metal semiconductor

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.20.2%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.1%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pyzmq%3E%3D27.1.0%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.20.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20q%20%3D%201.6e-19%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20C%0A%20%20%20%20kT%20%3D%200.02585%20%20%20%20%20%20%20%23%20eV%20at%20300K%0A%20%20%20%20eps_0%20%3D%208.854e-14%20%20%23%20F%2Fcm%0A%20%20%20%20eps_Si%20%3D%2011.7%0A%20%20%20%20ni_Si%20%3D%201.1e10%20%20%20%20%20%23%20cm%5E-3%0A%20%20%20%20Eg_Si%20%3D%201.12%20%20%20%20%20%20%20%23%20eV%0A%20%20%20%20chi_Si%20%3D%204.05%20%20%20%20%20%20%23%20eV%20(electron%20affinity%20of%20Si)%0A%20%20%20%20Nc_Si%20%3D%202.86e19%20%20%20%20%23%20cm%5E-3%20(effective%20DOS%2C%20conduction%20band%2C%20300K)%0A%0A%20%20%20%20metal_data%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Mg%22%3A%203.7%2C%20%22Al%22%3A%204.1%2C%20%22Ti%22%3A%204.3%2C%20%22Cr%22%3A%204.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22W%22%3A%204.6%2C%20%22Mo%22%3A%204.6%2C%20%22Pd%22%3A%205.1%2C%20%22Au%22%3A%205.1%2C%20%22Pt%22%3A%205.7%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20A_star_n%20%3D%20110%20%20%23%20A%2Fcm%5E2%2FK%5E2%20(N-Si)%0A%20%20%20%20A_star_p%20%3D%2032%20%20%20%23%20A%2Fcm%5E2%2FK%5E2%20(P-Si)%0A%20%20%20%20T%20%3D%20300%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20K%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A_star_n%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Nc_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20T%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kT%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20metal_data%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%20as%20_Path%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test%20%3D%20_Path(__file__).parent%20%2F%20%22images%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_test.exists()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20_Path(__file__).parent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20FileNotFoundError%0A%20%20%20%20except%20Exception%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20None%0A%20%20%20%20IMAGE_BASE%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Fm-s-interface%2Fimages%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ASSET_DIR%20is%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20str(ASSET_DIR%20%2F%20%22images%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(IMAGE_BASE%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Eg_Si%2C%20chi_Si%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20schottky_bands(phi_m%2C%20phi_s%2C%20x_dep_vis%2C%20x_total%3D3.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Band%20profile%20after%20contact.%20EF%20%3D%200%20reference.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Works%20for%20N-type%2C%20P-type%2C%20rectifying%2C%20and%20ohmic.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_junction%20%3D%20phi_m%20-%20chi%2C%20Ec_bulk%20%3D%20phi_s%20-%20chi.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Band%20bending%20delta%20%3D%20phi_m%20-%20phi_s.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_bulk%20%3D%20phi_s%20-%20chi_Si%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_junc%20%3D%20phi_m%20-%20chi_Si%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_dep%20%3D%20np.linspace(0%2C%20x_dep_vis%2C%20200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_flat%20%3D%20np.linspace(x_dep_vis%2C%20x_total%2C%2050)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20Ec_junc%20-%20Ec_bulk%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_dep%20%3D%20Ec_bulk%20%2B%20delta%20*%20(1%20-%20x_dep%20%2F%20x_dep_vis)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_fb%20%3D%20np.full_like(x_flat%2C%20Ec_bulk)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_all%20%3D%20np.concatenate(%5Bx_dep%2C%20x_flat%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_all%20%3D%20np.concatenate(%5BEc_dep%2C%20Ec_fb%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ev_all%20%3D%20Ec_all%20-%20Eg_Si%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20x_all%2C%20Ec_all%2C%20Ev_all%0A%0A%20%20%20%20def%20schottky_bands_biased(phi_m%2C%20phi_s%2C%20Va%2C%20x_dep_vis%2C%20x_total%3D3.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Band%20profile%20under%20bias.%20EF_metal%20%3D%200%2C%20EF_SC%20%3D%20Va.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Barrier%20phi_Bn%20%3D%20phi_m%20-%20chi%20is%20independent%20of%20bias.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Effective%20band%20bending%20%3D%20phi_bi%20-%20Va.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_bulk%20%3D%20(phi_s%20-%20chi_Si)%20%2B%20Va%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_junc%20%3D%20phi_m%20-%20chi_Si%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_dep%20%3D%20np.linspace(0%2C%20x_dep_vis%2C%20200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_flat%20%3D%20np.linspace(x_dep_vis%2C%20x_total%2C%2050)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20Ec_junc%20-%20Ec_bulk%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_dep%20%3D%20Ec_bulk%20%2B%20delta%20*%20(1%20-%20x_dep%20%2F%20x_dep_vis)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_fb%20%3D%20np.full_like(x_flat%2C%20Ec_bulk)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_all%20%3D%20np.concatenate(%5Bx_dep%2C%20x_flat%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ec_all%20%3D%20np.concatenate(%5BEc_dep%2C%20Ec_fb%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ev_all%20%3D%20Ec_all%20-%20Eg_Si%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20x_all%2C%20Ec_all%2C%20Ev_all%0A%0A%20%20%20%20def%20energy_marker(ax%2C%20x%2C%20E_lo%2C%20E_hi%2C%20label%2C%20color%2C%20cap%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text_offset%3D0.15%2C%20fontsize%3D14%2C%20guides%3DNone%2C%20label_side%3D'right')%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Flat-cap%20energy%20marker%3A%20vertical%20bar%20with%20horizontal%20caps.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20guides%3A%20list%20of%20(x_from%2C%20E_level)%20%E2%80%94%20dotted%20lines%20showing%20where%20levels%20come%20from.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5Bx%2C%20x%5D%2C%20%5BE_lo%2C%20E_hi%5D%2C%20color%3Dcolor%2C%20lw%3D1.5%2C%20solid_capstyle%3D'butt')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5Bx%20-%20cap%2C%20x%20%2B%20cap%5D%2C%20%5BE_lo%2C%20E_lo%5D%2C%20color%3Dcolor%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5Bx%20-%20cap%2C%20x%20%2B%20cap%5D%2C%20%5BE_hi%2C%20E_hi%5D%2C%20color%3Dcolor%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20label_side%20%3D%3D%20'right'%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.text(x%20%2B%20text_offset%2C%20(E_lo%20%2B%20E_hi)%20%2F%202%2C%20label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3Dfontsize%2C%20color%3Dcolor%2C%20va%3D'center')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.text(x%20-%20text_offset%2C%20(E_lo%20%2B%20E_hi)%20%2F%202%2C%20label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3Dfontsize%2C%20color%3Dcolor%2C%20va%3D'center'%2C%20ha%3D'right')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20guides%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20gx%2C%20gy%20in%20guides%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_lo_g%20%3D%20min(gx%2C%20x%20-%20cap)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_hi_g%20%3D%20max(gx%2C%20x%20%2B%20cap)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5Bx_lo_g%2C%20x_hi_g%5D%2C%20%5Bgy%2C%20gy%5D%2C%20color%3Dcolor%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D0.8%2C%20ls%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20def%20width_marker(ax%2C%20x_lo%2C%20x_hi%2C%20y%2C%20label%2C%20color%2C%20cap%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text_offset%3D-0.25%2C%20fontsize%3D14)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Flat-cap%20width%20marker%3A%20horizontal%20bar%20with%20vertical%20caps.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5Bx_lo%2C%20x_hi%5D%2C%20%5By%2C%20y%5D%2C%20color%3Dcolor%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5Bx_lo%2C%20x_lo%5D%2C%20%5By%20-%20cap%2C%20y%20%2B%20cap%5D%2C%20color%3Dcolor%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(%5Bx_hi%2C%20x_hi%5D%2C%20%5By%20-%20cap%2C%20y%20%2B%20cap%5D%2C%20color%3Dcolor%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.text((x_lo%20%2B%20x_hi)%20%2F%202%2C%20y%20%2B%20text_offset%2C%20label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3Dfontsize%2C%20color%3Dcolor%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20return%20energy_marker%2C%20schottky_bands%2C%20schottky_bands_biased%2C%20width_marker%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Metal-Semiconductor%20Interfaces%0A%0A%20%20%20%20ECE350%2C%20Lectures%2027-28%0A%0A%20%20%20%20Reference%3A%20Hu%2C%20Chapter%204%20%20Part%20III%20(4.16-4.21)%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20covers%20the%20physics%20of%20metal-semiconductor%20junctions%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Rectifying%20Contact%3A%20Schottky%20Diode%20(N-type%20and%20P-type)%0A%20%20%20%202.%20Schottky%20Barrier%20and%20Built-in%20Potential%20under%20Bias%0A%20%20%20%203.%20Schottky%20Diode%20Electrostatics%0A%20%20%20%204.%20Interactive%20Explorer%3A%20Energy%20Bands%20%26%20Electrostatics%0A%20%20%20%205.%20IV%20Characteristics%3A%20Thermionic%20Emission%0A%20%20%20%206.%20Ohmic%20Contacts%0A%20%20%20%207.%20Ohmic%20Contacts%20in%20Practice%3A%20Tunneling%20Junctions%0A%0A%20%20%20%20Metal-semiconductor%20junctions%20are%20capable%20of%20two%20different%20behaviours%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Rectifying**%20contact%20%E2%86%92%20Schottky%20diode%0A%20%20%20%20-%20**Resistive**%20contact%20%E2%86%92%20Ohmic%20contact%0A%0A%20%20%20%20The%20behaviour%20is%20determined%20by%20the%20relationship%20between%20the%20metal%20work%20function%20%24%5CPsi_M%24%20and%20the%20semiconductor%20work%20function%20%24%5CPsi_S%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(Eg_Si%2C%20chi_Si%2C%20energy_marker%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_fig_def%2C%20(_ax_m%2C%20_ax_s)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(10%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_phi_m_ex%20%3D%204.6%0A%20%20%20%20_Evac%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_EF_m%20%3D%20_Evac%20-%20_phi_m_ex%0A%0A%20%20%20%20_ax_m.fill_between(%5B-1%2C%201%5D%2C%20_EF_m%20-%202.0%2C%20_EF_m%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.35%2C%20label%3D'Filled%20states')%0A%20%20%20%20_ax_m.fill_between(%5B-1%2C%201%5D%2C%20_EF_m%2C%20_EF_m%20%2B%200.5%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.10)%0A%20%20%20%20_ax_m.plot(%5B-1%2C%201%5D%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_m.text(1.05%2C%20_Evac%2C%20'%24E_%7Bvac%7D%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20va%3D'center')%0A%20%20%20%20_ax_m.plot(%5B-1%2C%201%5D%2C%20%5B_EF_m%2C%20_EF_m%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_m.text(1.05%2C%20_EF_m%2C%20'%24E_%7BF%7D%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax_m%2C%200%2C%20_EF_m%2C%20_Evac%2C%20r'%24q%5CPsi_M%24'%2C%20'purple'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cap%3D0.12%2C%20text_offset%3D0.18%2C%20fontsize%3D18)%0A%20%20%20%20_ax_m.set_xlim(-1.5%2C%202.0)%0A%20%20%20%20_ax_m.set_ylim(_EF_m%20-%202.5%2C%20_Evac%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20_ax_m.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_m.set_title('Metal'%2C%20fontsize%3D18%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_m.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax_m.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20for%20sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%2C%20'bottom'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_m.spines%5Bsp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20_phi_s_ex%20%3D%20chi_Si%20%2B%20Eg_Si%20%2F%202%20-%200.02585%20*%20np.log(1e16%20%2F%201.1e10)%0A%20%20%20%20_Ec%20%3D%20_Evac%20-%20chi_Si%0A%20%20%20%20_Ev%20%3D%20_Ec%20-%20Eg_Si%0A%20%20%20%20_EF_s%20%3D%20_Evac%20-%20_phi_s_ex%0A%20%20%20%20_Ei%20%3D%20(_Ec%20%2B%20_Ev)%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20_ax_s.plot(%5B-1%2C%201%5D%2C%20%5B_Ec%2C%20_Ec%5D%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_s.text(1.05%2C%20_Ec%2C%20'%24E_c%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax_s.plot(%5B-1%2C%201%5D%2C%20%5B_Ev%2C%20_Ev%5D%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_s.text(1.05%2C%20_Ev%2C%20'%24E_v%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax_s.plot(%5B-1%2C%201%5D%2C%20%5B_Ei%2C%20_Ei%5D%2C%20'k%3A'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_s.text(1.05%2C%20_Ei%2C%20'%24E_i%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20va%3D'center'%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_ax_s.plot(%5B-1%2C%201%5D%2C%20%5B_EF_s%2C%20_EF_s%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_s.text(1.05%2C%20_EF_s%2C%20'%24E_F%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax_s.plot(%5B-1%2C%201%5D%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_s.text(1.05%2C%20_Evac%2C%20'%24E_%7Bvac%7D%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax_s%2C%20-0.5%2C%20_Ec%2C%20_Evac%2C%20r'%24q%5Cchi%24'%2C%20'darkorange'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cap%3D0.12%2C%20text_offset%3D0.18%2C%20fontsize%3D18)%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax_s%2C%200.3%2C%20_EF_s%2C%20_Evac%2C%20r'%24q%5CPsi_S%24'%2C%20'purple'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cap%3D0.12%2C%20text_offset%3D0.18%2C%20fontsize%3D18)%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax_s%2C%20-0.8%2C%20_Ev%2C%20_Ec%2C%20'%24E_g%24'%2C%20'gray'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cap%3D0.12%2C%20text_offset%3D0.18%2C%20fontsize%3D16)%0A%0A%20%20%20%20_ax_s.set_xlim(-1.5%2C%202.0)%0A%20%20%20%20_ax_s.set_ylim(_Ev%20-%201.0%2C%20_Evac%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20_ax_s.set_title('N-type%20Semiconductor'%2C%20fontsize%3D18%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_s.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax_s.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20for%20sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%2C%20'bottom'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_s.spines%5Bsp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_defs%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Definitions%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Symbol%20%7C%20Definition%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---------%7C%3A------%3A%7C%3A-----------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Work%20function**%20%7C%20%24%5CPsi_M%24%2C%20%24%5CPsi_S%24%20%7C%20Energy%20required%20to%20free%20an%20electron%20from%20the%20Fermi%20level%20to%20vacuum%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Electron%20affinity**%20%7C%20%24%5Cchi%24%20%7C%20Energy%20difference%20between%20vacuum%20level%20and%20conduction%20band%20edge%20(%24E_%7Bvac%7D%20-%20E_c%24)%3B%20a%20material%20property%20of%20the%20semiconductor%20%7C%0A%0A%20%20%20%20For%20silicon%3A%20%24%5Cchi_%7BSi%7D%24%20%3D%204.05%20eV%2C%20%24E_g%24%20%3D%201.12%20eV.%0A%0A%20%20%20%20%24%5CPsi_M%24%20and%20%24%5Cchi%24%20are%20material%20properties.%20%24%5CPsi_S%24%20depends%20on%20doping%3B%20%24%5Cchi%24%20does%20not.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_defs%2C%20_fig_def%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20energy_marker%2C%0A%20%20%20%20kT%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20schottky_bands%2C%0A%20%20%20%20width_marker%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_phi_m%20%3D%204.6%20%20%20%23%20W%20(Tungsten)%0A%20%20%20%20_Nd%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_phi_n%20%3D%20kT%20*%20np.log(_Nd%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_phi_s%20%3D%20chi_Si%20%2B%20(Eg_Si%20%2F%202%20-%20_phi_n)%0A%20%20%20%20_phi_Bn%20%3D%20_phi_m%20-%20chi_Si%0A%20%20%20%20_phi_bi%20%3D%20_phi_m%20-%20_phi_s%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax1%2C%20_ax2)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%20LEFT%3A%20Before%20contact%20%3D%3D%3D%0A%20%20%20%20_Evac%20%3D%20max(_phi_m%2C%20_phi_s)%20%2B%200.5%0A%20%20%20%20_EF_m%20%3D%20_Evac%20-%20_phi_m%0A%20%20%20%20_EF_s%20%3D%20_Evac%20-%20_phi_s%0A%20%20%20%20_Ec_s%20%3D%20_Evac%20-%20chi_Si%0A%20%20%20%20_Ev_s%20%3D%20_Ec_s%20-%20Eg_Si%0A%0A%20%20%20%20_ml%2C%20_mr%20%3D%20-2.0%2C%20-0.3%0A%20%20%20%20_sl%2C%20_sr%20%3D%200.3%2C%203.0%0A%0A%20%20%20%20_ax1.fill_between(%5B_ml%2C%20_mr%5D%2C%20_EF_m%20-%201%2C%20_EF_m%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5B_ml%2C%20_mr%5D%2C%20%5B_EF_m%2C%20_EF_m%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax1.text(_ml%20%2B%200.1%2C%20_EF_m%20%2B%200.08%2C%20'%24E_%7BF%2CM%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5B_ml%2C%20_mr%5D%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax1%2C%20_ml%20%2B%200.3%2C%20_EF_m%2C%20_Evac%2C%20r'%24q%5CPsi_M%24'%2C%20'purple')%0A%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5B_sl%2C%20_sr%5D%2C%20%5B_Ec_s%2C%20_Ec_s%5D%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5B_sl%2C%20_sr%5D%2C%20%5B_Ev_s%2C%20_Ev_s%5D%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5B_sl%2C%20_sr%5D%2C%20%5B_EF_s%2C%20_EF_s%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax1.text(_sr%20-%200.5%2C%20_EF_s%20%2B%200.08%2C%20'%24E_%7BF%2CS%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5B_sl%2C%20_sr%5D%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax1%2C%20_sr%20-%200.3%2C%20_Ec_s%2C%20_Evac%2C%20r'%24q%5Cchi%24'%2C%20'orange')%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax1%2C%20_sl%20%2B%200.3%2C%20_EF_s%2C%20_Evac%2C%20r'%24q%5CPsi_S%24'%2C%20'purple')%0A%0A%20%20%20%20_ax1.annotate(''%2C%20xy%3D(-0.15%2C%20(_EF_m%20%2B%20_EF_s)%20%2F%202)%2C%20xytext%3D(0.15%2C%20(_EF_m%20%2B%20_EF_s)%20%2F%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'%23e6550d'%2C%20lw%3D2.5))%0A%20%20%20%20_ax1.text(0.0%2C%20(_EF_m%20%2B%20_EF_s)%20%2F%202%20%2B%200.15%2C%20'%24e%5E-%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'%23e6550d')%0A%0A%20%20%20%20_ax1.text((_ml%20%2B%20_mr)%20%2F%202%2C%20_EF_m%20-%201.3%2C%20'Metal'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax1.text((_sl%20%2B%20_sr)%20%2F%202%2C%20_Ev_s%20-%200.4%2C%20'N-type'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax1.text(0%2C%20_Evac%20%2B%200.15%2C%20'%24E_%7Bvac%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center')%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlim(_ml%20-%200.3%2C%20_sr%20%2B%200.5)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylim(min(_Ev_s%2C%20_EF_m)%20-%201.5%2C%20_Evac%20%2B%200.5)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax1.set_title(r'Before%20Contact%20(%24%5CPsi_M%20%3E%20%5CPsi_S%24)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax1.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax1.tick_params(labelsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%20RIGHT%3A%20After%20contact%20(EF%20%3D%200%20reference)%20%3D%3D%3D%0A%20%20%20%20_x_dep_vis%20%3D%201.5%0A%20%20%20%20_x_all%2C%20_Ec_all%2C%20_Ev_all%20%3D%20schottky_bands(_phi_m%2C%20_phi_s%2C%20_x_dep_vis)%0A%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%0A%20%20%20%20_ax2.fill_between(%5B-2.0%2C%200%5D%2C%20_EF%20-%201.5%2C%20_EF%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20_ax2.axvline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20lw%3D1.5%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20_ax2.plot(%5B-2.0%2C%200%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax2.plot(%5B0%2C%203.0%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'%24E_F%24')%0A%20%20%20%20_ax2.plot(_x_all%2C%20_Ec_all%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20_ax2.plot(_x_all%2C%20_Ev_all%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_v%24')%0A%0A%20%20%20%20_Evac_sc%20%3D%20_Ec_all%20%2B%20chi_Si%0A%20%20%20%20_ax2.plot(_x_all%2C%20_Evac_sc%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20_ax2.plot(%5B-2%2C%200%5D%2C%20%5B_Evac_sc%5B0%5D%2C%20_Evac_sc%5B0%5D%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.4)%0A%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax2%2C%200.05%2C%20_EF%2C%20_Ec_all%5B0%5D%2C%20r'%24q%5CPhi_%7BBn%7D%24'%2C%20'purple'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20guides%3D%5B(0%2C%20_Ec_all%5B0%5D)%5D)%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax2%2C%202.0%2C%20_Ec_all%5B-1%5D%2C%20_Ec_all%5B0%5D%2C%20r'%24q%5Cphi_%7Bbi%7D%24'%2C%20'brown'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20guides%3D%5B(0%2C%20_Ec_all%5B0%5D)%5D)%0A%20%20%20%20width_marker(_ax2%2C%200%2C%20_x_dep_vis%2C%20_Ev_all.min()%20-%200.3%2C%20'%24W_%7Bdep%7D%24'%2C%20'gray')%0A%20%20%20%20_ax2.axvline(_x_dep_vis%2C%20color%3D'gray'%2C%20ls%3D'%3A'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20_ax2.text(-1.0%2C%20_EF%20-%201.7%2C%20'Metal'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax2.text(2.0%2C%20_Ev_all%5B-1%5D%20-%200.4%2C%20'N-type'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlim(-2.5%2C%203.5)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylim(min(_Ev_all.min()%2C%20_EF)%20-%201.5%2C%20_Ec_all%5B0%5D%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax2.set_title('After%20Contact%20%E2%80%94%20Rectifying%20(Schottky)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax2.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax2.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax2.legend(fontsize%3D13%2C%20loc%3D'upper%20right')%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_caption%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20**Example%3A**%20W%20(%24%5CPsi_M%24%20%3D%20%7B_phi_m%7D%20eV)%20on%20N-Si%20(%24N_d%24%20%3D%20%7B_Nd%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24).%0A%20%20%20%20**Before%3A**%20More%20electrons%20in%20the%20semiconductor%20than%20in%20the%20metal%20at%20the%20same%20energy%20%E2%86%92%20electrons%20diffuse%20from%20SC%20to%20metal.%0A%20%20%20%20**After%3A**%20Fermi%20levels%20align.%20A%20**depletion%20layer**%20forms%20with%20bands%20bending%20upward.%0A%20%20%20%20%24%5CPhi_%7B%7BBn%7D%7D%24%20%3D%20%24%5CPsi_M%20-%20%5Cchi%24%20%3D%20%7B_phi_Bn%3A.2f%7D%20eV%20(Schottky%20barrier)%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%24%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%24%20%3D%20%24%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%24%20%3D%20%7B_phi_bi%3A.2f%7D%20eV%20(built-in%20potential).%0A%20%20%20%20The%20N-side%20looks%20like%20that%20for%20a%20one-sided%20PN%20diode%20%E2%86%92%20**rectifying%20behaviour**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_intro%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Rectifying%20Contact%3A%20Schottky%20Diode%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20N-type%20Semiconductor%20(%24%5CPsi_M%20%3E%20%5CPsi_S%24)%0A%0A%20%20%20%20When%20a%20metal%20with%20%24%5CPsi_M%20%3E%20%5CPsi_S%24%20is%20brought%20into%20contact%20with%20an%20N-type%20semiconductor%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20In%20the%20energy%20range%20where%20there%20are%20vacant%20states%2C%20at%20the%20same%20energy%2C%20more%20electrons%20are%20in%20the%20semiconductor%20than%20in%20the%20metal.%0A%20%20%20%20-%20Electrons%20**diffuse%20from%20semiconductor%20to%20metal**%20until%20the%20Fermi%20levels%20align.%0A%20%20%20%20-%20This%20creates%20a%20**depletion%20region**%20with%20upward%20band%20bending%20in%20the%20semiconductor.%0A%20%20%20%20-%20The%20result%20is%20a%20**rectifying**%20contact%20known%20as%20a%20**Schottky%20diode**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_key_rels%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20-%20**Schottky%20barrier%20height%3A**%20%24%5Cboxed%7B%5CPhi_%7BBn%7D%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5Cchi%7D%24%20(depends%20only%20on%20metal%20and%20semiconductor%3B%20independent%20of%20doping%20and%20bias)%0A%20%20%20%20-%20**Built-in%20potential%3A**%20%24%5Cboxed%7B%5Cphi_%7Bbi%7D%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%20%3D%20%5CPhi_%7BBn%7D%20-%20(E_c%20-%20E_F)%2Fq%7D%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_derivation%20%3D%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Derivation%20of%20Schottky%20barrier%20height%22%3A%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Let%20%24E_%7Bc%2Cs%7D%24%20%3D%20flatband%20semiconductor%20conduction%20band%20energy%2C%20%24E_%7BF%2Cs%7D%24%20%3D%20flatband%20semiconductor%20Fermi%20energy.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5CPhi_%7BBn%7D%20%26%3D%20%5Cphi_%7Bbi%7D%20%2B%20(E_%7Bc%2Cs%7D%20-%20E_%7BF%2Cs%7D)%2Fq%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20(%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S)%20%2B%20(E_%7Bc%2Cs%7D%20-%20E_%7BF%2Cs%7D)%2Fq%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5CPsi_M%20-%20(E_%7Bvac%7D%20-%20E_%7BF%2Cs%7D)%2Fq%20%2B%20(E_%7Bc%2Cs%7D%20-%20E_%7BF%2Cs%7D)%2Fq%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5CPsi_M%20-%20(E_%7Bvac%7D%20-%20E_%7Bc%2Cs%7D)%2Fq%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5Cchi%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_intro%2C%20_fig%2C%20_key_rels%2C%20_derivation%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20energy_marker%2C%0A%20%20%20%20kT%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20schottky_bands%2C%0A%20%20%20%20width_marker%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_phi_m_p%20%3D%204.1%20%20%20%23%20Al%0A%20%20%20%20_Na%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_phi_p%20%3D%20kT%20*%20np.log(_Na%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_phi_s_p%20%3D%20chi_Si%20%2B%20(Eg_Si%20%2F%202%20%2B%20_phi_p)%0A%20%20%20%20_phi_Bp%20%3D%20Eg_Si%20%2B%20chi_Si%20-%20_phi_m_p%0A%20%20%20%20_phi_bi_p%20%3D%20_phi_s_p%20-%20_phi_m_p%0A%0A%20%20%20%20_fig_p%2C%20(_ax1p%2C%20_ax2p)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%20LEFT%3A%20Before%20contact%20%3D%3D%3D%0A%20%20%20%20_Evac%20%3D%20max(_phi_m_p%2C%20_phi_s_p)%20%2B%200.5%0A%20%20%20%20_EF_m%20%3D%20_Evac%20-%20_phi_m_p%0A%20%20%20%20_EF_s%20%3D%20_Evac%20-%20_phi_s_p%0A%20%20%20%20_Ec_s%20%3D%20_Evac%20-%20chi_Si%0A%20%20%20%20_Ev_s%20%3D%20_Ec_s%20-%20Eg_Si%0A%0A%20%20%20%20_ml%2C%20_mr%20%3D%20-2.0%2C%20-0.3%0A%20%20%20%20_sl%2C%20_sr%20%3D%200.3%2C%203.0%0A%0A%20%20%20%20_ax1p.fill_between(%5B_ml%2C%20_mr%5D%2C%20_EF_m%20-%201%2C%20_EF_m%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20_ax1p.plot(%5B_ml%2C%20_mr%5D%2C%20%5B_EF_m%2C%20_EF_m%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax1p.text(_ml%20%2B%200.1%2C%20_EF_m%20%2B%200.08%2C%20'%24E_%7BF%2CM%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax1p.plot(%5B_ml%2C%20_mr%5D%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax1p%2C%20_ml%20%2B%200.3%2C%20_EF_m%2C%20_Evac%2C%20r'%24q%5CPsi_M%24'%2C%20'purple')%0A%0A%20%20%20%20_ax1p.plot(%5B_sl%2C%20_sr%5D%2C%20%5B_Ec_s%2C%20_Ec_s%5D%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax1p.plot(%5B_sl%2C%20_sr%5D%2C%20%5B_Ev_s%2C%20_Ev_s%5D%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax1p.plot(%5B_sl%2C%20_sr%5D%2C%20%5B_EF_s%2C%20_EF_s%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax1p.text(_sr%20-%200.5%2C%20_EF_s%20-%200.15%2C%20'%24E_%7BF%2CS%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax1p.plot(%5B_sl%2C%20_sr%5D%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax1p%2C%20_sr%20-%200.3%2C%20_Ec_s%2C%20_Evac%2C%20r'%24q%5Cchi%24'%2C%20'orange')%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax1p%2C%20_sl%20%2B%200.3%2C%20_EF_s%2C%20_Evac%2C%20r'%24q%5CPsi_S%24'%2C%20'purple')%0A%0A%20%20%20%20_ax1p.annotate(''%2C%20xy%3D(0.15%2C%20(_EF_m%20%2B%20_EF_s)%20%2F%202)%2C%20xytext%3D(-0.15%2C%20(_EF_m%20%2B%20_EF_s)%20%2F%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'%23e6550d'%2C%20lw%3D2.5))%0A%20%20%20%20_ax1p.text(0.0%2C%20(_EF_m%20%2B%20_EF_s)%20%2F%202%20%2B%200.15%2C%20'%24e%5E-%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'%23e6550d')%0A%0A%20%20%20%20_ax1p.text((_ml%20%2B%20_mr)%20%2F%202%2C%20_EF_m%20-%201.3%2C%20'Metal'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax1p.text((_sl%20%2B%20_sr)%20%2F%202%2C%20_Ev_s%20-%200.5%2C%20'P-type'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax1p.text(0%2C%20_Evac%20%2B%200.15%2C%20'%24E_%7Bvac%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center')%0A%20%20%20%20_ax1p.set_xlim(_ml%20-%200.3%2C%20_sr%20%2B%200.5)%0A%20%20%20%20_ax1p.set_ylim(min(_Ev_s%2C%20_EF_s)%20-%201.0%2C%20_Evac%20%2B%200.5)%0A%20%20%20%20_ax1p.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax1p.set_title(r'Before%20Contact%20(%24%5CPsi_M%20%3C%20%5CPsi_S%24)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax1p.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax1p.tick_params(labelsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%20RIGHT%3A%20After%20contact%20%3D%3D%3D%0A%20%20%20%20_x_dep_vis%20%3D%201.5%0A%20%20%20%20_x_all%2C%20_Ec_all%2C%20_Ev_all%20%3D%20schottky_bands(_phi_m_p%2C%20_phi_s_p%2C%20_x_dep_vis)%0A%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%0A%20%20%20%20_ax2p.fill_between(%5B-2.0%2C%200%5D%2C%20_EF%20-%201.5%2C%20_EF%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20_ax2p.axvline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20lw%3D1.5%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20_ax2p.plot(%5B-2.0%2C%200%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax2p.plot(%5B0%2C%203.0%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'%24E_F%24')%0A%20%20%20%20_ax2p.plot(_x_all%2C%20_Ec_all%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20_ax2p.plot(_x_all%2C%20_Ev_all%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_v%24')%0A%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax2p%2C%200.05%2C%20_Ev_all%5B0%5D%2C%20_EF%2C%20r'%24q%5CPhi_%7BBp%7D%24'%2C%20'purple'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20guides%3D%5B(0%2C%20_Ev_all%5B0%5D)%5D)%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax2p%2C%202.0%2C%20_Ev_all%5B0%5D%2C%20_Ev_all%5B-1%5D%2C%20r'%24q%5Cphi_%7Bbi%7D%24'%2C%20'brown'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20guides%3D%5B(0%2C%20_Ev_all%5B0%5D)%5D)%0A%20%20%20%20width_marker(_ax2p%2C%200%2C%20_x_dep_vis%2C%20_Ev_all.min()%20-%200.3%2C%20'%24W_%7Bdep%7D%24'%2C%20'gray')%0A%20%20%20%20_ax2p.axvline(_x_dep_vis%2C%20color%3D'gray'%2C%20ls%3D'%3A'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20_ax2p.text(-1.0%2C%20_EF%20-%201.7%2C%20'Metal'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax2p.text(2.0%2C%20_EF%20-%201.7%2C%20'P-type'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax2p.set_xlim(-2.5%2C%203.5)%0A%20%20%20%20_ax2p.set_ylim(min(_Ev_all.min()%2C%20_EF)%20-%201.5%2C%20_Ec_all%5B0%5D%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20_ax2p.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax2p.set_title('After%20Contact%20%E2%80%94%20Rectifying%20(Schottky)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax2p.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax2p.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax2p.legend(fontsize%3D13%2C%20loc%3D'upper%20right')%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_intro_p%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20P-type%20Semiconductor%20(%24%5CPsi_M%20%3C%20%5CPsi_S%24)%0A%0A%20%20%20%20When%20a%20metal%20with%20%24%5CPsi_M%20%3C%20%5CPsi_S%24%20is%20brought%20into%20contact%20with%20a%20P-type%20semiconductor%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Electrons%20**diffuse%20from%20metal%20to%20semiconductor**.%0A%20%20%20%20-%20A%20**depletion%20region**%20forms%20with%20bands%20bending%20downward%20in%20the%20semiconductor.%0A%20%20%20%20-%20The%20P-side%20looks%20like%20that%20for%20a%20PN%20diode%20(if%20the%20metal%20is%20taken%20to%20be%20like%20the%20N-side)%20%E2%86%92%20**rectifying%20behaviour**.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5CPhi_%7BBp%7D%20%3D%20E_g%2Fq%20-%20(%5CPsi_M%20-%20%5Cchi)%20%3D%20E_g%2Fq%20%2B%20%5Cchi%20-%20%5CPsi_M%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bq%5Cphi_%7Bbi%7D%20%3D%20q(%5CPsi_S%20-%20%5CPsi_M)%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_caption_p%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20**Example%3A**%20Al%20(%24%5CPsi_M%24%20%3D%20%7B_phi_m_p%7D%20eV)%20on%20P-Si%20(%24N_a%24%20%3D%20%7B_Na%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24).%0A%20%20%20%20**Before%3A**%20Electrons%20diffuse%20from%20metal%20to%20semiconductor.%0A%20%20%20%20**After%3A**%20Bands%20bend%20*downward*.%20The%20hole%20barrier%20%24%5CPhi_%7B%7BBp%7D%7D%24%20%3D%20%24E_g%2Fq%20%2B%20%5Cchi%20-%20%5CPsi_M%24%20%3D%20%7B_phi_Bp%3A.2f%7D%20eV.%0A%20%20%20%20Built-in%20potential%20%24%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%24%20%3D%20%24%5CPsi_S%20-%20%5CPsi_M%24%20%3D%20%7B_phi_bi_p%3A.2f%7D%20V.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_derivation_p%20%3D%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Derivation%20of%20P-type%20Schottky%20barrier%20height%22%3A%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Let%20%24E_%7Bv%2Cs%7D%24%20%3D%20flatband%20semiconductor%20valence%20band%20energy%2C%20%24E_%7BF%2Cs%7D%24%20%3D%20flatband%20semiconductor%20Fermi%20energy.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5CPhi_%7BBp%7D%20%26%3D%20%5Cphi_%7Bbi%7D%20%2B%20(E_%7BF%2Cs%7D%20-%20E_%7Bv%2Cs%7D)%2Fq%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20(%5CPsi_S%20-%20%5CPsi_M)%20%2B%20(E_%7BF%2Cs%7D%20-%20E_%7Bv%2Cs%7D)%2Fq%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20(E_%7Bvac%7D%20-%20E_%7BF%2Cs%7D)%2Fq%20-%20%5CPsi_M%20%2B%20(E_%7BF%2Cs%7D%20-%20E_%7Bv%2Cs%7D)%2Fq%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20(E_%7Bvac%7D%20-%20E_%7Bv%2Cs%7D)%2Fq%20-%20%5CPsi_M%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20(E_%7Bvac%7D%20-%20E_%7Bc%2Cs%7D)%2Fq%20%2B%20(E_%7Bc%2Cs%7D%20-%20E_%7Bv%2Cs%7D)%2Fq%20-%20%5CPsi_M%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cchi%20%2B%20E_g%2Fq%20-%20%5CPsi_M%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_intro_p%2C%20_fig_p%2C%20_derivation_p%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20_heading%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Schottky%20Barrier%20and%20Built-in%20Potential%20under%20Bias%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_table_header%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Schottky%20Barrier%20Heights%20and%20Work%20Functions%20%0A%0A%20%20%20%20The%20Schottky%20barrier%20%24%5CPhi_%7BBn%7D%24%20is%20a%20property%20of%20the%20metal-semiconductor%20interface.%20It%20does%20**not**%20change%20with%20applied%20voltage.%0A%0A%20%20%20%20Hu%2C%20Tables%204-4%20and%204-5%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_table%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20**Mg**%20%7C%20**Ti**%20%7C%20**Cr**%20%7C%20**W**%20%7C%20**Mo**%20%7C%20**Pd**%20%7C%20**Au**%20%7C%20**Pt**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5CPhi_%7BBn%7D%24%20(V)%20%7C%200.4%20%7C%200.5%20%7C%200.61%20%7C%200.67%20%7C%200.68%20%7C%200.77%20%7C%200.8%20%7C%200.9%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5CPhi_%7BBp%7D%24%20(V)%20%7C%20%7C%200.61%20%7C%200.50%20%7C%20%7C%200.42%20%7C%20%7C%200.3%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5CPsi_M%24%20(V)%20%7C%203.7%20%7C%204.3%20%7C%204.5%20%7C%204.6%20%7C%204.6%20%7C%205.1%20%7C%205.1%20%7C%205.7%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_centered_table%20%3D%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cdiv%20style%3D%22width%3A100%25%3B%20display%3Aflex%3B%20justify-content%3Acenter%3B%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f'%7B_table.text%7D'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3C%2Fdiv%3E'%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_table_footer%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Note%3A**%20In%20IC%20fabrication%2C%20**metal%20silicides**%20(e.g.%2C%20TiSi%24_2%24%2C%20CoSi%24_2%24%2C%20NiSi)%20are%20much%20more%20frequently%20used%20instead%20of%20pure%20metals.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%0A%20%20%20%20_silicide_table%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20**ErSi%24_%7B1.7%7D%24**%20%7C%20**HfSi**%20%7C%20**MoSi%24_2%24**%20%7C%20**ZrSi%24_2%24**%20%7C%20**TiSi%24_2%24**%20%7C%20**CoSi%24_2%24**%20%7C%20**WSi%24_2%24**%20%7C%20**NiSi%24_2%24**%20%7C%20**Pd%24_2%24Si**%20%7C%20**PtSi**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5CPhi_%7BBn%7D%24%20(V)%20%7C%200.28%20%7C%200.45%20%7C%200.55%20%7C%200.55%20%7C%200.61%20%7C%200.65%20%7C%200.67%20%7C%200.67%20%7C%200.75%20%7C%200.87%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5CPhi_%7BBp%7D%24%20(V)%20%7C%20%7C%20%7C%200.55%20%7C%200.55%20%7C%200.49%20%7C%200.45%20%7C%200.43%20%7C%200.43%20%7C%200.35%20%7C%200.23%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_centered_silicide%20%3D%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cdiv%20style%3D%22width%3A100%25%3B%20display%3Aflex%3B%20justify-content%3Acenter%3B%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f'%7B_silicide_table.text%7D'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3C%2Fdiv%3E'%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_heading%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_table_header%2C%20_centered_table%2C%20_table_footer%2C%20_centered_silicide%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20IMAGE_BASE%2C%0A%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20energy_marker%2C%0A%20%20%20%20kT%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20schottky_bands_biased%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_bias_text%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Built-in%20Potential%20under%20Bias%0A%0A%20%20%20%20-%20**Forward%20bias**%20(%24V_a%20%3E%200%24)%3A%20Applied%20voltage%20reduces%20the%20built-in%20potential%20to%20%24%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_a%24%2C%20lowering%20the%20barrier%20seen%20by%20electrons%20in%20the%20semiconductor%20%E2%86%92%20current%20increases%20exponentially.%0A%20%20%20%20-%20**Reverse%20bias**%20(%24V_a%20%3C%200%24)%3A%20The%20potential%20barrier%20increases%20to%20%24%5Cphi_%7Bbi%7D%20%2B%20%7CV_a%7C%24%20%E2%86%92%20only%20a%20small%20saturation%20current%20%24I_0%24%20flows.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_bias_img%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bmo.image(f%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fschottky-orientation.png%22%2C%20width%3D600)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_phi_m_b%20%3D%204.6%20%20%20%23%20W%20on%20n-Si%0A%20%20%20%20_Nd_b%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_phi_n_b%20%3D%20kT%20*%20np.log(_Nd_b%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_phi_s_b%20%3D%20chi_Si%20%2B%20(Eg_Si%20%2F%202%20-%20_phi_n_b)%0A%20%20%20%20_phi_Bn_b%20%3D%20_phi_m_b%20-%20chi_Si%0A%20%20%20%20_phi_bi_b%20%3D%20_phi_m_b%20-%20_phi_s_b%0A%0A%20%20%20%20_fig_bias%2C%20(_ax_fwd%2C%20_ax_rev)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20for%20_ax%2C%20_Va%2C%20_title%20in%20%5B(_ax_fwd%2C%200.2%2C%20'Forward%20Bias%20(%24V_a%20%3E%200%24)')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(_ax_rev%2C%20-1.0%2C%20'Reverse%20Bias%20(%24V_a%20%3C%200%24)')%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Veff%20%3D%20_phi_bi_b%20-%20_Va%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_dep_vis%20%3D%20min(2.5%2C%20max(0.5%2C%200.8%20%2B%20abs(_Veff)%20*%200.5))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_all%2C%20_Ec_all%2C%20_Ev_all%20%3D%20schottky_bands_biased(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_m_b%2C%20_phi_s_b%2C%20_Va%2C%20_x_dep_vis)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_EF_M%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_EF_S%20%3D%20_Va%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.fill_between(%5B-2%2C%200%5D%2C%20_EF_M%20-%201.5%2C%20_EF_M%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20lw%3D1.5%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B-2%2C%200%5D%2C%20%5B_EF_M%2C%20_EF_M%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_all%2C%20_Ec_all%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_all%2C%20_Ev_all%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5Bmax(0.5%2C%20_x_dep_vis%20*%200.5)%2C%203.0%5D%2C%20%5B_EF_S%2C%20_EF_S%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(-1.8%2C%20_EF_M%20%2B%200.08%2C%20'%24E_%7BF%2CM%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(2.2%2C%20_EF_S%20%2B%200.08%2C%20'%24E_%7BF%2CS%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20energy_marker(_ax%2C%200.05%2C%20_EF_M%2C%20_Ec_all%5B0%5D%2C%20r'%24q%5CPhi_%7BBn%7D%24'%2C%20'purple'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20guides%3D%5B(0%2C%20_Ec_all%5B0%5D)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20energy_marker(_ax%2C%201.8%2C%20_Ec_all%5B-1%5D%2C%20_Ec_all%5B0%5D%2C%20r'%24q(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_a)%24'%2C%20'brown'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20guides%3D%5B(0%2C%20_Ec_all%5B0%5D)%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_title(_title%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlabel('Position'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlim(-2.5%2C%203.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_lo%20%3D%20min(_Ev_all.min()%2C%20_EF_M%2C%20_EF_S)%20-%201.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_hi%20%3D%20_Ec_all%5B0%5D%20%2B%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylim(_y_lo%2C%20_y_hi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(-1.0%2C%20_y_lo%20%2B%200.3%2C%20'Metal'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(2.0%2C%20_Ev_all%5B-1%5D%20-%200.4%2C%20'N-type'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_bias_text%2C%20_bias_img%2C%20_fig_bias%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Schottky%20Diode%20Electrostatics%0A%0A%20%20%20%20The%20electrostatics%20of%20a%20Schottky%20diode%20are%20identical%20to%20the%20one-sided%20PN%20junction%20(with%20the%20metal%20acting%20as%20the%20heavily-doped%20side).%20Using%20the%20depletion%20approximation%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20**N-type**%20(%24%5Crho%20%3D%20%2BqN_d%24)%20%7C%20**P-type**%20(%24%5Crho%20%3D%20-qN_a%24)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Charge%20density**%20%7C%20%24%5Crho(x)%20%3D%20qN_d%24%20%7C%20%24%5Crho(x)%20%3D%20-qN_a%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Electric%20field**%20%7C%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%20%3D%20-%5Cdfrac%7BqN_d%7D%7B%5Cepsilon_s%7D(W_%7Bdep%7D%20-%20x)%24%20%7C%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%20%3D%20%2B%5Cdfrac%7BqN_a%7D%7B%5Cepsilon_s%7D(W_%7Bdep%7D%20-%20x)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Depletion%20width**%20%7C%20%24W_%7Bdep%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2%5Cepsilon_s(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_a)%7D%7BqN_d%7D%7D%24%20%7C%20%24W_%7Bdep%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2%5Cepsilon_s(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_a)%7D%7BqN_a%7D%7D%24%20%7C%0A%0A%20%20%20%20for%20%240%20%5Cle%20x%20%5Cle%20W_%7Bdep%7D%24%2C%20where%20%24V_a%24%20is%20the%20applied%20voltage%20(positive%20for%20forward%20bias).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(metal_data%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20metal_es_select%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7Bname%3A%20name%20for%20name%20in%20metal_data%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22W%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Metal%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sc_type_es_select%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%22N-type%22%3A%20%22n%22%2C%20%22P-type%22%3A%20%22p%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22N-type%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Semiconductor%20type%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_Ndop_es_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D14%2C%20stop%3D19%2C%20value%3D16%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(Doping)%20%5Bcm%24%5E%7B-3%7D%24%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Va_es_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-3.0%2C%20stop%3D1%2C%20value%3D0.0%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24V_a%24%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20es_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%204.%20Interactive%20Explorer%3A%20Energy%20Bands%20%26%20Electrostatics%0A%0A%20%20%20%20Select%20a%20metal%2C%20semiconductor%20type%2C%20doping%20concentration%2C%20and%20applied%20voltage%20to%20explore%20the%20energy%20bands%20and%20electrostatics.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bmetal_es_select%2C%20sc_type_es_select%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Blog_Ndop_es_slider%2C%20Va_es_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Va_es_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20es_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_Ndop_es_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20metal_es_select%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sc_type_es_select%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20Nc_Si%2C%0A%20%20%20%20Va_es_slider%2C%0A%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20energy_marker%2C%0A%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20es_controls%2C%0A%20%20%20%20kT%2C%0A%20%20%20%20log_Ndop_es_slider%2C%0A%20%20%20%20metal_data%2C%0A%20%20%20%20metal_es_select%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A%20%20%20%20sc_type_es_select%2C%0A%20%20%20%20schottky_bands_biased%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_phi_m%20%3D%20metal_data%5Bmetal_es_select.value%5D%0A%20%20%20%20_sc_type%20%3D%20sc_type_es_select.value%0A%20%20%20%20_N_dop%20%3D%2010%20**%20log_Ndop_es_slider.value%0A%20%20%20%20_Va%20%3D%20Va_es_slider.value%0A%20%20%20%20_eps_s%20%3D%20eps_Si%20*%20eps_0%0A%0A%20%20%20%20if%20_sc_type%20%3D%3D%20%22n%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_n%20%3D%20_N_dop%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_minus_EF%20%3D%20-kT%20*%20np.log(_n%20%2F%20Nc_Si)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s%20%3D%20chi_Si%20%2B%20_Ec_minus_EF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_Bn%20%3D%20_phi_m%20-%20chi_Si%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_bi%20%3D%20_phi_m%20-%20_phi_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dop_label%20%3D%20f%22%24N_d%24%20%3D%20%7B_N_dop%3A.1e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_barrier_label%20%3D%20rf%22%24%5CPhi_%7B%7BBn%7D%7D%24%20%3D%20%7B_phi_Bn%3A.3f%7D%20eV%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_n_label%20%3D%20rf%22%24n%20%5Capprox%20N_d%24%20%3D%20%7B_n%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_n%20%3D%20ni_Si**2%20%2F%20_N_dop%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Ec_minus_EF%20%3D%20-kT%20*%20np.log(_n%20%2F%20Nc_Si)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s%20%3D%20chi_Si%20%2B%20_Ec_minus_EF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_Bp%20%3D%20Eg_Si%20%2B%20chi_Si%20-%20_phi_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_bi%20%3D%20_phi_s%20-%20_phi_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dop_label%20%3D%20f%22%24N_a%24%20%3D%20%7B_N_dop%3A.1e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_barrier_label%20%3D%20rf%22%24%5CPhi_%7B%7BBp%7D%7D%24%20%3D%20%7B_phi_Bp%3A.3f%7D%20eV%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_n_label%20%3D%20rf%22%24n%20%3D%20n_i%5E2%2FN_a%24%20%3D%20%7B_n%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%22%0A%0A%20%20%20%20_type_label%20%3D%20%22N-type%22%20if%20_sc_type%20%3D%3D%20%22n%22%20else%20%22P-type%22%0A%20%20%20%20_is_rectifying%20%3D%20_phi_bi%20%3E%200%0A%20%20%20%20_contact_str%20%3D%20%22Rectifying%20(Schottky)%22%20if%20_is_rectifying%20else%20%22Ohmic%22%0A%20%20%20%20_content%20%3D%20%5Bes_controls%5D%0A%0A%20%20%20%20if%20not%20_is_rectifying%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_content.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**Ohmic%20contact**%20%E2%80%94%20%24%5C%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%24%20%3D%20%7B_phi_bi%3A.2f%7D%20V%20%3C%200.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22No%20depletion%20region%20forms%3B%20accumulation%20at%20interface.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22warn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Energy%20band%20diagrams%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_fig_band%2C%20(_ax1%2C%20_ax2)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_Evac%20%3D%20max(_phi_m%2C%20_phi_s)%20%2B%200.5%0A%20%20%20%20_EF_m_before%20%3D%20_Evac%20-%20_phi_m%0A%20%20%20%20_EF_s_before%20%3D%20_Evac%20-%20_phi_s%0A%20%20%20%20_Ec_s%20%3D%20_Evac%20-%20chi_Si%0A%20%20%20%20_Ev_s%20%3D%20_Ec_s%20-%20Eg_Si%0A%0A%20%20%20%20_ml%2C%20_mr%20%3D%20-2.0%2C%20-0.3%0A%20%20%20%20_sl%2C%20_sr%20%3D%200.3%2C%203.0%0A%0A%20%20%20%20_ax1.fill_between(%5B_ml%2C%20_mr%5D%2C%20_EF_m_before%20-%201%2C%20_EF_m_before%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5B_ml%2C%20_mr%5D%2C%20%5B_EF_m_before%2C%20_EF_m_before%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax1.text(_ml%20%2B%200.1%2C%20_EF_m_before%20%2B%200.08%2C%20'%24E_%7BF%2CM%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5B_ml%2C%20_mr%5D%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax1%2C%20_ml%20%2B%200.3%2C%20_EF_m_before%2C%20_Evac%2C%20r'%24q%5CPsi_M%24'%2C%20'purple')%0A%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5B_sl%2C%20_sr%5D%2C%20%5B_Ec_s%2C%20_Ec_s%5D%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5B_sl%2C%20_sr%5D%2C%20%5B_Ev_s%2C%20_Ev_s%5D%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_v%24')%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5B_sl%2C%20_sr%5D%2C%20%5B_EF_s_before%2C%20_EF_s_before%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax1.text(_sr%20-%200.5%2C%20_EF_s_before%20%2B%200.08%2C%20'%24E_%7BF%2CS%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5B_sl%2C%20_sr%5D%2C%20%5B_Evac%2C%20_Evac%5D%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax1%2C%20_sr%20-%200.3%2C%20_Ec_s%2C%20_Evac%2C%20r'%24q%5Cchi%24'%2C%20'orange')%0A%20%20%20%20energy_marker(_ax1%2C%20_sl%20%2B%200.3%2C%20_EF_s_before%2C%20_Evac%2C%20r'%24q%5CPsi_S%24'%2C%20'purple')%0A%0A%20%20%20%20_ax1.text((_ml%20%2B%20_mr)%20%2F%202%2C%20_EF_m_before%20-%201.3%2C%20'Metal'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax1.text((_sl%20%2B%20_sr)%20%2F%202%2C%20_Ev_s%20-%200.4%2C%20f'%7B_type_label%7D%20SC'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax1.text(0%2C%20_Evac%20%2B%200.15%2C%20'%24E_%7Bvac%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center')%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlim(_ml%20-%200.3%2C%20_sr%20%2B%200.5)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylim(min(_Ev_s%2C%20_EF_m_before%2C%20_EF_s_before)%20-%201.5%2C%20_Evac%20%2B%200.5)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax1.set_title('Before%20Contact'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax1.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax1.tick_params(labelsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20_Veff_band%20%3D%20_phi_bi%20-%20_Va%0A%20%20%20%20_x_dep_vis%20%3D%20min(2.5%2C%20max(0.3%2C%200.8%20%2B%20abs(_Veff_band)%20*%200.5))%0A%20%20%20%20_x_all%2C%20_Ec_all%2C%20_Ev_all%20%3D%20schottky_bands_biased(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_m%2C%20_phi_s%2C%20_Va%2C%20_x_dep_vis)%0A%20%20%20%20_EF_M%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_EF_S%20%3D%20_Va%0A%0A%20%20%20%20_ax2.fill_between(%5B-2.0%2C%200%5D%2C%20_EF_M%20-%201.5%2C%20_EF_M%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20_ax2.axvline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20lw%3D1.5%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20_ax2.plot(%5B-2.0%2C%200%5D%2C%20%5B_EF_M%2C%20_EF_M%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax2.plot(_x_all%2C%20_Ec_all%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20_ax2.plot(_x_all%2C%20_Ev_all%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_v%24')%0A%20%20%20%20_ax2.plot(%5Bmax(0.5%2C%20_x_dep_vis%20*%200.5)%2C%203.0%5D%2C%20%5B_EF_S%2C%20_EF_S%5D%2C%20'g--'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D2%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20_ax2.text(-1.8%2C%20_EF_M%20%2B%200.08%2C%20'%24E_%7BF%2CM%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax2.text(2.2%2C%20_EF_S%20%2B%200.08%2C%20'%24E_%7BF%2CS%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20if%20_is_rectifying%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_sc_type%20%3D%3D%20%22n%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20energy_marker(_ax2%2C%200.05%2C%20_EF_M%2C%20_Ec_all%5B0%5D%2C%20r'%24q%5CPhi_%7BBn%7D%24'%2C%20'purple'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20guides%3D%5B(0%2C%20_Ec_all%5B0%5D)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20energy_marker(_ax2%2C%201.8%2C%20_Ec_all%5B-1%5D%2C%20_Ec_all%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r'%24q(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_a)%24'%2C%20'brown'%2C%20fontsize%3D13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20guides%3D%5B(0%2C%20_Ec_all%5B0%5D)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20energy_marker(_ax2%2C%200.05%2C%20_Ev_all%5B0%5D%2C%20_EF_M%2C%20r'%24q%5CPhi_%7BBp%7D%24'%2C%20'purple'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20guides%3D%5B(0%2C%20_Ev_all%5B0%5D)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20energy_marker(_ax2%2C%201.8%2C%20_Ev_all%5B0%5D%2C%20_Ev_all%5B-1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r'%24q(%5Cphi_%7Bbi%7D%20-%20V_a)%24'%2C%20'brown'%2C%20fontsize%3D13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20guides%3D%5B(0%2C%20_Ev_all%5B0%5D)%5D)%0A%0A%20%20%20%20if%20_Va%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_title_bias%20%3D%20%22Equilibrium%22%0A%20%20%20%20elif%20_Va%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_title_bias%20%3D%20f%22Forward%20Bias%20(%24V_a%24%20%3D%20%7B_Va%3A.2f%7D%20V)%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_title_bias%20%3D%20f%22Reverse%20Bias%20(%24V_a%24%20%3D%20%7B_Va%3A.2f%7D%20V)%22%0A%20%20%20%20_ax2.set_title(f'After%20Contact%20%E2%80%94%20%7B_title_bias%7D'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlabel('Position'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax2.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlim(-2.5%2C%203.5)%0A%20%20%20%20_y_lo%20%3D%20min(_Ev_all.min()%2C%20_EF_M%2C%20_EF_S)%20-%201.5%0A%20%20%20%20_y_hi%20%3D%20_Ec_all%5B0%5D%20%2B%201.0%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylim(_y_lo%2C%20_y_hi)%0A%20%20%20%20_ax2.text(-1.0%2C%20_y_lo%20%2B%200.3%2C%20'Metal'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax2.text(2.0%2C%20_Ev_all%5B-1%5D%20-%200.4%2C%20f'%7B_type_label%7D'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_content.append(_fig_band)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Electrostatics%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_Veff%20%3D%20max(_phi_bi%20-%20_Va%2C%200.001)%20if%20_is_rectifying%20else%20max(abs(_phi_bi)%20%2B%20abs(_Va)%2C%200.001)%0A%20%20%20%20_Wdep%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_s%20*%20_Veff%20%2F%20(q%20*%20_N_dop))%0A%20%20%20%20_Wdep_um%20%3D%20_Wdep%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_Wdep%2C%20500)%0A%20%20%20%20_x_um%20%3D%20_x%20*%201e4%0A%20%20%20%20_x_ext%20%3D%20np.linspace(_Wdep%2C%20_Wdep%20*%201.5%2C%2050)%0A%20%20%20%20_x_ext_um%20%3D%20_x_ext%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20if%20_sc_type%20%3D%3D%20%22n%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rho_scale%20%3D%20np.full_like(_x%2C%20_N_dop)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_field%20%3D%20-q%20*%20_N_dop%20%2F%20_eps_s%20*%20(_Wdep%20-%20_x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_max%20%3D%20-q%20*%20_N_dop%20*%20_Wdep%20%2F%20_eps_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V%20%3D%20-q%20*%20_N_dop%20%2F%20(2%20*%20_eps_s)%20*%20(_Wdep%20-%20_x)%20**%202%20%2B%20_Veff%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_flat%20%3D%20_Veff%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rho_scale%20%3D%20np.full_like(_x%2C%20-_N_dop)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_field%20%3D%20q%20*%20_N_dop%20%2F%20_eps_s%20*%20(_Wdep%20-%20_x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_max%20%3D%20q%20*%20_N_dop%20*%20_Wdep%20%2F%20_eps_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V%20%3D%20q%20*%20_N_dop%20%2F%20(2%20*%20_eps_s)%20*%20(_Wdep%20-%20_x)%20**%202%20-%20_Veff%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_flat%20%3D%20-_Veff%0A%0A%20%20%20%20_fig_es%2C%20(_ax_rho%2C%20_ax_E%2C%20_ax_V)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(18%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(_x_um%2C%20_rho_scale%20*%201e-15%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(_x_ext_um%2C%20np.zeros_like(_x_ext)%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_rho.axhline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_ylabel(r'%24%5Crho%20%2F%20q%24%20(%24%5Ctimes%2010%5E%7B15%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_xlabel(r'Position%20(%24%5Cmu%24m)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_title(r'Charge%20density%20%24%5Crho(x)%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_rho.fill_between(_x_um%2C%200%2C%20_rho_scale%20*%201e-15%2C%20alpha%3D0.2%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax_rho.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_rho.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_um%2C%20_E_field%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_ext_um%2C%20np.zeros_like(_x_ext)%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.axhline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_ylabel(r'%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%20(V%2Fcm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_xlabel(r'Position%20(%24%5Cmu%24m)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_title(r'Electric%20field%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_E.fill_between(_x_um%2C%200%2C%20_E_field%2C%20alpha%3D0.2%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax_E.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_E.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax_E.text(0.95%2C%200.95%2C%20f'%24%5C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7Bmax%7D%7D%24%20%3D%20%7B_E_max%3A.2e%7D%20V%2Fcm'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D13%2C%20transform%3D_ax_E.transAxes%2C%20va%3D'top'%2C%20ha%3D'right'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round%2Cpad%3D0.3'%2C%20fc%3D'white'%2C%20alpha%3D0.8))%0A%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_um%2C%20_V%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_ext_um%2C%20np.full_like(_x_ext%2C%20_V_flat)%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_V.axhline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_ylabel(r'%24V(x)%24%20(V)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_xlabel(r'Position%20(%24%5Cmu%24m)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_title(r'Potential%20%24V(x)%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_V.fill_between(_x_um%2C%200%2C%20_V%2C%20alpha%3D0.2%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax_V.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_V.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_fig_es.suptitle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f'%7Bmetal_es_select.value%7D%20on%20%7B_type_label%7D%20Si%20%E2%80%94%20%7B_contact_str%7D%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f'(%7B_dop_label%7D%2C%20%24V_a%24%20%3D%20%7B_Va%3A.2f%7D%20V)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%20y%3D1.02)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_content.append(_fig_es)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Info%20summary%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_contact_type%20%3D%20%22**Rectifying**%20(Schottky)%22%20if%20_is_rectifying%20else%20%22**Ohmic**%22%0A%20%20%20%20_info_es%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Metal%3A**%20%7Bmetal_es_select.value%7D%20(%24%5C%5CPsi_M%24%20%3D%20%7B_phi_m%3A.2f%7D%20eV)%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5CPsi_S%24%20%3D%20%7B_phi_s%3A.2f%7D%20eV%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Type%3A**%20%7B_type_label%7D%20(%7B_contact_str%7D)%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B_barrier_label%7D%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%24%20%3D%20%7B_phi_bi%3A.3f%7D%20V%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5Cphi_%7B%7Bbi%7D%7D%20-%20V_a%24%20%3D%20%7B_phi_bi%20-%20_Va%3A.3f%7D%20V%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24W_%7B%7Bdep%7D%7D%24%20%3D%20%7B_Wdep_um%3A.3f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_%7B%7Bmax%7D%7D%24%20%3D%20%7Babs(_E_max)%3A.2e%7D%20V%2Fcm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_psi_s_calc%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B_n_label%7D%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24(E_c%20-%20E_F)%2Fq%20%3D%20-kT%20%5Cln(n%2FN_c)%20%3D%20-%7BkT%3A.4f%7D%20%5Ctimes%20%5Cln(%7B_n%3A.2e%7D%2F%7BNc_Si%3A.2e%7D)%20%3D%20%7B_Ec_minus_EF%3A.3f%7D%24%20eV%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5CPsi_S%20%3D%20%5Cchi%20%2B%20(E_c%20-%20E_F)%2Fq%20%3D%20%7Bchi_Si%3A.2f%7D%20%2B%20%7B_Ec_minus_EF%3A.3f%7D%20%3D%20%7B_phi_s%3A.3f%7D%24%20eV%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_pinning_note%20%3D%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22The%20Schottky%E2%80%93Mott%20rule%20(%24%5CPhi_%7BBn%7D%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5Cchi%24)%20used%20here%20is%20the%20**ideal**%20model.%0A%20%20%20%20Measured%20barrier%20heights%20(Table%204-4)%20are%20different%20because%20of%20**Fermi%20level%20pinning**%20by%20interface%20states%20at%20the%20Si%20surface.%20The%20empirical%20values%20should%20be%20used%20for%20device%20design.%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_content.append(_info_es)%0A%20%20%20%20_content.append(_psi_s_calc)%0A%20%20%20%20_content.append(_pinning_note)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(_content)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20phi_Bn_iv_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.3%2C%20stop%3D1.0%2C%20value%3D0.55%2C%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5CPhi_%7BBn%7D%24%20(eV)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20area_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-6%2C%20stop%3D-2%2C%20value%3D-4%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(Area)%20%5Bcm%24%5E2%24%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20iv_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Interactive%20I-V%20relation%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bphi_Bn_iv_slider%2C%20area_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20area_slider%2C%20iv_controls%2C%20phi_Bn_iv_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20A_star_n%2C%0A%20%20%20%20T%2C%0A%20%20%20%20area_slider%2C%0A%20%20%20%20iv_controls%2C%0A%20%20%20%20kT%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20phi_Bn_iv_slider%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_intro_iv%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20IV%20Characteristics%0A%0A%20%20%20%20The%20Schottky%20diode%20current%20is%20dominated%20by%20**thermionic%20emission**.%20Majority%20carriers%20are%20injected%20over%20the%20barrier%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I%20%3D%20I_0%20%5Cleft(%20e%5E%7BV_a%20%2F%20V_T%7D%20-%201%20%5Cright)%2C%20%5Cquad%20I_0%20%3D%20A%20%5Ccdot%20A%5E*%20T%5E2%20%5Cexp%5Cleft(-%5Cfrac%7Bq%5CPhi_%7BBn%7D%7D%7BkT%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20%24A%5E*%24%20is%20the%20**Richardson%20constant**%3A%20110%20A%2Fcm%24%5E2%24%2FK%24%5E2%24%20(N-Si)%2C%2032%20A%2Fcm%24%5E2%24%2FK%24%5E2%24%20(P-Si)%0A%20%20%20%20-%20The%20Schottky%20diode%20is%20a%20**majority%20carrier%20device**%2C%20so%20can%20have%20faster%20switching%20than%20PN%20diodes%20(no%20minority%20carrier%20recombination)%0A%20%20%20%20-%20%24I_0%24%20is%20typically%20larger%20than%20for%20PN%20diodes%20%E2%86%92%20useful%20for%20low%20voltage%2C%20high%20current%20applications%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_phi_Bn%20%3D%20phi_Bn_iv_slider.value%0A%20%20%20%20_area%20%3D%2010%20**%20area_slider.value%0A%0A%20%20%20%20_I0%20%3D%20_area%20*%20A_star_n%20*%20T**2%20*%20np.exp(-_phi_Bn%20%2F%20kT)%0A%0A%20%20%20%20_Va_fwd%20%3D%20np.linspace(0%2C%200.6%2C%20300)%0A%20%20%20%20_Va_rev%20%3D%20np.linspace(-3%2C%200%2C%20100)%0A%20%20%20%20_Va_all%20%3D%20np.concatenate(%5B_Va_rev%2C%20_Va_fwd%5D)%0A%0A%20%20%20%20_I_all%20%3D%20_I0%20*%20(np.exp(_Va_all%20%2F%20kT)%20-%201)%0A%20%20%20%20_I_clamp%20%3D%20np.clip(_I_all%2C%20-_I0%20*%2010%2C%20_I0%20*%20np.exp(0.6%20%2F%20kT))%0A%0A%20%20%20%20_fig_iv%2C%20(_ax_lin%2C%20_ax_log)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_ax_lin.plot(_Va_all%2C%20_I_clamp%20*%201e3%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_lin.axhline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_lin.axvline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20linewidth%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_lin.set_xlabel(r'%24V_a%24%20(V)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_lin.set_ylabel(r'%24I%24%20(mA)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_lin.set_title('IV%20Characteristic%20(Linear)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_lin.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_lin.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20_Va_fwd_plot%20%3D%20np.linspace(0.01%2C%200.6%2C%20300)%0A%20%20%20%20_I_fwd%20%3D%20_I0%20*%20(np.exp(_Va_fwd_plot%20%2F%20kT)%20-%201)%0A%20%20%20%20_ax_log.semilogy(_Va_fwd_plot%2C%20_I_fwd%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'Schottky')%0A%20%20%20%20_ax_log.axhline(_I0%2C%20color%3D'r'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.7%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3Df'%24I_0%24%20%3D%20%7B_I0%3A.2e%7D%20A')%0A%20%20%20%20_ax_log.set_xlabel(r'%24V_a%24%20(V)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_log.set_ylabel(r'%24I%24%20(A)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_log.set_title('IV%20Characteristic%20(Semi-log)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_log.legend(fontsize%3D13)%0A%20%20%20%20_ax_log.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_log.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D'both')%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_info_iv%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5CPhi_%7B%7BBn%7D%7D%24%20%3D%20%7B_phi_Bn%3A.2f%7D%20eV%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Area%20%3D%20%7B_area%3A.1e%7D%20cm%24%5E2%24%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24I_0%24%20%3D%20%7B_I0%3A.2e%7D%20A%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24A%5E*%24%20%3D%20%7BA_star_n%7D%20A%2Fcm%24%5E2%24%2FK%24%5E2%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_intro_iv%2C%20iv_controls%2C%20_fig_iv%2C%20_info_iv%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%3A%20Rectifying%20vs.%20Ohmic%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%20%7C%20N-type%20%7C%20P-type%20%7C%0A%20%20%20%20%7C--%7C%3A--------%3A%7C%3A--------%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5CPsi_M%20%3E%20%5CPsi_S%24%20%7C%20**Rectifying**%20(Schottky)%20%7C%20Ohmic%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5CPsi_M%20%3C%20%5CPsi_S%24%20%7C%20Ohmic%20%7C%20**Rectifying**%20(Schottky)%20%7C%0A%0A%0A%20%20%20%20-%20**N-type%20Schottky%20barrier%3A**%20%24%5CPhi_%7BBn%7D%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5Cchi%24%0A%20%20%20%20-%20**P-type%20Schottky%20barrier%3A**%20%24%5CPhi_%7BBp%7D%20%3D%20E_g%2Fq%20-%20(%5CPsi_M%20-%20%5Cchi)%24%0A%20%20%20%20-%20**Built-in%20potential%3A**%20%24%5Cphi_%7Bbi%7D%20%3D%20%5Clvert%20%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%20%5Crvert%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20_question%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%20%23%23%20Checkpoint%0A%0A%20%20%20%20**Question%3A**%20If%20a%20metal%20is%20in%20contact%20with%20an%20N-type%20semiconductor%20and%20%24%5CPsi_M%20%3C%20%5CPsi_S%24%2C%20will%20the%20energy%20bands%20in%20the%20semiconductor%20bend%20**upward**%20or%20**downward**%20toward%20the%20metal%3F%0A%0A%20%20%20%20*Think%20about%20where%20the%20electrons%20are%20and%20which%20way%20they%20flow!*%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%0A%20%20%20%20_answer%20%3D%20mo.ui.text(placeholder%3D%22Type%20your%20answer%20here...%22)%0A%20%20%20%20_reveal%20%3D%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Reveal%20Answer%22%3A%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20bands%20bend%20**downward**%20toward%20the%20metal.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Since%20%24%5CPsi_M%20%3C%20%5CPsi_S%24%3A%20more%20electrons%20are%20in%20the%20metal%20than%20the%20semiconductor%20at%20the%20same%20energy.%20Electrons%20flow%20from%20the%20metal%20to%20the%20semiconductor%2C%20creating%20an%20**accumulation**%20region%20near%20the%20interface.%20There%20is%20no%20barrier%20for%20electrons%20%E2%86%92%20**Ohmic**%20contact.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20built-in%20potential%20%24%5Cphi_%7Bbi%7D%20%3D%20%5CPsi_M%20-%20%5CPsi_S%20%3C%200%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_question%2C%20_answer%2C%20_reveal%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(Eg_Si%2C%20chi_Si%2C%20kT%2C%20mo%2C%20ni_Si%2C%20np%2C%20plt%2C%20schottky_bands)%3A%0A%20%20%20%20_fig_ohm%2C%20(_ax_on%2C%20_ax_op)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%20LEFT%3A%20N-type%20Ohmic%20(Mg%20on%20n-Si)%20%3D%3D%3D%0A%20%20%20%20_phi_m_on%20%3D%203.7%0A%20%20%20%20_Nd_on%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_phi_n_on%20%3D%20kT%20*%20np.log(_Nd_on%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_phi_s_on%20%3D%20chi_Si%20%2B%20(Eg_Si%20%2F%202%20-%20_phi_n_on)%0A%20%20%20%20_phi_Bn_on%20%3D%20_phi_m_on%20-%20chi_Si%0A%20%20%20%20_phi_bi_on%20%3D%20_phi_m_on%20-%20_phi_s_on%0A%0A%20%20%20%20_x_dep_vis%20%3D%201.2%0A%20%20%20%20_x_all_n%2C%20_Ec_all_n%2C%20_Ev_all_n%20%3D%20schottky_bands(_phi_m_on%2C%20_phi_s_on%2C%20_x_dep_vis)%0A%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%0A%20%20%20%20_ax_on.fill_between(%5B-2%2C%200%5D%2C%20_EF%20-%201.5%2C%20_EF%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax_on.axvline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20lw%3D1.5%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20_ax_on.plot(%5B-2%2C%200%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_on.plot(%5B0%2C%203.0%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_on.plot(_x_all_n%2C%20_Ec_all_n%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20_ax_on.plot(_x_all_n%2C%20_Ev_all_n%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_v%24')%0A%0A%0A%20%20%20%20_ax_on.text(0.3%2C%20_Ec_all_n%5B-1%5D%20%2B%200.25%2C%20'No%20barrier%5Cnfor%20electrons'%2C%20fontsize%3D13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'%23e6550d'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_ax_on.set_title(r'N-type%20Ohmic%3A%20%24%5CPsi_M%20%3C%20%5CPsi_S%24%20(Mg%20on%20n-Si)'%2C%20fontsize%3D15%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_on.text(-1.0%2C%20_EF%20-%201.7%2C%20'Metal'%2C%20fontsize%3D15%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_on.text(2.0%2C%20_Ev_all_n%5B-1%5D%20-%200.4%2C%20'N-type'%2C%20fontsize%3D15%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_on.legend(fontsize%3D13%2C%20loc%3D'lower%20right')%0A%20%20%20%20_ax_on.set_xlim(-2.5%2C%203.5)%0A%20%20%20%20_ax_on.set_ylim(min(_Ev_all_n.min()%2C%20_EF)%20-%201.5%2C%20max(_Ec_all_n.max()%2C%20_EF)%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20_ax_on.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax_on.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_on.tick_params(labelsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%20RIGHT%3A%20P-type%20Ohmic%20(Pt%20on%20p-Si)%20%3D%3D%3D%0A%20%20%20%20_phi_m_op%20%3D%205.7%0A%20%20%20%20_Na_op%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_phi_p_op%20%3D%20kT%20*%20np.log(_Na_op%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_phi_s_op%20%3D%20chi_Si%20%2B%20(Eg_Si%20%2F%202%20%2B%20_phi_p_op)%0A%20%20%20%20_phi_Bp_op%20%3D%20Eg_Si%20%2B%20chi_Si%20-%20_phi_m_op%0A%20%20%20%20_phi_bi_op%20%3D%20_phi_s_op%20-%20_phi_m_op%0A%0A%20%20%20%20_x_all_p%2C%20_Ec_all_p%2C%20_Ev_all_p%20%3D%20schottky_bands(_phi_m_op%2C%20_phi_s_op%2C%20_x_dep_vis)%0A%20%20%20%20_Ec_all_p%20%3D%20_Ec_all_p%20%2B%200.5%0A%20%20%20%20_Ev_all_p%20%3D%20_Ev_all_p%20%2B%200.5%0A%0A%20%20%20%20_ax_op.fill_between(%5B-2%2C%200%5D%2C%20_EF%20-%201.5%2C%20_EF%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax_op.axvline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20lw%3D1.5%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20_ax_op.plot(%5B-2%2C%200%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_op.plot(%5B0%2C%203.0%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_op.plot(_x_all_p%2C%20_Ec_all_p%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20_ax_op.plot(_x_all_p%2C%20_Ev_all_p%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_v%24')%0A%0A%20%20%20%20_ax_op.text(0.3%2C%20_Ev_all_p%5B-1%5D%20-%200.5%2C%20'No%20barrier%5Cnfor%20holes'%2C%20fontsize%3D13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'%23e6550d'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_ax_op.set_title(r'P-type%20Ohmic%3A%20%24%5CPsi_M%20%3E%20%5CPsi_S%24%20(Pt%20on%20p-Si)'%2C%20fontsize%3D15%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_op.text(-1.0%2C%20_EF%20-%200.5%2C%20'Metal'%2C%20fontsize%3D15%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_op.text(2.0%2C%20_Ev_all_p%5B-1%5D%20-%200.9%2C%20'P-type'%2C%20fontsize%3D15%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_op.legend(fontsize%3D13%2C%20loc%3D'upper%20right')%0A%20%20%20%20_ax_op.set_xlim(-2.5%2C%203.5)%0A%20%20%20%20_ax_op.set_ylim(min(_Ev_all_p.min()%2C%20_EF)%20-%201.5%2C%20max(_Ec_all_p.max()%2C%20_EF)%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20_ax_op.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax_op.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_op.tick_params(labelsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_intro_ohm%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20%23%23%206.%20Ohmic%20Contacts%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20N-type%20Semiconductor%20(%24%5CPsi_M%20%3C%20%5CPsi_S%24)%0A%0A%20%20%20%20-%20More%20electrons%20are%20in%20the%20metal%20than%20the%20semiconductor%20at%20the%20same%20energy.%0A%20%20%20%20-%20Electrons%20**diffuse%20from%20metal%20to%20semiconductor**%20%E2%86%92%20**No%20built-in%20barrier**%20for%20electrons%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24V%20%3E%200%24%3A%20Makes%20the%20built-in%20electric%20field%20even%20more%20positive%20%E2%86%92%20electrons%20from%20N-side%20move%20more%20easily%20into%20metal.%20**Positive%20current%20flow.**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24V%20%3C%200%24%3A%20Reduces%20built-in%20electric%20field%20%E2%86%92%20electrons%20from%20metal%20move%20easily%20into%20semiconductor.%20**Negative%20current%20flow.**%0A%20%20%20%20-%20In%20both%20directions%2C%20current%20flows%20readily%20%E2%86%92%20**Ohmic%20(resistive)%20contact**%20with%20linear%20IV%20relation.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20P-type%20Semiconductor%20(%24%5CPsi_M%20%3E%20%5CPsi_S%24)%0A%0A%20%20%20%20-%20Electrons%20diffuse%20from%20semiconductor%20to%20metal%20%E2%86%92%20No%20built-in%20barrier%20for%20holes%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_caption_ohm%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Left%3A**%20When%20%24%5CPsi_M%20%3C%20%5CPsi_S%24%20for%20N-type%2C%20bands%20bend%20*downward*%20near%20the%20metal.%20There%20is%20no%20barrier%20for%20electron%20flow%20in%20either%20direction%20%E2%86%92%20**Ohmic**%20(linear%20IV).%0A%20%20%20%20**Right%3A**%20When%20%24%5CPsi_M%20%3E%20%5CPsi_S%24%20for%20P-type%2C%20bands%20bend%20*upward*%20near%20the%20metal.%20There%20is%20no%20barrier%20for%20hole%20flow%20%E2%86%92%20**Ohmic**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_intro_ohm%2C%20_fig_ohm%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20IMAGE_BASE%2C%0A%20%20%20%20chi_Si%2C%0A%20%20%20%20energy_marker%2C%0A%20%20%20%20kT%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20schottky_bands%2C%0A%20%20%20%20width_marker%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_fig_tun%2C%20(_ax_mod%2C%20_ax_heavy)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%204.5))%0A%0A%20%20%20%20_phi_m_t%20%3D%204.6%20%20%20%23%20W%0A%0A%20%20%20%20for%20_ax%2C%20_Nd_t%2C%20_x_dep_vis%2C%20_title%20in%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_ax_mod%2C%201e16%2C%201.8%2C%20'Moderate%20Doping%20%E2%80%94%20Rectifying')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_ax_heavy%2C%201e20%2C%200.25%2C%20'Heavy%20Doping%20%E2%80%94%20Tunneling%20(Ohmic)')%2C%0A%20%20%20%20%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_n_t%20%3D%20kT%20*%20np.log(_Nd_t%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_t%20%3D%20chi_Si%20%2B%20(Eg_Si%20%2F%202%20-%20_phi_n_t)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_Bn_t%20%3D%20_phi_m_t%20-%20chi_Si%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_bi_t%20%3D%20_phi_m_t%20-%20_phi_s_t%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_all%2C%20_Ec_all%2C%20_Ev_all%20%3D%20schottky_bands(_phi_m_t%2C%20_phi_s_t%2C%20_x_dep_vis)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.fill_between(%5B-2%2C%200%5D%2C%20_EF%20-%201.5%2C%20_EF%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(0%2C%20color%3D'k'%2C%20lw%3D1.5%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B-2%2C%200%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%2C%203.0%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g--'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_all%2C%20_Ec_all%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_all%2C%20_Ev_all%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20energy_marker(_ax%2C%200.02%2C%20_EF%2C%20_Ec_all%5B0%5D%2C%20r'%24q%5CPhi_%7BBn%7D%24'%2C%20'purple'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20guides%3D%5B(0%2C%20_Ec_all%5B0%5D)%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width_marker(_ax%2C%200%2C%20_x_dep_vis%2C%20_Ev_all.min()%20-%200.3%2C%20'%24W_%7Bdep%7D%24'%2C%20'brown')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_title(_title%2C%20fontsize%3D15%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlabel('Position'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlim(-2.5%2C%203.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylim(_Ev_all.min()%20-%201.2%2C%20_Ec_all%5B0%5D%20%2B%200.8)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(-1.0%2C%20_EF%20-%201.5%2C%20'Metal'%2C%20fontsize%3D15%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Nd_label%20%3D%20f'%24N_d%20%3D%2010%5E%7B%7B%7Bint(np.log10(_Nd_t))%7D%7D%7D%24'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(2.0%2C%20_Ev_all%5B-1%5D%20-%200.4%2C%20_Nd_label%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_x_dep_vis%20%3C%200.5%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(_x_dep_vis%20*%200.9%2C%20_EF)%2C%20xytext%3D(0.02%2C%20_EF)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'red'%2C%20lw%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20connectionstyle%3D'arc3%2Crad%3D0.2'))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_x_dep_vis%20%2F%202%2C%20_EF%20%2B%200.12%2C%20'tunnel'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'red'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_intro_tun%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%23%207.%20Ohmic%20Contacts%20in%20Practice%3A%20Tunneling%20Junctions%0A%0A%20%20%20%20For%20Si%20ICs%2C%20it%20is%20impractical%20and%20expensive%20to%20use%20several%20metals%20for%20fabrication.%20In%20practice%2C%20**ohmic%20contacts**%20are%20formed%20using%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Heavy%20doping**%20of%20the%20semiconductor%20surface%20(%24N_d%24%20or%20%24N_a%20%3E%2010%5E%7B19%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24)%0A%20%20%20%202.%20**Metal%20silicides**%20(e.g.%2C%20TiSi%24_2%24%2C%20CoSi%24_2%24%2C%20NiSi)%20%E2%80%94%20more%20stable%20than%20pure%20metals%0A%0A%20%20%20%20Even%20if%20%24%5CPsi_M%20%3E%20%5CPsi_S%24%20(which%20would%20normally%20give%20a%20rectifying%20contact%20on%20N-type)%2C%20heavy%20doping%20makes%20the%20depletion%20width%20so%20narrow%20that%20electrons%20can%20**tunnel**%20through%20the%20barrier.%0A%0A%20%20%20%20The%20tunnelling%20probability%20increases%20exponentially%20as%20%24W_%7Bdep%7D%24%20decreases%20%E2%86%92%20low-resistance%20ohmic%20contact.%0A%0A%20%20%20%20**Note%3A**%20For%20III-V%20circuits%20and%20devices%2C%20it%20is%20more%20common%20to%20use%20different%20metals%20for%20P%20and%20N%20contacts%20for%20work%20function%20compatibility.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_caption_tun%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Left%3A**%20With%20moderate%20doping%2C%20%24W_%7Bdep%7D%24%20is%20wide%20and%20the%20barrier%20blocks%20current%20%E2%86%92%20**rectifying**.%0A%20%20%20%20**Right%3A**%20With%20heavy%20doping%20(%24N_d%20%3E%2010%5E%7B19%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24)%2C%20%24W_%7Bdep%7D%24%20becomes%20so%20narrow%20(~nm)%20that%20electrons%20can%20**quantum-mechanically%20tunnel**%20through%20the%20barrier%20%E2%86%92%20**ohmic**%20behaviour%20regardless%20of%20%24%5CPsi_M%24%20vs.%20%24%5CPsi_S%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_tun_img%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bmo.image(f%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Ftunnelling.png%22%2C%20width%3D500)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_intro_tun%2C%20_fig_tun%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_contact_r_text%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Contact%20Resistance%0A%0A%20%20%20%20-%20%24R_c%24%3A%20Specific%20contact%20resistance%20%5B%24%5COmega%20%5Ccdot%20%5Cmathrm%7Bcm%7D%5E2%24%5D%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Larger%20cross-section%20area%2C%20lower%20resistance%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_contact_r_img%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bmo.image(f%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fcontact-resistance.png%22%2C%20width%3D800)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_contact_r_text%2C%20_contact_r_img%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A