mos nonidealities

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.1%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.21.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20q%20%3D%201.6e-19%0A%20%20%20%20kT_300%20%3D%200.02585%0A%20%20%20%20eps_0%20%3D%208.854e-14%20%20%20%20%20%20%20%23%20F%2Fcm%0A%20%20%20%20eps_Si%20%3D%2011.7%0A%20%20%20%20eps_ox%20%3D%203.9%0A%20%20%20%20ni_Si%20%3D%201.1e10%0A%20%20%20%20Eg_Si%20%3D%201.12%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20eV%0A%20%20%20%20chi_Si%20%3D%204.05%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20eV%0A%20%20%20%20Nc_Si%20%3D%202.86e19%0A%20%20%20%20Nv_Si%20%3D%201.08e19%0A%0A%20%20%20%20Ec_minus_Ei%20%3D%20Eg_Si%20%2F%202%20%2B%20kT_300%20%2F%202%20*%20np.log(Nc_Si%20%2F%20Nv_Si)%0A%20%20%20%20Ei_minus_Ev%20%3D%20Eg_Si%20%2F%202%20%2B%20kT_300%20%2F%202%20*%20np.log(Nv_Si%20%2F%20Nc_Si)%0A%0A%20%20%20%20Eg_ox%20%3D%209.0%0A%20%20%20%20chi_ox%20%3D%200.95%0A%20%20%20%20dEc_ox%20%3D%20chi_Si%20-%20chi_ox%20%20%20%23%20~3.1%20eV%0A%20%20%20%20dEv_ox%20%3D%20Eg_ox%20-%20Eg_Si%20-%20dEc_ox%20%20%23%20~4.8%20eV%0A%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test%20%3D%20Path(__file__).parent%20%2F%20%22images%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_test.exists()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20Path(__file__).parent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20FileNotFoundError%0A%20%20%20%20except%20Exception%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20None%0A%20%20%20%20IMAGE_BASE%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Fmos-nonidealities%2Fimages%22%20if%20ASSET_DIR%20is%20None%20else%20str(ASSET_DIR%20%2F%20%22images%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20MOS%20Capacitor%3A%20Non-Idealities%0A%20%20%20%20**ECE350%20Lecture%2031-32**%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20covers%20deviations%20from%20the%20ideal%20MOS%20capacitor%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Work%20function%20mismatch**%20(%24%5CPsi_M%20%5Cneq%20%5CPsi_S%24)%20and%20the%20flatband%20voltage%0A%20%20%20%202.%20**Oxide%20charges**%20(%24Q_%7Box%7D%24)%0A%20%20%20%203.%20**Enhancement%20vs.%20depletion%20MOS**%0A%20%20%20%204.%20**Poly-Si%20gate%20depletion**%0A%20%20%20%205.%20**Inversion%20and%20accumulation%20charge%20thickness**%0A%20%20%20%206.%20**Interactive%20C-V**%20%E2%80%94%20combined%20non-idealities%0A%20%20%20%207.%20**Extracting%20non-idealities%20from%20C-V**%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_minus_Ei%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ei_minus_Ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dEc_ox%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dEv_ox%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps_ox%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kT_300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Ec_minus_Ei%2C%0A%20%20%20%20Ei_minus_Ev%2C%0A%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20dEc_ox%2C%0A%20%20%20%20dEv_ox%2C%0A%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20eps_ox%2C%0A%20%20%20%20kT_300%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_wf_md%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Work%20Function%20Mismatch%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20work%20functions%20of%20the%20gate%20and%20semiconductor%20are%20not%20identical%20(%24%5CPsi_M%20%5Cneq%20%5CPsi_S%24)%2C%20the%20energy%20bands%20are%20**not%20flat**%20at%20equilibrium.%0A%0A%20%20%20%20We%20apply%20%24V_G%20%3D%20V_%7BFB%7D%24%20(**flatband%20voltage**)%20if%20we%20want%20the%20energy%20bands%20to%20be%20flat%20again%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BV_%7BFB%7D%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24V_%7BFB%7D%24%20counteracts%20the%20built-in%20potential.%0A%0A%20%20%20%20The%20expressions%20we%20used%20for%20%24V_G%24%20in%20our%20first%20pass%20assuming%20%24V_%7BFB%7D%20%3D%200%24%20are%20now%20shifted%20by%20%24V_%7BFB%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BV_G%20%3D%20V_%7BFB%7D%20%2B%20%5Cphi_s%20%2B%20V_%7Box%7D%7D%20%5Cqquad%20V_T%20%3D%20V_%7BFB%7D%20%2B%202%5Cphi_B%20%2B%20%5Cfrac%7B2%7D%7BC_%7Box%7D%7D%5Csqrt%7Bq%20N_A%20%5Cvarepsilon_s%20%5Cphi_B%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%201e17%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_Ei_bulk%20%3D%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Ec_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20%2B%20Ec_minus_Ei%0A%20%20%20%20_Ev_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20Ei_minus_Ev%0A%0A%20%20%20%20_Psi_S%20%3D%20chi_Si%20%2B%20Ec_minus_Ei%20%2B%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Psi_M_nplus%20%3D%20chi_Si%0A%20%20%20%20_Vfb%20%3D%20_Psi_M_nplus%20-%20_Psi_S%0A%0A%20%20%20%20_eps_s%20%3D%20eps_Si%20*%20eps_0%0A%20%20%20%20_tox%20%3D%205e-7%0A%20%20%20%20_Cox%20%3D%20eps_ox%20*%20eps_0%20%2F%20_tox%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20_eps_s%20*%20_Na)%20%2F%20_Cox%0A%0A%20%20%20%20_Vg_eff_0%20%3D%200%20-%20_Vfb%0A%20%20%20%20_phi_s_0%20%3D%200.1%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range(100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_phi_s_0%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_0%20%3D%200.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_f%20%3D%20_phi_s_0%20%2B%20_gamma%20*%20np.sqrt(_phi_s_0)%20-%20_Vg_eff_0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_df%20%3D%201%20%2B%20_gamma%20%2F%20(2%20*%20np.sqrt(_phi_s_0))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_0%20-%3D%20_f%20%2F%20_df%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_f)%20%3C%201e-8%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20_phi_s_0%20%3D%20max(_phi_s_0%2C%200.01)%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax1%2C%20_ax2)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%205.5))%0A%0A%20%20%20%20for%20_ax%2C%20_title%2C%20_phi_s%2C%20_Vg_applied%20in%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_ax1%2C%20r'%24V_G%20%3D%200%24%2C%20%24%5CPsi_M%20%3C%20%5CPsi_S%24%3A%20bands%20NOT%20flat'%2C%20_phi_s_0%2C%200.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_ax2%2C%20r'%24V_G%20%3D%20V_%7BFB%7D%24%3A%20flat%20bands%20restored'%2C%200.0%2C%20_Vfb)%2C%0A%20%20%20%20%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_EFm%20%3D%20_EF%20-%20_Vg_applied%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xM%20%3D%20%5B-1.8%2C%20-1.2%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xO%20%3D%20%5B-1.2%2C%200.0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc_end%20%3D%203.0%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_phi_s%20%3E%200.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_s%20*%20_phi_s%20%2F%20(q%20*%20_Na))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Wdep_plot%20%3D%20min(2.5%2C%20max(0.4%2C%20_Wdep%20*%201e4%20*%202.5))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_dep%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_Wdep_plot%2C%20200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_flat%20%3D%20np.linspace(_Wdep_plot%2C%20_x_sc_end%2C%2050)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bending%20%3D%20_phi_s%20*%20(1%20-%20_x_dep%20%2F%20_Wdep_plot)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_x_dep%2C%20_x_flat%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ec_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ec_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ev_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ev_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ei_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ei_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.array(%5B0%2C%20_x_sc_end%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ev_bulk%2C%20_Ev_bulk%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.array(%5B_Ei_bulk%2C%20_Ei_bulk%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.fill_between(_xM%2C%20_EFm%20-%202.5%2C%20_EFm%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_xM%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xM%5B0%5D%20%2B%200.05%2C%20_EFm%20%2B%200.12%2C%20'%24E_%7BF%2CM%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_ox%20%3D%20_Vg_applied%20-%20_Vfb%20-%20_phi_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_ox_s%20%3D%20_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20dEc_ox%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_ox_s%20%3D%20_Ev_sc%5B0%5D%20-%20dEv_ox%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_ox_m%20%3D%20_Ec_ox_s%20-%20_V_ox%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ev_ox_m%20%3D%20_Ev_ox_s%20-%20_V_ox%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.fill_between(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s%5D%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'%23ffffcc'%2C%20alpha%3D0.4%2C%20edgecolor%3D'none')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_xO%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ec_sc%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ev_sc%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ei_sc%2C%20'k--'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%20_x_sc_end%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_Ec_bulk%2C%20'%24E_c%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_Ev_bulk%2C%20'%24E_v%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_EF%2C%20'%24E_F%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_Ei_bulk%2C%20'%24E_%7BFi%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20alpha%3D0.6)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B-1.2%2C%20-1.2%5D%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ec_ox_m%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B_Ev_ox_s%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_phi_s)%20%3E%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xann%20%3D%200.2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%2C%20_xann%5D%2C%20%5B_Ec_sc%5B0%5D%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_sc%5B0%5D%2C%20_Ec_sc%5B0%5D%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xann%20%2B%200.15%2C%20(_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20_Ec_bulk)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_s%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_phi_s)%20%3E%200.05%20and%20abs(_Vg_applied)%20%3C%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xarr%20%3D%20-0.6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20''%2C%20xy%3D(-0.15%2C%20(_Ec_ox_m%20%2B%20_Ec_ox_s)%20%2F%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(-1.05%2C%20(_Ec_ox_m%20%2B%20_Ec_ox_s)%20%2F%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'brown'%2C%20lw%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xarr%2C%20(_Ec_ox_m%20%2B%20_Ec_ox_s)%20%2F%202%20%2B%200.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r'%24%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bbi%7D%20%3E%200%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'brown'%2C%20ha%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_Vg_applied)%20%3E%200.01%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xann%20%3D%20-1.35%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%2C%20_xann%5D%2C%20%5B_EFm%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xann%20-%200.15%2C%20(_EFm%20%2B%20_EF)%20%2F%202%2C%20r'%24qV_%7BFB%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkred'%2C%20va%3D'center'%2C%20ha%3D'right')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(-1.5%2C%20_Ev_bulk%20-%201.8%2C%20'N%24%5E%2B%24%5Cnpoly-Si'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(1.5%2C%20_Ev_bulk%20-%201.8%2C%20'P-type%20Si'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_title(_title%2C%20fontsize%3D14%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlim(-2.0%2C%20_x_sc_end%20%2B%200.6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylim(_Ev_bulk%20-%202.3%2C%20max(_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s)%20%2B%200.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_ax%20%3D%3D%20_ax1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%2C%20'bottom'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.spines%5B_sp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%0A%20%20%20%20_caption%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20**N%24%5E%2B%24%20poly-Si%20gate%20on%20P-body**%20(%24N_A%24%20%3D%20%7B_Na%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24).%0A%20%20%20%20%24%5CPsi_M%20%3D%20%5Cchi_%7B%7BSi%7D%7D%24%20%3D%20%7Bchi_Si%7D%20eV%2C%20%24%5CPsi_S%24%20%3D%20%7B_Psi_S%3A.3f%7D%20eV.%0A%20%20%20%20Since%20%24%5CPsi_M%20%3C%20%5CPsi_S%24%2C%20the%20bands%20bend%20**downward**%20at%20equilibrium%20(%24V_G%20%3D%200%24)%20%E2%80%94%20the%20MOS%20is%0A%20%20%20%20partially%20depleted.%20To%20restore%20flat%20bands%2C%20apply%20%24V_%7B%7BFB%7D%7D%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%24%20%3D%20%7B_Vfb%3A.3f%7D%20V.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_wf_md%2C%20mo.as_html(_fig)%2C%20_caption%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Ec_minus_Ei%2C%0A%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20Ei_minus_Ev%2C%0A%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20dEc_ox%2C%0A%20%20%20%20dEv_ox%2C%0A%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20eps_ox%2C%0A%20%20%20%20kT_300%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_Na_ex%20%3D%201e17%0A%20%20%20%20_tox_ex%20%3D%205.7e-7%0A%20%20%20%20_eps_s%20%3D%20eps_Si%20*%20eps_0%0A%20%20%20%20_phi_B_ex%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Na_ex%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_Cox_ex%20%3D%20eps_ox%20*%20eps_0%20%2F%20_tox_ex%0A%20%20%20%20_Wdep_max_ex%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_s%20*%202%20*%20_phi_B_ex%20%2F%20(q%20*%20_Na_ex))%0A%20%20%20%20_Qdep_max_ex%20%3D%20q%20*%20_Na_ex%20*%20_Wdep_max_ex%0A%20%20%20%20_Vt_ideal_ex%20%3D%202%20*%20_phi_B_ex%20%2B%20_Qdep_max_ex%20%2F%20_Cox_ex%0A%0A%20%20%20%20_Psi_S_ex%20%3D%20chi_Si%20%2B%20Ec_minus_Ei%20%2B%20_phi_B_ex%0A%20%20%20%20_Psi_M_nplus%20%3D%20chi_Si%0A%20%20%20%20_Vfb_nplus%20%3D%20_Psi_M_nplus%20-%20_Psi_S_ex%0A%20%20%20%20_Vt_nplus%20%3D%20_Vfb_nplus%20%2B%20_Vt_ideal_ex%0A%0A%20%20%20%20_vt_md%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20%24V_T%24%20Modification%0A%0A%20%20%20%20We%20found%20that%20if%20%24%5CPsi_M%20%3C%20%5CPsi_S%24%20and%20for%20a%20P-type%20body%2C%20%24V_T%24%20is%20**reduced**%20(see%20above).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Example%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Parameter%20%7C%20Ideal%20(%24%5CPsi_M%20%3D%20%5CPsi_S%24)%20%7C%20N%24%5E%2B%24%20poly-Si%20gate%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%7C%3A---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24N_A%24%20%7C%20%7B_Na_ex%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Na_ex%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24t_%7B%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%7B_tox_ex*1e7%3A.1f%7D%20nm%20%7C%20%7B_tox_ex*1e7%3A.1f%7D%20nm%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_B%24%20%7C%20%7B_phi_B_ex%3A.3f%7D%20V%20%7C%20%7B_phi_B_ex%3A.3f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_%7B%7BFB%7D%7D%24%20%7C%200%20%7C%20%7B_Vfb_nplus%3A.2f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_T%24%20%7C%20**%7B_Vt_ideal_ex%3A.2f%7D%20V**%20%7C%20**%7B_Vt_nplus%3A.2f%7D%20V**%20%7C%0A%0A%20%20%20%20Replacing%20the%20ideal%20gate%20(%24%5CPsi_M%20%3D%20%5CPsi_S%24)%20with%20N%24%5E%2B%24%20poly-Si%20shifts%20%24V_T%24%20by%20%24V_%7B%7BFB%7D%7D%24%20%3D%20%7B_Vfb_nplus%3A.2f%7D%20V%2C%0A%20%20%20%20dramatically%20reducing%20%24V_T%24%20from%20%7B_Vt_ideal_ex%3A.2f%7D%20V%20to%20%7B_Vt_nplus%3A.2f%7D%20V.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**CHECKPOINT%3A**%20Sketch%20the%20energy%20diagram%20for%20%24%5CPsi_M%20%3E%20%5CPsi_S%24%20with%20a%20P-type%20body.%0A%20%20%20%20%3E%20What%20happens%20to%20%24V_T%24%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Accordion%20answer%3A%20energy%20diagram%20for%20Psi_M%20%3E%20Psi_S%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%201e17%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_Ei_bulk%20%3D%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Ec_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20%2B%20Ec_minus_Ei%0A%20%20%20%20_Ev_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20Ei_minus_Ev%0A%0A%20%20%20%20_Psi_S%20%3D%20chi_Si%20%2B%20Ec_minus_Ei%20%2B%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Psi_M_pplus%20%3D%20chi_Si%20%2B%20Eg_Si%0A%20%20%20%20_Vfb_pp%20%3D%20_Psi_M_pplus%20-%20_Psi_S%0A%0A%20%20%20%20_tox%20%3D%205.7e-7%0A%20%20%20%20_Cox%20%3D%20eps_ox%20*%20eps_0%20%2F%20_tox%0A%20%20%20%20_phi_s_acc%20%3D%20-0.05%0A%0A%20%20%20%20_Vfb_pp_val%20%3D%20_Vfb_pp%0A%20%20%20%20_Wdep_max%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_s%20*%202%20*%20_phi_B%20%2F%20(q%20*%20_Na))%0A%20%20%20%20_Qdep_max%20%3D%20q%20*%20_Na%20*%20_Wdep_max%0A%20%20%20%20_Vt_ideal%20%3D%202%20*%20_phi_B%20%2B%20_Qdep_max%20%2F%20_Cox%0A%20%20%20%20_Vt_pplus%20%3D%20_Vfb_pp%20%2B%20_Vt_ideal%0A%0A%20%20%20%20_EFm%20%3D%20_EF%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8.5%2C%205))%0A%0A%20%20%20%20_xM%20%3D%20%5B-1.8%2C%20-1.2%5D%0A%20%20%20%20_xO%20%3D%20%5B-1.2%2C%200.0%5D%0A%20%20%20%20_x_sc_end%20%3D%203.0%0A%0A%20%20%20%20_bend_len%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20_x_acc%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_bend_len%2C%20150)%0A%20%20%20%20_x_flat%20%3D%20np.linspace(_bend_len%2C%20_x_sc_end%2C%2050)%0A%20%20%20%20_bending%20%3D%20_phi_s_acc%20*%20(1%20-%20_x_acc%20%2F%20_bend_len)%20**%202%0A%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_x_acc%2C%20_x_flat%5D)%0A%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ec_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ec_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ev_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ev_bulk)%5D)%0A%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ei_bulk%20-%20_bending%2C%20np.full_like(_x_flat%2C%20_Ei_bulk)%5D)%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xM%2C%20_EFm%20-%202.5%2C%20_EFm%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xM%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xM%5B0%5D%20%2B%200.05%2C%20_EFm%20%2B%200.12%2C%20'%24E_%7BF%2CM%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20_V_ox%20%3D%200.0%20-%20_Vfb_pp%20-%20_phi_s_acc%0A%20%20%20%20_Ec_ox_s%20%3D%20_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20dEc_ox%0A%20%20%20%20_Ev_ox_s%20%3D%20_Ev_sc%5B0%5D%20-%20dEv_ox%0A%20%20%20%20_Ec_ox_m%20%3D%20_Ec_ox_s%20-%20_V_ox%0A%20%20%20%20_Ev_ox_m%20%3D%20_Ev_ox_s%20-%20_V_ox%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s%5D%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'%23ffffcc'%2C%20alpha%3D0.4%2C%20edgecolor%3D'none')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xO%2C%20%5B_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xO%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ev_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ec_sc%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ev_sc%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ei_sc%2C%20'k--'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%20_x_sc_end%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_Ec_bulk%2C%20'%24E_c%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_Ev_bulk%2C%20'%24E_v%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_EF%2C%20'%24E_F%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax.text(_x_sc_end%20%2B%200.1%2C%20_Ei_bulk%2C%20'%24E_%7BFi%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20alpha%3D0.6)%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B-1.2%2C%20-1.2%5D%2C%20%5B_Ev_ox_m%2C%20_Ec_ox_m%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B_Ev_ox_s%2C%20_Ec_ox_s%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20''%2C%20xy%3D(-1.05%2C%20(_Ec_ox_m%20%2B%20_Ec_ox_s)%20%2F%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(-0.15%2C%20(_Ec_ox_m%20%2B%20_Ec_ox_s)%20%2F%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'brown'%2C%20lw%3D2)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.text(-0.6%2C%20(_Ec_ox_m%20%2B%20_Ec_ox_s)%20%2F%202%20%2B%200.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r'%24%5Cmathcal%7BE%7D_%7Bbi%7D%20%3C%200%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'brown'%2C%20ha%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20_xann%20%3D%200.2%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%2C%20_xann%5D%2C%20%5B_Ec_sc%5B0%5D%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_sc%5B0%5D%2C%20_Ec_sc%5B0%5D%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xann%20-%20_cap%2C%20_xann%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_bulk%2C%20_Ec_bulk%5D%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xann%20%2B%200.15%2C%20(_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20_Ec_bulk)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_s%20%3C%200%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20_ax.text(-1.5%2C%20_Ev_bulk%20-%201.8%2C%20'P%24%5E%2B%24%5Cnpoly-Si'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.text(1.5%2C%20_Ev_bulk%20-%201.8%2C%20'P-type%20Si'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.set_title(r'%24V_G%20%3D%200%24%2C%20%24%5CPsi_M%20%3E%20%5CPsi_S%24%3A%20bands%20bend%20UP%20(accumulation)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(-2.0%2C%20_x_sc_end%20%2B%200.6)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(_Ev_bulk%20-%202.3%2C%20max(_Ec_ox_m%2C%20_Ec_ox_s)%20%2B%200.5)%0A%20%20%20%20_ax.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20for%20_sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%2C%20'bottom'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.spines%5B_sp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%0A%20%20%20%20_answer%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_fig)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20When%20%24%5CPsi_M%20%3E%20%5CPsi_S%24%20(e.g.%2C%20P%24%5E%2B%24%20poly-Si%20gate%20on%20P-body)%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20%24V_%7B%7BFB%7D%7D%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%20%3E%200%24%20(here%20%24V_%7B%7BFB%7D%7D%24%20%3D%20%2B%7B_Vfb_pp_val%3A.2f%7D%20V)%0A%20%20%20%20-%20At%20%24V_G%20%3D%200%24%2C%20the%20effective%20voltage%20is%20%24V_G%20-%20V_%7B%7BFB%7D%7D%20%3C%200%24%20%24%5CRightarrow%24%20**accumulation**%0A%20%20%20%20-%20Bands%20bend%20**upward**%20at%20the%20surface%20(%24%5Cphi_s%20%3C%200%24)%0A%20%20%20%20-%20The%20oxide%20field%20reverses%3A%20%24%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7Bbi%7D%7D%20%3C%200%24%0A%0A%20%20%20%20**What%20happens%20to%20%24V_T%24%3F**%0A%0A%20%20%20%20%24V_T%24%20**increases**%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_T%20%3D%20%5Cunderbrace%7B%7BV_%7B%7BFB%7D%7D%7D%7D_%7B%7B%7B_Vfb_pp_val%3A%2B.2f%7D%7D%7D%20%2B%202%5Cphi_B%20%2B%20%5Cfrac%7B%7BQ_%7B%7Bdep%2Cmax%7D%7D%7D%7D%7B%7BC_%7B%7Box%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%7B_Vt_pplus%3A.2f%7D%20%5Ctext%7B%7B%20V%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20compared%20to%20the%20ideal%20%24V_T%24%20%3D%20%7B_Vt_ideal%3A.2f%7D%20V.%20The%20positive%20%24V_%7B%7BFB%7D%7D%24%20adds%20to%20the%20gate%20voltage%0A%20%20%20%20needed%20to%20reach%20inversion%2C%20so%20the%20transistor%20requires%20**more%20voltage**%20to%20turn%20on.%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20why%20P%24%5E%2B%24%20poly-Si%20on%20P-body%20is%20**not%20a%20common%20combination**.%20%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20_accordion%20%3D%20mo.accordion(%7B%22CHECKPOINT%20Answer%3A%20Energy%20diagram%20for%20%24%5C%5CPsi_M%20%3E%20%5C%5CPsi_S%24%20(P-type%20body)%22%3A%20_answer%7D)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_vt_md%2C%20_accordion%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Nonideality%3A%20Oxide%20Charges%0A%0A%20%20%20%20%24Q_%7Box%7D%24%3A%20**effective%20charge%20per%20area**%20in%20the%20oxide%20%5BC%2Fcm%24%5E2%24%5D.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Causes%0A%0A%20%20%20%20-%20**Fixed%20ions**%3A%20structural%20defects%20near%20the%20Si%E2%80%93SiO%24_2%24%20interface%0A%20%20%20%20-%20**Mobile%20ions**%20(Na%24%5E%2B%24%2C%20e.g.%2C%20from%20water%20contamination)%0A%20%20%20%20-%20**Interface%20traps**%3A%20dangling%20bonds%20at%20the%20interface%0A%20%20%20%20-%20**Voltage%2Ftemperature%20stress**%3A%20induced%20charge%20and%20traps%20%24%5CRightarrow%24%20also%20affects%20reliability%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Effect%20on%20gate%20voltage%0A%0A%20%20%20%20The%20oxide%20charge%20adds%20a%20potential%20in%20the%20oxide%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5CDelta%20V_%7Box%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BQ_%7Box%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20modifies%20the%20gate%20voltage%20equation%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_G%20%3D%20%5Cphi_s%20%2B%20V_%7Box%7D%20%5Cquad%5CLongrightarrow%5Cquad%20V_G%20%3D%20%5Cphi_s%20%2B%20V_%7Box%7D%20-%20%5Cfrac%7BQ_%7Box%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Modified%20flatband%20voltage%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BV_%7BFB%7D%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%20-%20%5Cfrac%7BQ_%7Box%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20**Positive%20%24Q_%7Box%7D%24**%20%24%5CRightarrow%24%20shifts%20the%20C-V%20curve%20to%20the%20**left**%20(more%20negative%20%24V_G%24)%0A%20%20%20%20-%20**Negative%20%24Q_%7Box%7D%24**%20%24%5CRightarrow%24%20shifts%20the%20C-V%20curve%20to%20the%20**right**%20(more%20positive%20%24V_G%24)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Enhancement%20vs.%20Depletion%20MOS%0A%0A%20%20%20%20Due%20to%20%24V_%7BFB%7D%24%2C%20the%20MOS%20can%20be%20in%20**depletion**%2C%20**inversion**%2C%20or%20**accumulation**%20at%20%24V_G%20%3D%200%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Enhancement%20type%20MOSFET%0A%0A%20%20%20%20-%20Transistor%20normally%20**%22off%22**%20(MOS%20is%20in%20depletion%20when%20%24V_G%20%3D%200%24)%0A%20%20%20%20-%20Apply%20%24V_G%20%3E%20V_T%24%20for%20the%20transistor%20to%20conduct%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Depletion%20type%20MOSFET%0A%0A%20%20%20%20-%20Transistor%20normally%20**%22on%22**%20(MOS%20is%20in%20inversion%20when%20%24V_G%20%3D%200%24)%0A%20%20%20%20-%20Apply%20%24V_G%20%3C%20V_T%24%20to%20turn%20off%20channel%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20P%24%5E%2B%24%20poly-Si%20gate%20with%20P-body%0A%0A%20%20%20%20-%20MOS%20is%20in%20**accumulation**%20when%20%24V_G%20%3D%200%24%20(since%20%24V_%7BFB%7D%20%3E%200%24)%0A%20%20%20%20-%20Must%20apply%20voltage%20to%20bring%20the%20MOS%20first%20to%20depletion%20and%20then%20to%20inversion%0A%20%20%20%20-%20**Not%20power%20efficient**%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Most%20common%20combinations%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Configuration%20%7C%20Why%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**P-body%20with%20N%24%5E%2B%24%20poly-Si%20gate**%20(NMOS)%20%7C%20%24V_%7BFB%7D%20%3C%200%24%20%E2%86%92%20enhancement%20mode%2C%20lower%20%24V_T%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**N-body%20with%20P%24%5E%2B%24%20poly-Si%20gate**%20(PMOS)%20%7C%20%24V_%7BFB%7D%20%3E%200%24%20%E2%86%92%20enhancement%20mode%2C%20lower%20%24%5Cvert%20V_T%5Cvert%24%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(eps_0%2C%20eps_Si%2C%20eps_ox%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20q)%3A%0A%20%20%20%20_poly_md%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20Poly-Si%20Gate%20Depletion%0A%0A%20%20%20%20If%20a%20poly-Si%20is%20used%20for%20the%20gate%2C%20a%20**depletion%20layer%20can%20form%20in%20the%20gate**.%0A%0A%20%20%20%20-%20This%20effectively%20**increases%20%24T_%7Box%7D%24**%0A%20%20%20%20%20%20-%20Reduces%20%24C_%7Box%2Ceff%7D%24%20and%20thus%20%24Q_%7Binv%7D%24%20for%20a%20given%20%24V_G%24%0A%20%20%20%20%20%20-%20Degrades%20MOSFET%20drive%20current%20and%20electrostatic%20control%0A%20%20%20%20-%20Modification%20is%20more%20significant%20for%20**thin%20oxides**%0A%20%20%20%20-%20New%20MOSFETs%20are%20using%20**metal%20gates**%20again!%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Series%20capacitance%20model%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%7Box%2Ceff%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%7Box%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%7Bpoly%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%0A%0A%20%20%20%20%24%24C_%7Box%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_%7Box%7D%7D%7BT_%7Box%7D%7D%2C%20%5Cqquad%20C_%7Bpoly%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_s%7D%7BW_%7Bdep%2Cpoly%7D%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Schematic%20MOS%20diagram%20with%20poly-Si%20depletion%20and%20circuit%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax_mos%2C%20_ax_ckt)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(13%2C%204.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gridspec_kw%3D%7B'width_ratios'%3A%20%5B1%2C%201.2%5D%7D)%0A%0A%20%20%20%20_ax%20%3D%20_ax_mos%0A%20%20%20%20_y_bot%2C%20_y_gate_top%20%3D%200.0%2C%203.0%0A%20%20%20%20_y_ox_bot%2C%20_y_ox_top%20%3D%201.0%2C%201.6%0A%20%20%20%20_y_depl_gate%20%3D%201.9%0A%20%20%20%20_y_depl_si%20%3D%200.6%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(%5B0%2C%204%5D%2C%20_y_bot%2C%20_y_ox_bot%2C%20color%3D'%23ffcccc'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(2%2C%200.1%2C%20'S'%2C%20fontsize%3D18%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(%5B0%2C%204%5D%2C%20_y_depl_si%2C%20_y_ox_bot%2C%20color%3D'%23ffe0e0'%2C%20alpha%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hatch%3D'--'%2C%20edgecolor%3D'%23cc6666'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20for%20_yy%20in%20%5B_y_depl_si%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%204%5D%2C%20%5B_yy%2C%20_yy%5D%2C%20'k--'%2C%20lw%3D0.8%2C%20alpha%3D0.6)%0A%0A%20%20%20%20for%20_xx%20in%20np.linspace(0.5%2C%203.5%2C%206)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xx%2C%20_y_ox_bot%20-%200.08%2C%20'%E2%88%92'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'top'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'blue'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(%5B0%2C%204%5D%2C%20_y_ox_bot%2C%20_y_ox_top%2C%20color%3D'%2399ccff'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(2%2C%20(_y_ox_bot%20%2B%20_y_ox_top)%20%2F%202%2C%20'O'%2C%20fontsize%3D18%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(%5B0%2C%204%5D%2C%20_y_ox_top%2C%20_y_gate_top%2C%20color%3D'%23ffcc99'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(2%2C%202.6%2C%20'M'%2C%20fontsize%3D18%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(%5B0%2C%204%5D%2C%20_y_ox_top%2C%20_y_depl_gate%2C%20color%3D'%23ffe0cc'%2C%20alpha%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hatch%3D'--'%2C%20edgecolor%3D'%23cc9966'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20for%20_yy%20in%20%5B_y_depl_gate%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%204%5D%2C%20%5B_yy%2C%20_yy%5D%2C%20'k--'%2C%20lw%3D0.8%2C%20alpha%3D0.6)%0A%0A%20%20%20%20for%20_xx%20in%20np.linspace(0.5%2C%203.5%2C%206)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xx%2C%20_y_ox_top%20%2B%200.08%2C%20'%2B'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'red'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(4.3%2C%20_y_ox_top)%2C%20xytext%3D(4.3%2C%20_y_depl_gate)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'brown'%2C%20lw%3D1.5))%0A%20%20%20%20_ax.text(4.5%2C%20(_y_ox_top%20%2B%20_y_depl_gate)%20%2F%202%2C%20'Depletion%5Cnlayer%20in%20gate'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'brown')%0A%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(4.3%2C%20_y_depl_si)%2C%20xytext%3D(4.3%2C%20_y_ox_bot)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'brown'%2C%20lw%3D1.5))%0A%20%20%20%20_ax.text(4.5%2C%20(_y_depl_si%20%2B%20_y_ox_bot)%20%2F%202%2C%20'Depletion%5Cnlayer%2C%20%24W_%7Bdep%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'brown')%0A%0A%20%20%20%20_ax.text(2%2C%20_y_gate_top%20%2B%200.15%2C%20'%24V_G%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B2%2C%202%5D%2C%20%5B_y_gate_top%2C%20_y_gate_top%20%2B%200.1%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B2%2C%202%5D%2C%20%5B_y_bot%20-%200.1%2C%20_y_bot%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_gw%20%3D%200.3%0A%20%20%20%20for%20_dy%20in%20%5B0.0%2C%20-0.06%2C%20-0.12%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B2%20-%20_gw%2C%202%20%2B%20_gw%5D%2C%20%5B_y_bot%20-%200.1%20%2B%20_dy%2C%20_y_bot%20-%200.1%20%2B%20_dy%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gw%20-%3D%200.08%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(-0.5%2C%207)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(-0.4%2C%20_y_gate_top%20%2B%200.5)%0A%20%20%20%20_ax.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20_ax.axis('off')%0A%20%20%20%20_ax.set_title('MOS%20with%20Poly-Si%20Gate%20Depletion'%2C%20fontsize%3D14%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_ax2%20%3D%20_ax_ckt%0A%20%20%20%20_y_top%2C%20_y_bot_c%20%3D%203.0%2C%200.5%0A%0A%20%20%20%20_ax2.plot(%5B3%2C%203%5D%2C%20%5B_y_top%2C%202.5%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax2.text(3%2C%20_y_top%20%2B%200.1%2C%20'%24V_G%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_pw%20%3D%200.6%0A%20%20%20%20_ax2.plot(%5B3%20-%20_pw%2C%203%20%2B%20_pw%5D%2C%20%5B2.5%2C%202.5%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D3)%0A%20%20%20%20_ax2.plot(%5B3%20-%20_pw%2C%203%20%2B%20_pw%5D%2C%20%5B2.2%2C%202.2%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D3)%0A%20%20%20%20_ax2.text(3%20%2B%20_pw%20%2B%200.15%2C%202.35%2C%20'%24C_%7Bpoly%7D%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20va%3D'center')%0A%20%20%20%20_ax2.plot(%5B3%2C%203%5D%2C%20%5B2.2%2C%201.7%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax2.plot(%5B3%20-%20_pw%2C%203%20%2B%20_pw%5D%2C%20%5B1.7%2C%201.7%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D3)%0A%20%20%20%20_ax2.plot(%5B3%20-%20_pw%2C%203%20%2B%20_pw%5D%2C%20%5B1.4%2C%201.4%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D3)%0A%20%20%20%20_ax2.text(3%20%2B%20_pw%20%2B%200.15%2C%201.55%2C%20'%24C_%7Box%7D%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20va%3D'center')%0A%20%20%20%20_ax2.plot(%5B3%2C%203%5D%2C%20%5B1.4%2C%20_y_bot_c%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_gw%20%3D%200.3%0A%20%20%20%20for%20_dy%20in%20%5B0.0%2C%20-0.06%2C%20-0.12%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.plot(%5B3%20-%20_gw%2C%203%20%2B%20_gw%5D%2C%20%5B_y_bot_c%20%2B%20_dy%2C%20_y_bot_c%20%2B%20_dy%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gw%20-%3D%200.08%0A%0A%20%20%20%20_ax2.text(1.0%2C%202.0%2C%20r'%24%5Cdfrac%7B1%7D%7BC_%7Box%2Ceff%7D%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B1%7D%7BC_%7Box%7D%7D%20%2B%20%5Cdfrac%7B1%7D%7BC_%7Bpoly%7D%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round%2Cpad%3D0.4'%2C%20facecolor%3D'lightyellow'%2C%20edgecolor%3D'orange'))%0A%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlim(-0.5%2C%206)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylim(0%2C%20_y_top%20%2B%200.5)%0A%20%20%20%20_ax2.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20_ax2.axis('off')%0A%20%20%20%20_ax2.set_title('Equivalent%20Circuit'%2C%20fontsize%3D14%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Estimate%20of%20W_dep%2Cpoly%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_Vox%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20_tox%20%3D%202e-7%0A%20%20%20%20_Npoly%20%3D%201e20%0A%20%20%20%20_eps_s%20%3D%20eps_Si%20*%20eps_0%0A%20%20%20%20_Cox%20%3D%20eps_ox%20*%20eps_0%20%2F%20_tox%0A%0A%20%20%20%20_Wdep_poly%20%3D%20_Cox%20*%20_Vox%20%2F%20(q%20*%20_Npoly)%0A%20%20%20%20_Cpoly%20%3D%20_eps_s%20%2F%20_Wdep_poly%0A%20%20%20%20_Ceff%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%20%2F%20_Cox%20%2B%201.0%20%2F%20_Cpoly)%0A%0A%20%20%20%20_estimate_md%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Estimate%20of%20%24W_%7B%7Bdep%2Cpoly%7D%7D%24%0A%0A%20%20%20%20**Given%3A**%20%24V_%7B%7Box%7D%7D%20%3D%20%7B_Vox%7D%24%20V%2C%20%24T_%7B%7Box%7D%7D%20%3D%20%7B_tox*1e7%3A.0f%7D%24%20nm%2C%0A%20%20%20%20N%24%5E%2B%24%20poly%20gate%20with%20%24N_%7B%7Bpoly%7D%7D%20%3D%2010%5E%7B%7B20%7D%7D%24%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%2C%0A%20%20%20%20substrate%20doping%20%24N_A%20%3D%2010%5E%7B%7B17%7D%7D%24%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20From%20the%20boundary%20condition%20at%20the%20gate%E2%80%93oxide%20interface%20(%24%5Cvarepsilon_%7B%7Box%7D%7D%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7Box%7D%7D%20%3D%20q%20N_%7B%7Bpoly%7D%7D%20W_%7B%7Bdep%2Cpoly%7D%7D%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24W_%7B%7Bdep%2Cpoly%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7BC_%7B%7Box%7D%7D%20V_%7B%7Box%7D%7D%7D%7D%7B%7Bq%20N_%7B%7Bpoly%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B%7B_Cox%3A.3e%7D%20%5Ctimes%20%7B_Vox%7D%7D%7D%7B%7B1.6%20%5Ctimes%2010%5E%7B%7B-19%7D%7D%20%5Ctimes%2010%5E%7B%7B20%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%3D%20%7B_Wdep_poly*1e7%3A.2f%7D%20%5Ctext%7B%7B%20nm%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Parameter%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24W_%7B%7Bdep%2Cpoly%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Wdep_poly*1e7%3A.2f%7D%20nm%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24C_%7B%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Cox%3A.3e%7D%20F%2Fcm%24%5E2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24C_%7B%7Bpoly%7D%7D%20%3D%20%5Cvarepsilon_s%20%2F%20W_%7B%7Bdep%2Cpoly%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Cpoly%3A.3e%7D%20F%2Fcm%24%5E2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24C_%7B%7Box%2Ceff%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Ceff%3A.3e%7D%20F%2Fcm%24%5E2%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24C_%7B%7Box%2Ceff%7D%7D%20%2F%20C_%7B%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Ceff%2F_Cox%3A.3f%7D%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20effective%20capacitance%20is%20reduced%20to%20**%7B_Ceff%2F_Cox*100%3A.1f%7D%25**%20of%20%24C_%7B%7Box%7D%7D%24!%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_poly_md%2C%20mo.as_html(_fig)%2C%20_estimate_md%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(eps_Si%2C%20eps_ox%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_tinv_md%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20Inversion%20and%20Accumulation%20Charge%20Thickness%0A%0A%20%20%20%20So%20far%2C%20we%20assumed%20the%20inversion%20and%20accumulation%20charge%20layers%20in%20the%20semiconductor%20are%0A%20%20%20%20**infinitely%20thin**.%20In%20reality%2C%20they%20have%20non-zero%20thickness%20%24T_%7B%7Binv%7D%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20effective%20oxide%20thickness%20is%20called%20the%20**electrical**%20or%20**equivalent%20oxide%20thickness**%2C%20%24T_%7B%7Boxe%7D%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%7BT_%7B%7Boxe%7D%7D%20%3D%20T_%7B%7Box%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%7B%5Cvarepsilon_%7B%7Box%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5Cvarepsilon_s%7D%7D%5Cleft(W_%7B%7Bdep%2Cpoly%7D%7D%20%2B%20T_%7B%7Binv%7D%7D%5Cright)%7D%7D%0A%20%20%20%20%5Cqquad%20%5Cfrac%7B%7B%5Cvarepsilon_%7B%7Box%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5Cvarepsilon_s%7D%7D%20%5Capprox%20%5Cfrac%7B%7B1%7D%7D%7B%7B3%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20inversion%20layer%20charge%20is%20then%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24Q_%7B%7Binv%7D%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B%7B%5Cvarepsilon_%7B%7Box%7D%7D%7D%7D%7B%7BT_%7B%7Boxe%7D%7D%7D%7D(V_G%20-%20V_T)%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20thin%20oxides%20(%24T_%7B%7Box%7D%7D%20%3C%202%24%20nm)%2C%20both%20poly-depletion%20and%20charge-layer%20thickness%20are%0A%20%20%20%20significant%20corrections.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Schematic%20of%20n(x)%20distribution%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9%2C%205))%0A%0A%20%20%20%20_tox%20%3D%202.0%0A%20%20%20%20_Wdep_poly%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20_x_gate_left%20%3D%20-5.0%0A%20%20%20%20_x_si_right%20%3D%205.0%0A%0A%20%20%20%20_ax.axvspan(_x_gate_left%2C%20-_tox%2C%20color%3D'%23ffcc99'%2C%20alpha%3D0.3%2C%20label%3D'Gate')%0A%20%20%20%20_ax.axvspan(-_tox%2C%200%2C%20color%3D'%2399ccff'%2C%20alpha%3D0.3%2C%20label%3D'Ox.')%0A%20%20%20%20_ax.axvspan(0%2C%20_x_si_right%2C%20color%3D'%23ffcccc'%2C%20alpha%3D0.15%2C%20label%3D'Si')%0A%0A%20%20%20%20_ax.axvline(x%3D-_tox%2C%20color%3D'k'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.axvline(x%3D0%2C%20color%3D'k'%2C%20lw%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20_ax.text((_x_gate_left%20-%20_tox)%20%2F%202%2C%200.92%2C%20'Gate'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D'bold'%2C%20transform%3D_ax.get_xaxis_transform())%0A%20%20%20%20_ax.text(-_tox%20%2F%202%2C%200.92%2C%20'Ox.'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D'bold'%2C%20transform%3D_ax.get_xaxis_transform())%0A%20%20%20%20_ax.text(2.5%2C%200.92%2C%20'Si'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D'bold'%2C%20transform%3D_ax.get_xaxis_transform())%0A%0A%20%20%20%20_x_si%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_x_si_right%2C%20300)%0A%20%20%20%20_x_peak%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20_sigma%20%3D%200.8%0A%20%20%20%20_n_x%20%3D%20np.exp(-(_x_si%20-%20_x_peak)%20**%202%20%2F%20(2%20*%20_sigma%20**%202))%20*%20_x_si%20%2F%20_x_peak%0A%20%20%20%20_n_x%5B_x_si%20%3C%200.1%5D%20%3D%200%0A%20%20%20%20_n_x%20%3D%20_n_x%20%2F%20np.max(_n_x)%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_si%2C%20_n_x%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_x_si%2C%200%2C%20_n_x%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax.text(_x_peak%20%2B%200.3%2C%200.85%2C%20'%24n(x)%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20color%3D'blue')%0A%0A%20%20%20%20_y_ann%20%3D%20-0.12%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(0%2C%20_y_ann)%2C%20xytext%3D(-_tox%2C%20_y_ann)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20annotation_clip%3DFalse)%0A%20%20%20%20_ax.text(-_tox%20%2F%202%2C%20_y_ann%20-%200.06%2C%20'%24T_%7Box%7D%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'darkorange'%2C%20transform%3D_ax.get_xaxis_transform())%0A%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(-_tox%2C%20_y_ann)%2C%20xytext%3D(-_tox%20-%20_Wdep_poly%2C%20_y_ann)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'brown'%2C%20lw%3D1.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20annotation_clip%3DFalse)%0A%20%20%20%20_ax.text(-_tox%20-%20_Wdep_poly%20%2F%202%2C%20_y_ann%20-%200.06%2C%20'Poly-Si%5Cndepl.'%2C%20fontsize%3D12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'brown'%2C%20transform%3D_ax.get_xaxis_transform())%0A%0A%20%20%20%20_inv_extent%20%3D%202.0%0A%20%20%20%20_y_ann2%20%3D%20-0.22%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(_inv_extent%2C%20_y_ann2)%2C%20xytext%3D(0%2C%20_y_ann2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20annotation_clip%3DFalse)%0A%20%20%20%20_ax.text(_inv_extent%20%2F%202%2C%20_y_ann2%20-%200.06%2C%20'Effective%5Cninv.%20layer'%2C%20fontsize%3D12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'purple'%2C%20transform%3D_ax.get_xaxis_transform())%0A%0A%20%20%20%20_y_ann3%20%3D%20-0.35%0A%20%20%20%20_eff_left%20%3D%20-_tox%20-%20_Wdep_poly%0A%20%20%20%20_eff_right%20%3D%20_inv_extent%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(_eff_right%2C%20_y_ann3)%2C%20xytext%3D(_eff_left%2C%20_y_ann3)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'red'%2C%20lw%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20annotation_clip%3DFalse)%0A%20%20%20%20_ax.text((_eff_left%20%2B%20_eff_right)%20%2F%202%2C%20_y_ann3%20-%200.06%2C%20'Effective%20%24T_%7Box%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'red'%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20transform%3D_ax.get_xaxis_transform())%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'%24x%24%20(nm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(r'%24n(x)%24%20(arb.%20units)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(_x_gate_left%2C%20_x_si_right)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(-0.05%2C%201.15)%0A%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.2)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%0A%20%20%20%20_eox_es%20%3D%20eps_ox%20%2F%20eps_Si%0A%20%20%20%20_caption%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20effective%20oxide%20thickness%20%24T_%7B%7Boxe%7D%7D%24%20includes%20contributions%20from%3A%0A%20%20%20%20physical%20oxide%20(%24T_%7B%7Box%7D%7D%24)%2C%20poly-Si%20gate%20depletion%20(%24W_%7B%7Bdep%2Cpoly%7D%7D%24)%2C%20and%0A%20%20%20%20finite%20inversion%20layer%20thickness%20(%24T_%7B%7Binv%7D%7D%24)%2C%20all%20scaled%20by%0A%20%20%20%20%24%5Cvarepsilon_%7B%7Box%7D%7D%2F%5Cvarepsilon_s%20%5Capprox%20%7B_eox_es%3A.2f%7D%20%5Capprox%201%2F3%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_tinv_md%2C%20mo.as_html(_fig)%2C%20_caption%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%206.%20Capacitance-Voltage%20Relation%0A%0A%20%20%20%20C-V%20measurements%20are%20used%20to%20characterize%20the%20MOS%20capacitor%3A%20capacitance%2C%20existence%20of%20non-idealities%2C%20surface%20charges%2C%20oxide%20thickness%2C%20dopant%20concentration%2C%20etc.%0A%0A%20%20%20%20The%20C-V%20curve%20has%20three%20distinct%20regions%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Accumulation**%20(%24V_G%20%3C%20V_%7BFB%7D%24)%3A%20%24C%20%3D%20C_%7Box%7D%24%20%E2%80%94%20oxide%20is%20the%20only%20capacitance%0A%20%20%20%20-%20**Depletion**%20(%24V_%7BFB%7D%20%3C%20V_G%20%3C%20V_T%24)%3A%20%24C%24%20decreases%20as%20%24W_%7Bdep%7D%24%20grows%20%E2%80%94%20series%20combination%20of%20%24C_%7Box%7D%24%20and%20%24C_%7Bdep%7D%24%0A%20%20%20%20-%20**Inversion**%20(%24V_G%20%3E%20V_T%24)%3A%0A%20%20%20%20%20%20-%20*Low%20frequency%3A*%20%24C%20%5Cto%20C_%7Box%7D%24%20%E2%80%94%20inversion%20charge%20responds%20to%20AC%20signal%0A%20%20%20%20%20%20-%20*High%20frequency%3A*%20%24C%20%3D%20C_%7Bmin%7D%24%20%E2%80%94%20inversion%20charge%20cannot%20follow%3B%20depletion%20width%20is%20frozen%20at%20%24W_%7Bdep%2Cmax%7D%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20How%20non-idealities%20shift%20the%20C-V%0A%0A%20%20%20%20The%20work%20function%20mismatch%20and%20oxide%20charges%20shift%20%24V_%7BFB%7D%24%20away%20from%20zero.%20Since%20the%20entire%20C-V%0A%20%20%20%20curve%20is%20referenced%20to%20%24V_%7BFB%7D%24%2C%20the%20curve%20translates%20**horizontally**%20by%20%24V_%7BFB%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_%7BFB%7D%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%20-%20%5Cfrac%7BQ_%7Box%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Consequently%2C%20%24V_T%24%20also%20shifts%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_T%20%3D%20V_%7BFB%7D%20%2B%202%5Cphi_B%20%2B%20%5Cfrac%7BQ_%7Bdep%2Cmax%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20cv_Vfb_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-2.0%2C%20stop%3D2.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%24%20%5BV%5D%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20cv_tox_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%20stop%3D20%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24T_%7Box%7D%24%20%5Bnm%5D%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20cv_Na_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D15%2C%20stop%3D18%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D17%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24N_A%24)%20%5Bcm%24%5E%7B-3%7D%24%5D%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20cv_Qox_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-5%2C%20stop%3D5%2C%20step%3D0.25%2C%20value%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24Q_%7Box%7D%2Fq%24%20%5B%24%5Ctimes%2010%5E%7B11%7D%24%20cm%24%5E%7B-2%7D%24%5D%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20cv_Npoly_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D18%2C%20stop%3D21%2C%20step%3D0.25%2C%20value%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24N_%7Bpoly%7D%24)%20%5Bcm%24%5E%7B-3%7D%24%5D%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20cv_Tinv_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%20stop%3D3%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24T_%7Binv%7D%24%20%5Bnm%5D%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cv_Na_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cv_Npoly_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cv_Qox_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cv_Tinv_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cv_Vfb_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cv_tox_slider%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20cv_Na_slider%2C%0A%20%20%20%20cv_Npoly_slider%2C%0A%20%20%20%20cv_Qox_slider%2C%0A%20%20%20%20cv_Tinv_slider%2C%0A%20%20%20%20cv_Vfb_slider%2C%0A%20%20%20%20cv_tox_slider%2C%0A%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20eps_ox%2C%0A%20%20%20%20kT_300%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%2010%20**%20cv_Na_slider.value%0A%20%20%20%20_tox%20%3D%20cv_tox_slider.value%20*%201e-7%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20cm%0A%20%20%20%20_Vfb_wf%20%3D%20cv_Vfb_slider.value%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20V%0A%20%20%20%20_Qox%20%3D%20q%20*%20cv_Qox_slider.value%20*%201e11%20%20%20%20%20%20%23%20C%2Fcm%C2%B2%0A%20%20%20%20_Tinv%20%3D%20cv_Tinv_slider.value%20*%201e-7%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20cm%0A%20%20%20%20_Npoly%20%3D%2010%20**%20cv_Npoly_slider.value%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20cm%5E-3%0A%0A%20%20%20%20_eps_s%20%3D%20eps_Si%20*%20eps_0%0A%20%20%20%20_eox_es%20%3D%20eps_ox%20%2F%20eps_Si%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Physical%20oxide%20capacitance%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_Cox%20%3D%20eps_ox%20*%20eps_0%20%2F%20_tox%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Flatband%20voltage%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_dVfb_Qox%20%3D%20-_Qox%20%2F%20_Cox%0A%20%20%20%20_Vfb_total%20%3D%20_Vfb_wf%20%2B%20_dVfb_Qox%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20T_inv%E2%80%93corrected%20oxide%20capacitance%20(base%20for%20non-ideal%20curves)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_Toxe_base%20%3D%20_tox%20%2B%20_eox_es%20*%20_Tinv%0A%20%20%20%20_Cox_tinv%20%3D%20eps_ox%20*%20eps_0%20%2F%20_Toxe_base%0A%20%20%20%20_Cox_eff_acc%20%3D%20_Cox_tinv%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Semiconductor%20parameters%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20kT_300%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_phi_st%20%3D%202%20*%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Qdep_max%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20_eps_s%20*%20_Na%20*%20_phi_st)%0A%20%20%20%20_Cdep_min%20%3D%20np.sqrt(q%20*%20_eps_s%20*%20_Na%20%2F%20(2%20*%20_phi_st))%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Poly-gate%20depletion%20(voltage-dependent)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_alpha%20%3D%201.0%20%2B%20_Na%20%2F%20_Npoly%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20_eps_s%20*%20_Na)%20%2F%20_Cox_tinv%0A%20%20%20%20_gamma_ideal%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20_eps_s%20*%20_Na)%20%2F%20_Cox%0A%0A%20%20%20%20%23%20W_dep%2Cpoly%20at%20threshold%20(for%20display%20%2F%20annotations)%0A%20%20%20%20_Wdp_at_vt%20%3D%20_Qdep_max%20%2F%20(q%20*%20_Npoly)%0A%20%20%20%20_Cpoly_at_vt%20%3D%20_eps_s%20%2F%20_Wdp_at_vt%20if%20_Wdp_at_vt%20%3E%201e-10%20else%20float('inf')%0A%20%20%20%20_Toxe_inv_at_vt%20%3D%20_tox%20%2B%20_eox_es%20*%20(_Wdp_at_vt%20%2B%20_Tinv)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Threshold%20voltages%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_Vt_ideal%20%3D%20_phi_st%20%2B%20_Qdep_max%20%2F%20_Cox%0A%20%20%20%20_Vt_nonideal%20%3D%20_Vfb_total%20%2B%20_alpha%20*%20_phi_st%20%2B%20_gamma%20*%20np.sqrt(_phi_st)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20C-V%20solver%20(voltage-dependent%20poly%20depletion)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20def%20_solve_hf(Vg_arr%2C%20Vfb%2C%20alpha%2C%20gamma%2C%20Cox_base%2C%20Cox_norm%2C%20Npoly)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22HF%20C-V.%20%20alpha%20%3D%201%20%2B%20Na%2FNpoly%20(1%20if%20metal%20gate).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Cox_base%20includes%20T_inv%20correction%20for%20non-ideal%20curves.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C%20%3D%20np.zeros_like(Vg_arr)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Vt%20%3D%20Vfb%20%2B%20alpha%20*%20_phi_st%20%2B%20gamma%20*%20np.sqrt(_phi_st)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20Vg%20in%20enumerate(Vg_arr)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Vg_eff%20%3D%20Vg%20-%20Vfb%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20Vg_eff%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C%5Bi%5D%20%3D%20Cox_base%20%2F%20Cox_norm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20Vg%20%3C%20Vt%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ps%20%3D%200.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(80)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ps%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ps%20%3D%200.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%20%3D%20alpha%20*%20ps%20%2B%20gamma%20*%20np.sqrt(ps)%20-%20Vg_eff%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20df%20%3D%20alpha%20%2B%20gamma%20%2F%20(2%20*%20np.sqrt(ps))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ps%20-%3D%20f%20%2F%20df%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(f)%20%3C%201e-8%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ps%20%3D%20max(ps%2C%201e-10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Cd%20%3D%20np.sqrt(q%20*%20_eps_s%20*%20_Na%20%2F%20(2%20*%20ps))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20Npoly%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Qs%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20_eps_s%20*%20_Na%20*%20ps)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Wdp%20%3D%20Qs%20%2F%20(q%20*%20Npoly)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Cp%20%3D%20_eps_s%20%2F%20Wdp%20if%20Wdp%20%3E%201e-10%20else%201e20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C%5Bi%5D%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%2FCox_base%20%2B%201.0%2FCd%20%2B%201.0%2FCp)%20%2F%20Cox_norm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C%5Bi%5D%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%2FCox_base%20%2B%201.0%2FCd)%20%2F%20Cox_norm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20V_excess%20%3D%20Vg%20-%20Vfb%20-%20_phi_st%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20Npoly%20is%20not%20None%20and%20V_excess%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a_c%20%3D%201.0%20%2F%20(2%20*%20q%20*%20Npoly%20*%20_eps_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20b_c%20%3D%201.0%20%2F%20Cox_base%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Qt%20%3D%20(-b_c%20%2B%20np.sqrt(b_c**2%20%2B%204*a_c*V_excess))%20%2F%20(2*a_c)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Cp%20%3D%20q%20*%20Npoly%20*%20_eps_s%20%2F%20Qt%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C%5Bi%5D%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%2FCox_base%20%2B%201.0%2F_Cdep_min%20%2B%201.0%2FCp)%20%2F%20Cox_norm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C%5Bi%5D%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%2FCox_base%20%2B%201.0%2F_Cdep_min)%20%2F%20Cox_norm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20C%0A%0A%20%20%20%20def%20_solve_lf(Vg_arr%2C%20Vfb%2C%20alpha%2C%20gamma%2C%20Cox_base%2C%20Cox_norm%2C%20Npoly)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hf%20%3D%20_solve_hf(Vg_arr%2C%20Vfb%2C%20alpha%2C%20gamma%2C%20Cox_base%2C%20Cox_norm%2C%20Npoly)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lf%20%3D%20hf.copy()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Vt%20%3D%20Vfb%20%2B%20alpha%20*%20_phi_st%20%2B%20gamma%20*%20np.sqrt(_phi_st)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20Vg%20in%20enumerate(Vg_arr)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20Vg%20%3C%3D%20Vt%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20V_excess%20%3D%20Vg%20-%20Vfb%20-%20_phi_st%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20V_excess%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dv%20%3D%20Vg%20-%20Vt%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20blend%20%3D%201.0%20-%20np.exp(-dv%20%2F%200.08)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20Npoly%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20a_c%20%3D%201.0%20%2F%20(2%20*%20q%20*%20Npoly%20*%20_eps_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20b_c%20%3D%201.0%20%2F%20Cox_base%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Qt%20%3D%20(-b_c%20%2B%20np.sqrt(b_c**2%20%2B%204*a_c*V_excess))%20%2F%20(2*a_c)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Cp%20%3D%20q%20*%20Npoly%20*%20_eps_s%20%2F%20Qt%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C_lf%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%2FCox_base%20%2B%201.0%2FCp)%20%2F%20Cox_norm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C_lf%20%3D%20Cox_base%20%2F%20Cox_norm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lf%5Bi%5D%20%3D%20hf%5Bi%5D%20%2B%20blend%20*%20(C_lf%20-%20hf%5Bi%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20lf%0A%0A%20%20%20%20_Vg%20%3D%20np.linspace(-4.0%2C%205.0%2C%20800)%0A%0A%20%20%20%20_hf_ideal%20%3D%20_solve_hf(_Vg%2C%200.0%2C%201.0%2C%20_gamma_ideal%2C%20_Cox%2C%20_Cox%2C%20None)%0A%20%20%20%20_lf_ideal%20%3D%20_solve_lf(_Vg%2C%200.0%2C%201.0%2C%20_gamma_ideal%2C%20_Cox%2C%20_Cox%2C%20None)%0A%20%20%20%20_hf_real%20%3D%20_solve_hf(_Vg%2C%20_Vfb_total%2C%20_alpha%2C%20_gamma%2C%20_Cox_tinv%2C%20_Cox%2C%20_Npoly)%0A%20%20%20%20_lf_real%20%3D%20_solve_lf(_Vg%2C%20_Vfb_total%2C%20_alpha%2C%20_gamma%2C%20_Cox_tinv%2C%20_Cox%2C%20_Npoly)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Plot%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(_Vg%2C%20_hf_ideal%2C%20'b--'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.4%2C%20label%3D'Ideal%20HF')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_Vg%2C%20_lf_ideal%2C%20'r--'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.3%2C%20label%3D'Ideal%20LF')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_Vg%2C%20_hf_real%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'Non-ideal%20HF')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_Vg%2C%20_lf_real%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'Non-ideal%20LF')%0A%0A%20%20%20%20_ax.axhline(y%3D1.0%2C%20color%3D'gray'%2C%20ls%3D'--'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(-3.8%2C%201.02%2C%20'%24C_%7Box%7D%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20color%3D'gray')%0A%0A%20%20%20%20%23%20C_max%20annotations%20when%20reduced%20by%20non-idealities%0A%20%20%20%20_Cmax_acc%20%3D%20_Cox_eff_acc%20%2F%20_Cox%0A%20%20%20%20_Cmax_inv_lf%20%3D%20(1.0%20%2F%20(1.0%2F_Cox_tinv%20%2B%201.0%2F_Cpoly_at_vt))%20%2F%20_Cox%0A%20%20%20%20if%20_Cmax_acc%20%3C%200.995%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axhline(y%3D_Cmax_acc%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20ls%3D'%3A'%2C%20lw%3D1.5%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(4.2%2C%20_Cmax_acc%20%2B%200.02%2C%20f'%24C_%7B%7Bmax%2Cacc%7D%7D%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'darkorange'%2C%20va%3D'bottom')%0A%20%20%20%20if%20_Cmax_inv_lf%20%3C%20_Cmax_acc%20-%200.005%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axhline(y%3D_Cmax_inv_lf%2C%20color%3D'purple'%2C%20ls%3D'%3A'%2C%20lw%3D1.5%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(4.2%2C%20_Cmax_inv_lf%20-%200.02%2C%20f'%24C_%7B%7Bmax%2Cinv%7D%7D%24%20(at%20%24V_T%24)'%2C%20fontsize%3D13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'purple'%2C%20va%3D'top')%0A%0A%20%20%20%20%23%20V_fb%20markers%0A%20%20%20%20_ax.axvline(x%3D0%2C%20color%3D'blue'%2C%20ls%3D'%3A'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.25)%0A%20%20%20%20_ax.axvline(x%3D_Vfb_total%2C%20color%3D'blue'%2C%20ls%3D'%3A'%2C%20lw%3D1.2%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_ax.text(0%2C%20-0.07%2C%20'%24V_%7Bfb%7D%5E%7B%5C%5Cmathrm%7Bideal%7D%7D%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'blue'%2C%20alpha%3D0.45%2C%20transform%3D_ax.get_xaxis_transform())%0A%20%20%20%20_ax.text(_Vfb_total%2C%20-0.07%2C%20'%24V_%7Bfb%7D%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'blue'%2C%20transform%3D_ax.get_xaxis_transform())%0A%0A%20%20%20%20%23%20V_t%20markers%0A%20%20%20%20_ax.axvline(x%3D_Vt_ideal%2C%20color%3D'red'%2C%20ls%3D'%3A'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.25)%0A%20%20%20%20_ax.axvline(x%3D_Vt_nonideal%2C%20color%3D'red'%2C%20ls%3D'%3A'%2C%20lw%3D1.2%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_ax.text(_Vt_ideal%2C%20-0.07%2C%20'%24V_t%5E%7B%5C%5Cmathrm%7Bideal%7D%7D%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'red'%2C%20alpha%3D0.45%2C%20transform%3D_ax.get_xaxis_transform())%0A%20%20%20%20_ax.text(_Vt_nonideal%2C%20-0.07%2C%20'%24V_t%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'red'%2C%20transform%3D_ax.get_xaxis_transform())%0A%0A%20%20%20%20%23%20V_FB%20shift%20arrow%0A%20%20%20%20if%20abs(_Vfb_total)%20%3E%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(_Vfb_total%2C%200.93)%2C%20xytext%3D(0%2C%200.93)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'green'%2C%20lw%3D2))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_Vfb_total%20%2F%202%2C%200.96%2C%20f'%24V_%7B%7BFB%7D%7D%24%20%3D%20%7B_Vfb_total%3A%2B.2f%7D%20V'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Region%20labels%0A%20%20%20%20_mid_depl%20%3D%20(_Vfb_total%20%2B%20_Vt_nonideal)%20%2F%202%0A%20%20%20%20_ax.text(_Vfb_total%20-%201.0%2C%200.55%2C%20'acc.'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'%23555555')%0A%20%20%20%20_ax.text(_mid_depl%2C%200.18%2C%20'depletion'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'%23555555')%0A%20%20%20%20_ax.text(_Vt_nonideal%20%2B%201.0%2C%200.55%2C%20'inv.'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'%23555555')%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'%24V_G%24%20(V)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(r'%24C%20%2F%20C_%7Box%7D%24'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_title('C-V%20with%20Non-Idealities%20(P-type%20substrate)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.legend(fontsize%3D13%2C%20loc%3D'center%20right')%0A%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(0%2C%201.15)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(-4.0%2C%205.0)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.2)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Computed%20parameters%20table%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_Cpoly_str%20%3D%20f%22%7B_Cpoly_at_vt%3A.3e%7D%22%20if%20np.isfinite(_Cpoly_at_vt)%20else%20r%22%24%5Cinfty%24%22%0A%0A%20%20%20%20_info%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20Parameter%20%7C%20Value%20%7C%20%7C%20Parameter%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%7C---%7C%3A---%7C%3A---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24N_A%24%20%7C%20%7B_Na%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%20%7C%20%24%5Cphi_B%24%20%7C%20%7B_phi_B%3A.4f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24T_%7B%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%7Bcv_tox_slider.value%7D%20nm%20%7C%20%7C%20%24C_%7B%7Box%7D%7D%20%3D%20%5Cvarepsilon_%7B%7Box%7D%7D%2FT_%7B%7Box%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Cox%3A.3e%7D%20F%2Fcm%C2%B2%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%24%20%7C%20%7B_Vfb_wf%3A%2B.3f%7D%20V%20%7C%20%7C%20%24%5CDelta%20V_%7B%7BFB%7D%7D%24%20(%24Q_%7B%7Box%7D%7D%24)%20%7C%20%7B_dVfb_Qox%3A%2B.3f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**%24V_%7B%7BFB%2Ctotal%7D%7D%24**%20%7C%20**%7B_Vfb_total%3A%2B.3f%7D%20V**%20%7C%20%7C%20**%24V_T%24%20(ideal)**%20%7C%20**%7B_Vt_ideal%3A.3f%7D%20V**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24N_%7B%7Bpoly%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Npoly%3A.1e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%20%7C%20**%24V_T%24%20(non-ideal)**%20%7C%20**%7B_Vt_nonideal%3A.3f%7D%20V**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24W_%7B%7Bdep%2Cpoly%7D%7D%24%20at%20%24V_T%24%20%7C%20%7B_Wdp_at_vt*1e7%3A.2f%7D%20nm%20%7C%20%7C%20%24C_%7B%7Bpoly%7D%7D%24%20at%20%24V_T%24%20%7C%20%7B_Cpoly_str%7D%20F%2Fcm%C2%B2%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24T_%7B%7Boxe%7D%7D%24%20(acc.)%20%7C%20%7B_Toxe_base*1e7%3A.2f%7D%20nm%20%7C%20%7C%20%24T_%7B%7Boxe%7D%7D%24%20at%20%24V_T%24%20%7C%20%7B_Toxe_inv_at_vt*1e7%3A.2f%7D%20nm%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_guide%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**How%20each%20slider%20affects%20the%20C-V%3A**%0A%0A%20%20%20%20-%20**%24V_%7BFB%7D%24**%20and%20**%24Q_%7Box%7D%24**%20shift%20the%20curve%20**horizontally**%20%E2%86%92%20%24V_%7Bfb%7D%24%20and%20%24V_T%24%20move%20together%0A%20%20%20%20-%20**%24N_%7Bpoly%7D%24**%3A%20lower%20doping%20%E2%86%92%20larger%20%24W_%7Bdep%2Cpoly%7D(V_G)%24%20%E2%86%92%20%24C_%7Bmax%2Cinv%7D%24%20drops%20below%20%24C_%7Bmax%2Cacc%7D%24%3B%20at%20%2410%5E%7B21%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24%20the%20poly%20depletion%20is%20negligible%20(%E2%89%88%20metal%20gate)%0A%20%20%20%20-%20**%24T_%7Binv%7D%24**%20reduces%20%24C_%7Bmax%7D%24%20in%20**both%20accumulation%20and%20inversion**%20(charge%20layer%20adds%20to%20%24T_%7Boxe%7D%24)%0A%20%20%20%20-%20**%24T_%7Box%7D%24**%20sets%20the%20baseline%20%24C_%7Box%7D%24%3B%20thinner%20oxides%20make%20poly-depletion%20and%20%24T_%7Binv%7D%24%20effects%20more%20significant%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bcv_Vfb_slider%2C%20cv_tox_slider%2C%20cv_Na_slider%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bcv_Qox_slider%2C%20cv_Npoly_slider%2C%20cv_Tinv_slider%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20_header%20%3D%20mo.md(r%22%23%23%23%20Interactive%20C-V%20Relation%20with%20Non-Idealities%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_header%2C%20_controls%2C%20mo.as_html(_fig)%2C%20_info%2C%20_guide%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%207.%20Extracting%20Non-Idealities%20from%20C-V%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20previous%20notebook%20(%60mos_cv%60)%2C%20we%20extracted%20three%20**ideal**%20parameters%20from%20the%20C-V%20curve%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Parameter%20%7C%20How%20to%20extract%20(ideal%20MOS)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24t_%7Box%7D%24%20%7C%20%24C_%7Box%7D%20%3D%20%5Cvarepsilon_%7Box%7D%2Ft_%7Box%7D%24%20from%20%24C_%7Bmax%7D%24%20in%20accumulation%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24N_A%24%20%7C%20Slope%20of%20%241%2FC%5E2%24%20vs.%20%24V_G%24%20in%20the%20depletion%20region%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_T%24%20%7C%20Onset%20of%20strong%20inversion%20(where%20HF%20C-V%20reaches%20%24C_%7Bmin%7D%24)%20%7C%0A%0A%20%20%20%20With%20non-idealities%2C%20the%20measured%20C-V%20differs%20from%20the%20ideal%20curve.%20Here%20is%20how%20to%20extract%20each%20non-ideality.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%201%3A%20Extract%20%24C_%7Box%7D%24%20and%20%24t_%7Box%7D%24%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20**ideal**%20case%2C%20%24C_%7Bmax%7D%20%3D%20C_%7Box%7D%24%20in%20accumulation.%20With%20non-idealities%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20If%20%24T_%7Binv%7D%20%3E%200%24%3A%20%24C_%7Bmax%2Cacc%7D%20%3C%20C_%7Box%7D%24%20because%20the%20accumulation%20charge%20layer%20adds%20to%20the%20effective%20oxide%20thickness.%0A%20%20%20%20-%20If%20the%20gate%20is%20metal%20(no%20poly-depletion)%2C%20the%20accumulation%20%24C_%7Bmax%7D%24%20gives%20%24C_%7Box%2Ceff%7D%5E%7Bacc%7D%20%3D%20%5Cvarepsilon_%7Box%7D%2FT_%7Boxe%2Cacc%7D%24%2C%20not%20the%20true%20%24C_%7Box%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20**In%20practice**%2C%20%24t_%7Box%7D%24%20is%20determined%20from%20ellipsometry%20(optical%20measurement)%20or%20from%20%24C_%7Box%7D%24%20measured%20on%20a%20**large-area**%20test%20capacitor%20where%20fringe%20effects%20are%20negligible%20and%20the%20accumulation%20charge%20layer%20correction%20is%20applied%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24t_%7Box%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_%7Box%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%2C%20%5Cqquad%20C_%7Box%7D%20%3D%20C_%7Bmax%2Cacc%7D%20%5Ctext%7B%20(if%20metal%20gate%2C%20thin%20corrections%20applied)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%202%3A%20Extract%20%24N_A%24%20from%20the%20%241%2FC%5E2%24%20slope%0A%0A%20%20%20%20The%20slope%20of%20%241%2FC%5E2%24%20vs.%20%24V_G%24%20in%20the%20**depletion**%20region%20is%20unaffected%20by%20%24V_%7BFB%7D%24%2C%20%24Q_%7Box%7D%24%2C%20or%20poly-depletion%20(the%20depletion%20capacitance%20depends%20only%20on%20%24N_A%24%20and%20%24%5Cphi_s%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd(1%2FC%5E2)%7D%7BdV_G%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bq%5C%2C%5Cvarepsilon_s%5C%2CN_A%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20N_A%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bq%5C%2C%5Cvarepsilon_s%20%5Ccdot%20%5Ctext%7Bslope%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20same%20method%20as%20in%20the%20ideal%20case%20(and%20analogous%20to%20PN%20junction%20and%20Schottky%20%241%2FC%5E2%24%20analysis).%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%203%3A%20Extract%20%24V_%7BFB%7D%24%20from%20the%20flatband%20capacitance%0A%0A%20%20%20%20Once%20%24t_%7Box%7D%24%20and%20%24N_A%24%20are%20known%2C%20compute%20the%20**flatband%20capacitance**%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24C_%7BFB%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BC_%7Box%7D%5C%2CC_%7Bs%2CFB%7D%7D%7BC_%7Box%7D%2BC_%7Bs%2CFB%7D%7D%2C%20%5Cqquad%20C_%7Bs%2CFB%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_s%7D%7BL_D%7D%2C%20%5Cqquad%20L_D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_s%5C%2CkT%7D%7Bq%5E2%5C%2CN_A%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24V_%7BFB%7D%24%20is%20the%20gate%20voltage%20at%20which%20%24C%20%3D%20C_%7BFB%7D%24%20on%20the%20measured%20HF%20C-V%20curve.%20This%20reveals%20the%20**total**%20flatband%20shift%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_%7BFB%7D%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%20-%20%5Cfrac%7BQ_%7Box%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20gate%20work%20function%20%24%5CPsi_M%24%20is%20known%2C%20%24Q_%7Box%7D%24%20can%20be%20separated%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24Q_%7Box%7D%20%3D%20-C_%7Box%7D%5Cleft(V_%7BFB%7D%20-%20(%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S)%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%204%3A%20Identify%20poly-Si%20gate%20depletion%0A%0A%20%20%20%20Compare%20%24C_%7Bmax%7D%24%20in%20**accumulation**%20vs.%20%24C_%7Bmax%7D%24%20in%20**LF%20inversion**%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Ideal%20or%20metal%20gate%3A**%20both%20equal%20%24C_%7Box%7D%24%20(or%20both%20reduced%20equally%20by%20%24T_%7Binv%7D%24)%0A%20%20%20%20-%20**Poly-Si%20gate%3A**%20%24C_%7Bmax%2Cinv%7D%20%3C%20C_%7Bmax%2Cacc%7D%24%20because%20the%20poly-Si%20gate%20is%20depleted%20in%20inversion%20but%20not%20in%20accumulation%0A%0A%20%20%20%20The%20difference%20isolates%20%24C_%7Bpoly%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%7Bpoly%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%7Bmax%2Cinv%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%7Bmax%2Cacc%7D%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20W_%7Bdep%2Cpoly%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_s%7D%7BC_%7Bpoly%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%205%3A%20Identify%20charge-layer%20thickness%20(%24T_%7Binv%7D%24)%0A%0A%20%20%20%20If%20%24C_%7Bmax%2Cacc%7D%20%3C%20C_%7Box%7D%24%20(even%20after%20accounting%20for%20poly-depletion)%2C%20the%20remaining%20reduction%20is%20due%20to%20the%20finite%20accumulation%20charge%20thickness%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24T_%7Binv%7D%20%5Capprox%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_s%7D%7B%5Cvarepsilon_%7Box%7D%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_%7Box%7D%7D%7BC_%7Bmax%2Cacc%7D%7D%20-%20t_%7Box%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%206%3A%20Detect%20interface%20traps%20(%24Q_%7Bit%7D%24)%0A%0A%20%20%20%20Compare%20the%20HF%20and%20LF%20C-V%20curves%20in%20the%20**depletion-to-inversion%20transition**%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Without%20traps%3A**%20the%20HF%20and%20LF%20curves%20separate%20only%20in%20the%20inversion%20region%20(minority%20carrier%20response)%0A%20%20%20%20-%20**With%20traps%20(%24Q_%7Bit%7D%24)%3A**%20the%20transition%20region%20is%20**stretched%20out**%20%E2%80%94%20the%20C-V%20curve%20changes%20more%20gradually%20from%20accumulation%20to%20inversion%20because%20traps%20exchange%20charge%20with%20the%20bands%0A%0A%20%20%20%20Interface%20traps%20act%20like%20additional%20capacitance%20%24C_%7Bit%7D%24%20in%20parallel%20with%20%24C_s%24.%20At%20low%20frequency%2C%20traps%20can%20follow%20the%20signal%20and%20contribute%20to%20the%20measured%20capacitance%3B%20at%20high%20frequency%2C%20they%20cannot.%20The%20difference%20between%20the%20LF%20and%20HF%20capacitance%20in%20the%20depletion%20region%20reveals%20%24C_%7Bit%7D%24%2C%20and%20thus%20%24D_%7Bit%7D%20%3D%20C_%7Bit%7D%2Fq%24.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Extraction%20summary%0A%0A%20%20%20%20%7C%20What%20to%20extract%20%7C%20Where%20on%20the%20C-V%20%7C%20Method%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%7C%3A---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24t_%7Box%7D%24%20%7C%20Accumulation%20%24C_%7Bmax%7D%24%20%7C%20%24t_%7Box%7D%20%3D%20%5Cvarepsilon_%7Box%7D%2FC_%7Box%7D%24%20(with%20corrections)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24N_A%24%20%7C%20Depletion%20%241%2FC%5E2%24%20slope%20%7C%20%24N_A%20%3D%202%2F(q%5Cvarepsilon_s%20%5Ccdot%20%5Ctext%7Bslope%7D)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24V_%7BFB%7D%24%20%7C%20%24V_G%24%20at%20%24C%20%3D%20C_%7BFB%7D%24%20%7C%20Compute%20%24C_%7BFB%7D%24%20from%20%24t_%7Box%7D%24%20and%20%24N_A%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Q_%7Box%7D%24%20%7C%20%24V_%7BFB%7D%24%20shift%20from%20expected%20%24%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%24%20%7C%20%24Q_%7Box%7D%20%3D%20-C_%7Box%7D(V_%7BFB%7D%20-%20%5CPsi_M%20%2B%20%5CPsi_S)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Poly-depletion%20%7C%20%24C_%7Bmax%2Cinv%7D%20%3C%20C_%7Bmax%2Cacc%7D%24%20%7C%20%241%2FC_%7Bpoly%7D%20%3D%201%2FC_%7Bmax%2Cinv%7D%20-%201%2FC_%7Bmax%2Cacc%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24T_%7Binv%7D%24%20%7C%20%24C_%7Bmax%2Cacc%7D%20%3C%20C_%7Box%7D%24%20%7C%20Back-calculate%20from%20%24T_%7Boxe%2Cacc%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24D_%7Bit%7D%24%20%7C%20Stretch-out%20in%20depletion%20%7C%20%24C_%7Bit%7D%24%20from%20LF%24-%24HF%20difference%3B%20%24D_%7Bit%7D%20%3D%20C_%7Bit%7D%2Fq%24%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Non-ideality%20%7C%20Effect%20on%20%24V_%7BFB%7D%24%20%7C%20Effect%20on%20C-V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%7C%3A---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Work%20function%20mismatch**%20(%24%5CPsi_M%20%5Cneq%20%5CPsi_S%24)%20%7C%20%24V_%7BFB%7D%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%24%20%7C%20Horizontal%20shift%20of%20entire%20curve%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Oxide%20charge**%20(%24Q_%7Box%7D%24)%20%7C%20%24%5CDelta%20V_%7BFB%7D%20%3D%20-Q_%7Box%7D%2FC_%7Box%7D%24%20%7C%20Additional%20horizontal%20shift%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Poly-gate%20depletion**%20%7C%20%E2%80%94%20%7C%20Reduces%20%24C_%7Bmax%7D%24%20below%20%24C_%7Box%7D%24%20in%20inversion%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Charge%20layer%20thickness**%20(%24T_%7Binv%7D%24)%20%7C%20%E2%80%94%20%7C%20Reduces%20%24C_%7Bmax%7D%24%20in%20both%20acc.%20and%20inversion%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Interface%20traps**%20(%24Q_%7Bit%7D%24)%20%7C%20Frequency-dependent%20%7C%20**Stretch-out**%20of%20C-V%20transition%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Modified%20threshold%20voltage%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_T%20%3D%20%5Cunderbrace%7B(%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S)%20-%20%5Cfrac%7BQ_%7Box%7D%7D%7BC_%7Box%7D%7D%7D_%7BV_%7BFB%7D%7D%20%2B%202%5Cphi_B%20%2B%20%5Cfrac%7B2%7D%7BC_%7Box%7D%7D%5Csqrt%7Bq%20N_A%20%5Cvarepsilon_s%20%5Cphi_B%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A