finfet mos capacitor

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.4%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22scipy%3D%3D1.17.1%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.21.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20title()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20scipy%20import%20constants%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20%23%20Physical%20constants%0A%20%20%20%20q%20%3D%20constants.e%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Elementary%20charge%20(C)%0A%20%20%20%20eps_0%20%3D%20constants.epsilon_0%20%20%23%20Vacuum%20permittivity%20(F%2Fm)%0A%20%20%20%20k_B%20%3D%20constants.k%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Boltzmann%20constant%20(J%2FK)%0A%20%20%20%20T%20%3D%20300%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Temperature%20(K)%0A%20%20%20%20V_T%20%3D%20k_B%20*%20T%20%2F%20q%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Thermal%20voltage%20at%20300K%0A%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test%20%3D%20Path(__file__).parent%20%2F%20%22images%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_test.exists()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20Path(__file__).parent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20FileNotFoundError%0A%20%20%20%20except%20Exception%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20None%0A%20%20%20%20IMAGE_BASE%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Ffinfet-fdsoi%2Fimages%22%20if%20ASSET_DIR%20is%20None%20else%20str(ASSET_DIR%20%2F%20%22images%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20FinFET%20MOS%20Capacitor%3A%20Electrostatics%20and%20Threshold%20Voltage%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ECE350%3A%20Extra%20topic%2C%20for%20interest%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20notebook%20derives%20and%20visualizes%20the%20electrostatics%20of%20symmetric%20double-gate%20FinFETs%20and%20compares%20them%20with%20FDSOI.%20We%20solve%20Poisson's%20equation%20under%20the%20fully-depleted%20condition%20for%20the%20FinFET.%20We%20find%20that%20the%20threshold%20voltage%20for%20FinFET%20and%20FDSOI%20FET%20is%20close%20to%20the%20flat-band%20voltage%20and%20exhibits%20a%20lower%20variability%20than%20bulk%20MOSFETs.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20**Device%20Structure%20and%20Parameters**%3A%20FinFET%2FNanosheet%20symmetric%20structure%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20**Derivation**%3A%20Charge%20density%2C%20electric%20field%2C%20and%20potential%20from%20Poisson's%20equation%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20**FinFET%20Electrostatics**%3A%20Interactive%20charge%2C%20field%2C%20potential%20%26%20energy%20band%20diagrams%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20**Interactive%20FD-SOI%20Electrostatics**%3A%20Coupled%20front%2Fback%20gate%20with%20back%20body%20bias%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20**Threshold%20Voltage%20Scaling**%3A%20%24V_t%24%20vs.%20body%20thickness%20for%20FinFET%2C%20FDSOI%2C%20and%20bulk%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20IMAGE_BASE%2C%20eps_0%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20q%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20device_parameters(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.image(f%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fsheet-fin-moscap.png%22%2C%20width%3D600)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Device%20Structure%20and%20Parameters%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20FinFET%2FNanosheet%20Symmetric%20Structure%0A%0A%20%20%20%20%7Bmo.hstack(%5B_img%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%7D%0A%0A%20%20%20%20The%20FinFET%20has%20gates%20on%20both%20sides%20of%20the%20silicon%20fin%2C%20creating%20a%20**symmetric**%0A%20%20%20%20structure.%20For%20analysis%2C%20we%20assume%20the%20fin%2Fsheet%20is%20infinitely%20long%20out%20of%20the%20plane%2C%20and%20we%20ignore%20the%20finite%20height%20of%20the%20fin%20or%20length%20of%20the%20sheet%20to%20use%20a%201D%20model%20along%20the%20thickness%20of%20the%20body.%20We%20use%0A%0A%20%20%20%20-%20Potential%20reference%20at%20%24t_%7B%7BSi%7D%7D%2F2%24%3A%20%24V(t_%7B%7BSi%7D%7D%2F2)%20%3D%200%24%20at%20the%20center%20of%20the%20fin%0A%20%20%20%20-%20Symmetry%20condition%3A%20%24%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D%7C_%7B%7Bx%3Dt_%7B%7BSi%7D%7D%2F2%7D%7D%20%3D%20-%20dV%2Fdx%7C_%7B%7Bx%3Dt_%7B%7BSi%7D%7D%2F2%7D%7D%20%3D%200%24%20(zero%20electric%20field%20at%20center)%0A%0A%20%20%20%20The%20symmetry%20requirement%20arises%20since%20%24V(x%3D-t_%7B%7Box%7D%7D)%20%3D%20V(x%3Dt_%7B%7BSi%7D%7D%2Bt_%7B%7Box%7D%7D)%24.%20If%20%24%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D%7C_%7B%7Bx%3Dt_%7B%7BSi%7D%7D%2F2%7D%7D%20%5Cneq%200%24%2C%20it%20cannot%20be%20both%20positive%20and%20negative%20at%20the%20same%20time.%0A%0A%20%20%20%20This%20symmetry%20allows%20us%20to%20solve%20only%20half%20the%20structure%20(%240%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20t_%7B%7BSi%7D%7D%2F2%24).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20sliders(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Device%20parameter%20sliders%0A%20%20%20%20t_Si_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D3%2C%20stop%3D15%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Silicon%20thickness%20%24t_%7BSi%7D%24%20(nm)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20t_ox_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%20stop%3D3%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Oxide%20thickness%20%24t_%7Box%7D%24%20(nm)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20N_A_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D14%2C%20stop%3D17%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24N_A%24)%20(cm%E2%81%BB%C2%B3)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20eps_ox_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D3.9%2C%20stop%3D25%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D4.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Oxide%20relative%20permittivity%20%24%5Cepsilon_%7Box%7D%24%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20V_FB_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-0.5%2C%20stop%3D0.5%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Flat-band%20voltage%20%24V_%7BFB%7D%24%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20Vg_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-1.5%2C%20stop%3D1.5%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Gate%20voltage%20%24V_G%24%20(V)%22%2C%20full_width%3DFalse%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N_A_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V_FB_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Vg_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps_ox_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_Si_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_ox_slider%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20compute_finfet(%0A%20%20%20%20N_A_slider%2C%0A%20%20%20%20V_FB_slider%2C%0A%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20eps_ox_slider%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A%20%20%20%20t_Si_slider%2C%0A%20%20%20%20t_ox_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Extract%20slider%20values%0A%20%20%20%20t_Si%20%3D%20t_Si_slider.value%20*%201e-9%20%20%20%20%20%20%23%20Convert%20nm%20to%20m%0A%20%20%20%20t_ox%20%3D%20t_ox_slider.value%20*%201e-9%20%20%20%20%20%20%23%20Convert%20nm%20to%20m%0A%20%20%20%20N_A%20%3D%2010**N_A_slider.value%20*%201e6%20%20%20%20%20%23%20Convert%20cm%E2%81%BB%C2%B3%20to%20m%E2%81%BB%C2%B3%0A%20%20%20%20eps_rOX%20%3D%20eps_ox_slider.value%0A%20%20%20%20eps_rSi%20%3D%2011.7%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Silicon%20relative%20permittivity%0A%20%20%20%20V_FB%20%3D%20V_FB_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Permittivities%0A%20%20%20%20eps_Si%20%3D%20eps_rSi%20*%20eps_0%0A%20%20%20%20eps_OX%20%3D%20eps_rOX%20*%20eps_0%0A%0A%20%20%20%20%23%20Oxide%20capacitance%20per%20unit%20area%0A%20%20%20%20C_oxe%20%3D%20eps_OX%20%2F%20t_ox%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20FinFET%20Electrostatics%20(symmetric%20DG)%20---%0A%20%20%20%20%23%20For%200%20%E2%89%A4%20x%20%E2%89%A4%20t_Si%2F2%2C%20solving%20Poisson%20in%20depletion%3A%0A%20%20%20%20%23%20d%C2%B2%CF%86%2Fdx%C2%B2%20%3D%20qN_A%2F%CE%B5_Si%0A%20%20%20%20%23%20With%20BCs%3A%20%CF%86(t_Si%2F2)%20%3D%200%2C%20d%CF%86%2Fdx%7C_%7Bt_Si%2F2%7D%20%3D%200%0A%0A%20%20%20%20%23%20Electric%20field%20in%20silicon%20(linear)%0A%20%20%20%20%23%20%CE%BE(x)%20%3D%20(qN_A%2F%CE%B5_Si)(t_Si%2F2%20-%20x)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Surface%20electric%20field%20(at%20x%3D0)%0A%20%20%20%20xi_S_finfet%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20t_Si%20%2F%20(2%20*%20eps_Si)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Electric%20field%20in%20oxide%20(from%20continuity%3A%20%CE%B5_Si%C2%B7%CE%BE_S%20%3D%20%CE%B5_OX%C2%B7%CE%BE_OX)%0A%20%20%20%20xi_OX_finfet%20%3D%20(eps_Si%20%2F%20eps_OX)%20*%20xi_S_finfet%0A%0A%20%20%20%20%23%20Surface%20potential%20(at%20x%3D0)%0A%20%20%20%20%23%20%CF%86_S%20%3D%20(qN_A%2F2%CE%B5_Si)(t_Si%2F2)%C2%B2%20%3D%20qN_A%C2%B7t_Si%C2%B2%2F(8%CE%B5_Si)%0A%20%20%20%20phi_S_finfet%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20t_Si**2%20%2F%20(8%20*%20eps_Si)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Voltage%20drop%20across%20oxide%0A%20%20%20%20V_OX_finfet%20%3D%20xi_OX_finfet%20*%20t_ox%0A%0A%20%20%20%20%23%20Alternative%3A%20V_OX%20%3D%20qN_A%C2%B7t_Si%20%2F%20(2%C2%B7C_oxe)%0A%20%20%20%20V_OX_finfet_alt%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20t_Si%20%2F%20(2%20*%20C_oxe)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Threshold%20voltage%20for%20FinFET%0A%20%20%20%20V_t_finfet%20%3D%20V_FB%20%2B%20V_OX_finfet%20%2B%20phi_S_finfet%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20spatial%20arrays%20for%20plotting%0A%20%20%20%20x_Si%20%3D%20np.linspace(0%2C%20t_Si%2F2%2C%20200)%0A%20%20%20%20x_full%20%3D%20np.linspace(0%2C%20t_Si%2C%20400)%0A%20%20%20%20x_ox_left%20%3D%20np.linspace(-t_ox%2C%200%2C%2050)%0A%20%20%20%20x_ox_right%20%3D%20np.linspace(t_Si%2C%20t_Si%20%2B%20t_ox%2C%2050)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Electric%20field%20profile%20(half%20structure)%0A%20%20%20%20xi_Si%20%3D%20(q%20*%20N_A%20%2F%20eps_Si)%20*%20(t_Si%2F2%20-%20x_Si)%0A%20%20%20%20xi_ox_left%20%3D%20np.ones_like(x_ox_left)%20*%20xi_OX_finfet%0A%0A%20%20%20%20%23%20Full%20structure%20electric%20field%20(symmetric%2C%20antisymmetric%20about%20center)%0A%20%20%20%20xi_full%20%3D%20np.zeros_like(x_full)%0A%20%20%20%20for%20i%2C%20x%20in%20enumerate(x_full)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x%20%3C%3D%20t_Si%2F2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xi_full%5Bi%5D%20%3D%20(q%20*%20N_A%20%2F%20eps_Si)%20*%20(t_Si%2F2%20-%20x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xi_full%5Bi%5D%20%3D%20-(q%20*%20N_A%20%2F%20eps_Si)%20*%20(x%20-%20t_Si%2F2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Potential%20profile%20(half%20structure)%0A%20%20%20%20phi_Si%20%3D%20(q%20*%20N_A%20%2F%20(2%20*%20eps_Si))%20*%20(t_Si%2F2%20-%20x_Si)**2%0A%20%20%20%20phi_ox_left%20%3D%20-xi_OX_finfet%20*%20(x_ox_left%20%2B%20t_ox)%20%2B%20phi_S_finfet%20%2B%20V_OX_finfet%0A%0A%20%20%20%20%23%20Full%20structure%20potential%20(symmetric%20about%20center)%0A%20%20%20%20phi_full%20%3D%20np.zeros_like(x_full)%0A%20%20%20%20for%20i%2C%20x%20in%20enumerate(x_full)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x%20%3C%3D%20t_Si%2F2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_full%5Bi%5D%20%3D%20(q%20*%20N_A%20%2F%20(2%20*%20eps_Si))%20*%20(t_Si%2F2%20-%20x)**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi_full%5Bi%5D%20%3D%20(q%20*%20N_A%20%2F%20(2%20*%20eps_Si))%20*%20(x%20-%20t_Si%2F2)**2%0A%20%20%20%20return%20C_oxe%2C%20N_A%2C%20V_FB%2C%20V_t_finfet%2C%20eps_OX%2C%20eps_Si%2C%20t_Si%2C%20t_ox%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20theory_derivation(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Derivation%20(Half%20Structure%2C%20Using%20Symmetry)%0A%0A%20%20%20%20By%20symmetry%20we%20solve%20only%20half%3A%20%24-t_%7Box%7D%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20t_%7BSi%7D%2F2%24.%0A%0A%20%20%20%20**Boundary%20conditions**%20at%20the%20center%20(%24x%20%3D%20t_%7BSi%7D%2F2%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20%24V%20%3D%200%24%20%26ensp%3B(reference)%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cmathcal%7BE%7D%20%3D%200%24%20%26ensp%3B(symmetry%20%E2%80%94%20the%20field%20must%20vanish%20at%20the%20mirror%20plane)%0A%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%201%20%E2%80%94%20Charge%20Density%20%24%5Crho(x)%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Crho(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%200%20%26%20-t_%7Box%7D%20%5Cleq%20x%20%3C%200%20%5Cquad%5Ctext%7B(oxide)%7D%5C%5C%20-qN_A%20%26%200%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20%5Cdfrac%7Bt_%7BSi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cquad%5Ctext%7B(depleted%20Si)%7D%20%5Cend%7Bcases%7D%24%24%0A%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%202%20%E2%80%94%20Electric%20Field%20from%20Poisson's%20Relation%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd%5Cmathcal%7BE%7D%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Crho(x)%7D%7B%5Cepsilon%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Integrating%20with%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(t_%7BSi%7D%2F2)%20%3D%200%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cmathcal%7BE%7D_%7BOX%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%5Cepsilon_s%7D%7B%5Cepsilon_%7BOX%7D%7D%5C%2C%5Cmathcal%7BE%7D_S%20%26%20-t_%7Box%7D%20%5Cleq%20x%20%3C%200%20%5C%5C%5B8pt%5D%20%5Cdfrac%7BqN_A%7D%7B%5Cepsilon_s%7D%5C!%5Cleft(%5Cdfrac%7Bt_%7BSi%7D%7D%7B2%7D%20-%20x%5Cright)%20%26%200%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20%5Cdfrac%7Bt_%7BSi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20**surface%20field**%20is%20%24%5Cmathcal%7BE%7D_S%20%3D%20%5Cdfrac%7BqN_A%5C%2C%20t_%7BSi%7D%7D%7B2%5Cepsilon_s%7D%24%2C%20and%20the%20oxide%20field%20follows%20from%20the%20displacement%20continuity%20condition%20%24%5Cepsilon_s%5C%2C%5Cmathcal%7BE%7D_S%20%3D%20%5Cepsilon_%7BOX%7D%5C%2C%5Cmathcal%7BE%7D_%7BOX%7D%24.%0A%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Step%203%20%E2%80%94%20Potential%20from%20%24%5Cdfrac%7BdV%7D%7Bdx%7D%20%3D%20-%5Cmathcal%7BE%7D(x)%24%0A%0A%20%20%20%20Integrating%20with%20%24V(t_%7BSi%7D%2F2)%20%3D%200%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24V(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20-%5Cmathcal%7BE%7D_%7BOX%7D%5C%2C%20x%20%5C%3B%2B%5C%3B%20%5Cdfrac%7BqN_A%5C%2C%20t_%7BSi%7D%5E2%7D%7B8%5Cepsilon_s%7D%20%26%20-t_%7Box%7D%20%5Cleq%20x%20%3C%200%20%5C%5C%5B8pt%5D%20%5Cdfrac%7BqN_A%7D%7B2%5Cepsilon_s%7D%5C!%5Cleft(%5Cdfrac%7Bt_%7BSi%7D%7D%7B2%7D%20-%20x%5Cright)%5E%7B%5C!2%7D%20%26%200%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20%5Cdfrac%7Bt_%7BSi%7D%7D%7B2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Surface%20potential**%20(at%20%24x%20%3D%200%24)%3A%20%26ensp%3B%20%24%5Cphi_s%20%3D%20%5Cdfrac%7BqN_A%5C%2C%20t_%7BSi%7D%5E2%7D%7B8%5Cepsilon_s%7D%24%0A%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Threshold%20Voltage%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_t%20%3D%20V_%7BFB%7D%20%2B%20V_%7Box%7D%20%2B%20%5Cphi_s%20%3D%20V_%7BFB%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BqN_A%5C%2C%20t_%7BSi%7D%7D%7B2C_%7Boxe%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BqN_A%5C%2C%20t_%7BSi%7D%5E2%7D%7B8%5Cepsilon_s%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24V_%7BFB%7D%20%3D%20%5CPsi_%7Bms%7D%20%3D%20%5CPsi_m%20-%20%5CPsi_s%24%20(for%20an%20ideal%20structure%20with%20no%20oxide%20charges).%0A%0A%20%20%20%20For%20ultra-thin%20bodies%20(%24t_%7BSi%7D%20%3C%2010%24%20nm)%20and%20light%20doping%20(%24N_A%20%5Csim%2010%5E%7B16%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24)%2C%20both%20%24V_%7Box%7D%24%20and%20%24%5Cphi_s%24%20are%20negligible%20%E2%86%92%20**%24V_t%20%5Capprox%20V_%7BFB%7D%20%3D%20%5CPsi_%7Bms%7D%24**%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20plot_electrostatics(%0A%20%20%20%20C_oxe%2C%0A%20%20%20%20N_A%2C%0A%20%20%20%20N_A_slider%2C%0A%20%20%20%20V_FB%2C%0A%20%20%20%20V_FB_slider%2C%0A%20%20%20%20V_t_finfet%2C%0A%20%20%20%20Vg_slider%2C%0A%20%20%20%20eps_Si%2C%0A%20%20%20%20eps_ox_slider%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A%20%20%20%20t_Si%2C%0A%20%20%20%20t_Si_slider%2C%0A%20%20%20%20t_ox%2C%0A%20%20%20%20t_ox_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_Vg%20%3D%20Vg_slider.value%0A%20%20%20%20_t_Si_nm%20%3D%20t_Si%20*%201e9%0A%20%20%20%20_t_ox_nm%20%3D%20t_ox%20*%201e9%0A%20%20%20%20_metal_w_nm%20%3D%20max(0.8%2C%20_t_ox_nm%20*%200.5)%0A%0A%20%20%20%20_x_metal_L%20%3D%20np.array(%5B-_t_ox_nm%20-%20_metal_w_nm%2C%20-_t_ox_nm%5D)%0A%20%20%20%20_x_metal_R%20%3D%20np.array(%5B_t_Si_nm%20%2B%20_t_ox_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ox_nm%20%2B%20_metal_w_nm%5D)%0A%20%20%20%20_x_ox_L%20%3D%20np.linspace(-_t_ox_nm%2C%200%2C%2050)%0A%20%20%20%20_x_ox_R%20%3D%20np.linspace(_t_Si_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ox_nm%2C%2050)%0A%20%20%20%20_x_Si%20%3D%20np.linspace(0%2C%20t_Si%2C%20400)%0A%20%20%20%20_x_Si_nm%20%3D%20_x_Si%20*%201e9%0A%0A%20%20%20%20_xlim%20%3D%20(-_t_ox_nm%20-%20_metal_w_nm%20-%200.3%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ox_nm%20%2B%20_metal_w_nm%20%2B%200.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Determine%20operating%20regime%20(symmetric%20DG)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20if%20_Vg%20%3C%20V_FB%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Accumulation%22%0A%20%20%20%20elif%20_Vg%20%3E%20V_t_finfet%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Inversion%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22Depletion%22%0A%0A%20%20%20%20_is_depleted%20%3D%20(_regime%20!%3D%20%22Accumulation%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Compute%20electrostatics%20from%20physics%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_phi_S_max%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20t_Si**2%20%2F%20(8%20*%20eps_Si)%20%20%23%20max%20surface%20potential%20at%20threshold%0A%0A%20%20%20%20if%20_is_depleted%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_OX_dep%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20t_Si%20%2F%20(2%20*%20C_oxe)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_S%20%3D%20min(_phi_S_max%2C%20max(0%2C%20_Vg%20-%20V_FB%20-%20_V_OX_dep))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xi_S%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20t_Si%20%2F%20(2%20*%20eps_Si)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_OX%20%3D%20(_Vg%20-%20V_FB%20-%20_phi_S)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Full%20structure%3A%20E(x)%20and%20phi(x)%20from%20Poisson%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xi_full%20%3D%20np.zeros_like(_x_Si)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_full%20%3D%20np.zeros_like(_x_Si)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_i%2C%20_x%20in%20enumerate(_x_Si)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_x%20%3C%3D%20t_Si%20%2F%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xi_full%5B_i%5D%20%3D%20(q%20*%20N_A%20%2F%20eps_Si)%20*%20(t_Si%20%2F%202%20-%20_x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_full%5B_i%5D%20%3D%20(q%20*%20N_A%20%2F%20(2%20*%20eps_Si))%20*%20(t_Si%20%2F%202%20-%20_x)**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xi_full%5B_i%5D%20%3D%20-(q%20*%20N_A%20%2F%20eps_Si)%20*%20(_x%20-%20t_Si%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_full%5B_i%5D%20%3D%20(q%20*%20N_A%20%2F%20(2%20*%20eps_Si))%20*%20(_x%20-%20t_Si%20%2F%202)**2%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_S%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xi_S%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_V_OX%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xi_full%20%3D%20np.zeros_like(_x_Si)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_full%20%3D%20np.zeros_like(_x_Si)%0A%0A%20%20%20%20_E_OX%20%3D%20_V_OX%20%2F%20t_ox%20if%20t_ox%20%3E%200%20else%200.0%0A%20%20%20%20_phi_gate%20%3D%20_Vg%20-%20V_FB%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Interface%20charges%20(per%20gate%2C%20C%2Fm%C2%B2)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_Q_dep_half%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20t_Si%20%2F%202%20%20%23%20depletion%20charge%20seen%20by%20each%20gate%0A%0A%20%20%20%20if%20_regime%20%3D%3D%20%22Accumulation%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Q_M%20%3D%20C_oxe%20*%20(_Vg%20-%20V_FB)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Q_inv%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Q_acc%20%3D%20-_Q_M%0A%20%20%20%20elif%20_regime%20%3D%3D%20%22Inversion%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Q_inv%20%3D%20-C_oxe%20*%20(_Vg%20-%20V_t_finfet)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Q_M%20%3D%20_Q_dep_half%20-%20_Q_inv%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Q_acc%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Q_M%20%3D%20_Q_dep_half%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Q_inv%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Q_acc%20%3D%200.0%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Helper%3A%20shade%20regions%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20def%20_shade(_ax)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(-_t_ox_nm%20-%20_metal_w_nm%2C%20-_t_ox_nm%2C%20alpha%3D0.25%2C%20color%3D'%236baed6')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(-_t_ox_nm%2C%200%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D'orange')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(_t_Si_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ox_nm%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D'orange')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(_t_Si_nm%20%2B%20_t_ox_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ox_nm%20%2B%20_metal_w_nm%2C%20alpha%3D0.25%2C%20color%3D'%236baed6')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_xv%20in%20%5B-_t_ox_nm%2C%200%2C%20_t_Si_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ox_nm%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(x%3D_xv%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(x%3D_t_Si_nm%20%2F%202%2C%20color%3D'red'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlim(_xlim)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%0A%20%20%20%20%23%201%C3%973%20figure%3A%20%CF%81%2C%20E%2C%20V%0A%20%20%20%20%23%20%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%0A%20%20%20%20_fig%2C%20(_ax_rho%2C%20_ax_E%2C%20_ax_V)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(18%2C%205))%0A%20%20%20%20_fig.subplots_adjust(wspace%3D0.35)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20(0)%20Charge%20density%20%CF%81(x)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_shade(_ax_rho)%0A%20%20%20%20_rho_body_Ccm3%20%3D%20-q%20*%20N_A%20*%201e-6%0A%20%20%20%20_rho_ref%20%3D%20abs(_rho_body_Ccm3)%20if%20abs(_rho_body_Ccm3)%20%3E%201e-20%20else%201.0%0A%0A%20%20%20%20if%20_is_depleted%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.fill_between(%5B0%2C%20_t_Si_nm%5D%2C%20_rho_body_Ccm3%2C%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'blue'%2C%20alpha%3D0.3%2C%20step%3D'mid')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.plot(%5B0%2C%200%2C%20_t_Si_nm%2C%20_t_Si_nm%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20_rho_body_Ccm3%2C%20_rho_body_Ccm3%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.text(_t_Si_nm%20%2F%202%2C%20_rho_body_Ccm3%20*%200.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%24-qN_A%24%5Cn%3D%20%7B_rho_body_Ccm3%3A.2e%7D'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'center'%2C%20fontsize%3D13%2C%20color%3D'blue')%0A%0A%20%20%20%20_ax_rho.axhline(y%3D0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(_x_metal_L%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(%5B-_t_ox_nm%2C%200%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(%5B_t_Si_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ox_nm%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(_x_metal_R%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Thin%20interface%20charge%20bars%0A%20%20%20%20_bw%20%3D%20max(0.2%2C%20(_xlim%5B1%5D%20-%20_xlim%5B0%5D)%20*%200.010)%0A%20%20%20%20_Q_ref%20%3D%20_Q_dep_half%20if%20_Q_dep_half%20%3E%201e-20%20else%201.0%0A%0A%20%20%20%20def%20_draw_bar(_ax%2C%20x%2C%20Q%2C%20label%2C%20color)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(Q)%20%3C%201e-14%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bh%20%3D%20(Q%20%2F%20_Q_ref)%20*%20_rho_ref%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.bar(x%2C%20_bh%2C%20width%3D_bw%2C%20color%3Dcolor%2C%20alpha%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D'k'%2C%20linewidth%3D1%2C%20zorder%3D5%2C%20align%3D'center')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_off%20%3D%20np.sign(_bh)%20*%20_rho_ref%20*%200.07%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(x%2C%20_bh%20%2B%20_off%2C%20label%2C%20fontsize%3D10%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3Dcolor)%0A%0A%20%20%20%20_sgn_M%20%3D%20'%2B'%20if%20_Q_M%20%3E%200%20else%20'%5Cu2212'%0A%20%20%20%20_draw_bar(_ax_rho%2C%20-_t_ox_nm%2C%20_Q_M%2C%20f'%7B_sgn_M%7D%24Q_M%24'%2C%20'darkorange')%0A%20%20%20%20_draw_bar(_ax_rho%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ox_nm%2C%20_Q_M%2C%20f'%7B_sgn_M%7D%24Q_M%24'%2C%20'darkorange')%0A%0A%20%20%20%20if%20abs(_Q_inv)%20%3E%201e-14%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_draw_bar(_ax_rho%2C%200%2C%20_Q_inv%2C%20'%24-Q_%7Binv%7D%24'%2C%20'purple')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_draw_bar(_ax_rho%2C%20_t_Si_nm%2C%20_Q_inv%2C%20'%24-Q_%7Binv%7D%24'%2C%20'purple')%0A%20%20%20%20if%20abs(_Q_acc)%20%3E%201e-14%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_draw_bar(_ax_rho%2C%200%2C%20_Q_acc%2C%20'%24%2BQ_%7Bacc%7D%24'%2C%20'red')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_draw_bar(_ax_rho%2C%20_t_Si_nm%2C%20_Q_acc%2C%20'%24%2BQ_%7Bacc%7D%24'%2C%20'red')%0A%0A%20%20%20%20_ax_rho.text(-_t_ox_nm%20-%20_metal_w_nm%20%2F%202%2C%20_rho_body_Ccm3%20*%200.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'Metal'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'center'%2C%20fontsize%3D11%2C%20color%3D'%232171b5')%0A%20%20%20%20_ax_rho.text(_t_Si_nm%20%2B%20_t_ox_nm%20%2B%20_metal_w_nm%20%2F%202%2C%20_rho_body_Ccm3%20*%200.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'Metal'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'center'%2C%20fontsize%3D11%2C%20color%3D'%232171b5')%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_xlabel('Position%20%24x%24%20(nm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_ylabel(r'%24%5Crho%24%20(C%2Fcm%C2%B3)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_title(rf'Charge%20Density%20%E2%80%94%20%7B_regime%7D'%2C%20fontsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20(1)%20Electric%20field%20E(x)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_shade(_ax_E)%0A%20%20%20%20_E_OX_Vcm%20%3D%20_E_OX%20*%201e-2%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_metal_L%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_ox_L%2C%20np.ones_like(_x_ox_L)%20*%20_E_OX_Vcm%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20if%20_is_depleted%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_Si_nm%2C%20_xi_full%20*%201e-2%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_E.plot(%5B0%2C%20_t_Si_nm%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_ox_R%2C%20-np.ones_like(_x_ox_R)%20*%20_E_OX_Vcm%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_metal_R%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_E.axhline(y%3D0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(%5B-_t_ox_nm%5D*2%2C%20%5B0%2C%20_E_OX_Vcm%5D%2C%20'b%3A'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(%5B_t_Si_nm%20%2B%20_t_ox_nm%5D*2%2C%20%5B0%2C%20-_E_OX_Vcm%5D%2C%20'b%3A'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_xlabel('Position%20%24x%24%20(nm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_ylabel(r'%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%20(V%2Fcm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_title(r'Electric%20Field%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%24'%2C%20fontsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20(2)%20Electrostatic%20potential%20V(x)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_shade(_ax_V)%0A%20%20%20%20_phi_ox_L%20%3D%20_phi_gate%20-%20_E_OX%20*%20(_x_ox_L%20*%201e-9%20%2B%20t_ox)%0A%20%20%20%20_phi_ox_R%20%3D%20_phi_S%20%2B%20_E_OX%20*%20(_x_ox_R%20*%201e-9%20-%20t_Si)%0A%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_metal_L%2C%20%5B_phi_gate%20*%201e3%5D%20*%202%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_ox_L%2C%20_phi_ox_L%20*%201e3%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20if%20_is_depleted%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_Si_nm%2C%20_phi_full%20*%201e3%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_V.plot(%5B0%2C%20_t_Si_nm%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_ox_R%2C%20_phi_ox_R%20*%201e3%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_metal_R%2C%20%5B_phi_gate%20*%201e3%5D%20*%202%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_V.axhline(y%3D0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20if%20abs(_phi_gate)%20%3E%201e-4%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_V.text(-_t_ox_nm%20-%20_metal_w_nm%20%2F%202%2C%20_phi_gate%20*%201e3%20%2B%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%7B_phi_gate%20*%201e3%3A.1f%7D%20mV'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D11%2C%20color%3D'%232171b5')%0A%20%20%20%20_ax_V.set_xlabel('Position%20%24x%24%20(nm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_ylabel(r'%24V%24%20(mV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_title(r'Electrostatic%20Potential%20%24V(x)%24'%2C%20fontsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20plt.close(_fig)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%0A%20%20%20%20%23%20Energy%20band%20diagram%20(same%20cell%2C%20below%20electrostatics)%0A%20%20%20%20%23%20%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%0A%20%20%20%20_Eg%20%3D%201.12%0A%20%20%20%20_kT%20%3D%200.02585%0A%20%20%20%20_ni_m3%20%3D%201.0e16%0A%20%20%20%20_dEc_ox%20%3D%203.1%0A%20%20%20%20_dEv_ox%20%3D%204.78%0A%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20_kT%20*%20np.log(N_A%20%2F%20_ni_m3)%0A%20%20%20%20_gamma%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20q%20*%20eps_Si%20*%20N_A)%20%2F%20C_oxe%0A%20%20%20%20_phi_s_max%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20t_Si**2%20%2F%20(8%20*%20eps_Si)%0A%20%20%20%20_V_ox_thresh%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20t_Si%20%2F%20(2%20*%20C_oxe)%0A%20%20%20%20_V_t%20%3D%20V_FB%20%2B%20_phi_s_max%20%2B%20_V_ox_thresh%0A%0A%20%20%20%20_Vg_eff%20%3D%20_Vg%20-%20V_FB%0A%20%20%20%20if%20_Vg_eff%20%3E%200.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_band%20%3D%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_band%20%3D%20max(_phi_s_band%2C%201e-8)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_f%20%3D%20_phi_s_band%20%2B%20_gamma%20*%20np.sqrt(_phi_s_band)%20-%20_Vg_eff%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_df%20%3D%201%20%2B%20_gamma%20%2F%20(2%20*%20np.sqrt(_phi_s_band))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_band%20-%3D%20_f%20%2F%20_df%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(_f)%20%3C%201e-10%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_band%20%3D%20min(max(_phi_s_band%2C%200)%2C%20_phi_s_max)%0A%20%20%20%20elif%20_Vg_eff%20%3C%20-0.001%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_band%20%3D%20_Vg_eff%20*%200.3%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_band%20%3D%200.0%0A%0A%20%20%20%20_V_ox_band%20%3D%20_Vg%20-%20V_FB%20-%20_phi_s_band%0A%0A%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_Ei_bulk%20%3D%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Ec_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20%2B%20_Eg%20%2F%202%0A%20%20%20%20_Ev_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20_Eg%20%2F%202%0A%20%20%20%20_EFm%20%3D%20_EF%20-%20_Vg%0A%0A%20%20%20%20_half_w%20%3D%201.5%0A%20%20%20%20_xML%20%3D%20%5B-3.0%2C%20-2.5%5D%0A%20%20%20%20_xOL%20%3D%20%5B-2.5%2C%20-_half_w%5D%0A%20%20%20%20_xOR%20%3D%20%5B_half_w%2C%202.5%5D%0A%20%20%20%20_xMR%20%3D%20%5B2.5%2C%203.0%5D%0A%20%20%20%20_x_sc%20%3D%20np.linspace(-_half_w%2C%20_half_w%2C%20400)%0A%0A%20%20%20%20if%20_phi_s_band%20%3E%201e-6%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_W_dep_m%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20eps_Si%20*%20_phi_s_band%20%2F%20(q%20*%20N_A))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Wd%20%3D%20min(_half_w%2C%20_W_dep_m%20%2F%20(t_Si%20%2F%202)%20*%20_half_w)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_d_L%20%3D%20_x_sc%20%2B%20_half_w%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_d_R%20%3D%20_half_w%20-%20_x_sc%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bending%20%3D%20np.where(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_d_L%20%3C%3D%20_Wd%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_band%20*%20(1%20-%20_d_L%20%2F%20_Wd)%20**%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.where(_d_R%20%3C%3D%20_Wd%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_band%20*%20(1%20-%20_d_R%20%2F%20_Wd)%20**%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.0))%0A%20%20%20%20elif%20_phi_s_band%20%3C%20-1e-6%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bl%20%3D%200.3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_d_L%20%3D%20_x_sc%20%2B%20_half_w%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_d_R%20%3D%20_half_w%20-%20_x_sc%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bending%20%3D%20np.where(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_d_L%20%3C%20_bl%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_band%20*%20(1%20-%20_d_L%20%2F%20_bl)%20**%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.where(_d_R%20%3C%20_bl%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_s_band%20*%20(1%20-%20_d_R%20%2F%20_bl)%20**%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.0))%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bending%20%3D%20np.zeros_like(_x_sc)%0A%0A%20%20%20%20_Ec_sc%20%3D%20_Ec_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20_Ev_sc%20%3D%20_Ev_bulk%20-%20_bending%0A%20%20%20%20_Ei_sc%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20_bending%0A%0A%20%20%20%20_Ec_ox_s_L%20%3D%20_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20_dEc_ox%0A%20%20%20%20_Ev_ox_s_L%20%3D%20_Ev_sc%5B0%5D%20-%20_dEv_ox%0A%20%20%20%20_Ec_ox_m_L%20%3D%20_Ec_ox_s_L%20-%20_V_ox_band%0A%20%20%20%20_Ev_ox_m_L%20%3D%20_Ev_ox_s_L%20-%20_V_ox_band%0A%0A%20%20%20%20_Ec_ox_s_R%20%3D%20_Ec_sc%5B-1%5D%20%2B%20_dEc_ox%0A%20%20%20%20_Ev_ox_s_R%20%3D%20_Ev_sc%5B-1%5D%20-%20_dEv_ox%0A%20%20%20%20_Ec_ox_m_R%20%3D%20_Ec_ox_s_R%20-%20_V_ox_band%0A%20%20%20%20_Ev_ox_m_R%20%3D%20_Ev_ox_s_R%20-%20_V_ox_band%0A%0A%20%20%20%20_fig_band%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xML%2C%20_EFm%20-%204.0%2C%20_EFm%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xML%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xML%5B0%5D%20%2B%200.05%2C%20_EFm%20%2B%200.12%2C%20'%24E_%7BFm%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xMR%2C%20_EFm%20-%204.0%2C%20_EFm%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xMR%2C%20%5B_EFm%2C%20_EFm%5D%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xOL%2C%20%5B_Ev_ox_m_L%2C%20_Ev_ox_s_L%5D%2C%20%5B_Ec_ox_m_L%2C%20_Ec_ox_s_L%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'%23ffffcc'%2C%20alpha%3D0.5%2C%20edgecolor%3D'none')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xOL%2C%20%5B_Ec_ox_m_L%2C%20_Ec_ox_s_L%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xOL%2C%20%5B_Ev_ox_m_L%2C%20_Ev_ox_s_L%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xOR%2C%20%5B_Ev_ox_s_R%2C%20_Ev_ox_m_R%5D%2C%20%5B_Ec_ox_s_R%2C%20_Ec_ox_m_R%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'%23ffffcc'%2C%20alpha%3D0.5%2C%20edgecolor%3D'none')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xOR%2C%20%5B_Ec_ox_s_R%2C%20_Ec_ox_m_R%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xOR%2C%20%5B_Ev_ox_s_R%2C%20_Ev_ox_m_R%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax.axvspan(-_half_w%2C%20_half_w%2C%20alpha%3D0.05%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ec_sc%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_C%24')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ev_sc%2C%20'r-'%2C%20lw%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_V%24')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_sc%2C%20_Ei_sc%2C%20'k--'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D'%24E_%7BFi%7D%24')%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B-_half_w%2C%20_half_w%5D%2C%20%5B_EF%2C%20_EF%5D%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2%2C%20label%3D'%24E_F%24')%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B-2.5%5D%20*%202%2C%20%5B_Ev_ox_m_L%2C%20_Ec_ox_m_L%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B-_half_w%5D%20*%202%2C%20%5B_Ev_ox_s_L%2C%20_Ec_ox_s_L%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_half_w%5D%20*%202%2C%20%5B_Ev_ox_s_R%2C%20_Ec_ox_s_R%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B2.5%5D%20*%202%2C%20%5B_Ev_ox_m_R%2C%20_Ec_ox_m_R%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20_ax.text(_half_w%20%2B%200.1%2C%20_Ec_bulk%2C%20'%24E_C%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax.text(_half_w%20%2B%200.1%2C%20_Ev_bulk%2C%20'%24E_V%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax.text(_half_w%20%2B%200.1%2C%20_EF%2C%20'%24E_F%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20if%20abs(_phi_s_band)%20%3E%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xann%20%3D%20-1.2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(_xann%2C%20_Ec_bulk)%2C%20xytext%3D(_xann%2C%20_Ec_sc%5B0%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xann%20%2B%200.12%2C%20(_Ec_sc%5B0%5D%20%2B%20_Ec_bulk)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_s%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20if%20abs(_V_ox_band)%20%3E%200.1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xvox%20%3D%20-2.3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvox%5D%20*%202%2C%20%5B_Ec_ox_m_L%2C%20_Ec_ox_s_L%5D%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvox%20-%20_cap%2C%20_xvox%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_ox_m_L%5D%20*%202%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvox%20-%20_cap%2C%20_xvox%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ec_ox_s_L%5D%20*%202%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xvox%20-%200.12%2C%20(_Ec_ox_m_L%20%2B%20_Ec_ox_s_L)%20%2F%202%2C%20r'%24qV_%7Box%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20va%3D'center'%2C%20ha%3D'right')%0A%0A%20%20%20%20if%20abs(_Vg)%20%3E%200.1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xvg%20%3D%20-2.75%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvg%5D%20*%202%2C%20%5B_EFm%2C%20_EF%5D%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvg%20-%20_cap%2C%20_xvg%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EFm%5D%20*%202%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xvg%20-%20_cap%2C%20_xvg%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EF%5D%20*%202%2C%20color%3D'darkred'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xvg%20-%200.15%2C%20(_EFm%20%2B%20_EF)%20%2F%202%2C%20r'%24qV_G%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkred'%2C%20va%3D'center'%2C%20ha%3D'right')%0A%0A%20%20%20%20_cap%20%3D%200.06%0A%20%20%20%20_xpB%20%3D%200.9%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xpB%5D%20*%202%2C%20%5B_EF%2C%20_Ei_bulk%5D%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xpB%20-%20_cap%2C%20_xpB%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_EF%5D%20*%202%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_xpB%20-%20_cap%2C%20_xpB%20%2B%20_cap%5D%2C%20%5B_Ei_bulk%5D%20*%202%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xpB%20%2B%200.12%2C%20(_EF%20%2B%20_Ei_bulk)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_B%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'purple'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20if%20_Vg%20%3C%20V_FB%20-%200.02%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_band%20%3D%20%22Accumulation%22%3B%20_regime_color%20%3D%20'%23d62728'%0A%20%20%20%20elif%20abs(_Vg%20-%20V_FB)%20%3C%3D%200.02%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_band%20%3D%20%22Flat%20Band%22%3B%20_regime_color%20%3D%20'%237f7f7f'%0A%20%20%20%20elif%20_Vg%20%3C%20_V_t%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_band%20%3D%20%22Depletion%22%3B%20_regime_color%20%3D%20'%232ca02c'%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime_band%20%3D%20%22Inversion%22%3B%20_regime_color%20%3D%20'%231f77b4'%0A%0A%20%20%20%20_ax.text(0%2C%20max(_Ec_ox_s_L%2C%20_Ec_ox_m_L)%20%2B%200.15%2C%20_regime_band%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D18%2C%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D_regime_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round%2Cpad%3D0.3'%2C%20facecolor%3D'white'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D_regime_color%2C%20alpha%3D0.9))%0A%0A%20%20%20%20_ax.text(-2.0%2C%20max(_Ec_ox_m_L%2C%20_Ec_ox_s_L)%20%2B%200.15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%24E_%7Bc%2Cox%7D%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center')%0A%20%20%20%20_ax.text(-2.0%2C%20min(_Ev_ox_m_L%2C%20_Ev_ox_s_L)%20-%200.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%24E_%7Bv%2Cox%7D%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20_y_label%20%3D%20min(_Ev_ox_s_L%2C%20_Ev_ox_m_L%2C%20_Ev_ox_s_R%2C%20_Ev_ox_m_R%2C%20_EFm)%20-%201.0%0A%20%20%20%20_ax.text(-2.75%2C%20_y_label%2C%20'Metal%5Cn(Gate)'%2C%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.text(0%2C%20_y_label%2C%20'Si%20Channel'%2C%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.text(2.75%2C%20_y_label%2C%20'Metal%5Cn(Gate)'%2C%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20_y_lo%20%3D%20min(_Ev_ox_s_L%2C%20_Ev_ox_m_L%2C%20_EFm)%20-%201.5%0A%20%20%20%20_y_hi%20%3D%20max(_Ec_ox_s_L%2C%20_Ec_ox_m_L%2C%20_EFm%20%2B%201.0)%20%2B%200.8%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(-3.3%2C%203.3)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(_y_lo%2C%20_y_hi)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_title('FinFET%20Energy%20Band%20Diagram%20(Symmetric%20DG)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20for%20_sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%2C%20'bottom'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.spines%5B_sp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig_band)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Display%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_controls_row1%20%3D%20mo.hstack(%5BVg_slider%2C%20V_FB_slider%2C%20N_A_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%0A%20%20%20%20_controls_row2%20%3D%20mo.hstack(%5Bt_Si_slider%2C%20t_ox_slider%2C%20eps_ox_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%0A%0A%20%20%20%20_C_oxe_uF_cm2%20%3D%20C_oxe%20*%201e2%0A%20%20%20%20_xi_S_Vcm%20%3D%20_xi_S%20*%201e-2%0A%0A%20%20%20%20_info%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20**Regime**%20%7C%20%24V_G%24%20%7C%20%24V_%7B%7BFB%7D%7D%24%20%7C%20%24V_t%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%7B_regime%7D%20%7C%20%7B_Vg%3A.2f%7D%20V%20%7C%20%7BV_FB%3A.2f%7D%20V%20%7C%20%7BV_t_finfet%3A.4f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**%24C_%7B%7Boxe%7D%7D%24**%20%7C%20**%24%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D_S%24**%20%7C%20**%24%5Cphi_s%24**%20%7C%20**%24V_%7B%7Box%7D%7D%24**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%7B_C_oxe_uF_cm2%3A.3f%7D%20%C2%B5F%2Fcm%C2%B2%20%7C%20%7B_xi_S_Vcm%3A.2e%7D%20V%2Fcm%20%7C%20%7B_phi_S%20*%201e3%3A.3f%7D%20mV%20%7C%20%7B_V_OX%20*%201e3%3A.3f%7D%20mV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**%24Q_M%24**%20%7C%20**%24Q_%7B%7Binv%7D%7D%24**%20%7C%20**%24Q_%7B%7Bacc%7D%7D%24**%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%7B_Q_M%3A.2e%7D%20C%2Fm%C2%B2%20%7C%20%7Babs(_Q_inv)%3A.2e%7D%20C%2Fm%C2%B2%20%7C%20%7Babs(_Q_acc)%3A.2e%7D%20C%2Fm%C2%B2%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%20FinFET%20Electrostatics%3A%20Charge%2C%20Field%2C%20Potential%20%26%20Bands%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_controls_row1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_controls_row2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_info%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_fig)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_fig_band)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20fdsoi_interactive_intro(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Interactive%20FD-SOI%20Electrostatics%0A%0A%20%20%20%20Explore%20the%20electrostatics%20of%20a%20**Fully-Depleted%20SOI**%20with%20independent%20front%20gate%20(%24V_%7BGF%7D%24)%20and%20back%20gate%20(%24V_%7BGB%7D%24)%20control.%0A%0A%20%20%20%20**Structure%3A**%20%26ensp%3B%20Front%20gate%20%26ensp%3B%7C%26ensp%3B%20Front%20oxide%20(%24t_%7Bof%7D%24)%20%26ensp%3B%7C%26ensp%3B%20Si%20body%20(%24t_%7BSi%7D%24)%20%26ensp%3B%7C%26ensp%3B%20BOX%20(%24t_%7BBOX%7D%24)%20%26ensp%3B%7C%26ensp%3B%20Back%20gate%0A%0A%20%20%20%20The%20coupled-gate%20equations%20for%20the%20front%20and%20back%20surface%20potentials%20(%24%5Cphi_%7Bsf%7D%24%2C%20%24%5Cphi_%7Bsb%7D%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_%7BGF%7D%20-%20V_%7BFB%7D%20%3D%20%5Cphi_%7Bsf%7D%5C!%5Cleft(1%20%2B%20%5Cfrac%7BC_%7BSi%7D%7D%7BC_%7Bof%7D%7D%5Cright)%20-%20%5Cphi_%7Bsb%7D%5C%2C%5Cfrac%7BC_%7BSi%7D%7D%7BC_%7Bof%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BqN_A%20t_%7BSi%7D%7D%7B2C_%7Bof%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24V_%7BGB%7D%20-%20V_%7BFB%7D%20%3D%20%5Cphi_%7Bsb%7D%5C!%5Cleft(1%20%2B%20%5Cfrac%7BC_%7BSi%7D%7D%7BC_%7Bob%7D%7D%5Cright)%20-%20%5Cphi_%7Bsf%7D%5C%2C%5Cfrac%7BC_%7BSi%7D%7D%7BC_%7Bob%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BqN_A%20t_%7BSi%7D%7D%7B2C_%7Bob%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24C_%7BSi%7D%20%3D%20%5Cvarepsilon_%7BSi%7D%2Ft_%7BSi%7D%24%2C%20%24C_%7Bof%7D%20%3D%20%5Cvarepsilon_%7Box%7D%2Ft_%7Bof%7D%24%2C%20%24C_%7Bob%7D%20%3D%20%5Cvarepsilon_%7Box%7D%2Ft_%7BBOX%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Solving%20these%20simultaneously%20gives%20%24%5Cphi_%7Bsf%7D%24%20and%20%24%5Cphi_%7Bsb%7D%24%2C%20from%20which%20the%20potential%2C%20field%2C%20and%20charge%20profiles%20follow.%20Surface%20potentials%20are%20pinned%20at%20%242%5Cphi_B%24%20(inversion)%20or%20%240%24%20(accumulation)%20when%20the%20full-depletion%20solution%20exceeds%20those%20bounds.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Back%20body%20bias%20for%20%24V_t%24%20control%0A%20%20%20%20-%20%24V_%7BGB%7D%20%3D%200%24%20%E2%86%92%20back%20in%20depletion%20(typical%20operation)%0A%20%20%20%20-%20%24V_%7BGB%7D%20%3E%200%24%20%E2%86%92%20Forward%20body%20bias%20%E2%86%92%20lowers%20front%20%24V_t%24%20(higher%20speed%20operation)%0A%20%20%20%20-%20%24V_%7BGB%7D%20%3C%200%24%20%E2%86%92%20Reverse%20body%20bias%20%E2%86%92%20raises%20front%20%24V_t%24%20(leakage%20reduction)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20fdsoi_interactive_sliders(mo)%3A%0A%20%20%20%20V_GF_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-1.5%2C%20stop%3D2.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Front%20gate%20%24V_%7BGF%7D%24%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20V_GB_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-2.0%2C%20stop%3D2.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Back%20gate%20%24V_%7BGB%7D%24%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20t_of_soi_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%20stop%3D5.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Front%20oxide%20%24t_%7Bof%7D%24%20(nm)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20t_ob_soi_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5%2C%20stop%3D50%2C%20step%3D1%2C%20value%3D25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22BOX%20%24t_%7BBOX%7D%24%20(nm)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20t_Si_soi_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D3%2C%20stop%3D20%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Si%20body%20%24t_%7BSi%7D%24%20(nm)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20N_A_soi_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D14%2C%20stop%3D19%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Clog_%7B10%7D(N_A)%24%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20V_FB_soi_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-0.5%2C%20stop%3D0.5%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24V_%7BFB%7D%24%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N_A_soi_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V_FB_soi_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V_GB_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V_GF_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_Si_soi_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_ob_soi_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_of_soi_slider%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20fdsoi_interactive_plot(%0A%20%20%20%20N_A_soi_slider%2C%0A%20%20%20%20V_FB_soi_slider%2C%0A%20%20%20%20V_GB_slider%2C%0A%20%20%20%20V_GF_slider%2C%0A%20%20%20%20eps_0%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20q%2C%0A%20%20%20%20t_Si_soi_slider%2C%0A%20%20%20%20t_ob_soi_slider%2C%0A%20%20%20%20t_of_soi_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_V_GF%20%3D%20V_GF_slider.value%0A%20%20%20%20_V_GB%20%3D%20V_GB_slider.value%0A%20%20%20%20_t_of%20%3D%20t_of_soi_slider.value%20*%201e-9%0A%20%20%20%20_t_ob%20%3D%20t_ob_soi_slider.value%20*%201e-9%0A%20%20%20%20_t_Si%20%3D%20t_Si_soi_slider.value%20*%201e-9%0A%20%20%20%20_N_A%20%3D%2010**N_A_soi_slider.value%20*%201e6%0A%20%20%20%20_V_FB%20%3D%20V_FB_soi_slider.value%0A%20%20%20%20_eps_ox%20%3D%203.9%20*%20eps_0%0A%20%20%20%20_eps_Si%20%3D%2011.7%20*%20eps_0%0A%20%20%20%20_kT%20%3D%200.02585%0A%20%20%20%20_ni_m3%20%3D%201.0e16%0A%0A%20%20%20%20_C_of%20%3D%20_eps_ox%20%2F%20_t_of%0A%20%20%20%20_C_ob%20%3D%20_eps_ox%20%2F%20_t_ob%0A%20%20%20%20_C_Si%20%3D%20_eps_Si%20%2F%20_t_Si%0A%0A%20%20%20%20_alpha_f%20%3D%20_C_Si%20%2F%20_C_of%0A%20%20%20%20_alpha_b%20%3D%20_C_Si%20%2F%20_C_ob%0A%20%20%20%20_D_f%20%3D%20q%20*%20_N_A%20*%20_t_Si%20%2F%20(2%20*%20_C_of)%0A%20%20%20%20_D_b%20%3D%20q%20*%20_N_A%20*%20_t_Si%20%2F%20(2%20*%20_C_ob)%0A%20%20%20%20_phi_B%20%3D%20_kT%20*%20np.log(_N_A%20%2F%20_ni_m3)%20if%20_N_A%20%3E%20_ni_m3%20else%200%0A%20%20%20%20_phi_inv%20%3D%202%20*%20_phi_B%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Solve%20coupled-gate%20equations%20(full%20depletion)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_det%20%3D%201%20%2B%20_alpha_f%20%2B%20_alpha_b%0A%20%20%20%20_b1%20%3D%20_V_GF%20-%20_V_FB%20-%20_D_f%0A%20%20%20%20_b2%20%3D%20_V_GB%20-%20_V_FB%20-%20_D_b%0A%20%20%20%20_phi_sf_raw%20%3D%20((1%20%2B%20_alpha_b)%20*%20_b1%20%2B%20_alpha_f%20*%20_b2)%20%2F%20_det%0A%20%20%20%20_phi_sb_raw%20%3D%20(_alpha_b%20*%20_b1%20%2B%20(1%20%2B%20_alpha_f)%20*%20_b2)%20%2F%20_det%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Pin%20surface%20potentials%20and%20determine%20regimes%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_phi_sf%20%3D%20_phi_sf_raw%0A%20%20%20%20_phi_sb%20%3D%20_phi_sb_raw%0A%20%20%20%20_front_regime%20%3D%20%22Depletion%22%0A%20%20%20%20_back_regime%20%3D%20%22Depletion%22%0A%20%20%20%20_sf_pinned%20%3D%20False%0A%20%20%20%20_sb_pinned%20%3D%20False%0A%0A%20%20%20%20if%20_phi_sf%20%3E%20_phi_inv%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_sf%20%3D%20_phi_inv%3B%20_sf_pinned%20%3D%20True%3B%20_front_regime%20%3D%20%22Inversion%22%0A%20%20%20%20elif%20_phi_sf%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_sf%20%3D%200.0%3B%20_sf_pinned%20%3D%20True%3B%20_front_regime%20%3D%20%22Accumulation%22%0A%0A%20%20%20%20if%20_phi_sb%20%3E%20_phi_inv%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_sb%20%3D%20_phi_inv%3B%20_sb_pinned%20%3D%20True%3B%20_back_regime%20%3D%20%22Inversion%22%0A%20%20%20%20elif%20_phi_sb%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_sb%20%3D%200.0%3B%20_sb_pinned%20%3D%20True%3B%20_back_regime%20%3D%20%22Accumulation%22%0A%0A%20%20%20%20if%20_sf_pinned%20and%20not%20_sb_pinned%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_sb%20%3D%20(_b2%20%2B%20_alpha_b%20*%20_phi_sf)%20%2F%20(1%20%2B%20_alpha_b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_phi_sb%20%3E%20_phi_inv%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_sb%20%3D%20_phi_inv%3B%20_back_regime%20%3D%20%22Inversion%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20_phi_sb%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_sb%20%3D%200.0%3B%20_back_regime%20%3D%20%22Accumulation%22%0A%20%20%20%20elif%20_sb_pinned%20and%20not%20_sf_pinned%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_sf%20%3D%20(_b1%20%2B%20_alpha_f%20*%20_phi_sb)%20%2F%20(1%20%2B%20_alpha_f)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_phi_sf%20%3E%20_phi_inv%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_sf%20%3D%20_phi_inv%3B%20_front_regime%20%3D%20%22Inversion%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20_phi_sf%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_sf%20%3D%200.0%3B%20_front_regime%20%3D%20%22Accumulation%22%0A%0A%20%20%20%20_both_acc%20%3D%20(_front_regime%20%3D%3D%20%22Accumulation%22%20and%20_back_regime%20%3D%3D%20%22Accumulation%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Electrostatics%20in%20Si%20body%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_x_Si%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_t_Si%2C%20400)%0A%20%20%20%20if%20_both_acc%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_Si%20%3D%20np.zeros_like(_x_Si)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_Si%20%3D%20np.zeros_like(_x_Si)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_C1%20%3D%20(_phi_sb%20-%20_phi_sf)%20%2F%20_t_Si%20-%20q%20*%20_N_A%20*%20_t_Si%20%2F%20(2%20*%20_eps_Si)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phi_Si%20%3D%20(q%20*%20_N_A%20%2F%20(2%20*%20_eps_Si))%20*%20_x_Si**2%20%2B%20_C1%20*%20_x_Si%20%2B%20_phi_sf%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_Si%20%3D%20-(q%20*%20_N_A%20%2F%20_eps_Si)%20*%20_x_Si%20-%20_C1%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Gate%20potentials%20%26%20oxide%20fields%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_phi_gate_f%20%3D%20_V_GF%20-%20_V_FB%0A%20%20%20%20_phi_gate_b%20%3D%20_V_GB%20-%20_V_FB%0A%0A%20%20%20%20_E_ox_f%20%3D%20(_phi_gate_f%20-%20_phi_sf)%20%2F%20_t_of%0A%20%20%20%20_E_box%20%3D%20(_phi_sb%20-%20_phi_gate_b)%20%2F%20_t_ob%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Interface%20%26%20gate%20charges%20(C%2Fm%C2%B2)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_Q_M_f%20%3D%20_C_of%20*%20(_V_GF%20-%20_V_FB%20-%20_phi_sf)%0A%20%20%20%20_Q_M_b%20%3D%20_C_ob%20*%20(_V_GB%20-%20_V_FB%20-%20_phi_sb)%0A%20%20%20%20_E_sf%20%3D%20_E_Si%5B0%5D%20if%20not%20_both_acc%20else%200.0%0A%20%20%20%20_E_sb%20%3D%20_E_Si%5B-1%5D%20if%20not%20_both_acc%20else%200.0%0A%20%20%20%20_Q_sf%20%3D%20_eps_Si%20*%20_E_sf%20-%20_Q_M_f%0A%20%20%20%20_Q_sb%20%3D%20-_Q_M_b%20-%20_eps_Si%20*%20_E_sb%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Convert%20to%20nm%20for%20plotting%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_t_of_nm%20%3D%20_t_of%20*%201e9%0A%20%20%20%20_t_ob_nm%20%3D%20_t_ob%20*%201e9%0A%20%20%20%20_t_Si_nm%20%3D%20_t_Si%20*%201e9%0A%20%20%20%20_mw_f%20%3D%20max(1.5%2C%20_t_of_nm%20*%200.6)%0A%20%20%20%20_mw_b%20%3D%20max(1.5%2C%20_t_ob_nm%20*%200.06)%0A%0A%20%20%20%20_x_Si_nm%20%3D%20_x_Si%20*%201e9%0A%20%20%20%20_x_of_nm%20%3D%20np.linspace(-_t_of_nm%2C%200%2C%2050)%0A%20%20%20%20_x_box_nm%20%3D%20np.linspace(_t_Si_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%2C%2050)%0A%20%20%20%20_x_mf_nm%20%3D%20np.array(%5B-_t_of_nm%20-%20_mw_f%2C%20-_t_of_nm%5D)%0A%20%20%20%20_x_mb_nm%20%3D%20np.array(%5B_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%20%2B%20_mw_b%5D)%0A%0A%20%20%20%20_xlim%20%3D%20(-_t_of_nm%20-%20_mw_f%20-%200.3%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%20%2B%20_mw_b%20%2B%200.3)%0A%0A%20%20%20%20_phi_of%20%3D%20_phi_gate_f%20%2B%20(_phi_sf%20-%20_phi_gate_f)%20*%20(_x_of_nm%20%2B%20_t_of_nm)%20%2F%20_t_of_nm%0A%20%20%20%20_phi_box%20%3D%20_phi_sb%20%2B%20(_phi_gate_b%20-%20_phi_sb)%20*%20(_x_box_nm%20-%20_t_Si_nm)%20%2F%20_t_ob_nm%0A%0A%20%20%20%20def%20_shade(_ax)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(-_t_of_nm%20-%20_mw_f%2C%20-_t_of_nm%2C%20alpha%3D0.25%2C%20color%3D'%236baed6')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(-_t_of_nm%2C%200%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D'orange')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(_t_Si_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D'orange')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%20%2B%20_mw_b%2C%20alpha%3D0.25%2C%20color%3D'%236baed6')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_xv%20in%20%5B-_t_of_nm%2C%200%2C%20_t_Si_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(x%3D_xv%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlim(_xlim)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D13)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%0A%20%20%20%20%23%201%C3%973%20figure%3A%20%CF%81%2C%20E%2C%20V%20%20(matches%20FinFET%20layout)%0A%20%20%20%20%23%20%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%0A%20%20%20%20_fig_ev%2C%20(_ax_rho%2C%20_ax_E%2C%20_ax_V)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(18%2C%205))%0A%20%20%20%20_fig_ev.subplots_adjust(wspace%3D0.35)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20(0)%20Charge%20density%20%CF%81(x)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_shade(_ax_rho)%0A%20%20%20%20_rho_body_Ccm3%20%3D%20-q%20*%20_N_A%20*%201e-6%0A%20%20%20%20_rho_ref%20%3D%20abs(_rho_body_Ccm3)%20if%20abs(_rho_body_Ccm3)%20%3E%201e-20%20else%201.0%0A%20%20%20%20_Q_dep_total%20%3D%20q%20*%20_N_A%20*%20_t_Si%0A%0A%20%20%20%20if%20not%20_both_acc%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.fill_between(%5B0%2C%20_t_Si_nm%5D%2C%20_rho_body_Ccm3%2C%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'blue'%2C%20alpha%3D0.3%2C%20step%3D'mid')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.plot(%5B0%2C%200%2C%20_t_Si_nm%2C%20_t_Si_nm%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20_rho_body_Ccm3%2C%20_rho_body_Ccm3%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_rho.text(_t_Si_nm%20%2F%202%2C%20_rho_body_Ccm3%20*%200.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%24-qN_A%24%5Cn%3D%20%7B_rho_body_Ccm3%3A.2e%7D'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'center'%2C%20fontsize%3D13%2C%20color%3D'blue')%0A%0A%20%20%20%20_ax_rho.axhline(y%3D0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(_x_mf_nm%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(%5B-_t_of_nm%2C%200%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(%5B_t_Si_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_rho.plot(_x_mb_nm%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_bw%20%3D%20max(0.2%2C%20(_xlim%5B1%5D%20-%20_xlim%5B0%5D)%20*%200.010)%0A%20%20%20%20_Q_ref%20%3D%20_Q_dep_total%20if%20_Q_dep_total%20%3E%201e-20%20else%201.0%0A%0A%20%20%20%20def%20_draw_bar(_ax%2C%20x%2C%20Q%2C%20label%2C%20color)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(Q)%20%3C%201e-14%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bh%20%3D%20(Q%20%2F%20_Q_ref)%20*%20_rho_ref%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.bar(x%2C%20_bh%2C%20width%3D_bw%2C%20color%3Dcolor%2C%20alpha%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D'k'%2C%20linewidth%3D1%2C%20zorder%3D5%2C%20align%3D'center')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_off%20%3D%20np.sign(_bh)%20*%20_rho_ref%20*%200.07%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(x%2C%20_bh%20%2B%20_off%2C%20label%2C%20fontsize%3D10%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3Dcolor)%0A%0A%20%20%20%20_sgn_Mf%20%3D%20'%2B'%20if%20_Q_M_f%20%3E%200%20else%20'%5Cu2212'%0A%20%20%20%20_sgn_Mb%20%3D%20'%2B'%20if%20_Q_M_b%20%3E%200%20else%20'%5Cu2212'%0A%20%20%20%20_draw_bar(_ax_rho%2C%20-_t_of_nm%2C%20_Q_M_f%2C%20f'%7B_sgn_Mf%7D%24Q_M%24'%2C%20'darkorange')%0A%20%20%20%20_draw_bar(_ax_rho%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%2C%20_Q_M_b%2C%20f'%7B_sgn_Mb%7D%24Q_M%24'%2C%20'darkorange')%0A%20%20%20%20if%20abs(_Q_sf)%20%3E%201e-14%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lbl_sf%20%3D%20'%24-Q_%7Binv%7D%24'%20if%20_Q_sf%20%3C%200%20else%20'%24%2BQ_%7Bacc%7D%24'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_col_sf%20%3D%20'purple'%20if%20_Q_sf%20%3C%200%20else%20'red'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_draw_bar(_ax_rho%2C%200%2C%20_Q_sf%2C%20_lbl_sf%2C%20_col_sf)%0A%20%20%20%20if%20abs(_Q_sb)%20%3E%201e-14%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lbl_sb%20%3D%20'%24-Q_%7Binv%7D%24'%20if%20_Q_sb%20%3C%200%20else%20'%24%2BQ_%7Bacc%7D%24'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_col_sb%20%3D%20'purple'%20if%20_Q_sb%20%3C%200%20else%20'red'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_draw_bar(_ax_rho%2C%20_t_Si_nm%2C%20_Q_sb%2C%20_lbl_sb%2C%20_col_sb)%0A%0A%20%20%20%20_ax_rho.text(-_t_of_nm%20-%20_mw_f%20%2F%202%2C%20_rho_body_Ccm3%20*%200.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'Metal'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'center'%2C%20fontsize%3D11%2C%20color%3D'%232171b5')%0A%20%20%20%20_ax_rho.text(_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%20%2B%20_mw_b%20%2F%202%2C%20_rho_body_Ccm3%20*%200.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'Metal'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'center'%2C%20fontsize%3D11%2C%20color%3D'%232171b5')%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_xlabel('Position%20%24x%24%20(nm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_ylabel(r'%24%5Crho%24%20(C%2Fcm%C2%B3)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_rho.set_title(rf'Charge%20Density%20%E2%80%94%20front%3A%20%7B_front_regime%7D%2C%20back%3A%20%7B_back_regime%7D'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20(1)%20Electric%20field%20E(x)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_shade(_ax_E)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_mf_nm%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_of_nm%2C%20np.ones_like(_x_of_nm)%20*%20_E_ox_f%20*%201e-2%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20if%20not%20_both_acc%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_Si_nm%2C%20_E_Si%20*%201e-2%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_E.plot(%5B0%2C%20_t_Si_nm%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_box_nm%2C%20np.ones_like(_x_box_nm)%20*%20_E_box%20*%201e-2%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_E.plot(_x_mb_nm%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_E.axhline(y%3D0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20for%20_xi%2C%20_ev%20in%20%5B(-_t_of_nm%2C%20_E_ox_f%20*%201e-2)%2C%20(_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%2C%20_E_box%20*%201e-2)%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_E.plot(%5B_xi%2C%20_xi%5D%2C%20%5B0%2C%20_ev%5D%2C%20'b%3A'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_xlabel('Position%20%24x%24%20(nm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_ylabel(r'%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%20(V%2Fcm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_E.set_title(r'Electric%20Field%20%24%5Cmathcal%7BE%7D(x)%24'%2C%20fontsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20(2)%20Electrostatic%20potential%20V(x)%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_shade(_ax_V)%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_mf_nm%2C%20%5B_phi_gate_f%20*%201e3%5D%20*%202%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_of_nm%2C%20_phi_of%20*%201e3%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20if%20not%20_both_acc%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_Si_nm%2C%20_phi_Si%20*%201e3%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_V.plot(%5B0%2C%20_t_Si_nm%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_box_nm%2C%20_phi_box%20*%201e3%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_V.plot(_x_mb_nm%2C%20%5B_phi_gate_b%20*%201e3%5D%20*%202%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_V.axhline(y%3D0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_V.text(-_t_of_nm%20-%20_mw_f%20%2F%202%2C%20_phi_gate_f%20*%201e3%20%2B%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%7B_phi_gate_f%20*%201e3%3A.1f%7D%20mV'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D11%2C%20color%3D'%232171b5')%0A%20%20%20%20_ax_V.text(_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%20%2B%20_mw_b%20%2F%202%2C%20_phi_gate_b%20*%201e3%20%2B%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%7B_phi_gate_b%20*%201e3%3A.1f%7D%20mV'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D11%2C%20color%3D'%232171b5')%0A%20%20%20%20_ax_V.set_xlabel('Position%20%24x%24%20(nm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_ylabel(r'%24V%24%20(mV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_V.set_title(r'Electrostatic%20Potential%20%24V(x)%24'%2C%20fontsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20plt.close(_fig_ev)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%0A%20%20%20%20%23%20Separate%20band%20diagram%20(matches%20FinFET%20style)%0A%20%20%20%20%23%20%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%E2%95%90%0A%20%20%20%20_Eg%20%3D%201.12%0A%20%20%20%20_dEc_ox%20%3D%203.1%0A%20%20%20%20_dEv_ox%20%3D%204.78%0A%20%20%20%20_EF%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_Ei_bulk%20%3D%20_phi_B%0A%20%20%20%20_Ec_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20%2B%20_Eg%20%2F%202%0A%20%20%20%20_Ev_bulk%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20_Eg%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20_phi_Si_plot%20%3D%20_phi_Si%20if%20not%20_both_acc%20else%20np.zeros_like(_x_Si)%0A%20%20%20%20_E_C%20%3D%20_Ec_bulk%20-%20_phi_Si_plot%0A%20%20%20%20_E_V%20%3D%20_Ev_bulk%20-%20_phi_Si_plot%0A%20%20%20%20_E_Fi%20%3D%20_Ei_bulk%20-%20_phi_Si_plot%0A%0A%20%20%20%20_V_ox_f%20%3D%20_phi_gate_f%20-%20_phi_sf%0A%20%20%20%20_V_box%20%3D%20_phi_gate_b%20-%20_phi_sb%0A%20%20%20%20_EFm_f%20%3D%20_EF%20-%20_V_FB%20-%20_phi_gate_f%0A%20%20%20%20_EFm_b%20%3D%20_EF%20-%20_V_FB%20-%20_phi_gate_b%0A%0A%20%20%20%20_Ec_ox_Si_f%20%3D%20_E_C%5B0%5D%20%2B%20_dEc_ox%0A%20%20%20%20_Ev_ox_Si_f%20%3D%20_E_V%5B0%5D%20-%20_dEv_ox%0A%20%20%20%20_Ec_ox_M_f%20%3D%20_Ec_ox_Si_f%20-%20_V_ox_f%0A%20%20%20%20_Ev_ox_M_f%20%3D%20_Ev_ox_Si_f%20-%20_V_ox_f%0A%0A%20%20%20%20_Ec_ox_Si_b%20%3D%20_E_C%5B-1%5D%20%2B%20_dEc_ox%0A%20%20%20%20_Ev_ox_Si_b%20%3D%20_E_V%5B-1%5D%20-%20_dEv_ox%0A%20%20%20%20_Ec_ox_M_b%20%3D%20_Ec_ox_Si_b%20-%20_V_box%0A%20%20%20%20_Ev_ox_M_b%20%3D%20_Ev_ox_Si_b%20-%20_V_box%0A%0A%20%20%20%20_xO_f%20%3D%20%5B-_t_of_nm%2C%200%5D%0A%20%20%20%20_xO_b%20%3D%20%5B_t_Si_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%5D%0A%20%20%20%20_xM_f%20%3D%20%5B-_t_of_nm%20-%20_mw_f%2C%20-_t_of_nm%5D%0A%20%20%20%20_xM_b%20%3D%20%5B_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%2C%20_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%20%2B%20_mw_b%5D%0A%0A%20%20%20%20_fig_band%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xM_f%2C%20_EFm_f%20-%204.0%2C%20_EFm_f%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xM_f%2C%20%5B_EFm_f%5D%20*%202%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.text(_xM_f%5B0%5D%20%2B%200.2%2C%20_EFm_f%20%2B%200.12%2C%20'%24E_%7BFm%7D%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'green')%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xM_b%2C%20_EFm_b%20-%204.0%2C%20_EFm_b%2C%20color%3D'%236baed6'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xM_b%2C%20%5B_EFm_b%5D%20*%202%2C%20'g-'%2C%20lw%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xO_f%2C%20%5B_Ev_ox_M_f%2C%20_Ev_ox_Si_f%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_Ec_ox_M_f%2C%20_Ec_ox_Si_f%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'%23ffffcc'%2C%20alpha%3D0.5%2C%20edgecolor%3D'none')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xO_f%2C%20%5B_Ec_ox_M_f%2C%20_Ec_ox_Si_f%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xO_f%2C%20%5B_Ev_ox_M_f%2C%20_Ev_ox_Si_f%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_xO_b%2C%20%5B_Ev_ox_Si_b%2C%20_Ev_ox_M_b%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_Ec_ox_Si_b%2C%20_Ec_ox_M_b%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'%23ffffcc'%2C%20alpha%3D0.5%2C%20edgecolor%3D'none')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xO_b%2C%20%5B_Ec_ox_Si_b%2C%20_Ec_ox_M_b%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_xO_b%2C%20%5B_Ev_ox_Si_b%2C%20_Ev_ox_M_b%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_ax.axvspan(0%2C%20_t_Si_nm%2C%20alpha%3D0.05%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_Si_nm%2C%20_E_C%2C%20'b-'%2C%20lw%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_C%24')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_Si_nm%2C%20_E_V%2C%20'r-'%2C%20lw%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_V%24')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_Si_nm%2C%20_E_Fi%2C%20'k--'%2C%20lw%3D1%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D'%24E_%7BFi%7D%24')%0A%20%20%20%20_ax.axhline(y%3D_EF%2C%20color%3D'green'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20lw%3D1.5%2C%20label%3D'%24E_F%24')%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B-_t_of_nm%5D%20*%202%2C%20%5B_Ev_ox_M_f%2C%20_Ec_ox_M_f%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B0%5D%20*%202%2C%20%5B_Ev_ox_Si_f%2C%20_Ec_ox_Si_f%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_t_Si_nm%5D%20*%202%2C%20%5B_Ev_ox_Si_b%2C%20_Ec_ox_Si_b%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.plot(%5B_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%5D%20*%202%2C%20%5B_Ev_ox_M_b%2C%20_Ec_ox_M_b%5D%2C%20'k-'%2C%20lw%3D1.5)%0A%0A%20%20%20%20_ax.text(_t_Si_nm%20%2B%200.2%2C%20_Ec_bulk%2C%20'%24E_C%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax.text(_t_Si_nm%20%2B%200.2%2C%20_Ev_bulk%2C%20'%24E_V%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax.text(_t_Si_nm%20%2B%200.2%2C%20_EF%2C%20'%24E_F%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20_bend_f%20%3D%20abs(_phi_sf)%0A%20%20%20%20if%20_bend_f%20%3E%200.005%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xann_f%20%3D%20_t_Si_nm%20*%200.08%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(_xann_f%2C%20_Ec_bulk)%2C%20xytext%3D(_xann_f%2C%20_E_C%5B0%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xann_f%20%2B%200.3%2C%20(_E_C%5B0%5D%20%2B%20_Ec_bulk)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_%7Bsf%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20va%3D'center')%0A%20%20%20%20_bend_b%20%3D%20abs(_phi_sb)%0A%20%20%20%20if%20_bend_b%20%3E%200.005%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xann_b%20%3D%20_t_Si_nm%20*%200.92%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(_xann_b%2C%20_Ec_bulk)%2C%20xytext%3D(_xann_b%2C%20_E_C%5B-1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20lw%3D1.5))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_xann_b%20-%200.3%2C%20(_E_C%5B-1%5D%20%2B%20_Ec_bulk)%20%2F%202%2C%20r'%24q%5Cphi_%7Bsb%7D%24'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'darkgreen'%2C%20va%3D'center'%2C%20ha%3D'right')%0A%0A%20%20%20%20_ax.text(-_t_of_nm%20%2F%202%2C%20max(_Ec_ox_M_f%2C%20_Ec_ox_Si_f)%20%2B%200.15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%24E_%7Bc%2Cox%7D%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center')%0A%20%20%20%20_ax.text(-_t_of_nm%20%2F%202%2C%20min(_Ev_ox_M_f%2C%20_Ev_ox_Si_f)%20-%200.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%24E_%7Bv%2Cox%7D%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center')%0A%20%20%20%20_ax.text(_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%20%2F%202%2C%20max(_Ec_ox_Si_b%2C%20_Ec_ox_M_b)%20%2B%200.15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%24E_%7Bc%2CBOX%7D%24'%2C%20fontsize%3D13%2C%20ha%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20_y_label%20%3D%20min(_Ev_ox_Si_f%2C%20_Ev_ox_M_f%2C%20_Ev_ox_Si_b%2C%20_Ev_ox_M_b%2C%20_EFm_f%2C%20_EFm_b)%20-%201.0%0A%20%20%20%20_ax.text(-_t_of_nm%20-%20_mw_f%20%2F%202%2C%20_y_label%2C%20'Front%5Cngate'%2C%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D'%232171b5')%0A%20%20%20%20_ax.text(_t_Si_nm%20%2F%202%2C%20_y_label%2C%20'Si%20Channel'%2C%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.text(_t_Si_nm%20%2B%20_t_ob_nm%20%2B%20_mw_b%20%2F%202%2C%20_y_label%2C%20'Back%5Cngate'%2C%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D'center'%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D'%232171b5')%0A%0A%20%20%20%20_y_lo%20%3D%20min(_Ev_ox_Si_f%2C%20_Ev_ox_M_f%2C%20_EFm_f%2C%20_Ev_ox_Si_b%2C%20_Ev_ox_M_b%2C%20_EFm_b)%20-%201.5%0A%20%20%20%20_y_hi%20%3D%20max(_Ec_ox_Si_f%2C%20_Ec_ox_M_f%2C%20_Ec_ox_Si_b%2C%20_Ec_ox_M_b%2C%20_EFm_f%20%2B%201.0)%20%2B%200.8%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(_xlim)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(_y_lo%2C%20_y_hi)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_title('FD-SOI%20Energy%20Band%20Diagram'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.set_xticks(%5B%5D)%0A%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20for%20_sp%20in%20%5B'top'%2C%20'right'%2C%20'bottom'%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.spines%5B_sp%5D.set_visible(False)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_fig_band)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E2%94%80%E2%94%80%20Display%20%E2%94%80%E2%94%80%0A%20%20%20%20_controls_row1%20%3D%20mo.hstack(%5BV_GF_slider%2C%20V_GB_slider%2C%20V_FB_soi_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%0A%20%20%20%20_controls_row2%20%3D%20mo.hstack(%5Bt_of_soi_slider%2C%20t_ob_soi_slider%2C%20t_Si_soi_slider%2C%20N_A_soi_slider%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22)%0A%0A%20%20%20%20_phi_sf_mV%20%3D%20_phi_sf%20*%201e3%0A%20%20%20%20_phi_sb_mV%20%3D%20_phi_sb%20*%201e3%0A%0A%20%20%20%20_V_T_front%20%3D%20(_V_FB%20%2B%20_D_f%20%2B%20_phi_inv%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20_alpha_f%20%2F%20(1%20%2B%20_alpha_b)%20*%20(_phi_inv%20-%20_V_GB%20%2B%20_V_FB%20%2B%20_D_b))%0A%0A%20%20%20%20_info%20%3D%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20Front%20surface%20%7C%20Back%20surface%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A--%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Regime**%20%7C%20%7B_front_regime%7D%20%7C%20%7B_back_regime%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cphi_s%24%20%7C%20%7B_phi_sf_mV%3A.1f%7D%20mV%20%7C%20%7B_phi_sb_mV%3A.1f%7D%20mV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Q_%7B%7Bsheet%7D%7D%24%20%7C%20%7B_Q_sf%3A.2e%7D%20C%2Fm%C2%B2%20%7C%20%7B_Q_sb%3A.2e%7D%20C%2Fm%C2%B2%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Q_M%24%20(gate)%20%7C%20%7B_Q_M_f%3A.2e%7D%20C%2Fm%C2%B2%20%7C%20%7B_Q_M_b%3A.2e%7D%20C%2Fm%C2%B2%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cphi_B%24%20%3D%20%7B_phi_B*1e3%3A.1f%7D%20mV%20%26emsp%3B%20%242%5Cphi_B%24%20%3D%20%7B_phi_inv*1e3%3A.1f%7D%20mV%20%26emsp%3B%0A%20%20%20%20%24V_T%24%20(front%2C%20at%20%24V_%7B%7BGB%7D%7D%24%3D%7B_V_GB%3A.2f%7D%20V)%20%3D%20%7B_V_T_front%3A.3f%7D%20V%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%20Interactive%20FD-SOI%20Electrostatics%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_controls_row1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_controls_row2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_info%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_fig_ev)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_fig_band)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20plot_vt_scaling(N_A%2C%20V_FB%2C%20eps_OX%2C%20eps_Si%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20q%2C%20t_ox)%3A%0A%0A%20%20%20%20_t_Si_range%20%3D%20np.linspace(3%2C%2020%2C%20100)%20*%201e-9%20%20%23%203%20to%2020%20nm%0A%20%20%20%20_C_oxe%20%3D%20eps_OX%20%2F%20t_ox%0A%0A%20%20%20%20_V_OX_fin%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20_t_Si_range%20%2F%20(2%20*%20_C_oxe)%0A%20%20%20%20_phi_S_fin%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20_t_Si_range**2%20%2F%20(8%20*%20eps_Si)%0A%20%20%20%20_V_t_fin%20%3D%20V_FB%20%2B%20_V_OX_fin%20%2B%20_phi_S_fin%0A%0A%20%20%20%20_V_OX_fdsoi%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20_t_Si_range%20%2F%20_C_oxe%0A%20%20%20%20_phi_S_fdsoi%20%3D%20q%20*%20N_A%20*%20_t_Si_range**2%20%2F%20(2%20*%20eps_Si)%0A%20%20%20%20_V_t_fdsoi%20%3D%20V_FB%20%2B%20_V_OX_fdsoi%20%2B%20_phi_S_fdsoi%0A%0A%20%20%20%20_fig4%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(_t_Si_range*1e9%2C%20(_V_t_fin%20-%20V_FB)*1e3%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D'FinFET%3A%20%24V_t%20-%20V_%7BFB%7D%24')%0A%20%20%20%20_ax.plot(_t_Si_range*1e9%2C%20(_V_t_fdsoi%20-%20V_FB)*1e3%2C%20'r--'%2C%20linewidth%3D2%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D'FDSOI%3A%20%24V_t%20-%20V_%7BFB%7D%24')%0A%0A%20%20%20%20_ax.axvspan(5%2C%2010%2C%20alpha%3D0.2%2C%20color%3D'green'%2C%20label%3D'Modern%20FinFET%20range')%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'Silicon%20Body%20Thickness%20%24t_%7BSi%7D%24%20(nm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel('%24V_t%20-%20V_%7BFB%7D%24%20(mV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(f'Threshold%20Voltage%20(%24N_A%24%20%3D%20%7BN_A*1e-6%3A.0e%7D%20cm%E2%81%BB%C2%B3)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.legend(fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(3%2C%2020)%0A%0A%20%20%20%20plt.close(_fig4)%0A%0A%20%20%20%20_header%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Threshold%20Voltage%20Scaling%20and%20Variation%20with%20Body%20Thickness%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**FinFET%3A**%20%24V_t%20-%20V_%7BFB%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7BqN_A%20t_%7BSi%7D%7D%7B2C_%7Boxe%7D%7D%20%2B%20%5Cdfrac%7BqN_A%20t_%7BSi%7D%5E2%7D%7B8%5Cepsilon_s%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**FDSOI%3A**%20%24V_t%20-%20V_%7BFB%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7BqN_A%20t_%7BSi%7D%7D%7BC_%7Boxe%7D%7D%20%2B%20%5Cdfrac%7BqN_A%20t_%7BSi%7D%5E2%7D%7B2%5Cepsilon_s%7D%24%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Bulk%3A**%20%24V_t%20-%20V_%7BFB%7D%20%3D%202%5Cphi_B%20%2B%20%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B2%5Cepsilon_s%20q%20N_A%20(2%5Cphi_B)%7D%7D%7BC_%7Boxe%7D%7D%24%2C%20where%20%24%5Cphi_B%20%3D%20(kT%2Fq)%5Cln(N_A%2Fn_i)%24%20%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20For%20thin%20bodies%20with%20light%20doping%2C%20%24V_t%20%5Capprox%20V_%7BFB%7D%24%20(see%20plot%20below).%20Therefore%2C%20threshold%20voltage%20variation%20due%20to%20process-induced%20%24%5CDelta%20t_%7BSi%7D%24%20is%20minimal%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20In%20bulk%20MOSFETs%20with%20%24N_A%20%5Csim%2010%5E%7B%7B16%7D%7D%24%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%2C%20%24(V_t%20-%20V_%7BFB%7D)%20%5Csim%200.5-%201%24%20V.%20%24V_t%24%20is%20sensitive%20to%20variations%20in%20doping%20%24N_A%24%2C%20which%20can%20be%20O(1).%20So%20%24V_t%24%20variability%20in%20bulk%20MOSFET%20is%20of%20the%20order%20of%20~100mV.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Intuition%3A**%20%20%24V_t%24%20is%20set%20by%20the%20total%20charge%20needed%20to%20deplete%20the%20body%20and%20reach%20inversion.%20The%20body%20in%20the%20FDSOI%20and%20FinFETs%20is%20fully%20depleted%2C%20and%20the%20number%20of%20charges%20that%20needs%20to%20be%20moved%20to%20deplete%20is%20restricted%20because%20of%20the%20volume%20set%20by%20%24t_%7BSi%7D%24%20(which%20is%20thin).%20In%20contrast%2C%20bulk%20MOSFETs%20have%20a%20thick%20body%2C%20so%20more%20charges%20need%20to%20be%20moved%20to%20deplete%20and%20invert%20the%20surface.%20So%20%24V_t%20-%20V_%7BFB%7D%24%20for%20the%20FD-SOI%20and%20FinFET%20is%20lower%20than%20bulk%20MOSFET.%20%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20FD-SOI%20and%20FinFETs%20offer%20better%20charge%20control%20by%20the%20gate%20voltage%20than%20bulk%20MOSFET.%0A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_header%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.as_html(_fig4)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A