0A%20%20%20%20dEv_ox%2C%0A%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20eps_ox%2C%0A%20%20%20%20kT_300%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A%20%20%20%20tox_n_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_Vg%20%3D%20Vg_n_slider.value%0A%20%20%20%20_Nd%20%3D%2010%20**%20Nd_slider.value%0A%20%20%20%20_tox_nm%20%3D%20tox_n_slider.value%0A%20%20%20%20_tox_cm%20%3D%20_tox_nm%20*%201e-7%0A%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Nd%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_Cox%20%3D%20eps_ox%20*%20eps_0%20%2F%20_tox_cm%0A%0A%20%20%20%20_phi_st%20%3D%202%20*%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Wdep_max%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20*%20eps_0%20*%20_phi_st%20%2F%20(q%20*%20_Nd))%0A%20%20%20%20_Qd_max%20%3D%20q%20*%20_Nd%20*%20_Wdep_max%0A%20%20%20%20_Vt%20%3D%20-_phi_st%20-%20_Qd_max%20%2F%20_Cox%0A%0A%20%20%20%20_eps_s%20%3D%20eps_Si%20*%20eps_0%0A%0A%20%20%20%20def%20_solve_phi_s_n(Vg%2C%20Nd%2C%20Cox%2C%20phi_B)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(Vg)%20%3C%201e-6%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s_min%20%3D%20-2%20*%20phi_B%20-%206%20*%20kT_300%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gamma%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20_eps_s%20*%20Nd)%20%2F%20Cox%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20Vg%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%20-0.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20phi_s%20%3E%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%20-0.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20abs_phi_s%20%3D%20abs(phi_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs_phi_s%20%3C%201e-10%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20abs_phi_s%20%3D%201e-10%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20phi_s%20%3C%20phi_s_min%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%20phi_s_min%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%20%3D%20phi_s%20-%20gamma%20*%20np.sqrt(abs_phi_s)%20-%20Vg%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20df%20%3D%201%20-%20gamma%20%2F%20(2%20*%20np.sqrt(abs_phi_s))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(df)%20%3C%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20f%20%2F%20df%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20-%3D%20delta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(delta)%20%3C%201e-8%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20max(phi_s%2C%20phi_s_min)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%200.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20phi_s%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20%3D%200.001%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20u_s%20%3D%20min(phi_s%20%2F%20kT_300%2C%20500)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arg%20%3D%20max(np.exp(u_s)%20-%20u_s%20-%201%2C%200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Q_s%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20_eps_s%20*%20Nd%20*%20kT_300%20*%20arg)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%20%3D%20phi_s%20%2B%20Q_s%20%2F%20Cox%20-%20Vg%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20Q_s%20%3E%201e-20%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dQ_s%20%3D%20q%20*%20_eps_s%20*%20Nd%20*%20(np.exp(u_s)%20-%201)%20%2F%20Q_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dQ_s%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20df%20%3D%201%20%2B%20dQ_s%20%2F%20Cox%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(df)%20%3C%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20f%20%2F%20df%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_s%20-%3D%20delta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(delta)%20%3C%201e-8%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20min(phi_s%2C%201.0)%0A%0A%20%20%20%20_phi_s%20%3D%20_solve_phi_s_n(_Vg%2C%20_Nd%2C%20_Cox%2C%20_phi_B)%0A%0A%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3E%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Accumulation%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%23d62728'%0A%20%20%20%20elif%20abs(_phi_s)%20%3C%3D%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Flat%20Band%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%237f7f7f'%0A%20%20%20%20elif%20_phi_s%20%3E%20-(2%20*%20_phi_B%20-%200.05)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Depletion%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%232ca02c'%0A%20%20%20%20elif%20abs(_phi_s%20%2B%202%20*%20_phi_B)%20%3C%200.15%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Threshold%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%23ff7f0e'%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Strong%20Inversion%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_color%20%3D%20'%231f77b4'%0A%0A%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20*%20eps_0%20*%20min(abs(_phi_s)%2C%20_phi_st)%20%2F%20(q%20*%20_Nd))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_um%20%3D%20_Wdep%20*%201e4%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_um%20%3D%200.0%0A%0A%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_Ei_bulk%20%3D%20-_phi_B%20%20%23%20E_F%20-%20E_Fi%20%3D%20phi_B%20for%20n-type%2C%20so%20E_Fi%20%3D%20-phi_B%0A%20%20%20%20_Ec_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20%2B%20Ec_minus_Ei%0A%20%20%20%20_Ev_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20Ei_minus_Ev%0A%20%20%20%20_EFm%20%3D%20_EF%20-%20_Vg%0A%0A%20%20%20%20_fig_band%2C%20_ax_band%20%3D%20plt.subplots(1%2C%201%2C%20figsize%3D(8.8%2C%204.8))%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%20Energy%20band%20diagram%20(top%20row)%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_xM%20%3D%20%5B-1.8%2C%20-1.2%5D%0A%20%20%20%20_xO%20%3D%20%5B-1.2%2C%200.0%5D%0A%20%20%20%20_x_sc_end%20%3D%203.0%0A%0A%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3C%20-0.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_plot%20%3D%20min(2.5%2C%20max(0.4%2C%20_Wdep%20*%201e4%20*%202.5))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_dep%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_Wdep_plot%2C%20300)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_flat%20%3D%20np.linspace(_Wdep_plot%2C%20_x_sc_end%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bending%20%3D%20_phi_s%20*%20(1%20-%20_x_dep%20%2F%20_Wdep_plot)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_x_dep%2C%20_x_flat%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ec_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ec_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ev_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ev_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ei_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ei_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20elif%20_phi_s%20%3E%200.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bend_len%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_acc%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_bend_len%2C%20150)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_flat%20%3D%20np.linspace(_bend_len%2C%20_x_sc_end%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bending%20%3D%20_phi_s%20*%20(1%20-%20_x_acc%20%2F%20_bend_len)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_x_acc%2C%20_x_flat%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ec_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ec_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ev_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ev_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ei_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ei_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.array(%5B0%2C%20_x_sc_end%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ev_bulk%2C%20_Ev_bulk%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ei_bulk%2C%20_Ei_bulk%5D)%0A%0A%20%20%20%20_ax_band.fill_between(_xM%2C%20_EFm%20-%203.0%2C%20_EFm%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(_xM%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_band.text(_xM%5B0%5D%20%2B%200.05%2C%20_EFm%20%2B%200.1%2C%20'%24E_%7BF%2CM%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20_Ec_ox_s%20%3D%20_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20dEc_ox%0A%20%20%20%20_Ev_ox_s%20%3D%20_Ev_sc%5B0%5D%20-%20dEv_ox%0A%20%20%20%20_V_ox%20%3D%20_Vg%20-%20_phi_s%0A%20%20%20%20_Ec_ox_m%20%3D%20_Ec_ox_s%20-%20_V_ox%0A%20%20%20%20_Ev_ox_m%20%3D%20_Ev_ox_s%20-%20_V_ox%0A%0A%20%20%20%20_ax_band.fill_between(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s%5D%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'%23ffffcc'%2C%20alpha%3D0.4%2C%20edgecolor%3D'none')%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(_xO%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(_x_sc%2C%20_Ec_sc%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(_x_sc%2C%20_Ev_sc%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(_x_sc%2C%20_Ei_sc%2C%20'k--'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B0%2C%20_x_sc_end%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax_band.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_Ec_bulk%2C%20'%24E_c%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax_band.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_Ev_bulk%2C%20'%24E_v%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax_band.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_Ei_bulk%2C%20'%24E_%7BFi%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_ax_band.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_EF%2C%20'%24E_%7BFs%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Interface%20lines%20(from%20Ev%2Cox%20to%20Ec%2Cox)%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B-1.2%2C%20-1.2%5D%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ec_ox_m%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B_Ev_ox_s%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20if%20abs(_phi_s)%20%3E%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xann%20%3D%200.2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B_xann%2C%20_xann%5D%2C%20%5B_Ec_sc%5B0%5D%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_sc%5B0%5D%2C%20_Ec_sc%5B0%5D%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.text(_xann%20%2B%200.15%2C%20(_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20_Ec_bulk)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_s%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%23%20phi_B%20annotation%20(between%20E_F%20and%20E_Fi%2Cbulk%20%E2%80%94%20for%20n-type%2C%20E_F%20%3E%20E_Fi)%0A%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20_xpB%20%3D%20_x_sc_end%20-%200.6%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B_xpB%2C%20_xpB%5D%2C%20%5B_Ei_bulk%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B_xpB%20-%20_cap%2C%20_xpB%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ei_bulk%2C%20_Ei_bulk%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B_xpB%20-%20_cap%2C%20_xpB%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax_band.text(_xpB%20%2B%200.12%2C%20(_Ei_bulk%20%2B%20_EF)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_B%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'purple'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%23%20V_ox%20annotation%20at%20oxide-metal%20interface%0A%20%20%20%20if%20abs(_V_ox)%20%3E%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xvox%20%3D%20-1.15%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B_xvox%2C%20_xvox%5D%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B_xvox%20-%20_cap%2C%20_xvox%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_m%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B_xvox%20-%20_cap%2C%20_xvox%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_ox_s%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.text(_xvox%20-%200.12%2C%20(_Ec_ox_m%20%2B%20_Ec_ox_s)%20%2F%202%2C%20r'%24qV_%7Box%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20va%3D'center'%2C%20ha%3D'right')%0A%0A%20%20%20%20if%20abs(_Vg)%20%3E%200.1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xvg%20%3D%20-1.35%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B_xvg%2C%20_xvg%5D%2C%20%5B_EFm%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B_xvg%20-%20_cap%2C%20_xvg%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.plot(%5B_xvg%20-%20_cap%2C%20_xvg%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.text(_xvg%20-%200.15%2C%20(_EFm%20%2B%20_EF)%20%2F%202%2C%20r'%24qV_G%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkred'%2C%20va%3D'center'%2C%20ha%3D'right')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Oxide%20band%20labels%0A%20%20%20%20_ax_band.text(-0.6%2C%20max(_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s)%20%2B%200.15%2C%20'%24E_%7Bc%2Cox%7D%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center')%0A%20%20%20%20_ax_band.text(-0.6%2C%20min(_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s)%20-%200.3%2C%20'%24E_%7Bv%2Cox%7D%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20_ax_band.text((_x_sc_end)%20%2F%202%2C%20_Ec_bulk%20%2B%20dEc_ox%20%2B%200.05%2C%20_regime%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D_regime_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round%2Cpad%3D0.3'%2C%20facecolor%3D'white'%2C%20edgecolor%3D_regime_color%2C%20alpha%3D0.9))%0A%20%20%20%20_ax_band.text(-1.5%2C%20min(_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s)%20-%200.8%2C%20'Metal'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_band.text(1.5%2C%20min(_Ev_ox_s%2C%20_Ev_ox_m)%20-%200.8%2C%20'N-type%20Si'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_y_lo%20%3D%20min(_Ev_ox_s%2C%20_Ev_ox_m%2C%20_EFm)%20-%201.5%0A%20%20%20%20_y_hi%20%3D%20max(_Ec_bulk%20%2B%20dEc_ox%20%2B%200.8%2C%20_Ec_ox_m%20%2B%200.5%2C%20_EFm%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20_ax_band.set_xlim(-2.1%2C%20_x_sc_end%20%2B%200.8)%0A%20%20%20%20_ax_band.set_ylim(_y_lo%2C%20_y_hi)%0A%20%20%20%20_ax_band.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_band.set_title('Energy%20Bands%20(N-type)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_band.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax_band.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20for%20_sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%2C%20'bottom'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_band.spines%5B_sp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig_band)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%20Electrostatics%20(bottom%20row%2C%203%20panels)%20%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_fig_es%2C%20(_ax_rho%2C%20_ax_E%2C%20_ax_V)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(16%2C%205))%0A%20%20%20%20_eps_s%20%3D%20eps_Si%20*%20eps_0%0A%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3C%20-0.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_es%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_s%20*%20min(abs(_phi_s)%2C%20_phi_st)%20%2F%20(q%20*%20_Nd))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_es%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_Wdep_es%2C%20500)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_es_um%20%3D%20_x_es%20*%201e4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ext%20%3D%20np.linspace(_Wdep_es%2C%20_Wdep_es%20*%201.5%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ext_um%20%3D%20_x_ext%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rho%20%3D%20np.full_like(_x_es%2C%20q%20*%20_Nd)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_field%20%3D%20-q%20*%20_Nd%20%2F%20_eps_s%20*%20(_Wdep_es%20-%20_x_es)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_max%20%3D%20-q%20*%20_Nd%20*%20_Wdep_es%20%2F%20_eps_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_es%20%3D%20_phi_s%20*%20(1%20-%20_x_es%20%2F%20_Wdep_es)%20**%202%0A%20%20%20%20elif%20_phi_s%20%3E%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_L_D%20%3D%20np.sqrt(_eps_s%20*%20kT_300%20%2F%20(q%20*%20_Nd))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_N_pts%20%3D%20600%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_cutoff%20%3D%20kT_300%20*%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_arr%20%3D%20np.linspace(_phi_s%2C%20_V_cutoff%2C%20_N_pts)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_u_arr%20%3D%20_V_arr%20%2F%20kT_300%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_sq%20%3D%202%20*%20q%20*%20_Nd%20*%20kT_300%20%2F%20_eps_s%20*%20(np.exp(_u_arr)%20-%20_u_arr%20-%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_arr%20%3D%20np.sqrt(np.maximum(_E_sq%2C%201e-10))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dV%20%3D%20np.diff(_V_arr)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_mid%20%3D%200.5%20*%20(_E_arr%5B%3A-1%5D%20%2B%20_E_arr%5B1%3A%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_mid%20%3D%20np.maximum(_E_mid%2C%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dx_arr%20%3D%20-_dV%20%2F%20_E_mid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_arr%20%3D%20np.concatenate(%5B%5B0%5D%2C%20np.cumsum(_dx_arr)%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_es%20%3D%20_x_arr%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_es_um%20%3D%20_x_es%20*%201e4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_end_cm%20%3D%20_x_arr%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ext%20%3D%20np.linspace(_x_end_cm%2C%20_x_end_cm%20%2B%204%20*%20_L_D%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ext_um%20%3D%20_x_ext%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rho%20%3D%20q%20*%20_Nd%20*%20(1%20-%20np.exp(_u_arr))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_field%20%3D%20_E_arr%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_max%20%3D%20_E_arr%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_es%20%3D%20_V_arr%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_es%20%3D%20np.array(%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_es_um%20%3D%20np.array(%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ext%20%3D%20np.linspace(0%2C%200.5e-4%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_ext_um%20%3D%20_x_ext%20*%201e4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rho%20%3D%20np.array(%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_field%20%3D%20np.array(%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_max%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_es%20%3D%20np.array(%5B0%5D)%0A%0A%20%20%20%20_rho_ext%20%3D%20np.zeros_like(_x_ext)%0A%20%20%20%20_E_ext%20%3D%20np.zeros_like(_x_ext)%0A%20%20%20%20_V_ext%20%3D%20np.zeros_like(_x_ext)%0A%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(_x_es_um%2C%20_rho%20%2F%20q%20*%201e-15%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(_x_ext_um%2C%20_rho_ext%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_rho.fill_between(_x_es_um%2C%200%2C%20_rho%20%2F%20q%20*%201e-15%2C%20alpha%3D0.2%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax_rho.axhline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_ylabel(r'%24%5Crho%20%2F%20q%24%20(%24%5Ctimes%2010%5E%7B15%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_xlabel(r'%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_title(r'%24%5Crho(x)%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_rho.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_rho.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_Qm%20%3D%20_Cox%20*%20(_Vg%20-%20_phi_s)%0A%20%20%20%20_Qdep_total%20%3D%20q%20*%20_Nd%20*%20_Wdep%20if%20_phi_s%20%3C%20-0.01%20else%200.0%0A%20%20%20%20_Qinv_n%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20if%20abs(_phi_s)%20%3E%3D%20_phi_st%20-%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Qinv_n%20%3D%20-(_Qm%20%2B%20_Qdep_total)%0A%0A%20%20%20%20if%20abs(_Qm)%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_end%20%3D%20max(_x_ext_um%5B-1%5D%2C%200.02)%20if%20len(_x_ext_um)%20%3E%201%20else%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gap%20%3D%20max(0.12%20*%20_x_end%2C%200.008)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bw%20%3D%20_gap%20*%200.35%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rho_sc%20%3D%20_rho%20%2F%20q%20*%201e-15%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pk%20%3D%20max(np.max(np.abs(_rho_sc))%2C%200.1)%20if%20len(_rho_sc)%20%3E%201%20else%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Qdep_ref%20%3D%20_Qd_max%20if%20_Qd_max%20%3E%201e-20%20else%20abs(_Qm)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bh%20%3D%20(_Qm%20%2F%20_Qdep_ref)%20*%20_pk%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.bar(-_gap%20-%20_bw%2C%20_bh%2C%20width%3D_bw%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20alpha%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D'k'%2C%20linewidth%3D1%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sgn%20%3D%20'%2B'%20if%20_Qm%20%3E%200%20else%20'%5Cu2212'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.text(-_gap%20-%20_bw%20%2F%202%2C%20_bh%20%2B%20np.sign(_bh)%20*%20_pk%20*%200.12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%7B_sgn%7D%24Q_M%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D'darkorange')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.axvspan(-_gap%2C%200%2C%20color%3D'%23ffffcc'%2C%20alpha%3D0.15%2C%20zorder%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.text(-_gap%20%2F%202%2C%20_pk%20*%200.03%2C%20'oxide'%2C%20fontsize%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%20alpha%3D0.4%2C%20style%3D'italic')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_Qinv_n)%20%3E%201e-12%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bh_inv%20%3D%20(_Qinv_n%20%2F%20_Qdep_ref)%20*%20_pk%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.bar(0%2C%20_bh_inv%2C%20width%3D_bw%2C%20color%3D'purple'%2C%20alpha%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D'k'%2C%20linewidth%3D1%2C%20zorder%3D5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_sgn_inv%20%3D%20'%2B'%20if%20_Qinv_n%20%3E%200%20else%20'%5Cu2212'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.text(_bw%20%2F%202%20%2B%200.002%20*%20_x_end%2C%20_bh_inv%20%2B%20np.sign(_bh_inv)%20*%20_pk%20*%200.12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%7B_sgn_inv%7D%24Q_%7B%7Binv%7D%7D%24'%2C%20fontsize%3D12%2C%20ha%3D'left'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D'purple')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.set_xlim(-_gap%20-%20_bw%20*%203%2C%20_x_end%20*%201.05)%0A%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_es_um%2C%20_E_field%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_ext_um%2C%20_E_ext%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.fill_between(_x_es_um%2C%200%2C%20_E_field%2C%20alpha%3D0.2%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax_E.axhline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_ylabel(r'%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%20(V%2Fcm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_xlabel(r'%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_title(r'%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_E.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_E.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20if%20abs(_E_max)%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_E.text(0.95%2C%200.95%2C%20f'%24%7C%5C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7Bmax%7D%7D%7C%24%20%3D%20%7Babs(_E_max)%3A.2e%7D%20V%2Fcm'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D13%2C%20transform%3D_ax_E.transAxes%2C%20va%3D'top'%2C%20ha%3D'right'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round%2Cpad%3D0.3'%2C%20fc%3D'white'%2C%20alpha%3D0.8))%0A%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_es_um%2C%20_V_es%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_ext_um%2C%20_V_ext%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_V.fill_between(_x_es_um%2C%200%2C%20_V_es%2C%20alpha%3D0.2%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax_V.axhline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20if%20abs(_phi_s)%20%3E%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_V.axhline(_phi_s%2C%20color%3D'gray'%2C%20ls%3D'%3A'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_off%20%3D%200.01%20if%20_phi_s%20%3C%200%20else%20-0.03%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_V.text(0.01%2C%20_phi_s%20%2B%20_y_off%2C%20f'%24%5C%5Cphi_s%24%20%3D%20%7B_phi_s%3A.3f%7D%20V'%2C%20fontsize%3D13%2C%20color%3D'gray')%0A%20%20%20%20_ax_V.set_ylabel(r'%24V(x)%24%20(V)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_xlabel(r'%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_title(r'%24V(x)%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_V.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_V.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig_es)%0A%0A%20%20%20%20_info%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---------%7C%3A------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Regime**%20%7C%20%7B_regime%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_G%24%20%7C%20%7B_Vg%3A.2f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_B%24%20%7C%20%7B_phi_B%3A.4f%7D%20eV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_s%24%20(surface%20potential)%20%7C%20%7B_phi_s%3A.4f%7D%20eV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24-2%5Cphi_B%24%20(threshold%20condition)%20%7C%20%7B-2*_phi_B%3A.4f%7D%20eV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24W_%7B%7Bdep%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Wdep%3A.2e%7D%20cm%20%3D%20%7B_Wdep_um%3A.3f%7D%20%24%5Cmu%24m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24W_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Wdep_max%3A.2e%7D%20cm%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_T%24%20(threshold%20voltage)%20%7C%20%7B_Vt%3A.3f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Q_M%24%20(gate%20charge%2Farea)%20%7C%20%7B_Qm%3A.2e%7D%20C%2Fcm%C2%B2%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Q_%7B%7Binv%7D%7D%24%20(inversion%20charge%2Farea)%20%7C%20%7B_Qinv_n%3A.2e%7D%20C%2Fcm%C2%B2%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24N_D%24%20%7C%20%7B_Nd%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24t_%7B%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%7B_tox_nm%3A.1f%7D%20nm%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.hstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.vstack(%5BVg_n_slider%2C%20Nd_slider%2C%20tox_n_slider%5D)%2C%0A%20%20%20%20%5D%2C%20widths%3D%5B0.7%5D)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Interactive%20N-type%20MOS%20(Energy%20Bands%20%2B%20Electrostatics)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_fig_band)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_fig_es)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_info%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Sign%20conventions%20and%20definitions%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Definition%20%7C%20P-body%20%7C%20%7C%20N-body%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---------%7C%3A-----------%7C%3A------%3A%7C%3A--%3A%7C%3A------%3A%7C%3A--%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_G%24%20%7C%20%24V_%7Box%7D%20%2B%20%5Cphi_s%24%20%7C%20%3E%200%20%7C%20%7C%20%3C%200%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24qV_G%24%20%7C%20%24E_%7BFs%7D%20-%20E_%7BFm%7D%24%20%7C%20%3E%200%20%7C%20%7C%20%3C%200%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24q%5Cphi_s%24%20%7C%20%24E_%7Bc%2C%5Ctext%7Bbulk%7D%7D%20-%20E_%7Bc%2C%5Ctext%7Bsurf%7D%7D%24%20%7C%20%3E%200%20%7C%20%7C%20%3C%200%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24q%5Cphi_B%24%20%7C%20%24%5Cvert%20E_%7Bi%2C%5Ctext%7Bbulk%7D%7D%20-%20E_%7BFs%7D%20%5Cvert%24%20%7C%20%3E%200%20%7C%20%7C%20%3E%200%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_B%24%20%7C%20%24%5Cfrac%7BkT%7D%7Bq%7D%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BN_A%7D%7Bn_i%7D%5Cright)%24%20%7C%20%3E%200%20%7C%20%7C%20%24%5Cfrac%7BkT%7D%7Bq%7D%5Cln%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BN_D%7D%7Bn_i%7D%5Cright)%24%20%7C%20%3E%200%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_%7Bst%7D%24%20%7C%20%242%5Cphi_B%24%20%7C%20%3E%200%20%7C%20%7C%20%24-2%5Cphi_B%24%20%7C%20%3C%200%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Key%20equations%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20P-body%20%7C%20%7C%20N-body%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---------%7C%3A------%3A%7C%3A--%3A%7C%3A------%3A%7C%3A--%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_s%24%20%7C%20%24%5Cdfrac%7BqN_A%20W_%7Bdep%7D%5E2%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%24%20%7C%20%3E%200%20%7C%20%24-%5Cdfrac%7BqN_D%20W_%7Bdep%7D%5E2%7D%7B2%5Cvarepsilon_s%7D%24%20%7C%20%3C%200%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_%7Box%7D%24%20%7C%20%24%5Cdfrac%7BqN_A%20W_%7Bdep%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%3E%200%20%7C%20%24-%5Cdfrac%7BqN_D%20W_%7Bdep%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%3C%200%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24W_%7Bdep%7D%24%20%7C%20%24%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%20%5Cphi_s%7D%7BqN_A%7D%7D%24%20%7C%20%3E%200%20%7C%20%24%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2%5Cvarepsilon_s%20%5Clvert%5Cphi_s%5Crvert%7D%7BqN_D%7D%7D%24%20%7C%20%3E%200%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_T%24%20%7C%20%24%5Cphi_%7Bst%7D%20%2B%20%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7BqN_A%202%5Cvarepsilon_s%20%5Cphi_%7Bst%7D%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%3E%200%20%7C%20%24%5Cphi_%7Bst%7D%20-%20%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7BqN_D%202%5Cvarepsilon_s%20%5Clvert%5Cphi_%7Bst%7D%5Crvert%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%3C%200%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Main%20concepts%0A%0A%20%20%20%20-%20%24V_G%24%20is%20dropped%20across%20oxide%20and%20semiconductor%3A%20%24V_G%20%3D%20V_%7Box%7D%20%2B%20%5Cphi_s%24.%0A%20%20%20%20-%20The%20**surface%20potential**%20%24%5Cphi_s%24%20is%20the%20amount%20of%20band%20bending%20at%20the%20oxide-semiconductor%20interface.%20It%20is%20the%20voltage%20dropped%20in%20the%20semiconductor.%0A%20%20%20%20-%20At%20**threshold**%2C%20the%20surface%20is%20as%20strongly%20inverted%20as%20the%20bulk%20is%20doped%3A%20%24%5Cphi_s%20%3D%202%5Cphi_B%24.%0A%20%20%20%20-%20Beyond%20threshold%2C%20%24%5Cphi_s%24%20is%20approximately%20pinned%20at%20%242%5Cphi_B%24%20because%20the%20increasing%20inversion%20charge%20screens%20additional%20gate%20voltage.%0A%20%20%20%20-%20The%20**depletion%20width**%20reaches%20its%20maximum%20%24W_%7Bdep%2Cmax%7D%24%20at%20threshold%20and%20does%20not%20grow%20further%20in%20inversion.%0A%20%20%20%20-%20Regimes%20of%20operation%3A%20accumulation%2C%20depletion%2C%20threshold%2C%20and%20inversion.%0A%20%20%20%20-%20P-body%20MOS%3A%20positive%20%24V_G%24%20drives%20toward%20inversion%3B%20N-body%20MOS%3A%20negative%20%24V_G%24%20drives%20toward%20inversion.%20All%20equations%20are%20related%20by%20swapping%20%24N_A%20%5Cleftrightarrow%20N_D%24%20and%20reversing%20signs.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A