carriers equilibrium online

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.19.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Aasync%20def%20_()%3A%0A%20%20%20%20%23%20Install%20plotly%20in%20WASM%20environment%20(Pyodide)%0A%20%20%20%20import%20sys%0A%20%20%20%20if%20%22pyodide%22%20in%20sys.modules%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20micropip%0A%20%20%20%20%20%20%20%20await%20micropip.install(%22plotly%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20matplotlib.patches%20import%20Rectangle%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20from%20plotly.subplots%20import%20make_subplots%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20make_subplots%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Carriers%20at%20Thermal%20Equilibrium%0A%0A%20%20%20%20Lectures%209%20-%2010%0A%0A%20%20%20%20Jan.%2023%20and%2026%2C%202026%0A%0A%20%20%20%20References%3A%20Pierret%20Ch.%204%2C%20Hu%20Ch.%201.6-1.11%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Introduction%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20notebook%2C%20we%20learn%20about%20the%20following%20concepts%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Density%20of%20States%20(DoS)**%20-%20The%20number%20of%20available%20states%20at%20an%20energy%0A%20%20%20%202.%20**Fermi-Dirac%20Statistics**%20-%20The%20probability%20that%20a%20state%20is%20occupied%0A%20%20%20%203.%20**Carrier%20Concentrations**%20-%20Combining%20DoS%20and%20occupation%20probability%0A%0A%20%20%20%20By%20thermal%20equilibrium%2C%20we%20mean%20that%0A%20%20%20%20-%20The%20semiconductor%20is%20at%20a%20fixed%20temperature%0A%20%20%20%20-%20No%20other%20external%20forces%20or%20excitations%20are%20applied%0A%20%20%20%20-%20No%20net%20current%20flow%0A%0A%20%20%20%20**IMPORTANT**%3A%20Distinguish%20between%20availability%20of%20a%20(quantum)%20state%20and%20the%20occupation%20of%20a%20state!%0A%20%20%20%20-%20Quantum%20states%20are%20the%20eigenfunction%20solutions%20(i.e.%2C%20eigenstates)%20of%20the%20time-independent%20Schr%C3%B6dinger%20equation.%20The%20existence%20of%20an%20eigenstate%20does%20not%20imply%20that%20an%20electron%20in%20that%20eigenstate.%20Whether%20an%20eigenstate%20is%20occupied%20by%20an%20electron%20depends%20on%20the%20occupation%20probability.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Density%20of%20States%20(DoS)%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20**density%20of%20states**%20%24D(E)%24%20tells%20us%20how%20many%20quantum%20states%20are%20available%20per%20unit%20energy%20per%20unit%20volume%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24D(E)%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bnumber%20of%20available%20states%7D%7D%7B%5Ctext%7Bunit%20volume%7D%20%5Ctimes%20%5Ctext%7Bunit%20energy%7D%7D%20%5Cquad%20%5B%5Ctext%7BeV%7D%5E%7B-1%7D%5Ctext%7Bcm%7D%5E%7B-3%7D%5D%24%24%0A%0A%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20density%20of%20states%20is%20normalized%20by%20the%20volume%20because%20there%20are%20more%20states%20when%20there%20are%20more%20atoms%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20How%20to%20think%20about%20this%3F%0A%0A%20%20%20%20-%20Consider%20a%20single%20atom%20with%20states%20(1s%2C%202s%2C%202p%2C%203s%2C%203p%2C%203d%2C%20...)%20which%20increase%20in%20energy.%20As%20energy%20increases%2C%20there%20are%20more%20orbitals%20available%20within%20a%20given%20energy%20range%20%24%5CDelta%20E%24.%20Similarly%2C%20in%20a%20crystal%2C%20the%20density%20of%20states%20increases%20with%20energy.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Interactive%20sliders%20for%20the%20DOS%20demonstration%0A%0A%20%20%20%20E_center_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Energy%20window%20center%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(E_center_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(E_center_slider%2C%20mo%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20Interactive%20diagram%20showing%20atomic%20energy%20levels%20to%20explain%0A%20%20%20%20the%20concept%20of%20Density%20of%20States%20(DOS).%0A%0A%20%20%20%20As%20the%20energy%20window%20%CE%94E%20is%20moved%20through%20different%20regions%2C%0A%20%20%20%20the%20number%20of%20states%20within%20that%20window%20changes%20-%20illustrating%0A%20%20%20%20that%20DOS%20varies%20with%20energy.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20atomic-like%20energy%20levels%20(arbitrary%20units%2C%20mimicking%20s%2C%20p%2C%20d%20orbitals)%0A%20%20%20%20%23%20Format%3A%20(energy%2C%20label%2C%20color%2C%20degeneracy%2Fnumber%20of%20lines)%0A%20%20%20%20energy_levels%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1.0%2C%20'1s'%2C%20'black'%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1.5%2C%20'2s'%2C%20'blue'%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1.75%2C%20'2p'%2C%20'blue'%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2.25%2C%20'3s'%2C%20'green'%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2.5%2C%20'3p'%2C%20'green'%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2.75%2C%20'4s'%2C%20'orange'%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2.9%2C%20'3d'%2C%20'green'%2C%205)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3.1%2C%20'4p'%2C%20'orange'%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Get%20slider%20values%0A%20%20%20%20delta_E%20%3D%200.35%0A%20%20%20%20E_center%20%3D%20E_center_slider.value%0A%20%20%20%20E_min_window%20%3D%20E_center%20-%20delta_E%20%2F%202%0A%20%20%20%20E_max_window%20%3D%20E_center%20%2B%20delta_E%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_dos_concept%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Draw%20energy%20axis%0A%20%20%20%20ax.annotate(''%2C%20xy%3D(0%2C%203.5)%2C%20xytext%3D(0%2C%200.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20lw%3D2%2C%20color%3D'black'))%0A%20%20%20%20ax.text(-0.3%2C%203.0%2C%20'%24E%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Draw%20vertical%20dots%20at%20top%20to%20indicate%20continuation%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range(3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(0.5%2C%206.5%20%2B%20i%20*%200.15%2C%20'ko'%2C%20markersize%3D4)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Draw%20each%20energy%20level%0A%20%20%20%20line_width%20%3D%200.3%20%20%23%20Width%20of%20each%20horizontal%20line%0A%20%20%20%20x_start%20%3D%200.3%0A%0A%20%20%20%20for%20energy%2C%20label%2C%20color%2C%20degeneracy%20in%20energy_levels%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Draw%20multiple%20lines%20for%20degenerate%20states%20(slightly%20offset)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range(degeneracy)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20offset%20%3D%20(i%20-%20(degeneracy%20-%201)%20%2F%202)%20*%200.08%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_left%20%3D%20x_start%20%2B%20offset%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_right%20%3D%20x_left%20%2B%20line_width%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.hlines(energy%2C%20x_left%2C%20x_right%2C%20colors%3Dcolor%2C%20linewidth%3D3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20label%20to%20the%20right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.text(x_start%20%2B%20line_width%20%2B%200.15%2C%20energy%2C%20label%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%20va%3D'center'%2C%20color%3Dcolor%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Draw%20the%20%CE%94E%20window%20(shaded%20region)%0A%20%20%20%20window_x_min%20%3D%20-0.1%0A%20%20%20%20window_x_max%20%3D%201.2%0A%20%20%20%20ax.fill_between(%5Bwindow_x_min%2C%20window_x_max%5D%2C%20E_min_window%2C%20E_max_window%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.25%2C%20color%3D'yellow'%2C%20edgecolor%3D'orange'%2C%20linewidth%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Draw%20%CE%94E%20bracket%20on%20the%20right%20side%0A%20%20%20%20bracket_x%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20ax.annotate(''%2C%20xy%3D(bracket_x%2C%20E_max_window)%2C%20xytext%3D(bracket_x%2C%20E_min_window)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'darkorange'%2C%20lw%3D2))%0A%20%20%20%20ax.text(bracket_x%20%2B%200.1%2C%20E_center%2C%20'%24%5C%5CDelta%20E%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D'darkorange'%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Count%20states%20within%20the%20window%0A%20%20%20%20states_in_window%20%3D%200%0A%20%20%20%20levels_in_window%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20energy%2C%20label%2C%20color%2C%20degeneracy%20in%20energy_levels%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20E_min_window%20%3C%3D%20energy%20%3C%3D%20E_max_window%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20states_in_window%20%2B%3D%20degeneracy%20*%202%20%20%23%20Factor%20of%202%20for%20spin%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20levels_in_window.append(f%22%7Blabel%7D%20(%7Bdegeneracy%7D%C3%972%20%3D%20%7Bdegeneracy*2%7D%20states)%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20text%20showing%20count%0A%20%20%20%20info_text%20%3D%20f%22States%20in%20window%3A%20%7Bstates_in_window%7D%22%0A%20%20%20%20if%20levels_in_window%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20info_text%20%2B%3D%20%22%5Cn%22%20%2B%20%22%5Cn%22.join(levels_in_window)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20info_text%20%2B%3D%20%22%5Cn(no%20levels%20in%20window)%22%0A%0A%20%20%20%20ax.text(1.5%2C%202.5%2C%20info_text%2C%20fontsize%3D11%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round'%2C%20facecolor%3D'lightyellow'%2C%20alpha%3D0.9)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D'center')%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%20Formatting%0A%20%20%20%20ax.set_xlim(-0.5%2C%203.0)%0A%20%20%20%20ax.set_ylim(0.5%2C%203.5)%0A%20%20%20%20ax.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20ax.axis('off')%0A%20%20%20%20ax.set_title('DoS%20of%20an%20atom%5CnCounting%20States%20in%20Energy%20Window%20%24%5C%5CDelta%20E%24'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20pad%3D0)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20%23mo.mpl.interactive(fig_dos_concept)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Adjust%20the%20energy%20window%20to%20count%20states%20of%20a%20single%20atom%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_center_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig_dos_concept)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.1%20Derivation%20of%20DoS%20in%203D%20(Bulk%20Semiconductor)%0A%0A%20%20%20%20Let's%20derive%20the%20DoS%20step-by-step.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Step%201%3A%20Volume%20of%20a%20state%20in%20%24k%24%20space%0A%0A%20%20%20%20Consider%20an%20electron%20confined%20in%20a%203D%20cube%20of%20semiconductor%20crystal%20with%20side%20length%20%24L%24%20(volume%20%24V%20%3D%20L%5E3%24).%0A%0A%20%20%20%20Recall%20**periodic%20boundary%20conditions%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cpsi(x%2BL%2C%20y%2C%20z)%20%3D%20%5Cpsi(x%2C%20y%2C%20z)%2C%20%5Cpsi(x%2C%20y%2BL%2C%20z)%20%3D%20%5Cpsi(x%2C%20y%2C%20z)%2C%20%5Cpsi(x%2C%20y%2C%20z%2BL)%20%3D%20%5Cpsi(x%2C%20y%2C%20z)%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Bloch%20wavefunction**%20implies%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cpsi(x%2BL%2C%20y%2C%20z)%20%3D%20e%5E%7Bik_xL%7D%5Cpsi(x%2C%20y%2C%20z)%2C%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bsimilarly%20for%20y%20and%20z%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20e%5E%7Bik_x%20L%7D%20%3D%201%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20k_x%20L%20%3D%202%5Cpi%20n_x%2C%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bwhere%20%7D%20n_x%20%5Ctext%7B%20is%20an%20integer%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20k_x%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%20n_x%7D%7BL%7D%2C%20%5Cquad%20k_y%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%20n_y%7D%7BL%7D%2C%20%5Cquad%20k_z%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%20n_z%7D%7BL%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20In%20%24k%24-space%2C%20the%20states%20are%20spaced%20at%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5CDelta%20k_x%20%3D%20%5CDelta%20k_y%20%3D%20%5CDelta%20k_z%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BL%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Each%20state%20occupies%20a%20volume%20in%20k-space%20of%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Ctext%7BVolume%20per%20state%20in%20k-space%7D%20%3D%20%5CDelta%20k_x%20%5CDelta%20k_y%20%5CDelta%20k_z%20%3D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7BL%7D%5Cright)%5E3%20%3D%20%5Cfrac%7B(2%5Cpi)%5E3%7D%7BV%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Taking%20the%20reciprocal%2C%20we%20have%20**the%20number%20of%20states%20per%20unit%20k-space%20volume**%20(i.e.%2C%20the%20density%20of%20states)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Crho_k%20%3D%20%5Cfrac%7BV%7D%7B(2%5Cpi)%5E3%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bstates%20per%20unit%20k-space%20volume%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Each%20value%20of%20%24(k_x%2C%20k_y%2C%20k_z)%24%20actually%20represents%202%20states%20due%20to%20spin%20degeneracy%20(spin%20up%20and%20spin%20down)%2C%20so%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctext%7BNumber%20of%20states%20per%20k-space%20volume%7D%20%3D%20%5Crho_k%20%3D%20%5Cfrac%7B2V%7D%7B(2%5Cpi)%5E3%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7B(including%20spin)%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20make_subplots%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20_()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Visualization%20of%20k-space%20quantization%20in%203D%20using%20Plotly%20for%20interactivity%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20L_crystal%20%3D%205%20%20%23%20nm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dk%20%3D%202%20*%20np.pi%20%2F%20L_crystal%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20grid%20of%20allowed%20k-points%20in%203D%20(in%20units%20of%202%CF%80%2FL)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_max%20%3D%203%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_points%20%3D%20np.arange(-n_max%2C%20n_max%2B1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20NX%2C%20NY%2C%20NZ%20%3D%20np.meshgrid(n_points%2C%20n_points%2C%20n_points)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20the%203D%20figure%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d%20%3D%20make_subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3D1%2C%20cols%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20specs%3D%5B%5B%7B%22type%22%3A%20%22scatter3d%22%7D%2C%20%7B%22type%22%3A%20%22xy%22%7D%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20column_widths%3D%5B0.6%2C%200.4%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20subplot_titles%3D(%22Eigenstate%20(k%3Csub%3Ex%3C%2Fsub%3E%2C%20k%3Csub%3Ey%3C%2Fsub%3E%2C%20k%3Csub%3Ez%3C%2Fsub%3E)%20in%203D%20k-space%22%2C%20%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20all%20k-states%20as%20scatter%20points%20(in%20normalized%20units)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3DNX.flatten()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3DNY.flatten()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3DNZ.flatten()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D2%2C%20color%3D'blue'%2C%20opacity%3D0.7)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'k-states'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3D%20False%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3D'n%3Csub%3Ex%3C%2Fsub%3E%3A%20%25%7Bx%7D%3Cbr%3En%3Csub%3Ey%3C%2Fsub%3E%3A%20%25%7By%7D%3Cbr%3En%3Csub%3Ez%3C%2Fsub%3E%3A%20%25%7Bz%7D%3Cextra%3E%3C%2Fextra%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Draw%20arrows%20showing%20%CE%94k%20spacing%20(from%20origin%20to%20(1%2C0%2C0)%2C%20(0%2C1%2C0)%2C%20(0%2C0%2C1))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Arrow%20along%20x%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%201%5D%2C%20y%3D%5B0%2C%200%5D%2C%20z%3D%5B0%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'red'%2C%20width%3D6)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'%CE%94k%3Csub%3Ex%3C%2Fsub%3E'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Cone(x%3D%5B1%5D%2C%20y%3D%5B0%5D%2C%20z%3D%5B0%5D%2C%20u%3D%5B0.3%5D%2C%20v%3D%5B0%5D%2C%20w%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20'red'%5D%2C%20%5B1%2C%20'red'%5D%5D%2C%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sizemode%3D'absolute'%2C%20sizeref%3D0.15)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Arrow%20along%20y%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%200%5D%2C%20y%3D%5B0%2C%201%5D%2C%20z%3D%5B0%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'red'%2C%20width%3D6)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'%CE%94k%3Csub%3Ey%3C%2Fsub%3E'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Cone(x%3D%5B0%5D%2C%20y%3D%5B1%5D%2C%20z%3D%5B0%5D%2C%20u%3D%5B0%5D%2C%20v%3D%5B0.3%5D%2C%20w%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20'red'%5D%2C%20%5B1%2C%20'red'%5D%5D%2C%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sizemode%3D'absolute'%2C%20sizeref%3D0.15)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Arrow%20along%20z%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%200%5D%2C%20y%3D%5B0%2C%200%5D%2C%20z%3D%5B0%2C%201%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'red'%2C%20width%3D6)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'%CE%94k%3Csub%3Ez%3C%2Fsub%3E'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Cone(x%3D%5B0%5D%2C%20y%3D%5B0%5D%2C%20z%3D%5B1%5D%2C%20u%3D%5B0%5D%2C%20v%3D%5B0%5D%2C%20w%3D%5B0.3%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20'red'%5D%2C%20%5B1%2C%20'red'%5D%5D%2C%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sizemode%3D'absolute'%2C%20sizeref%3D0.15)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20labels%20for%20%CE%94k%20near%20the%20arrows%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0.5%2C%20-0.4%2C%20-0.4%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B-0.4%2C%200.5%2C%20-0.4%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3D%5B-0.4%2C%20-0.4%2C%200.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'text'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B'%CE%94k%E2%82%93'%2C%20'%CE%94k%E1%B5%A7'%2C%20'%CE%94k_z'%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'red')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Draw%20a%20cube%20showing%20the%20volume%20per%20state%20(unit%20cube%20from%200%20to%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cube_edges%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Bottom%20face%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B0%2C%201%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B1%2C%201%5D%2C%20%5B0%2C%201%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B1%2C%200%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B1%2C%200%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Top%20face%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B0%2C%201%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B1%2C%201%5D%2C%20%5B0%2C%201%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B1%2C%200%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B1%2C%200%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Vertical%20edges%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B0%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B1%2C%201%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B0%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B1%2C%201%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D%2C%20%5B0%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D%2C%20%5B0%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20cube_edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dedge%5B0%5D%2C%20y%3Dedge%5B1%5D%2C%20z%3Dedge%5B2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'green'%2C%20width%3D4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D'skip'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20label%20for%20volume%20per%20k-state%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3D%5B1.3%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'text'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B'Volume%20per%3Cbr%3Ek-state'%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D'green')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Update%203D%20scene%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.update_scenes(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Ddict(text%3D'k%E2%82%93%20(units%20of%202%CF%80%2FL)'%2C%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'black'))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-n_max-0.5%2C%20n_max%2B0.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tickvals%3Dlist(range(-n_max%2C%20n_max%2B1))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gridcolor%3D'lightgray'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showbackground%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backgroundcolor%3D'white'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Ddict(text%3D'k%E1%B5%A7%20(units%20of%202%CF%80%2FL)'%2C%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'black'))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-n_max-0.5%2C%20n_max%2B0.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tickvals%3Dlist(range(-n_max%2C%20n_max%2B1))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gridcolor%3D'lightgray'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showbackground%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backgroundcolor%3D'white'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Ddict(text%3D'k_z%20(units%20of%202%CF%80%2FL)'%2C%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'black'))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-n_max-0.5%2C%20n_max%2B0.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tickvals%3Dlist(range(-n_max%2C%20n_max%2B1))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gridcolor%3D'lightgray'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showbackground%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backgroundcolor%3D'white'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20aspectmode%3D'cube'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20camera%3Ddict(eye%3Ddict(x%3D1.5%2C%20y%3D1.5%2C%20z%3D1.2))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Right%20panel%3A%20Formulas%20and%20explanation%20(using%20annotations)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20annotations_text%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.62%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'%3Cb%3EVolume%20per%20k-state%3A%3C%2Fb%3E'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D14))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.52%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'%CE%94k%3Csub%3Ex%3C%2Fsub%3E%C2%B7%CE%94k%3Csub%3Ey%3C%2Fsub%3E%C2%B7%CE%94k%3Csub%3Ez%3C%2Fsub%3E%20%3D%20(2%CF%80%2FL)%C2%B3%20%3D%20(2%CF%80)%C2%B3%2FV'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D14))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.38%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'%3Cb%3EDensity%20of%20k-states%3A%3C%2Fb%3E'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D14))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.28%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'%CF%81%3Csub%3Ek%3C%2Fsub%3E%20%3D%20V%2F(2%CF%80)%C2%B3%20states%20per%20unit%20k-volume'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D14))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.14%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'Including%20spin%3A%20%CF%81%3Csub%3Ek%3C%2Fsub%3E%20%3D%202V%2F(2%CF%80)%C2%B3'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D14))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Hide%20the%20right%20subplot%20axes%20(we're%20using%20it%20just%20for%20text)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.update_xaxes(visible%3DFalse%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.update_yaxes(visible%3DFalse%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_kspace_3d.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D600%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D1000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.02%2C%20y%3D0.98)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20annotations%3Dannotations_text%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D0%2C%20r%3D0%2C%20t%3D40%2C%20b%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20fig_kspace_3d%0A%0A%0A%20%20%20%20_()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Step%202%3A%20Counting%20States%20in%20k-space%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20parabolic%20band%2C%20the%20energy%20depends%20only%20on%20the%20magnitude%20of%20%24%5Cmathbf%7Bk%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24E%20%3D%20E_c%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20k%5E2%7D%7B2m_n%5E*%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24E%20%3D%20E_v%20-%20%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20k%5E2%7D%7B2m_p%5E*%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24k%20%3D%20%7C%5Cmathbf%7Bk%7D%7C%20%3D%20%5Csqrt%7Bk_x%5E2%20%2B%20k_y%5E2%20%2B%20k_z%5E2%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20States%20with%20the%20same%20%24k%24%20(same%20energy)%20lie%20on%20a%20sphere%20of%20radius%20%24k%24%20in%20k-space.%0A%0A%20%20%20%20**Number%20of%20states%20between%20%24k%24%20and%20%24k%20%2B%20dk%24%3A**%0A%0A%20%20%20%20The%20volume%20of%20a%20spherical%20shell%20of%20radius%20%24k%24%20and%20thickness%20%24dk%24%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctext%7BVolume%20of%20shell%7D%20%3D%204%5Cpi%20k%5E2%20dk%24%24%0A%0A%20%20%20%20Number%20of%20states%20in%20this%20shell%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24dN%20%3D%20%5Crho_k%20%5Ctimes%20%5Ctext%7BVolume%20of%20shell%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2V%7D%7B(2%5Cpi)%5E3%7D%20%5Ctimes%204%5Cpi%20k%5E2%20dk%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BdN%20%3D%20%5Cfrac%7BV%20k%5E2%20dk%7D%7B%5Cpi%5E2%7D%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20make_subplots%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20_()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Visualization%20of%20spherical%20shells%20in%203D%20k-space%20using%20Plotly%20for%20interactivity%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Shell%20parameters%20(in%20units%20of%202%CF%80%2FL)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k_highlight%20%3D%201.35%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dk_highlight%20%3D%200.2%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20grid%20of%20allowed%20k-points%20in%203D%20(in%20units%20of%202%CF%80%2FL)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_max%20%3D%203%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_points%20%3D%20np.arange(-n_max%2C%20n_max%2B1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20NX%2C%20NY%2C%20NZ%20%3D%20np.meshgrid(n_points%2C%20n_points%2C%20n_points)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20the%203D%20figure%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d%20%3D%20make_subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3D1%2C%20cols%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20specs%3D%5B%5B%7B%22type%22%3A%20%22scatter3d%22%7D%2C%20%7B%22type%22%3A%20%22xy%22%7D%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20column_widths%3D%5B0.6%2C%200.4%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20subplot_titles%3D(%22Spherical%20Shell%20in%203D%20k-space%22%2C%20%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20all%20k-states%20as%20scatter%20points%20(blue%20dots%20for%20permissible%20k%20values)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3DNX.flatten()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3DNY.flatten()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3DNZ.flatten()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D2%2C%20color%3D'blue'%2C%20opacity%3D0.6)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'Allowed%20k-states'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3D'n%3Csub%3Ex%3C%2Fsub%3E%3A%20%25%7Bx%7D%3Cbr%3En%3Csub%3Ey%3C%2Fsub%3E%3A%20%25%7By%7D%3Cbr%3En%3Csub%3Ez%3C%2Fsub%3E%3A%20%25%7Bz%7D%3Cextra%3E%3C%2Fextra%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20sphere%20meshes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%2030)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v%20%3D%20np.linspace(0%2C%20np.pi%2C%2020)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Inner%20sphere%20(k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_inner%20%3D%20k_highlight%20*%20np.outer(np.cos(u)%2C%20np.sin(v))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_inner%20%3D%20k_highlight%20*%20np.outer(np.sin(u)%2C%20np.sin(v))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_inner%20%3D%20k_highlight%20*%20np.outer(np.ones(np.size(u))%2C%20np.cos(v))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_inner%2C%20y%3Dy_inner%2C%20z%3Dz_inner%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20'blue'%5D%2C%20%5B1%2C%20'blue'%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'k%20(inner%20sphere)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D'skip'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Outer%20sphere%20(k%20%2B%20dk)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_outer%20%3D%20(k_highlight%20%2B%20dk_highlight)%20*%20np.outer(np.cos(u)%2C%20np.sin(v))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_outer%20%3D%20(k_highlight%20%2B%20dk_highlight)%20*%20np.outer(np.sin(u)%2C%20np.sin(v))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_outer%20%3D%20(k_highlight%20%2B%20dk_highlight)%20*%20np.outer(np.ones(np.size(u))%2C%20np.cos(v))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_outer%2C%20y%3Dy_outer%2C%20z%3Dz_outer%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20'red'%5D%2C%20%5B1%2C%20'red'%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'k%2Bdk%20(outer%20sphere)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D'skip'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Draw%20coordinate%20axes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis_length%20%3D%202.2%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20X%20axis%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%20axis_length%5D%2C%20y%3D%5B0%2C%200%5D%2C%20z%3D%5B0%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'black'%2C%20width%3D4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D'skip'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Cone(x%3D%5Baxis_length%5D%2C%20y%3D%5B0%5D%2C%20z%3D%5B0%5D%2C%20u%3D%5B0.2%5D%2C%20v%3D%5B0%5D%2C%20w%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20'black'%5D%2C%20%5B1%2C%20'black'%5D%5D%2C%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sizemode%3D'absolute'%2C%20sizeref%3D0.1%2C%20hoverinfo%3D'skip')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Y%20axis%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%200%5D%2C%20y%3D%5B0%2C%20axis_length%5D%2C%20z%3D%5B0%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'black'%2C%20width%3D4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D'skip'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Cone(x%3D%5B0%5D%2C%20y%3D%5Baxis_length%5D%2C%20z%3D%5B0%5D%2C%20u%3D%5B0%5D%2C%20v%3D%5B0.2%5D%2C%20w%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20'black'%5D%2C%20%5B1%2C%20'black'%5D%5D%2C%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sizemode%3D'absolute'%2C%20sizeref%3D0.1%2C%20hoverinfo%3D'skip')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Z%20axis%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%200%5D%2C%20y%3D%5B0%2C%200%5D%2C%20z%3D%5B0%2C%20axis_length%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'black'%2C%20width%3D4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D'skip'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Cone(x%3D%5B0%5D%2C%20y%3D%5B0%5D%2C%20z%3D%5Baxis_length%5D%2C%20u%3D%5B0%5D%2C%20v%3D%5B0%5D%2C%20w%3D%5B0.2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20'black'%5D%2C%20%5B1%2C%20'black'%5D%5D%2C%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sizemode%3D'absolute'%2C%20sizeref%3D0.1%2C%20hoverinfo%3D'skip')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Draw%20k%20vector%20(from%20origin%20to%20a%20point%20on%20the%20inner%20sphere)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta_k%20%3D%20np.pi%20%2F%204%20%20%23%2045%20degrees%20from%20z-axis%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi_k%20%3D%20np.pi%20%2F%205%20%20%20%20%23%20azimuthal%20angle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kx%20%3D%20k_highlight%20*%20np.sin(theta_k)%20*%20np.cos(phi_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ky%20%3D%20k_highlight%20*%20np.sin(theta_k)%20*%20np.sin(phi_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kz%20%3D%20k_highlight%20*%20np.cos(theta_k)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Draw%20the%20k%20vector%20as%20a%20line%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%20kx%5D%2C%20y%3D%5B0%2C%20ky%5D%2C%20z%3D%5B0%2C%20kz%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'green'%2C%20width%3D6)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'k%20vector'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D'skip'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20cone%20at%20tip%20of%20k%20vector%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dir_x%20%3D%20kx%20%2F%20k_highlight%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dir_y%20%3D%20ky%20%2F%20k_highlight%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dir_z%20%3D%20kz%20%2F%20k_highlight%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Cone(x%3D%5Bkx%5D%2C%20y%3D%5Bky%5D%2C%20z%3D%5Bkz%5D%2C%20u%3D%5Bdir_x*0.15%5D%2C%20v%3D%5Bdir_y*0.15%5D%2C%20w%3D%5Bdir_z*0.15%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20'green'%5D%2C%20%5B1%2C%20'green'%5D%5D%2C%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sizemode%3D'absolute'%2C%20sizeref%3D0.1%2C%20hoverinfo%3D'skip')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20a%20point%20at%20the%20tip%20of%20k%20vector%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bkx%5D%2C%20y%3D%5Bky%5D%2C%20z%3D%5Bkz%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D6%2C%20color%3D'green')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3D'k%20vector%20tip%3Cbr%3E%7Ck%7C%20%3D%201.5%3Cextra%3E%3C%2Fextra%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Draw%20dk%20arrow%20(radial%20direction%2C%20showing%20shell%20thickness)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kx_outer%20%3D%20(k_highlight%20%2B%20dk_highlight)%20*%20np.sin(theta_k)%20*%20np.cos(phi_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ky_outer%20%3D%20(k_highlight%20%2B%20dk_highlight)%20*%20np.sin(theta_k)%20*%20np.sin(phi_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kz_outer%20%3D%20(k_highlight%20%2B%20dk_highlight)%20*%20np.cos(theta_k)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bkx%2C%20kx_outer%5D%2C%20y%3D%5Bky%2C%20ky_outer%5D%2C%20z%3D%5Bkz%2C%20kz_outer%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'orange'%2C%20width%3D6)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'dk%20(shell%20thickness)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D'skip'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Cone(x%3D%5Bkx_outer%5D%2C%20y%3D%5Bky_outer%5D%2C%20z%3D%5Bkz_outer%5D%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20u%3D%5Bdir_x*0.08%5D%2C%20v%3D%5Bdir_y*0.08%5D%2C%20w%3D%5Bdir_z*0.08%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20'orange'%5D%2C%20%5B1%2C%20'orange'%5D%5D%2C%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sizemode%3D'absolute'%2C%20sizeref%3D0.08%2C%20hoverinfo%3D'skip')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Draw%20circles%20at%20equator%20to%20show%20shell%20structure%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta_eq%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20100)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Inner%20equator%20circle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dk_highlight%20*%20np.cos(theta_eq)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dk_highlight%20*%20np.sin(theta_eq)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3Dnp.zeros_like(theta_eq)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'blue'%2C%20width%3D4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Df'k%20%3D%20%7Bk_highlight%7D%20(inner)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D'skip'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Outer%20equator%20circle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D(k_highlight%20%2B%20dk_highlight)%20*%20np.cos(theta_eq)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D(k_highlight%20%2B%20dk_highlight)%20*%20np.sin(theta_eq)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3Dnp.zeros_like(theta_eq)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'red'%2C%20width%3D4%2C%20dash%3D'dash')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Df'k%20%2B%20dk%20%3D%20%7Bk_highlight%20%2B%20dk_highlight%7D%20(outer)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D'skip'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Draw%20a%20meridian%20to%20show%20shell%20structure%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi_mer%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20100)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Inner%20meridian%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dk_highlight%20*%20np.sin(phi_mer)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.zeros_like(phi_mer)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3Dk_highlight%20*%20np.cos(phi_mer)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'blue'%2C%20width%3D4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D'skip'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Outer%20meridian%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D(k_highlight%20%2B%20dk_highlight)%20*%20np.sin(phi_mer)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.zeros_like(phi_mer)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3D(k_highlight%20%2B%20dk_highlight)%20*%20np.cos(phi_mer)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'red'%2C%20width%3D4%2C%20dash%3D'dash')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D'skip'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Update%203D%20scene%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.update_scenes(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Ddict(text%3D'k%E2%82%93%20(units%20of%202%CF%80%2FL)'%2C%20font%3Ddict(size%3D12))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-2.5%2C%202.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gridcolor%3D'lightgray'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showbackground%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backgroundcolor%3D'white'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Ddict(text%3D'k%E1%B5%A7%20(units%20of%202%CF%80%2FL)'%2C%20font%3Ddict(size%3D12))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-2.5%2C%202.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gridcolor%3D'lightgray'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showbackground%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backgroundcolor%3D'white'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Ddict(text%3D'k%E1%B5%A4%20(units%20of%202%CF%80%2FL)'%2C%20font%3Ddict(size%3D12))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-2.5%2C%202.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gridcolor%3D'lightgray'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showbackground%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backgroundcolor%3D'white'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20aspectmode%3D'cube'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20camera%3Ddict(eye%3Ddict(x%3D1.5%2C%20y%3D1.5%2C%20z%3D1.2))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%23%20Right%20panel%3A%20Formula%20explanation%20(using%20annotations)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_shell_3d.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20annotations%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.95%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'Spherical%20Shell%20in%20k-space%3C'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D16))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.88%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'The%20k%20vector%3A'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D13))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.82%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'k%20%3D%20k%E2%82%93x%CC%82%20%2B%20k%E1%B5%A7%C5%B7%20%2B%20k%E1%B5%A4%E1%BA%91'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D12))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.75%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'%7Ck%7C%20%3D%20%E2%88%9A(k%E2%82%93%C2%B2%20%2B%20k%E1%B5%A7%C2%B2%20%2B%20k%E1%B5%A4%C2%B2)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'green')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bgcolor%3D'lightgreen'%2C%20borderpad%3D4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.62%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'Volume%20of%20Spherical%20Shell%3A'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D13))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.55%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'Surface%20area%3A%204%CF%80k%C2%B2'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D12))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.48%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'Shell%20thickness%3A%20dk'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D12))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.40%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'Shell%20Volume%20%3D%204%CF%80k%C2%B2%20dk'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D'blue')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bgcolor%3D'lightblue'%2C%20borderpad%3D4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.28%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'Number%20of%20states%20in%20shell%3A'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D13))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.20%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'dN%20%3D%20(Shell%20Vol.)%20%C3%97%20(States%2FVol.)%20%C3%97%20(Spin)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D11))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.13%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'dN%20%3D%204%CF%80k%C2%B2dk%20%C3%97%20V%2F(2%CF%80)%C2%B3%20%C3%97%202'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D12))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dict(x%3D0.78%2C%20y%3D0.05%2C%20xref%3D'paper'%2C%20yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'dN%20%3D%20Vk%C2%B2dk%20%2F%20%CF%80%C2%B2'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D'purple')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bgcolor%3D'%23E6E6FA'%2C%20borderpad%3D4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D'Counting%20States%20in%20a%20Spherical%20Shell'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D18)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0.02%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D0.98%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bgcolor%3D'rgba(255%2C255%2C255%2C0.8)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bordercolor%3D'black'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20borderwidth%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D1100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D600%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D10%2C%20r%3D10%2C%20t%3D60%2C%20b%3D10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23mo.ui.plotly(fig_shell_3d)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20fig_shell_3d%0A%20%20%20%20_()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Step%203%3A%20Converting%20from%20k%20to%20Energy%0A%0A%20%20%20%20We%20have%20the%20number%20of%20states%20as%20a%20function%20of%20%24k%24%2C%20but%20it%20is%20much%20more%20convenient%20to%20use%20it%20as%20a%20function%20of%20energy%20%24E%24.%0A%0A%20%20%20%20%24k%24%20and%20%24E%24%20are%20related%20through%20the%20dispersion%20relation.%0A%0A%20%20%20%20Near%20the%20bottom%20of%20the%20conduction%20band%2C%20%24E%20%3D%20E_c%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20k%5E2%7D%7B2m_n%5E*%7D%24%2C%20so%20we%20get%0A%0A%20%20%20%20%24%24k%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2m%5E*(E%20-%20E_c)%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Differentiate%20both%20sides%20with%20respect%20to%20%24E%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bdk%7D%7BdE%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%7D%7BdE%7D%5Cleft%5B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2m%5E*(E%20-%20E_c)%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%7D%5Cright%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bdk%7D%7BdE%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2m%5E*%7D%7B%5Chbar%5E2(E%20-%20E_c)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20%5Cboxed%7Bdk%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2m%5E*%7D%7B%5Chbar%5E2(E%20-%20E_c)%7D%7D%20dE%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20(Similarly%20for%20the%20holes)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fig_final%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Step%204%3A%20Final%20Expression%20for%20Density%20of%20States%0A%0A%20%20%20%20Recall%20that%20%24dN%20%3D%20%5Cfrac%7BV%20k%5E2%7D%7B%5Cpi%5E2%7D%20dk%24%0A%0A%20%20%20%20Substitute%20%24k%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2m_n%5E*(E-E_c)%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%7D%24%20and%20%24dk%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2m_n%5E*%7D%7B%5Chbar%5E2(E-E_c)%7D%7D%20dE%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24dN%20%3D%20%5Cfrac%7BV%7D%7B%5Cpi%5E2%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B2m_n%5E*(E-E_c)%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%5Cright)%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2m_n%5E*%7D%7B%5Chbar%5E2(E-E_c)%7D%7D%20dE%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24dN%20%3D%20%5Cfrac%7BV%7D%7B2%5Cpi%5E2%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B2m_n%5E*%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%5Cright)%5E%7B3%2F2%7D%20%5Csqrt%7BE-E_c%7D%20%5C%2C%20dE%24%24%0A%0A%20%20%20%20**The%20density%20of%20states%20per%20unit%20volume%20for%20electrons%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BD_c(E)%20%5Cequiv%20%5Cfrac%7B1%7D%7BV%7D%5Cfrac%7BdN%7D%7BdE%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%5E2%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B2m_n%5E*%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%5Cright)%5E%7B3%2F2%7D%20%5Csqrt%7BE-E_c%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B4%5Cpi%20(2m_n%5E*)%5E%7B3%2F2%7D%7D%7Bh%5E3%7D%20%5Csqrt%7BE%20-%20E_c%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Similarly%2C%20**the%20density%20of%20states%20per%20unit%20volume%20for%20holes%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BD_v(E)%20%5Cequiv%20%5Cfrac%7B1%7D%7BV%7D%5Cfrac%7BdN%7D%7BdE%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%5E2%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B2m_p%5E*%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%5Cright)%5E%7B3%2F2%7D%20%5Csqrt%7BE_v-E%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B4%5Cpi%20(2m_p%5E*)%5E%7B3%2F2%7D%7D%7Bh%5E3%7D%20%5Csqrt%7BE_v%20-%20E%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Notes%3A**%0A%20%20%20%20-%20%24D(E)%20%5Cpropto%20%5Csqrt%7BE%20-%20E_c%7D%24%20(square%20root%20dependence)%0A%20%20%20%20-%20The%20DoS%20increases%20with%20the%20energy%20%0A%20%20%20%20-%20In%20the%20bandgap%2C%20%24D(E)%20%3D%200%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig_final)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20Final%20visualization%3A%20The%20complete%203D%20DOS%20with%20breakdown%20of%20contributing%20factors%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20fig_final%2C%20ax_final%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20_E_c_plot%20%3D%200%20%20%23%20Reference%0A%20%20%20%20_E_above_Ec%20%3D%20np.linspace(0.001%2C%200.5%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20%23%20D(E)%20%E2%88%9D%20k%C2%B2%20%C3%97%20(dk%2FdE)%20%E2%88%9D%20(E-Ec)%20%C3%97%201%2F%E2%88%9A(E-Ec)%20%3D%20%E2%88%9A(E-Ec)%0A%20%20%20%20_dos_final%20%3D%20np.sqrt(_E_above_Ec)%0A%20%20%20%20ax_final.fill_between(_E_above_Ec%2C%200%2C%20_dos_final%2C%20alpha%3D0.4%2C%20color%3D'purple')%0A%20%20%20%20ax_final.plot(_E_above_Ec%2C%20_dos_final%2C%20'purple'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20ax_final.axvline(_E_c_plot%2C%20color%3D'red'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20label%3Dr'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20ax_final.set_xlabel(r'%24E%20-%20E_c%24'%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_final.set_ylabel(r'%24D_c(E)%24'%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20ax_final.set_title(r'3D%20Density%20of%20States%3A%20%24D(E)%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20ax_final.set_xlim(-0.1%2C%200.5)%0A%20%20%20%20ax_final.set_ylim(0%2C%200.8)%0A%20%20%20%20ax_final.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20ax_final.legend()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20equation%20box%0A%20%20%20%20ax_final.text(0.25%2C%200.6%2C%20r'%24D_c(E)%20%3D%20%5Cfrac%7B4%5Cpi(2m%5E*)%5E%7B3%2F2%7D%7D%7Bh%5E3%7D%5Csqrt%7BE-E_c%7D%24'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round'%2C%20facecolor%3D'lightyellow'%2C%20alpha%3D0.9))%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20%23mo.mpl.interactive(fig_final)%0A%20%20%20%20return%20(fig_final%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fig%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.2%20DoS%20for%20Different%20Dimensionalities%0A%0A%20%20%20%20-%20You%20can%20repeat%20the%203D%20analysis%20procedure%20and%20instead%20assume%201%2C%202%2C%20and%203%20dimensions%20are%20quantum%20confined%20(homework)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20For%20example%2C%20for%201D%20quantum%20confinement%2C%20fix%20%24k_z%20%3D%200%24%20(or%20another%20specific%20value)%2C%20and%20apply%20periodic%20boundary%20condition%20in%20%24x%24%20and%20%24y%24%20only.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20For%202D%20quantum%20confinement%2C%20fix%20%24k_z%24%20and%20%24k_y%24%20to%20specific%20values%2C%20and%20apply%20periodic%20boundary%20condition%20in%20%24x%24%20only.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20For%203D%20quantum%20confinement%2C%20fix%20%24k_z%24%2C%20%24k_y%24%2C%20and%20%24k_z%24%20to%20specific%20values.%0A%20%20%20%20-%20Result%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Structure%20%7C%20Quantum%20Confinement%20%7C%20DoS%20%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A-----------%3A%7C%3A-------------%3A%7C%3A----------------------%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Bulk%20(3D)**%20%7C%20None%20%7C%20%24D(E)%20%5Cpropto%20%5Csqrt%7BE-E_c%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Quantum%20Well%20(2D)**%20%7C%201D%20%20%7C%20%24D(E)%20%5Cpropto%20%5Ctext%7Bconstant%20(step%20function)%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Quantum%20Wire%20(1D)**%20%7C%202D%20%20%7C%20%24D(E)%20%5Cpropto%20(E-E_c)%5E%7B-1%2F2%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Quantum%20Dot%20(0D)**%20%7C%203D%20%20%7C%20%24D(E)%20%5Cpropto%20%5Cdelta(E-E_n)%24%20(discrete)%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20mo.mpl.interactive(fig)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Interactive%20plot%20of%20DOS%20for%20different%20dimensionalities%0A%0A%20%20%20%20E_range%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%2C%201000)%0A%20%20%20%20E_c%20%3D%200.5%0A%0A%20%20%20%20%23%203D%20(Bulk)%0A%20%20%20%20DOS_3D%20%3D%20np.where(E_range%20%3E%20E_c%2C%20np.sqrt(E_range%20-%20E_c)%2C%200)%0A%0A%20%20%20%20%23%202D%20(Quantum%20Well)%20-%20step%20functions%20at%20quantized%20energies%0A%20%20%20%20DOS_2D%20%3D%20np.zeros_like(E_range)%0A%20%20%20%20for%20n%20in%20range(1%2C%205)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_n%20%3D%20E_c%20%2B%200.2%20*%20n%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mask%20%3D%20E_range%20%3E%3D%20E_n%0A%20%20%20%20%20%20%20%20DOS_2D%5Bmask%5D%20%2B%3D%201.0%0A%0A%20%20%20%20%23%201D%20(Quantum%20Wire)%0A%20%20%20%20DOS_1D%20%3D%20np.zeros_like(E_range)%0A%20%20%20%20for%20n%20in%20range(1%2C%205)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_n%20%3D%20E_c%20%2B%200.3%20*%20n%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mask%20%3D%20E_range%20%3E%20E_n%0A%20%20%20%20%20%20%20%20DOS_1D%5Bmask%5D%20%2B%3D%201.0%20%2F%20np.sqrt(E_range%5Bmask%5D%20-%20E_n%20%2B%200.01)%0A%0A%20%20%20%20%23%200D%20(Quantum%20Dot)%20-%20delta%20functions%0A%20%20%20%20E_dots%20%3D%20%5BE_c%20%2B%200.3*n%20for%20n%20in%20range(1%2C%205)%5D%0A%0A%20%20%20%20fig%2C%20axes%20%3D%20plt.subplots(2%2C%202%2C%20figsize%3D(10%2C%205))%0A%0A%20%20%20%20%23%203D%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%200%5D.plot(E_range%2C%20DOS_3D%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%200%5D.axvline(E_c%2C%20color%3D'r'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%200%5D.set_xlabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%200%5D.set_ylabel('DOS%20(arb.%20units)'%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%200%5D.set_title('3D%20(Bulk)%3A%20%24D(E)%20%5Cpropto%20%5Csqrt%7BE-E_c%7D%24'%2C%20fontsize%3D12%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%200%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%200%5D.legend()%0A%0A%20%20%20%20%23%202D%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%201%5D.plot(E_range%2C%20DOS_2D%2C%20'g-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%201%5D.axvline(E_c%2C%20color%3D'r'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%201%5D.set_xlabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%201%5D.set_ylabel('DOS%20(arb.%20units)'%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%201%5D.set_title(r'2D%20(Quantum%20Well)%3A%20%24D(E)%20%3D%20%5Cmathrm%7Bconstant%7D%24'%2C%20fontsize%3D12%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%201%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20axes%5B0%2C%201%5D.legend()%0A%0A%20%20%20%20%23%201D%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%200%5D.plot(E_range%2C%20DOS_1D%2C%20'm-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%200%5D.axvline(E_c%2C%20color%3D'r'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%200%5D.set_xlabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%200%5D.set_ylabel('DOS%20(arb.%20units)'%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%200%5D.set_title('1D%20(Quantum%20Wire)%3A%20%24D(E)%20%5Cpropto%20(E-E_c)%5E%7B-1%2F2%7D%24'%2C%20fontsize%3D12%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%200%5D.set_ylim(%5B0%2C%2010%5D)%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%200%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%200%5D.legend()%0A%0A%20%20%20%20%23%200D%0A%20%20%20%20for%20E_dot%20in%20E_dots%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%2C%201%5D.axvline(E_dot%2C%20color%3D'orange'%2C%20linewidth%3D3)%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%201%5D.axvline(E_c%2C%20color%3D'r'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%201%5D.set_xlabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%201%5D.set_ylabel('DOS%20(arb.%20units)'%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%201%5D.set_title('0D%20(Quantum%20Dot)%3A%20%24D(E)%20%3D%20%5Cdelta(E-E_n)%24'%2C%20fontsize%3D12%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%201%5D.set_xlim(%5B0%2C%202%5D)%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%201%5D.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20axes%5B1%2C%201%5D.legend()%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20%23plt.gca()%0A%20%20%20%20return%20(fig%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Fermi-Dirac%20Statistics%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20**Fermi-Dirac%20distribution**%20gives%20the%20probability%20that%20a%20state%20at%20energy%20%24E%24%20is%20occupied%20by%20an%20electron%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Statistics%20comes%20from%20Pauli's%20exclussion%20principle%20and%20indistinguishable%20particles%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bf(E)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20e%5E%7B(E-E_F)%2Fk_BT%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%3A%0A%20%20%20%20-%20%24E_F%24%20is%20the%20**Fermi%20energy**%20(or%20Fermi%20level)%0A%20%20%20%20-%20%24k_B%20%3D%208.617%20%5Ctimes%2010%5E%7B-5%7D%24%20eV%2FK%20is%20Boltzmann's%20constant%0A%20%20%20%20-%20%24T%24%20is%20temperature%20in%20Kelvin%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20%20Properties%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20At%20%24E%20%3D%20E_F%24%3A%20%24f(E_F)%20%3D%201%2F2%24%0A%20%20%20%20-%20At%20%24T%20%3D%200%24%20K%3A%20Step%20function%20(%24f(E%3C%20E_F)%20%3D%201%24%2C%20%24f(E%3EE_F)%20%3D%200%24)%0A%20%20%20%20-%20At%20%24E%20%5Cll%20E_F%24%3A%20%24f(E)%20%5Capprox%201%24%20(states%20are%20filled)%0A%20%20%20%20-%20At%20%24E%20%5Cgg%20E_F%24%3A%20%24f(E)%20%5Capprox%20e%5E%7B-(E-E_F)%2Fk_BT%7D%24%20(Boltzmann%20approximation)%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Ctext%7BAt%20thermal%20equilibrium%2C%20%24E_F%24%20is%20constant%20throughout%20the%20system.%7D%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Interactive%20Fermi-Dirac%20distribution%0A%0A%20%20%20%20temperature_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D600%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Temperature%20(K)%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20return%20(temperature_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20mo%2C%20np%2C%20temperature_slider)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20Fermi-Dirac%20distribution%0A%0A%20%20%20%20T%20%3D%20temperature_slider.value%0A%20%20%20%20E_F_pos%20%3D%200%0A%0A%20%20%20%20k_B%20%3D%208.617e-5%20%20%23%20eV%2FK%0A%0A%20%20%20%20E_plot%20%3D%20np.linspace(-0.3%2C%200.3%2C%201000)%0A%0A%20%20%20%20if%20T%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f_E%20%3D%201%20%2F%20(1%20%2B%20np.exp((E_plot%20-%20E_F_pos)%20%2F%20(k_B%20*%20T)))%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f_E%20%3D%20np.where(E_plot%20%3C%20E_F_pos%2C%201.0%2C%200.0)%0A%0A%20%20%20%20fig_fd%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20fig_fd.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3DE_plot%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Df_E%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Df'T%20%3D%20%7BT%7D%20K'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D3%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20Fermi%20level%20line%0A%20%20%20%20fig_fd.add_vline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3DE_F_pos%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_dash%3D%22dash%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_color%3D%22red%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20horizontal%20line%20at%20f%3D0.5%0A%20%20%20%20fig_fd.add_hline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_dash%3D%22dot%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_color%3D%22gray%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20annotation_text%3D%22f%20%3D%200.5%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig_fd.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Fermi-Dirac%20Distribution%20at%20T%20%3D%20%7BT%7D%20K%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D'Energy%20(E%20-%20E%3Csub%3EF%3C%2Fsub%3E)%20(eV)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22Occupation%20Probability%20f(E)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovermode%3D'x%20unified'%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig_fd.update_xaxes(range%3D%5B-0.3%2C%200.3%5D)%0A%20%20%20%20fig_fd.update_yaxes(range%3D%5B0%2C%201.05%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23fig_fd%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Interactive%20Fermi-Dirac%20Distribution%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Adjust%20the%20temperature%20to%20see%20how%20the%20occupation%20probability%20changes%3A%22%22%22)%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_slider%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.plotly(fig_fd)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Comparison%20of%20Fermi-Dirac%20vs%20Maxwell-Boltzmann%0A%0A%20%20%20%20fig_compare%2C%20axes_compare%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(14%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20E_comp%20%3D%20np.linspace(-0.15%2C%200.15%2C%201000)%0A%20%20%20%20E_F_comp%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20k_B_comp%20%3D%208.617e-5%0A%20%20%20%20T_comp%20%3D%20300%0A%0A%20%20%20%20%23%20Fermi-Dirac%0A%20%20%20%20f_FD%20%3D%201%20%2F%20(1%20%2B%20np.exp((E_comp%20-%20E_F_comp)%20%2F%20(k_B_comp%20*%20T_comp)))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Maxwell-Boltzmann%20(with%20same%20chemical%20potential)%0A%20%20%20%20f_MB%20%3D%20np.exp(-(E_comp%20-%20E_F_comp)%20%2F%20(k_B_comp%20*%20T_comp))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%20panel%3A%20Linear%20scale%0A%20%20%20%20axes_compare.plot(E_comp%2C%20f_FD%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D3%2C%20label%3D'Fermi-Dirac')%0A%20%20%20%20axes_compare.plot(E_comp%2C%20f_MB%2C%20'r--'%2C%20linewidth%3D3%2C%20label%3D'Maxwell-Boltzmann')%0A%20%20%20%20axes_compare.axvline(E_F_comp%2C%20color%3D'black'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20linewidth%3D2%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20axes_compare.axhline(1.0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.5)%0A%0A%0A%20%20%20%20axes_compare.set_xlabel(r'Energy%20%24(E%20-%20E_F)%24%20(eV)'%2C%20fontsize%3D12%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20axes_compare.set_ylabel('Occupation%20Probability%20(f(E))'%2C%20fontsize%3D12%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20axes_compare.set_title('Fermi-Dirac%20vs.%20Maxwell-Boltzmann%20(T%20%3D%20300%20K)'%2C%20fontsize%3D14%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20axes_compare.legend(fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20axes_compare.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20axes_compare.set_ylim(%5B0%2C%201.2%5D)%0A%0A%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.gca()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Derivation%20of%20the%20Fermi-Dirac%20Distribution%20(optional)%0A%0A%20%20%20%20See%20also%20Pierret%20Ch.%204.2%20for%20an%20alternative%20derivation%20based%20on%20counting%20the%20number%20of%20configurations.%20This%20derivation%20is%20based%20on%20statistical%20mechanics.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.%20Postulate%20of%20Statistical%20Mechanics%0A%0A%20%20%20%20At%20thermal%20equilibrium%2C%20a%20system%20explores%20all%20accessible%20microstates%20with%20equal%20probability%20(microcanonical%20ensemble).%20For%20a%20system%20in%20contact%20with%20a%20heat%20reservoir%20at%20temperature%20%24T%24%20(canonical%20ensemble)%2C%20the%20probability%20of%20finding%20the%20system%20in%20a%20state%20with%20energy%20%24E_i%24%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24P(E_i)%20%5Cpropto%20e%5E%7B-E_i%2Fk_BT%7D%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24k_B%24%20is%20Boltzmann's%20constant%20and%20%24T%24%20is%20the%20absolute%20temperature.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202%3A%20The%20Grand%20Canonical%20Ensemble%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20system%20that%20can%20exchange%20both%20energy%20AND%20particles%20with%20a%20reservoir%2C%20we%20use%20the%20**grand%20canonical%20ensemble**.%0A%0A%20%20%20%20**Chemical%20Potential%3A**%20The%20reservoir%20is%20characterized%20by%20%24T%24%20and%20the%20chemical%20potential%20%24%5Cmu%24%20(also%20called%20the%20Fermi%20energy%20%24E_F%24%20for%20electrons).%20%20%24%5Cmu%24%20represents%20the%20energy%20cost%20to%20add%20one%20particle%20to%20the%20system.%0A%0A%20%20%20%20**Grand%20Canonical%20Probability%3A**%20The%20probability%20of%20finding%20the%20system%20in%20a%20state%20with%20energy%20%24E%24%20and%20%24N%24%20particles%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24P(E%2C%20N)%20%5Cpropto%20e%5E%7B-(E%20-%20%5Cmu%20N)%2Fk_BT%7D%20%3D%20e%5E%7B-E%2Fk_BT%7D%20%5Ccdot%20e%5E%7B%5Cmu%20N%2Fk_BT%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%203%3A%20Single%20Quantum%20State%20Occupancy%0A%0A%20%20%20%20Now%20consider%20a%20**single%20quantum%20state**%20at%20energy%20%24E%24.%20This%20state%20can%20be%20in%20one%20of%20two%20configurations%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Empty**%20(0%20electrons)%3A%20%24N%20%3D%200%24%2C%20Energy%20contribution%20%3D%200%0A%20%20%20%202.%20**Occupied**%20(1%20electron)%3A%20%24N%20%3D%201%24%2C%20Energy%20contribution%20%3D%20%24E%24%0A%0A%20%20%20%20From%20Pauli's%20exclusion%20principle%2C%20a%20quantum%20state%20with%20a%20given%20spin%20can%20hold%20at%20most%20ONE%20electron.%0A%0A%20%20%20%20Probability%20of%20state%20being%20empty%3A%20%24P_0%20%5Cpropto%20e%5E%7B-(0%20-%20%5Cmu%20%5Ccdot%200)%2Fk_BT%7D%20%3D%201%24%0A%0A%20%20%20%20Probability%20of%20state%20being%20occupied%3A%20%24P_1%20%5Cpropto%20e%5E%7B-(E%20-%20%5Cmu%20%5Ccdot%201)%2Fk_BT%7D%20%3D%20e%5E%7B-(E-%5Cmu)%2Fk_BT%7D%24%0A%0A%20%20%20%20The%20total%20probability%20must%20equal%201%2C%20so%20%24P_0%20%2B%20P_1%20%3D%201%24%0A%0A%20%20%20%20Therefore%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24P_0%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20e%5E%7B-(E-%5Cmu)%2Fk_BT%7D%7D%2C%20%5Cquad%20P_1%20%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7B-(E-%5Cmu)%2Fk_BT%7D%7D%7B1%20%2B%20e%5E%7B-(E-%5Cmu)%2Fk_BT%7D%7D%24%24%0A%0A%0A%20%20%20%20For%20electrons%2C%20instead%20of%20the%20chemical%20potential%2C%20we%20use%20the%20term%20%22Fermi%20Energy%22.%20Letting%20%24%5Cmu%20%3D%20E_F%24%20(the%20Fermi%20energy)%2C%20the%20occupation%20probability%20%24P_1%24%20simplifies%20to%20the%20Fermi-Dirac%20distribution%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bf(E)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20e%5E%7B(E-E_F)%2Fk_BT%7D%7D%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Carrier%20Concentrations%0A%0A%20%20%20%20-%20To%20find%20the%20carrier%20concentrations%2C%20we%20multiply%20the%20density%20of%20states%20by%20the%20occupation%20probability%20and%20integrate%20over%20the%20energy%20range.%0A%0A%20%20%20%20-%20For%20electron%20concentration%2C%20we%20integrate%20over%20the%20conduction%20band%20edge%20to%20infinity.%20The%20band%20has%20a%20finite%20energy%20range%2C%20but%20it%20is%20ok%20to%20extend%20to%20infinity%20because%20%24f(E)%20%5Cto%200%24.%20The%20integration%20to%20infinity%20is%20an%20approximation%2C%20but%20it%20turns%20out%20to%20be%20good%20most%20of%20the%20time%20because%20the%20energy%20bands%20are%20wider%20than%20a%20few%20%24k_B%20T%24.%0A%0A%20%20%20%20-%20Therefore%2C%20the%20equilibrium%20electron%20concentration%2C%20%24n_0%24%2C%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24n_0%20%3D%20%5Cint_%7BE_c%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20D_c(E)%20f(E)%20dE%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20For%20the%20hole%20concentration%2C%20we%20integrate%20from%20%24-%5Cinfty%24%20to%20%24E_v%24.%20Holes%20are%20empty%20states%20and%20have%20occupation%20probability%20%241-f(E)%24.%0A%0A%20%20%20%20%24%24p_0%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7BE_v%7D%20D_v(E)%20%5B1-f(E)%5D%20dE%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20With%20Boltzmann%20Approximation%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Approximating%20%24f(E)%20%5Capprox%20e%5E%7B-(E-E_F)%2Fk_B%20T%7D%24%2C%20we%20arrive%20at%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn_0%20%3D%20N_c%20e%5E%7B-(E_c-E_F)%2Fk_BT%7D%2C%20%5Cquad%0A%20%20%20%20%5Ctext%7Bwhere%20%7D%20N_c%20%3D%202%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%20m_n%5E*%20k_B%20T%7D%7Bh%5E2%7D%5Cright)%5E%7B3%2F2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bp_0%20%3D%20N_v%20e%5E%7B-(E_F-E_v)%2Fk_BT%7D%2C%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bwhere%20%7D%20N_v%20%3D%202%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%20m_p%5E*%20k_B%20T%7D%7Bh%5E2%7D%5Cright)%5E%7B3%2F2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20%24N_c%24%20and%20%20%24N_v%24%20are%20called%20the%20**effective%20density%20of%20states**%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Example%20Values%20(at%20300%20K)%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Material%20%7C%20%24N_c%24%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)%20%7C%20%24N_v%24%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)%20%7C%20%20%24E_g%24%20(eV)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C----------%7C-------------------%7C-------------------%7C-------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Si%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%242.8%20%5Ctimes%2010%5E%7B19%7D%24%20%7C%20%241.04%20%5Ctimes%2010%5E%7B19%7D%24%20%7C%20%201.12%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20GaAs%20%20%20%20%20%7C%20%244.7%20%5Ctimes%2010%5E%7B17%7D%24%20%7C%20%247.0%20%5Ctimes%2010%5E%7B18%7D%24%20%7C%20%201.42%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Ge%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%241.04%20%5Ctimes%2010%5E%7B19%7D%24%20%7C%20%246.0%20%5Ctimes%2010%5E%7B18%7D%24%20%7C%20%200.66%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20Interactive%20Carrier%20Density%20Explorer%20for%20Several%20Semiconductors%0A%0A%20%20%20%20This%20interactive%20tool%20shows%20how%20carrier%20densities%20change%20using%20effective%20masses%20from%20a%20few%20semiconductors.%0A%0A%20%20%20%20**Observations%3A**%0A%20%20%20%20-%20When%20%24E_F%24%20is%20near%20%24E_c%24%3A%20High%20electron%20concentration%20(n-type)%0A%20%20%20%20-%20When%20%24E_F%24%20is%20near%20%24E_v%24%3A%20High%20hole%20concentration%20(p-type)%0A%20%20%20%20-%20%24n_0%20p_0%20%3D%20n_i%5E2%24%20remains%20constant%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Interactive%20carrier%20density%20explorer%0A%0A%20%20%20%20material_select%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22Silicon%22%2C%20%22GaAs%22%2C%20%22Germanium%22%2C%20%22InP%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Silicon%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Select%20Material%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20temp_slider_2%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Temperature%20(K)%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20ef_position_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-0.56%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.56%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.02%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Fermi%20Level%20Position%20(eV%20from%20midgap)%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20ef_position_slider%2C%20material_select%2C%20temp_slider_2%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20ef_position_slider%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20make_subplots%2C%0A%20%20%20%20material_select%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20temp_slider_2%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20and%20plot%20carrier%20concentrations%20with%20temperature-dependent%20Nc%20and%20Nv%0A%0A%20%20%20%20%23%20Material%20parameters%20including%20effective%20masses%20(in%20units%20of%20m0)%0A%20%20%20%20_material_params%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Silicon%22%3A%20%7B%22mn_eff%22%3A%201.08%2C%20%22mp_eff%22%3A%200.81%2C%20%22Eg%22%3A%201.12%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22GaAs%22%3A%20%7B%22mn_eff%22%3A%200.067%2C%20%22mp_eff%22%3A%200.45%2C%20%22Eg%22%3A%201.42%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Germanium%22%3A%20%7B%22mn_eff%22%3A%200.55%2C%20%22mp_eff%22%3A%200.37%2C%20%22Eg%22%3A%200.66%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22InP%22%20%3A%20%7B%22mn_eff%22%3A%200.08%2C%20%22mp_eff%22%3A%200.6%2C%20%22Eg%22%3A1.34%7D%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Physical%20constants%0A%20%20%20%20_m0%20%3D%209.109e-31%20%20%23%20kg%20(electron%20rest%20mass)%0A%20%20%20%20_k_B_J%20%3D%201.381e-23%20%20%23%20J%2FK%0A%20%20%20%20_k_B_eV%20%3D%208.617e-5%20%20%23%20eV%2FK%0A%20%20%20%20_h%20%3D%206.626e-34%20%20%23%20J%C2%B7s%0A%20%20%20%20_hbar%20%3D%20_h%20%2F%20(2%20*%20np.pi)%20%20%23%20reduced%20Planck%20constant%0A%20%20%20%20_eV_to_J%20%3D%201.602e-19%20%20%23%20conversion%20factor%20from%20eV%20to%20Joules%0A%0A%20%20%20%20_mat%20%3D%20material_select.value%0A%20%20%20%20_params%20%3D%20_material_params%5B_mat%5D%0A%20%20%20%20_T_2%20%3D%20temp_slider_2.value%0A%20%20%20%20_E_F_pos_2%20%3D%20ef_position_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20temperature-dependent%20Nc%20and%20Nv%0A%20%20%20%20%23%20Nc%20%3D%202%20*%20(2%CF%80%20*%20m_n*%20*%20k_B%20*%20T%20%2F%20h%C2%B2)%5E(3%2F2)%0A%20%20%20%20_mn_star%20%3D%20_params%5B%22mn_eff%22%5D%20*%20_m0%0A%20%20%20%20_mp_star%20%3D%20_params%5B%22mp_eff%22%5D%20*%20_m0%0A%0A%20%20%20%20_Nc_calc%20%3D%202%20*%20((2%20*%20np.pi%20*%20_mn_star%20*%20_k_B_J%20*%20_T_2)%20%2F%20(_h**2))**(3%2F2)%20%2F%201e6%20%20%23%20convert%20to%20cm%5E-3%0A%20%20%20%20_Nv_calc%20%3D%202%20*%20((2%20*%20np.pi%20*%20_mp_star%20*%20_k_B_J%20*%20_T_2)%20%2F%20(_h**2))**(3%2F2)%20%2F%201e6%20%20%23%20convert%20to%20cm%5E-3%0A%0A%20%20%20%20%23%20Band%20edges%0A%20%20%20%20_E_c_2%20%3D%20_params%5B%22Eg%22%5D%20%2F%202%0A%20%20%20%20_E_v_2%20%3D%20-_params%5B%22Eg%22%5D%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20range%20for%20energy%0A%20%20%20%20_Emax%20%3D%201.25%0A%20%20%20%20_Emin%20%3D%20-_Emax%0A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20n%20and%20p%0A%20%20%20%20_n_calc%20%3D%20_Nc_calc%20*%20np.exp(-(_E_c_2%20-%20_E_F_pos_2)%20%2F%20(_k_B_eV%20*%20_T_2))%0A%20%20%20%20_p_calc%20%3D%20_Nv_calc%20*%20np.exp(-(_E_F_pos_2%20-%20_E_v_2)%20%2F%20(_k_B_eV%20*%20_T_2))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20intrinsic%20carrier%20concentration%0A%20%20%20%20_ni_calc%20%3D%20np.sqrt(_Nc_calc%20*%20_Nv_calc)%20*%20np.exp(-_params%5B%22Eg%22%5D%20%2F%20(2%20*%20_k_B_eV%20*%20_T_2))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Verify%20mass%20action%20law%0A%20%20%20%20_np_product%20%3D%20_n_calc%20*%20_p_calc%0A%20%20%20%20_ni_squared%20%3D%20_ni_calc**2%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20energy%20range%20for%20plotting%0A%20%20%20%20_E_band_2%20%3D%20np.linspace(_Emin%2C%20_Emax%2C%201000)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20the%20actual%20Density%20of%20States%20using%20the%20formula%3A%0A%20%20%20%20%23%20D_c(E)%20%3D%20(1%2F(2%CF%80%C2%B2))%20*%20(2m_n*%2F%E2%84%8F%C2%B2)%5E(3%2F2)%20*%20%E2%88%9A(E-E_c)%0A%20%20%20%20%23%20Units%3A%20We%20calculate%20in%20SI%20(J%5E-1%20m%5E-3)%20then%20convert%20to%20cm%5E-3%20eV%5E-1%0A%0A%20%20%20%20%23%20Prefactor%20for%20conduction%20band%20DOS%3A%20(1%2F(2%CF%80%C2%B2))%20*%20(2m_n*%2F%E2%84%8F%C2%B2)%5E(3%2F2)%0A%20%20%20%20_DOS_prefactor_c%20%3D%20(1%20%2F%20(2%20*%20np.pi**2))%20*%20((2%20*%20_mn_star)%20%2F%20(_hbar**2))**(3%2F2)%20%20%23%20in%20J%5E(-3%2F2)%20m%5E(-3)%0A%20%20%20%20_DOS_prefactor_v%20%3D%20(1%20%2F%20(2%20*%20np.pi**2))%20*%20((2%20*%20_mp_star)%20%2F%20(_hbar**2))**(3%2F2)%20%20%23%20in%20J%5E(-3%2F2)%20m%5E(-3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Convert%20prefactor%20to%20cm%5E-3%20eV%5E-1%3A%0A%20%20%20%20%23%20D(E)%20%5BSI%5D%20has%20units%20of%20J%5E(-3%2F2)%20m%5E(-3)%20*%20sqrt(J)%20%3D%20J%5E(-1)%20m%5E(-3)%0A%20%20%20%20%23%20To%20convert%20to%20cm%5E-3%20eV%5E-1%3A%0A%20%20%20%20%23%20-%20J%5E(-1)%20to%20eV%5E(-1)%3A%20multiply%20by%20eV_to_J%20(since%201%20J%5E-1%20%3D%20eV_to_J%20eV%5E-1)%0A%20%20%20%20%23%20-%20m%5E(-3)%20to%20cm%5E(-3)%3A%20multiply%20by%201e-6%20(since%201%20m%5E-3%20%3D%201e-6%20cm%5E-3)%0A%20%20%20%20%23%20-%20sqrt(E)%20in%20SI%20needs%20sqrt(eV_to_J)%20factor%20when%20E%20is%20in%20eV%0A%0A%20%20%20%20_m3_to_cm3%20%3D%201e-6%20%20%23%20m%5E-3%20to%20cm%5E-3%0A%20%20%20%20_sqrt_conversion%20%3D%20np.sqrt(_eV_to_J)%20%20%23%20for%20sqrt(E)%20term%20when%20E%20is%20in%20eV%0A%20%20%20%20_energy_conversion%20%3D%20_eV_to_J%20%20%23%20J%5E-1%20to%20eV%5E-1%0A%0A%20%20%20%20_DOS_prefactor_c_converted%20%3D%20_DOS_prefactor_c%20*%20_sqrt_conversion%20*%20_energy_conversion%20*%20_m3_to_cm3%20%20%23%20cm%5E-3%20eV%5E-1%20per%20sqrt(eV)%0A%20%20%20%20_DOS_prefactor_v_converted%20%3D%20_DOS_prefactor_v%20*%20_sqrt_conversion%20*%20_energy_conversion%20*%20_m3_to_cm3%20%20%23%20cm%5E-3%20eV%5E-1%20per%20sqrt(eV)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20actual%20DOS%20(in%20cm%5E-3%20eV%5E-1)%0A%20%20%20%20_DOS_c_2%20%3D%20np.where(_E_band_2%20%3E%20_E_c_2%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_DOS_prefactor_c_converted%20*%20np.sqrt(_E_band_2%20-%20_E_c_2)%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200)%0A%20%20%20%20_DOS_v_2%20%3D%20np.where(_E_band_2%20%3C%20_E_v_2%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_DOS_prefactor_v_converted%20*%20np.sqrt(_E_v_2%20-%20_E_band_2)%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Fermi%20function%0A%20%20%20%20_f_val_2%20%3D%201%20%2F%20(1%20%2B%20np.exp((_E_band_2%20-%20_E_F_pos_2)%20%2F%20(_k_B_eV%20*%20_T_2)))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Carrier%20distributions%20(in%20cm%5E-3%20eV%5E-1)%0A%20%20%20%20_n_dist_2%20%3D%20_DOS_c_2%20*%20_f_val_2%0A%20%20%20%20_p_dist_2%20%3D%20_DOS_v_2%20*%20(1%20-%20_f_val_2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Mask%20for%20plotting%20only%20in%20valid%20regions%0A%20%20%20%20_mask_cb_2%20%3D%20_E_band_2%20%3E%3D%20_E_c_2%0A%20%20%20%20_mask_vb_2%20%3D%20_E_band_2%20%3C%3D%20_E_v_2%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20interactive%20plotly%20figure%20with%204%20panels%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer%20%3D%20make_subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3D1%2C%20cols%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20subplot_titles%3D(%22Energy%20Bands%22%2C%20%22Density%20of%20States%20D(E)%22%2C%20%22Occupation%20Probability%20f(E)%22%2C%20%22Carrier%20Distribution%20D(E)f(E)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20horizontal_spacing%3D0.08%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Panel%201%3A%20Band%20diagram%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D%5B0%2C%201%5D%2C%20y%3D%5B_E_c_2%2C%20_E_c_2%5D%2C%20mode%3D'lines'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'blue'%2C%20width%3D3)%2C%20name%3D'E_c'%2C%20showlegend%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D%5B0%2C%201%5D%2C%20y%3D%5B_E_v_2%2C%20_E_v_2%5D%2C%20mode%3D'lines'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'blue'%2C%20width%3D3)%2C%20name%3D'E_v'%2C%20showlegend%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D%5B0%2C%201%5D%2C%20y%3D%5B_E_F_pos_2%2C%20_E_F_pos_2%5D%2C%20mode%3D'lines'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'red'%2C%20width%3D3%2C%20dash%3D'dash')%2C%20name%3D'E_F'%2C%20showlegend%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%23%20Conduction%20band%20shading%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D%5B0%2C%201%2C%201%2C%200%2C%200%5D%2C%20y%3D%5B_E_c_2%2C%20_E_c_2%2C%20_Emax%2C%20_Emax%2C%20_E_c_2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D'toself'%2C%20fillcolor%3D'rgba(173%2C%20216%2C%20230%2C%200.4)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'rgba(0%2C0%2C0%2C0)')%2C%20name%3D'CB'%2C%20showlegend%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%23%20Valence%20band%20shading%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D%5B0%2C%201%2C%201%2C%200%2C%200%5D%2C%20y%3D%5B_E_v_2%2C%20_E_v_2%2C%20_Emin%2C%20_Emin%2C%20_E_v_2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D'toself'%2C%20fillcolor%3D'rgba(173%2C%20216%2C%20230%2C%200.4)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'rgba(0%2C0%2C0%2C0)')%2C%20name%3D'VB'%2C%20showlegend%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%23%20Add%20labels%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_annotation(x%3D1.1%2C%20y%3D_E_c_2%2C%20text%3D%22E%3Csub%3Ec%3C%2Fsub%3E%22%2C%20showarrow%3DFalse%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'blue')%2C%20xref%3D'x1'%2C%20yref%3D'y1')%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_annotation(x%3D1.1%2C%20y%3D_E_v_2%2C%20text%3D%22E%3Csub%3Ev%3C%2Fsub%3E%22%2C%20showarrow%3DFalse%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'blue')%2C%20xref%3D'x1'%2C%20yref%3D'y1')%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_annotation(x%3D1.1%2C%20y%3D_E_F_pos_2%2C%20text%3D%22E%3Csub%3EF%3C%2Fsub%3E%22%2C%20showarrow%3DFalse%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'red')%2C%20xref%3D'x1'%2C%20yref%3D'y1')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Panel%202%3A%20DOS%20with%20effective%20mass%20labels%20(actual%20values)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_DOS_c_2%5B_mask_cb_2%5D%2C%20y%3D_E_band_2%5B_mask_cb_2%5D%2C%20mode%3D'lines'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'blue'%2C%20width%3D2)%2C%20name%3D'D_c(E)'%2C%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3D'D(E)%20%3D%20%25%7Bx%3A.2e%7D%20cm%E2%81%BB%C2%B3eV%E2%81%BB%C2%B9%3Cbr%3EE%20%3D%20%25%7By%3A.3f%7D%20eV%3Cextra%3E%3C%2Fextra%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D2%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_DOS_v_2%5B_mask_vb_2%5D%2C%20y%3D_E_band_2%5B_mask_vb_2%5D%2C%20mode%3D'lines'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'blue'%2C%20width%3D2)%2C%20name%3D'D_v(E)'%2C%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3D'D(E)%20%3D%20%25%7Bx%3A.2e%7D%20cm%E2%81%BB%C2%B3eV%E2%81%BB%C2%B9%3Cbr%3EE%20%3D%20%25%7By%3A.3f%7D%20eV%3Cextra%3E%3C%2Fextra%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D2%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%23%20Reference%20lines%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_hline(y%3D_E_c_2%2C%20line%3Ddict(color%3D'gray'%2C%20width%3D1%2C%20dash%3D'dot')%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_hline(y%3D_E_v_2%2C%20line%3Ddict(color%3D'gray'%2C%20width%3D1%2C%20dash%3D'dot')%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_hline(y%3D_E_F_pos_2%2C%20line%3Ddict(color%3D'red'%2C%20width%3D1%2C%20dash%3D'dash')%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20effective%20mass%20annotations%20in%20DOS%20panel%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D2%20*%20max(_DOS_c_2)%2C%20y%3D_E_c_2%20%2B%200.15%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3Df%22m%3Csub%3En%3C%2Fsub%3E*%20%3D%20%7B_params%5B'mn_eff'%5D%3A.3f%7D%20m%E2%82%80%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D10%2C%20color%3D'darkblue')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bgcolor%3D'rgba(255%2C255%2C255%2C0.8)'%2C%20xref%3D'x2'%2C%20yref%3D'y2'%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0.5%20*%20max(_DOS_v_2)%2C%20y%3D_E_v_2%20-%200.15%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3Df%22m%3Csub%3Ep%3C%2Fsub%3E*%20%3D%20%7B_params%5B'mp_eff'%5D%3A.3f%7D%20m%E2%82%80%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3Ddict(size%3D10%2C%20color%3D'darkblue')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bgcolor%3D'rgba(255%2C255%2C255%2C0.8)'%2C%20xref%3D'x2'%2C%20yref%3D'y2'%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.update_xaxes(exponentformat%3D'power'%2C%20showexponent%3D'all'%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%20Panel%203%3A%20Fermi%20function%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_f_val_2%2C%20y%3D_E_band_2%2C%20mode%3D'lines'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'green'%2C%20width%3D2)%2C%20name%3D'f(E)'%2C%20showlegend%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D3%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_hline(y%3D_E_F_pos_2%2C%20line%3Ddict(color%3D'red'%2C%20width%3D1%2C%20dash%3D'dash')%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_vline(x%3D0.5%2C%20line%3Ddict(color%3D'gray'%2C%20width%3D1%2C%20dash%3D'dot')%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%20Panel%204%3A%20Carrier%20distributions%20(only%20in%20valid%20regions)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_n_dist_2%5B_mask_cb_2%5D%2C%20y%3D_E_band_2%5B_mask_cb_2%5D%2C%20mode%3D'lines'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'red'%2C%20width%3D2)%2C%20name%3D'Electrons'%2C%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3D'N(E)%20%3D%20%25%7Bx%3A.2e%7D%20cm%E2%81%BB%C2%B3eV%E2%81%BB%C2%B9%3Cbr%3EE%20%3D%20%25%7By%3A.3f%7D%20eV%3Cextra%3E%3C%2Fextra%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D4%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_p_dist_2%5B_mask_vb_2%5D%2C%20y%3D_E_band_2%5B_mask_vb_2%5D%2C%20mode%3D'lines'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'orange'%2C%20width%3D2)%2C%20name%3D'Holes'%2C%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3D'N(E)%20%3D%20%25%7Bx%3A.2e%7D%20cm%E2%81%BB%C2%B3eV%E2%81%BB%C2%B9%3Cbr%3EE%20%3D%20%25%7By%3A.3f%7D%20eV%3Cextra%3E%3C%2Fextra%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D4%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.update_xaxes(exponentformat%3D'power'%2C%20showexponent%3D'all'%2C%20row%3D1%2C%20col%3D4)%0A%20%20%20%20%23%20Reference%20lines%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_hline(y%3D_E_c_2%2C%20line%3Ddict(color%3D'gray'%2C%20width%3D1%2C%20dash%3D'dot')%2C%20row%3D1%2C%20col%3D4)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_hline(y%3D_E_v_2%2C%20line%3Ddict(color%3D'gray'%2C%20width%3D1%2C%20dash%3D'dot')%2C%20row%3D1%2C%20col%3D4)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.add_hline(y%3D_E_F_pos_2%2C%20line%3Ddict(color%3D'red'%2C%20width%3D1%2C%20dash%3D'dash')%2C%20row%3D1%2C%20col%3D4)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Update%20layout%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.update_xaxes(showticklabels%3DFalse%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.update_xaxes(title_text%3D%22DoS%20cm%3Csup%3E-3%3C%2Fsup%3E%20eV%3Csup%3E-1%3C%2Fsup%3E%22%2C%20range%3D%5B0%2C%20None%5D%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.update_xaxes(title_text%3D%22f(E)%22%2C%20range%3D%5B0%2C%201%5D%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.update_xaxes(title_text%3D%22Carrier%20Density%20cm%3Csup%3E-3%3C%2Fsup%3E%20eV%3Csup%3E-1%3C%2Fsup%3E%22%2C%20%20row%3D1%2C%20col%3D4)%0A%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.update_yaxes(title_text%3D%22Energy%20(eV)%22%2C%20range%3D%5B-1.25%2C%201.25%5D%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.update_yaxes(range%3D%5B-1.25%2C%201.25%5D%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.update_yaxes(range%3D%5B-1.25%2C%201.25%5D%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.update_yaxes(range%3D%5B-1.25%2C%201.25%5D%2C%20row%3D1%2C%20col%3D4)%0A%0A%20%20%20%20_fig_carrier_explorer.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D1100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title_text%3Df%22Carrier%20Distribution%20at%20T%20%3D%20%7B_T_2%7D%20K%2C%20(E%3Csub%3EF%3C%2Fsub%3E%20-%20E%3Csub%3Emid-gap%3C%2Fsub%3E)%20%3D%20%7B_E_F_pos_2%3A.2f%7D%20eV%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.85%2C%20y%3D0.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovermode%3D'closest'%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23_fig_carrier_explorer%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Interactive%20Carrier%20Density%20vs.%20Fermi%20Level%20Position%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20material_select%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temp_slider_2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ef_position_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig_carrier_explorer)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Intrinsic%20Carrier%20Concentration%20(%24n_i%24)%20%26%20%24n_0%20p_0%24%20Product%3A%0A%0A%20%20%20%20Multiplying%20the%20expressions%20of%20%24n_0%24%20and%20%24p_0%24%2C%20we%20get%0A%0A%20%20%20%20%24%24n_0%20p_0%20%3D%20N_c%20N_v%20e%5E%7B-(E_c%20-%20E_v)%2Fk_BT%7D%20%3D%20N_c%20N_v%20e%5E%7B-E_g%2Fk_BT%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Consider%20the%20special%20case%20of%20an%20**intrinsic**%20(i.e.%2C%20undoped)%20semiconductor%2C%20%24n_0%20%3D%20p_0%20%3D%20n_i%24%2C%20where%20%24n_i%24%20is%20the%20intrinsic%20carrier%20concentration.%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20above%20equation%20to%20hold%2C%20it%20means%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn_i%5E2%20%3D%20N_c%20N_v%20e%5E%7B-E_g%2Fk_BT%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20%5Cboxed%7Bn_0%20p_0%20%3D%20n_i%5E2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**For%20Si%2C%20%24n_i%20%5Capprox%2010%5E%7B10%7D%20%5Ctext%7B%20cm%7D%5E%7B-3%7D%24%20at%20%24T%20%3D%20300%20%5Ctext%7B%20K%7D%24.**%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Intrinsic%20Fermi%20Level%20(%24E_%7BFi%7D%24)%0A%0A%20%20%20%20-%20%24E_%7BFi%7D%24%20is%20a%20good%20reference%20energy%20because%20it%20is%20independent%20of%20doping%20and%20is%20a%20property%20of%20a%20pure%20semiconductor%0A%0A%20%20%20%20-%20For%20the%20intrinsic%20semiconductor%2C%20%24n_i%20%3D%20N_c%20e%5E%7B-(E_c-E_%7BFi%7D)%2Fk_BT%7D%20%3D%20n_i%20%3D%20N_v%20e%5E%7B-(E_%7BFi%7D-E_%7Bv%7D)%2Fk_BT%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%24%24N_c%20%3D%20n_i%20e%5E%7B(E_c%20-%20E_%7BFi%7D)%2Fk_BT%7D%2C%20%5Cquad%20N_v%20%3D%20n_i%20e%5E%7B(E_%7BFi%7D%20-%20E_v)%2Fk_BT%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20%5Cboxed%7Bn_0%20%3D%20n_i%20e%5E%7B(E_F%20-%20E_%7BFi%7D)%2Fk_BT%7D%2C%20%5Cquad%20p_0%20%3D%20n_i%20e%5E%7B(E_%7BFi%7D%20-%20E_F)%2Fk_BT%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BE_F%20-%20E_%7BFi%7D%20%3D%20k_B%20T%20%5Cln%5Cleft(%5Cfrac%7Bn_0%7D%7Bn_i%7D%5Cright)%20%3D%20-k_B%20T%20%5Cln%5Cleft(%5Cfrac%7Bp_0%7D%7Bn_i%7D%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20%24E_%7BFi%7D%24%20is%20midgap%20for%20%24N_c%20%3D%20N_v%24.%20Because%20%24N_c%24%20and%20%24N_v%24%20are%20usually%20different%2C%20%24E_%7BFi%7D%24%20is%20not%20in%20the%20middle%20of%20the%20bandgap.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Other%20Terminology%0A%20%20%20%20-%20Extrinsic%20semiconductor%20%3D%20doped%20semiconductor%0A%20%20%20%20-%20Compensated%20semiconductor%20%3D%20semiconductor%20containing%20both%20acceptors%20and%20donors%0A%20%20%20%20-%20Majority%20carriers%20%3D%20the%20higher%20concentration%20carrier%20type%20in%20a%20doped%20semiconductor%20(n-type%3A%20electrons%3B%20p-type%3A%20holes)%0A%20%20%20%20-%20Minority%20carriers%20%3D%20the%20low%20concentration%20carrier%20type%20(n-type%3A%20holes%3B%20p-type%3A%20electrons)%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Material%20%7C%20Majority%20carrier%20%7C%20Minority%20carrier%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A----------%3A%7C%3A-----------------%3A%7C%3A--------------%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20n-type%20%20%20%7C%20electrons%20%7C%20holes%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20p-type%20%20%20%7C%20holes%20%7C%20electrons%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20Dopant%20and%20Carrier%20Concentrations%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Dopants%0A%0A%20%20%20%20-%20**Donor%20concentration%3A%20N%3Csub%3Ed%3C%2Fsub%3E**%20%5Bcm%3Csup%3E-3%3C%2Fsup%3E%5D%0A%20%20%20%20%20%20-%20Doping%20with%20donors%20(impurities%20with%20excess%20electrons%20compared%20to%20the%20nominal%20atoms%20in%20the%20crystal)%20make%20the%20semiconductor%20n-type%0A%0A%20%20%20%20-%20**Acceptor%20concetration%3A%20N%3Csub%3Ea%3C%2Fsub%3E**%20%5Bcm%3Csup%3E-3%3C%2Fsup%3E%5D%0A%20%20%20%20%20%20-%20Doping%20with%20acceptors%20(impurities%20lacking%20electrons%20compared%20to%20the%20nominal%20atoms%20in%20the%20crystal)%20make%20the%20semiconductor%20p-type%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Charge%20Neutrality%0A%0A%20%20%20%20-%20A%20doped%20semiconductor%20is%20electrically%20neutral.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20n_0%20%2B%20N_a%5E-%20%3D%20p_0%20%2B%20N_d%5E%2B%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24N_a%5E-%20%5Ctext%7B%3A%20concentration%20of%20ionized%20acceptors%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24N_d%5E%2B%20%5Ctext%7B%3A%20concentration%20of%20ionized%20donors%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20%22Ionized%22%20means%20that%20the%20impurity%20atom%20(donor%20or%20acceptor)%20has%20given%20up%20or%20took%20in%20the%20extra%20electron%20so%20it%20can%20bond%20with%20the%20atoms%20in%20crystal.%0A%0A%20%20%20%20-%20Assuming%20complete%20ionization%20(%24N_a%5E-%20%3D%20N_a%24%20and%20%24N_d%5E%2B%20%3D%20N_d%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24n_0%20%2B%20N_a%20%3D%20p_0%20%2B%20N_d%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20Combined%20with%20%24n_0%20%3D%20n_i%5E2%2Fp_0%24%20and%20%24p_0%20%3D%20n_i%5E2%2Fn_0%24%2C%20we%20solve%20for%20%24n_0%24%20and%20%24p_0%24%20to%20arrive%20at%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn_0%20%3D%20%5Cfrac%7BN_d%20-%20N_a%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B%5Cleft(%5Cfrac%7BN_d%20-%20N_a%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%20%2B%20n_i%5E2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bp_0%20%3D%20%5Cfrac%7BN_a%20-%20N_d%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B%5Cleft(%5Cfrac%7BN_a%20-%20N_d%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%20%2B%20n_i%5E2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Simplified%20Cases%3A%0A%0A%20%20%20%20**N-type**%20(%24N_d%20%5Cgg%20N_a%2C%20n_i%24)%3A%0A%20%20%20%20-%20%24n_0%20%5Capprox%20N_d%20-%20N_a%20%5Capprox%20N_d%24%0A%20%20%20%20-%20%24p_0%20%5Capprox%20n_i%5E2%20%2F%20N_d%24%20(minority%20carrier)%0A%0A%20%20%20%20**P-type**%20(%24N_a%20%5Cgg%20N_d%2C%20n_i%24)%3A%0A%20%20%20%20-%20%24p_0%20%5Capprox%20N_a%20-%20N_d%20%5Capprox%20N_a%24%0A%20%20%20%20-%20%24n_0%20%5Capprox%20n_i%5E2%20%2F%20N_a%24%20(minority%20carrier)%0A%0A%20%20%20%20Typically%2C%20%24N_a%24%2C%20%24N_d%24%20are%20in%20the%20range%20of%20%2410%5E%7B14%7D%24%20to%20%2410%5E%7B17%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24%2C%20which%20is%20much%20higher%20than%20%24n_i%24%20at%20room%20temperature%20(for%20Si%2C%20%24n_i%20%5Capprox%2010%5E%7B10%7D%20%5Ctext%7B%20cm%7D%5E%7B-3%7D%24%20at%20300%20K.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Doping%20calculator%0A%0A%20%20%20%20nd_log_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D18%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Donor%20concentration%20N%3Csub%3Ed%3C%2Fsub%3E%20(log%20cm%E2%81%BB%C2%B3)%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20na_log_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D18%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Acceptor%20concentration%20N%3Csub%3Ea%3C%2Fsub%3E%20(log%20cm%E2%81%BB%C2%B3)%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20temp_input_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Temperature%20(K)%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D10%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20na_log_slider%2C%20nd_log_slider%2C%20temp_input_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20na_log_slider%2C%20nd_log_slider%2C%20np%2C%20temp_input_slider)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Convert%20log%20values%20to%20actual%20concentrations%0A%20%20%20%20nd_input%20%3D%2010%20**%20nd_log_slider.value%0A%20%20%20%20na_input%20%3D%2010%20**%20na_log_slider.value%0A%20%20%20%20temp_input%20%3D%20temp_input_slider.value%0A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20doped%20semiconductor%20properties%0A%0A%20%20%20%20N_d_val%20%3D%20nd_input%0A%20%20%20%20N_a_val%20%3D%20na_input%0A%20%20%20%20T_dope%20%3D%20temp_input%0A%0A%20%20%20%20%23%20Silicon%20parameters%0A%20%20%20%20m_n_eff_Si%20%3D%201.08%20%20%23%20in%20units%20of%20m_0%0A%20%20%20%20m_p_eff_Si%20%3D%200.81%20%20%23%20in%20units%20of%20m_0%0A%20%20%20%20E_g_Si%20%3D%201.12%0A%0A%20%20%20%20%23%20Physical%20constants%20for%20calculation%0A%20%20%20%20m_0_calc%20%3D%209.109e-31%20%20%23%20kg%0A%20%20%20%20k_B_J_calc%20%3D%201.381e-23%20%20%23%20J%2FK%0A%20%20%20%20h_calc%20%3D%206.626e-34%20%20%23%20J%C2%B7s%0A%20%20%20%20k_B_dope%20%3D%208.617e-5%20%20%23%20eV%2FK%0A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20temperature-dependent%20effective%20density%20of%20states%0A%20%20%20%20m_n_star_Si%20%3D%20m_n_eff_Si%20*%20m_0_calc%0A%20%20%20%20m_p_star_Si%20%3D%20m_p_eff_Si%20*%20m_0_calc%0A%0A%20%20%20%20N_c_Si%20%3D%202%20*%20((2%20*%20np.pi%20*%20m_n_star_Si%20*%20k_B_J_calc%20*%20T_dope)%20%2F%20(h_calc**2))**(3%2F2)%20%2F%201e6%20%20%23%20cm%5E-3%0A%20%20%20%20N_v_Si%20%3D%202%20*%20((2%20*%20np.pi%20*%20m_p_star_Si%20*%20k_B_J_calc%20*%20T_dope)%20%2F%20(h_calc**2))**(3%2F2)%20%2F%201e6%20%20%23%20cm%5E-3%0A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20temperature-dependent%20intrinsic%20carrier%20concentration%0A%20%20%20%20n_i_Si%20%3D%20np.sqrt(N_c_Si%20*%20N_v_Si)%20*%20np.exp(-E_g_Si%20%2F%20(2%20*%20k_B_dope%20*%20T_dope))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20n%20and%20p%0A%20%20%20%20n_doped%20%3D%20(N_d_val%20-%20N_a_val)%20%2F%202%20%2B%20np.sqrt(((N_d_val%20-%20N_a_val)%20%2F%202)**2%20%2B%20n_i_Si**2)%0A%20%20%20%20p_doped%20%3D%20(N_a_val%20-%20N_d_val)%20%2F%202%20%2B%20np.sqrt(((N_a_val%20-%20N_d_val)%20%2F%202)**2%20%2B%20n_i_Si**2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20E_F%20position%0A%20%20%20%20E_c_Si%20%3D%20E_g_Si%20%2F%202%0A%20%20%20%20E_v_Si%20%3D%20-E_g_Si%20%2F%202%0A%20%20%20%20E_i_Si%20%3D%200%20%20%23%20midgap%0A%0A%20%20%20%20E_F_doped%20%3D%20E_c_Si%20-%20k_B_dope%20*%20T_dope%20*%20np.log(N_c_Si%20%2F%20n_doped)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Determine%20semiconductor%20type%0A%20%20%20%20if%20n_doped%20%3E%20p_doped%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sc_type%20%3D%20%22N-type%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20majority%20%3D%20%22Electrons%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20minority%20%3D%20%22Holes%22%0A%20%20%20%20elif%20p_doped%20%3E%20n_doped%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sc_type%20%3D%20%22P-type%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20majority%20%3D%20%22Holes%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20minority%20%3D%20%22Electrons%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sc_type%20%3D%20%22Intrinsic%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20majority%20%3D%20%22N%2FA%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20minority%20%3D%20%22N%2FA%22%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20sci_fmt(val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20val%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%220%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.isnan(val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22NaN%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.isinf(val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20val%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22%E2%88%9E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22-%E2%88%9E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(val)%20%3C%201e-300%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22~0%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exp%20%3D%20int(np.floor(np.log10(abs(val))))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coeff%20%3D%20val%20%2F%20(10**exp)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Show%20only%20one%20decimal%20if%20not%20integer%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(coeff%20-%20round(coeff))%20%3C%201e-8%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coeff_str%20%3D%20f%22%7Bint(round(coeff))%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coeff_str%20%3D%20f%22%7Bcoeff%3A.1f%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%7Bcoeff_str%7D%20%C3%97%2010%3Csup%3E%7Bexp%7D%3C%2Fsup%3E%22%0A%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%23%23%23%20Carrier%20Concentration%20vs.%20Doping%20Calculator%20for%20Silicon%22%22%22)%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20nd_log_slider%2C%0A%20%20%20%20%23%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22**N%3Csub%3Ed%3C%2Fsub%3E%20%3D%20%7Bsci_fmt(10%20**%20nd_log_slider.value)%7D%20cm%3Csup%3E-3%3C%2Fsup%3E**%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20na_log_slider%2C%0A%20%20%20%20%23%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22**N%3Csub%3Ea%3C%2Fsub%3E%20%3D%20%7Bsci_fmt(10%20**%20na_log_slider.value)%7D%20cm%3Csup%3E-3%3C%2Fsup%3E**%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temp_input_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22**Temperature**%20%3D%20%7Btemp_input_slider.value%7D%20K%22%22%22)%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Doping%3A**%20N%3Csub%3Ed%3C%2Fsub%3E%20%3D%20%7Bsci_fmt(N_d_val)%7D%20cm%3Csup%3E-3%3C%2Fsup%3E%2C%20N%3Csub%3Ea%3C%2Fsub%3E%20%3D%20%7Bsci_fmt(N_a_val)%7D%20cm%3Csup%3E-3%3C%2Fsup%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Semiconductor%20Type%3A**%20%7Bsc_type%7D%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Majority%20carriers%3A**%20%7Bmajority%7D%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Minority%20carriers%3A**%20%7Bminority%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Carrier%20Concentrations%3A**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Electron%20concentration%3A%20n%3Csub%3E0%3C%2Fsub%3E%20%3D%20%7Bsci_fmt(n_doped)%7D%20cm%3Csup%3E-3%3C%2Fsup%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Hole%20concentration%3A%20p%3Csub%3E0%3C%2Fsub%3E%20%3D%20%7Bsci_fmt(p_doped)%7D%20cm%3Csup%3E-3%3C%2Fsup%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Intrinsic%20concentration%3A%20n%3Csub%3Ei%3C%2Fsub%3E%20%3D%20%7Bsci_fmt(n_i_Si)%7D%20cm%3Csup%3E-3%3C%2Fsup%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Verification%3A**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20n%3Csub%3E0%3C%2Fsub%3Ep%3Csub%3E0%3C%2Fsub%3E%20product%3A%20%7Bsci_fmt(n_doped%20*%20p_doped)%7D%20cm%3Csup%3E-6%3C%2Fsup%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20n%3Csub%3Ei%3C%2Fsub%3E%3Csup%3E2%3C%2Fsup%3E%3A%20%7Bsci_fmt(n_i_Si**2)%7D%20cm%3Csup%3E-6%3C%2Fsup%3E%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%23%20%20%20**Fermi%20Level%3A**%0A%20%20%20%20%20%23%20%20%20-%20E%3Csub%3EF%3C%2Fsub%3E%20%3D%20%7Bsci_fmt(E_F_doped)%7D%20eV%20(from%20midgap)%0A%20%20%20%20%20%23%20%20%20-%20E%3Csub%3EF%3C%2Fsub%3E%20-%20E%3Csub%3Ei%3C%2Fsub%3E%20%3D%20%7Bsci_fmt(E_F_doped%20-%20E_i_Si)%7D%20eV%0A%20%20%20%20%20%23%20%20%20-%20E%3Csub%3Ec%3C%2Fsub%3E%20-%20E%3Csub%3EF%3C%2Fsub%3E%20%3D%20%7Bsci_fmt(E_c_Si%20-%20E_F_doped)%7D%20eV%0A%20%20%20%20%20%23%20%20%20-%20E%3Csub%3EF%3C%2Fsub%3E%20-%20E%3Csub%3Ev%3C%2Fsub%3E%20%3D%20%7Bsci_fmt(E_F_doped%20-%20E_v_Si)%7D%20eV%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Use%20absolute%20URL%20for%20WASM%20compatibility%20(image%20hosted%20on%20GitHub%20Pages)%0A%20%20%20%20_base_url%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Fequilibrium%22%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%23%23%20Carrier%20concentrations%20at%20extreme%20temperatures%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cdiv%20style%3D%22text-align%3A%20center%3B%22%3E%3Cimg%20src%3D%22%7B_base_url%7D%2Fcarrier_vs_T.png%22%20width%3D%22600%22%20alt%3D%22Carrier%20concentration%20vs%20Temperature%22%3E%3Cp%20style%3D%22font-style%3A%20italic%3B%20color%3A%20%23666%3B%22%3EPierret%20Fig.%204.18%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20-%20**Freeze%20out**%3A%20At%20low%20temperatures%20(%24T%20%5Cto%200%24%20K)%2C%20there%20is%20insufficient%20thermal%20energy%20to%20ionize%20the%20impurities.%20Therefore%2C%20there%20are%20very%20few%20free%20carriers.%20%0A%20%20%20%20-%20**Intrinsic%20T-region**%3A%20At%20high%20temperatures%2C%20intrinsic%20carrier%20generation%20dominates%20over%20dopant%20ionization%2C%20leading%20to%20intrinsic-like%20behavior%20regardless%20of%20doping.%0A%20%20%20%20-%20**Extrinsic%20T-region**%3A%20The%20equations%20we%20have%20derived%20for%20%24n_0%24%2C%20%24p_0%24%20hold%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%20of%20Equations%3A%20Carrier%20Concentrations%20at%20Equilibrium%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Density%20of%20States%20(3D%20Bulk)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BD_c(E)%20%3D%20%5Cfrac%7B8%5Cpi%20m_n%5E*%7D%7Bh%5E3%7D%5Csqrt%7B2m_n%5E*(E-E_c)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BD_v(E)%20%3D%20%5Cfrac%7B8%5Cpi%20m_p%5E*%7D%7Bh%5E3%7D%5Csqrt%7B2m_p%5E*(E_v-E)%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Fermi-Dirac%20Distribution%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bf(E)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20e%5E%7B(E-E_F)%2Fk_BT%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Equilibirum%20Carrier%20Concentrations%20(Boltzmann%20Approximation)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn_0%20%3D%20N_c%20e%5E%7B-(E_c-E_F)%2Fk_BT%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bp_0%20%3D%20N_v%20e%5E%7B-(E_F-E_v)%2Fk_BT%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20the%20effective%20densities%20of%20states%20are%0A%0A%20%20%20%20%24%24N_c%20%3D%202%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%20m_n%5E*%20k_B%20T%7D%7Bh%5E2%7D%5Cright)%5E%7B3%2F2%7D%2C%20%5Cquad%20N_v%20%3D%202%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%20m_p%5E*%20k_B%20T%7D%7Bh%5E2%7D%5Cright)%5E%7B3%2F2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn_0%20p_0%20%3D%20n_i%5E2%20%3D%20N_c%20N_v%20e%5E%7B-E_g%2Fk_BT%7D%7D%20%5Cquad%20n_i%20%5Ctext%7B%20is%20the%20instrinsic%20carrier%20concentration%7D%24%24%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Intrinsic%20Fermi%20Level%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn_0%20%3D%20n_i%20e%5E%7B(E_F%20-%20E_%7BFi%7D)%2Fk_BT%7D%2C%20%5Cquad%20p_0%20%3D%20n_i%20e%5E%7B(E_%7BFi%7D%20-%20E_F)%2Fk_BT%7D%7D%24%24%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Doped%20Semiconductors%3A%0A%0A%20%20%20%20Charge%20neutrality%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn_0%20%2B%20N_a%5E-%20%3D%20p_0%20%2B%20N_d%5E%2B%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Carrier%20concentration%20from%20doping%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn_0%20%3D%20%5Cfrac%7BN_d%5E%2B%20-%20N_a%5E-%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B%5Cleft(%5Cfrac%7BN_d%5E%2B%20-%20N_a%5E-%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%20%2B%20n_i%5E2%7D%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bfor%20%7D%20(N_d%5E%2B%20%5Cgg%20N_a%5E-%2C%20n_i)%3A%20n_0%20%5Capprox%20N_d%5E%2B%2C%20p_0%20%5Capprox%20n_i%5E2%2FN_d%5E%2B%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bp_0%20%3D%20%5Cfrac%7BN_a%5E-%20-%20N_d%5E%2B%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Csqrt%7B%5Cleft(%5Cfrac%7BN_a%5E-%20-%20N_d%5E%2B%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%20%2B%20n_i%5E2%7D%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bfor%20%7D%20(N_a%5E-%20%5Cgg%20N_d%5E%2B%2C%20n_i)%3A%20p_0%20%5Capprox%20N_a%5E-%2C%20n_0%20%5Capprox%20n_i%5E2%2FN_a%5E-%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A