energybands

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.19.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Aasync%20def%20_()%3A%0A%20%20%20%20%23%20Install%20plotly%20in%20WASM%20environment%20(Pyodide)%0A%20%20%20%20import%20sys%0A%20%20%20%20if%20%22pyodide%22%20in%20sys.modules%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20micropip%0A%20%20%20%20%20%20%20%20await%20micropip.install(%22plotly%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20matplotlib.patches%20import%20Rectangle%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20from%20plotly.subplots%20import%20make_subplots%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20make_subplots%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Energy%20Bands%0A%0A%20%20%20%20Lectures%206-7%0A%0A%20%20%20%20January%2016-19%2C%202026%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Introduction%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20explores%20the%20**Bloch%20theorem**%20and%20the%201D%20energy%20diagram%20using%20**Kronig-Penney%20model**.%0A%0A%20%20%20%20Reference%3A%20Pierret%20Ch.%203.2.1%20-%203.2.3%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Consider%20a%201D%20periodic%20potential.%20%24U(x)%24%20is%20the%20potential%20energy%20for%20**electrons**.%0A%0A%20%20%20%20The%20potential%20energy%20approaches%20%24-%5Cinfty%24%20at%20the%20locations%20of%20the%20nucleii.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(12%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Parameters%0A%20%20%20%20_a%20%3D%201.0%20%20%23%20lattice%20spacing%0A%20%20%20%20_num_periods%20%3D%205%0A%20%20%20%20_U0%20%3D%202.0%20%20%23%20potential%20depth%20scale%0A%20%20%20%20_x_min_offset%20%3D%200.05%20%20%23%20offset%20to%20avoid%20singularity%20at%20x%3D0%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20x%20array%0A%20%20%20%20_x_total%20%3D%20np.linspace(-0.5*_a%2C%20(_num_periods%20-%200.5)*_a%2C%202000)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20periodic%20potential%20with%201%2F%7Cx-x_n%7C%20form%0A%20%20%20%20%23%20Include%20extra%20periods%20beyond%20visible%20range%20to%20make%20edge%20potentials%20look%20the%20same%0A%20%20%20%20_U%20%3D%20np.zeros_like(_x_total)%0A%20%20%20%20_extra_periods%20%3D%2010%20%20%23%20Add%20extra%20atoms%20beyond%20visible%20range%20for%20uniform%20appearance%0A%0A%20%20%20%20for%20_n%20in%20range(-_extra_periods%2C%20_num_periods%20%2B%20_extra_periods)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_center%20%3D%20_n%20*%20_a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Distance%20from%20center%20of%20each%20well%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_distance%20%3D%20np.abs(_x_total%20-%20_x_center)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Avoid%20singularity%20by%20setting%20minimum%20distance%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_distance%20%3D%20np.maximum(_distance%2C%20_x_min_offset)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20attractive%20potential%20(negative%201%2Fr)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_U%20%2B%3D%20-_U0%20%2F%20_distance%0A%0A%20%20%20%20%23%20Clip%20the%20potential%20for%20visualization%20(avoid%20too%20large%20values)%0A%20%20%20%20_U_clipped%20%3D%20np.clip(_U%2C%20-35%2C%205)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20potential%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x_total%2C%20_U_clipped%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'U(x)')%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_x_total%2C%20_U_clipped%2C%20-35%2C%20alpha%3D0.2%2C%20color%3D'blue')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20vertical%20dashed%20lines%20at%20lattice%20sites%0A%20%20%20%20for%20_n%20in%20range(_num_periods)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_site%20%3D%20_n%20*%20_a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(x%3D_x_site%2C%20color%3D'red'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.7)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20atom%20markers%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(_x_site%2C%20-25%2C%20'ro'%2C%20markersize%3D12%2C%20markeredgecolor%3D'darkred'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20markeredgewidth%3D2%2C%20zorder%3D5)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20horizontal%20line%20at%20U%3D0%0A%20%20%20%20_ax.axhline(y%3D0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'-'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.5)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20lattice%20spacing%20annotations%0A%20%20%20%20%23%20Arrow%20showing%20lattice%20spacing%20'a'%0A%20%20%20%20_arrow_y%20%3D%20-15%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(_a%2C%20_arrow_y)%2C%20xytext%3D(0%2C%20_arrow_y)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'black'%2C%20lw%3D2))%0A%20%20%20%20_ax.text(_a%2F2%2C%20_arrow_y%20%2B%200.8%2C%20r'%24a%24'%2C%20fontsize%3D20%2C%20ha%3D'center')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round'%2C%20facecolor%3D'white'%2C%20edgecolor%3D'black'%2C%20linewidth%3D1.5))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20another%20lattice%20spacing%20annotation%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(2*_a%2C%20_arrow_y)%2C%20xytext%3D(_a%2C%20_arrow_y)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'black'%2C%20lw%3D2))%0A%20%20%20%20_ax.text(1.5*_a%2C%20_arrow_y%20%2B%200.8%2C%20r'%24a%24'%2C%20fontsize%3D20%2C%20ha%3D'center')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round'%2C%20facecolor%3D'white'%2C%20edgecolor%3D'black'%2C%20linewidth%3D1.5))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20periodicity%20annotation%0A%20%20%20%20_period_y%20%3D%20-20%0A%20%20%20%20%23_ax.annotate(''%2C%20xy%3D((_num_periods-1)*_a%2C%20_period_y)%2C%20xytext%3D(0%2C%20_period_y)%2C%0A%20%20%20%20%23%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'green'%2C%20lw%3D2.5))%0A%20%20%20%20_ax.text((_num_periods-1)*_a%2F2%2C%20_period_y%20%2B%2010%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r'Periodic%3A%20%24U(x%2Ba)%20%3D%20U(x)%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20ha%3D'center'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round'%2C%20facecolor%3D'lightgreen'%2C%20edgecolor%3D'green'%2C%20linewidth%3D2))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20labels%20for%20atomic%20positions%0A%20%20%20%20_ax.text(0%2C%20-28%2C%20r'%24x_0%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'darkred'%2C%20weight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.text(_a%2C%20-28%2C%20r'%24x_0%2Ba%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'darkred'%2C%20weight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.text(2*_a%2C%20-28%2C%20r'%24x_0%2B2a%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'darkred'%2C%20weight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.text(3*_a%2C%20-28%2C%20r'%24x_0%2B3a%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'darkred'%2C%20weight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.text(4*_a%2C%20-28%2C%20r'%24x_0%2B4a%24'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'darkred'%2C%20weight%3D'bold')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20annotation%20showing%20potential%20form%0A%20%20%20%20%23_ax.text(0.15*_a%2C%20-8%2C%20r'%24U(x)%20%5Cpropto%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Cx-x_n%7C%7D%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%0A%20%20%20%20%23%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round'%2C%20facecolor%3D'lightyellow'%2C%20edgecolor%3D'orange'%2C%20linewidth%3D2))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Labels%20and%20title%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'Position%20%24x%20%5Ba%5D%24'%2C%20fontsize%3D18%2C%20weight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(r'Potential%20Energy%20%24U(x)%24'%2C%20fontsize%3D18%2C%20weight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.set_title(r'1D%20Periodic%20Potential%20with%20Coulomb-like%20Form'%2C%20fontsize%3D20%2C%20weight%3D'bold'%2C%20pad%3D20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Set%20axis%20limits%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(-0.5*_a%2C%20(_num_periods%20-%200.5)*_a)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(-30%2C%20-5)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Grid%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20linewidth%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Tick%20parameters%0A%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D14)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Remove%20y-axis%20tick%20labels%0A%20%20%20%20_ax.set_yticklabels(%5B%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Legend%0A%20%20%20%20_ax.legend(fontsize%3D14%2C%20loc%3D'upper%20right')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Tight%20layout%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_fig%20%20%23%20Return%20figure%20for%20marimo%20to%20display%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Bloch's%20Theorem%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23In%201D%0A%20%20%20%20If%20%24U(x%2Ba)%20%3D%20U(x)%24%2C%20where%20%24a%24%20is%20the%20lattice%20constant%2C%20the%20electron%20wavefunction%20has%20the%20form%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cpsi(x%2Ba)%20%3D%20e%5E%7Bika%7D%5Cpsi(x)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20This%20is%20equivalent%20to%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cpsi(x)%20%3D%20e%5E%7Bikx%7Du_k(x)%7D%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24u_k(x)%20%3D%20u_k(x%2Ba)%24%20is%20a%20perioidic%20function%20with%20the%20same%20perioidicity%20as%20the%20lattice.%0A%0A%20%20%20%20You%20can%20check%20the%20equivalence%20by%20substitution%20%24x%24%20with%20%24(x%2Ba)%24%20in%20the%20second%20equation%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cpsi(x%2Ba)%20%3D%20e%5E%7Bik(x%2Ba)%7Du_k(x%2Ba)%20%3D%20%5Cleft%5Be%5E%7Bikx%7Du_k(x)%5Cright%5De%5E%7Bika%7D%20%3D%20e%5E%7Bika%7D%5Cpsi(x)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23Verify%20Bloch's%20Theorem%0A%0A%20%20%20%20Let's%20verify%20Bloch's%20theorem%20by%20substituting%20%24%5Cpsi(x%2Ba)%20%3D%20e%5E%7Bika%7D%5Cpsi(x)%24%20into%20the%20time-independent%20Schr%C3%B6dinger%20equation%0A%0A%20%20%20%20%24%24-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cpsi%7D%7Bdx%5E2%7D%20%2B%20U(x)%20%5Cpsi%20%3D%20E%20%5Cpsi%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20%24x%5E%5Cprime%20%3D%20x%2Ba%24%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7Bdx%5E2%7D%5Cpsi(x%2Ba)%20%2B%20U(x%2Ba)%20%5Cpsi%20%3D%20E%20%5Cpsi(x%2Ba)%24%24%0A%0A%20%20%20%20So%0A%0A%20%20%20%20%24%24-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7Bdx%5E2%7D(%5Cpsi(x)%20e%5E%7Bika%7D)%20%2B%20U(x)%20%5Cpsi(x)%20e%5E%7Bika%7D%20%3D%20E%20%5Cpsi(x)%20e%5E%7Bika%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cimplies%20-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B2m%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%7D%7Bdx%5E2%7D(%5Cpsi(x)%20)%20%2B%20U(x)%20%5Cpsi(x)%20%20%3D%20E%20%5Cpsi(x)%24%24%0A%0A%20%20%20%20Therefore%2C%20Schr%C3%B6dinger%20equation%20is%20satistied%20as%20before%2C%20and%20%24%5Cpsi(x%2Ba)%20%3D%20e%5E%7Bika%7D%5Cpsi(x)%24%20is%20a%20valid%20eigenstate.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Visualization%20of%20the%20Bloch%20Wavefunction%0A%0A%20%20%20%20-%20A%20periodic%20function%20%24u_k%24%20is%20modulated%20by%20a%20plane%20wave%20(%24e%5E%7Bikx%7D%24)%0A%20%20%20%20-%20In%20this%20example%2C%20%24u_k(x)%24%20does%20not%20change%20shape%20as%20%24k%24%20changes.%20This%20is%20most%20applicable%20to%20lower%20energy%20electrons%20that%20are%20bound%20to%20the%20nucleus.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20slider%20for%20k%20value%0A%20%20%20%20k_slider_bloch%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-1.0%2C%20stop%3D1.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Wavevector%20k%20(in%20units%20of%20%CF%80%2Fa)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(k_slider_bloch%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20k_slider_bloch%2C%20make_subplots%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%0A%20%20%20%20%23%20Get%20current%20k%20value%20from%20slider%0A%20%20%20%20_k_val_bloch%20%3D%20k_slider_bloch.value%20*%20np.pi%20%20%23%20k%20in%20units%20of%20%CF%80%2Fa%0A%20%20%20%20_a_val_bloch%20%3D%201.0%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20x%20array%20spanning%20multiple%20lattice%20periods%0A%20%20%20%20_num_lattice_periods%20%3D%208%0A%20%20%20%20_x_bloch%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_num_lattice_periods%20*%20_a_val_bloch%2C%201000)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plane%20wave%20component%3A%20e%5E(ikx)%20-%20we'll%20show%20the%20real%20part%0A%20%20%20%20_plane_wave%20%3D%20np.cos(_k_val_bloch%20*%20_x_bloch%20%2F%20_a_val_bloch)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Periodic%20modulation%20u_k(x)%20with%20lattice%20periodicity%0A%20%20%20%20%23%20Using%20Gaussians%20localized%20at%20each%20atomic%20site%0A%20%20%20%20_sigma_bloch%20%3D%200.15%20*%20_a_val_bloch%20%20%23%20Width%20of%20Gaussians%0A%20%20%20%20_u_k%20%3D%20np.zeros_like(_x_bloch)%0A%20%20%20%20for%20_site%20in%20range(_num_lattice_periods%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_center%20%3D%20_site%20*%20_a_val_bloch%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_u_k%20%2B%3D%20np.exp(-(_x_bloch%20-%20_x_center)**2%20%2F%20(2%20*%20_sigma_bloch**2))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Normalize%20u_k%20to%20have%20max%20amplitude%20around%200.6%0A%20%20%20%20_u_k%20%3D%200.6%20*%20_u_k%20%2F%20np.max(_u_k)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Bloch%20wavefunction%3A%20%CF%88(x)%20%3D%20e%5E(ikx)%20*%20u_k(x)%0A%20%20%20%20%23%20Real%20part%3A%20Re%5B%CF%88%5D%20%3D%20u_k(x)%20*%20cos(kx)%0A%20%20%20%20_psi_real%20%3D%20_u_k%20*%20np.cos(_k_val_bloch%20*%20_x_bloch%20%2F%20_a_val_bloch)%0A%20%20%20%20_psi_imag%20%3D%20_u_k%20*%20np.sin(_k_val_bloch%20*%20_x_bloch%20%2F%20_a_val_bloch)%0A%20%20%20%20_psi_prob%20%3D%20_psi_real**2%20%2B%20_psi_imag**2%20%20%23%20%7C%CF%88%7C%C2%B2%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20the%20figure%20with%20subplots%0A%20%20%20%20fig_bloch%20%3D%20make_subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3D3%2C%20cols%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20subplot_titles%3D(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Components%20of%20a%20Bloch%20Wavefunction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Bloch%20Wavefunction%20%CF%88(x)%20%3D%20e%3Csup%3Eikx%3C%2Fsup%3Eu%3Csub%3Ek%3C%2Fsub%3E(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Probability%20Density%20%7C%CF%88(x)%7C%C2%B2%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vertical_spacing%3D0.12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row_heights%3D%5B0.35%2C%200.35%2C%200.3%5D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%201%3A%20Components%0A%20%20%20%20fig_bloch.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_x_bloch%2C%20y%3D_plane_wave%2C%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'cos(kx)'%2C%20line%3Ddict(color%3D'blue'%2C%20width%3D2%2C%20dash%3D'dash'))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_bloch.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_x_bloch%2C%20y%3D_u_k%2C%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'Periodic%20function%20u%3Csub%3Ek%3C%2Fsub%3E(x)'%2C%20line%3Ddict(color%3D'green'%2C%20width%3D2))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%23fig_bloch.add_trace(%0A%20%20%20%20%23%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_x_bloch%2C%20y%3D-_u_k%2C%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%23%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'Envelope%20%C2%B1u%3Csub%3Ek%3C%2Fsub%3E(x)'%2C%20line%3Ddict(color%3D'green'%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%23%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%23%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20%23)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%202%3A%20Bloch%20wavefunction%0A%20%20%20%20fig_bloch.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_x_bloch%2C%20y%3D_psi_real%2C%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'Re%5B%CF%88(x)%5D'%2C%20line%3Ddict(color%3D'red'%2C%20width%3D2.5))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D2%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_bloch.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_x_bloch%2C%20y%3D_psi_imag%2C%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'Im%5B%CF%88(x)%5D'%2C%20line%3Ddict(color%3D'orange'%2C%20width%3D2.5%2C%20dash%3D'dot'))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D2%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%203%3A%20Probability%20density%0A%20%20%20%20fig_bloch.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_x_bloch%2C%20y%3D_psi_prob%2C%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'%7C%CF%88(x)%7C%C2%B2'%2C%20line%3Ddict(color%3D'purple'%2C%20width%3D2.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D'tozeroy'%2C%20fillcolor%3D'rgba(128%2C%200%2C%20128%2C%200.2)')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D3%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20vertical%20lines%20at%20lattice%20sites%0A%20%20%20%20for%20_n%20in%20range(_num_lattice_periods%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_site%20%3D%20_n%20*%20_a_val_bloch%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_bloch.add_vline(x%3D_x_site%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3D%22gray%22%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line_width%3D1%2C%20opacity%3D0.5%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_bloch.add_vline(x%3D_x_site%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3D%22gray%22%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line_width%3D1%2C%20opacity%3D0.5%2C%20row%3D2%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_bloch.add_vline(x%3D_x_site%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3D%22gray%22%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line_width%3D1%2C%20opacity%3D0.5%2C%20row%3D3%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Update%20layout%0A%20%20%20%20fig_bloch.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D700%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(orientation%3D%22h%22%2C%20yanchor%3D%22bottom%22%2C%20y%3D1.02%2C%20xanchor%3D%22center%22%2C%20x%3D0.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3Df%22Bloch%20Wavefunction%3A%20%CF%88(x)%20%3D%20e%3Csup%3Eikx%3C%2Fsup%3Eu%3Csub%3Ek%3C%2Fsub%3E(x)%3Cbr%3E%22%20%2B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%3Csup%3Ek%20%3D%20%7Bk_slider_bloch.value%3A.2f%7D%CF%80%2Fa%2C%20lattice%20constant%20a%20%3D%201.0%3C%2Fsup%3E%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig_bloch.update_xaxes(title_text%3D%22Lattice%20Position%20x%20%5Ba%5D%22%2C%20row%3D3%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20fig_bloch.update_yaxes(title_text%3D%22Amplitude%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1%2C%20range%3D%5B-1%2C1%5D)%0A%20%20%20%20fig_bloch.update_yaxes(title_text%3D%22%CF%88(x)%22%2C%20row%3D2%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20fig_bloch.update_yaxes(title_text%3D%22%7C%CF%88%7C%C2%B2%22%2C%20row%3D3%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k_slider_bloch%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.plotly(fig_bloch)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Bloch's%20theorm%20in%203D%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20periodic%20potential%20%24U(%5Cvec%7Br%7D%2B%5Cvec%7BR%7D)%20%3D%20U(%5Cvec%7Br%7D)%24%2C%20where%20%24%5Cvec%7Br%7D%20%3D%20(x%2Cy%2Cz)%24%20and%20%24%5Cvec%7BR%7D%20%3D%20n_1%20%5Cvec%7Ba%7D_1%20%2B%20n_2%20%5Cvec%7Ba%7D_2%20%2B%20n_3%20%5Cvec%7Ba%7D_3%24%20is%20a%20lattice%20vector%2C%20the%20electron%20wavefunction%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cpsi(%5Cvec%7Br%7D%20%2B%20%5Cvec%7BR%7D)%20%3D%20e%5E%7Bi%5Cvec%7Bk%7D%5Ccdot%5Cvec%7BR%7D%7D%5Cpsi(%5Cvec%7Br%7D)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cpsi(%5Cvec%7Br%7D)%20%3D%20e%5E%7Bi%5Cvec%7Bk%7D%5Ccdot%5Cvec%7Br%7D%7Du_%7B%5Cvec%7Bk%7D%7D(%5Cvec%7Br%7D)%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Periodic%20Boundary%20Conditions%0A%0A%20%20%20%20-%20For%20crystals%20with%20a%20finite%20extent%2C%20it%20is%20common%20to%20use%20the%20periodic%20boundary%20condition.%20(Admittedly%2C%20this%20is%20rather%20artificial%2C%20but%20interfaces%20are%20very%20complicated%20to%20deal%20with!)%0A%0A%20%20%20%20-%20For%20a%201D%20finite%20crystal%20with%20%24N%24%20periods%2C%20the%20periodic%20boundary%20condition%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cpsi(x)%3D%5Cpsi(x%2BNa)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20But%20%24%5Cpsi(x%2BNa)%20%3De%5E%7BikNa%7D%5Cpsi(x)%24%2C%20so%20%24%5Cpsi(x)%20%3D%20e%5E%7BikNa%7D%5Cpsi(x)%24.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20%5Cboxed%7Bk%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%20n%7D%7BNa%7D%7D%2C%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bwhere%20%7D%20n%20%3D%200%2C%20%5Cpm%201%2C%20%5Cpm%202%2C%20%5Cldots%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20So%20the%20values%20of%20%24k%24%20are%20discrete.%0A%0A%20%20%20%20-%20Restricting%20%24ka%20%5Cin%20(-%5Cpi%2C%20%2B%5Cpi%5D%24%20for%20the%20set%20of%20unique%20solutions%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20If%20%24N%24%20is%20odd%2C%20then%20%24n%3D0%2C%20%5Cpm%201%2C%20%5Cpm%202%2C%20%5Cldots%20%5Cpm%20(N-1)%2F2%24.%20Thus%2C%20the%20number%20of%20discrete%20%24k%24%20values%20is%20%24N%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20If%20%24N%24%20is%20even%2C%20then%20%24n%3D0%2C%20%5Cpm%201%2C%20%5Cpm%202%2C%20%5Cldots%20%2BN%2F2%24%20(note%20that%20%24n%3D-N%2F2%24%20leads%20to%20the%20same%20wavefunction%20as%20%24n%3D%2BN%2F2%24).%20The%20number%20of%20discrete%20%24k%24%20values%20is%20also%20%24N%24.%0A%0A%20%20%20%20-%20As%20%24N%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%24%2C%20%24k%24%20becomes%20continuous.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20Kronig-Penney%20Model%0A%0A%20%20%20%20Pierret%203.2.1%0A%0A%20%20%20%20The%20model%20consists%20of%3A%0A%20%20%20%20-%20**Region%20I**%20(width%20%24a%24)%3A%20Potential%20%24U(x)%20%3D%200%24%20(well%20region)%0A%20%20%20%20-%20**Region%20II**%20(width%20%24b%24)%3A%20Potential%20%24U(x)%20%3D%20U_0%24%20(barrier%20region)%0A%20%20%20%20-%20**Lattice%20period**%3A%20%24a%20%2B%20b%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Parameters%0A%20%20%20%20_a%20%3D%200.7%20%20%20%23%20well%20width%0A%20%20%20%20_b%20%3D%200.3%20%20%20%23%20barrier%20width%0A%20%20%20%20_U0%20%3D%205.0%20%20%23%20barrier%20height%0A%20%20%20%20_num_periods%20%3D%203%0A%20%20%20%20_period%20%3D%20_a%20%2B%20_b%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20x%20array%0A%20%20%20%20%23%20Start%20slightly%20before%20first%20barrier%20to%20show%20periodicity%20context%0A%20%20%20%20_x_start%20%3D%20-_b%20-%200.5*_a%0A%20%20%20%20_x_end%20%3D%20_num_periods%20*%20_period%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(_x_start%2C%20_x_end%2C%201000)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20potential%20U(x)%0A%20%20%20%20_U%20%3D%20np.zeros_like(_x)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Fill%20in%20barriers%0A%20%20%20%20%23%20Barriers%20are%20in%20range%20%5B-b%2C%200%5D%2C%20%5Ba%2C%20a%2Bb%5D%2C%20%5B2a%2Bb%2C%202a%2B2b%5D%2C%20etc.%0A%20%20%20%20%23%20Pattern%20repeats%20every%20(a%2Bb)%0A%20%20%20%20%23%20Base%20barrier%20is%20at%20%5B-b%2C%200%5D%0A%20%20%20%20%23%20In%20general%20logic%3A%20if%20(x%20%25%20period)%20is%20in%20%5Ba%2C%20a%2Bb%5D%20-%3E%20U0%0A%20%20%20%20%23%20But%20simpler%3A%20check%20periodicity%20relative%20to%20a%20standard%20cell%0A%20%20%20%20%23%20Let's%20define%20the%20cell%20from%20%5B-b%2C%20a%5D%20where%20%5B-b%2C%200%5D%20is%20barrier%2C%20%5B0%2C%20a%5D%20is%20well%0A%0A%20%20%20%20%23%20Using%20modulo%20to%20determine%20region%0A%20%20%20%20%23%20Shift%20x%20by%20b%20so%20that%200%20is%20start%20of%20barrier%0A%20%20%20%20_x_shifted%20%3D%20_x%20%2B%20_b%0A%20%20%20%20_x_mod%20%3D%20np.mod(_x_shifted%2C%20_period)%0A%0A%20%20%20%20%23%20If%20using%20%5B-b%2C%200%5D%20as%20barrier%20(width%20b)%2C%20then%20in%20modulo%20%5B0%2C%20period%5D%3A%0A%20%20%20%20%23%20Barrier%20is%20in%20%5B0%2C%20b%5D%2C%20Well%20is%20in%20%5Bb%2C%20a%2Bb%5D%0A%20%20%20%20_mask_barrier%20%3D%20(_x_mod%20%3C%20_b)%0A%20%20%20%20_U%5B_mask_barrier%5D%20%3D%20_U0%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20potential%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x%2C%20_U%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'U(x)')%0A%20%20%20%20_ax.fill_between(_x%2C%20_U%2C%200%2C%20alpha%3D0.3%2C%20color%3D'blue'%2C%20where%3D_U%3E0)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Styling%0A%20%20%20%20_ax.set_title('Kronig-Penney%20Rectangular%20Potential'%2C%20fontsize%3D16%2C%20weight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel('Position%20x%20%5B%24a%20%2B%20b%24%5D'%2C%20fontsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel('Potential%20Energy%20U(x)'%2C%20fontsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(-1%2C%20_U0%20*%201.5)%0A%20%20%20%20_ax.axhline(0%2C%20color%3D'black'%2C%20linewidth%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Annotations%0A%20%20%20%20%23%20Annotate%20Region%20I%20(Well)%0A%20%20%20%20_ax.text(_a%2F2%2C%20_U0%2F2%2C%20'Region%20I%20%5CnU%3D0'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'center'%2C%20fontsize%3D16)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Annotate%20Region%20II%20(Barrier)%0A%20%20%20%20_ax.text(-_b%2F2%2C%20_U0%20%2B%200.5%2C%20'Region%20II%5CnU%3DU%E2%82%80'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%20fontsize%3D16)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Width%20annotations%0A%20%20%20%20%23%20Width%20a%0A%20%20%20%20_y_width%20%3D%20-0.25%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(0%2C%20_y_width)%2C%20xytext%3D(_a%2C%20_y_width)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'black'))%0A%20%20%20%20_ax.text(_a%2F2%2C%20_y_width-0.025%2C%20'a'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'top'%2C%20fontsize%3D16)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Width%20b%0A%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20xy%3D(-_b%2C%20_y_width)%2C%20xytext%3D(0%2C%20_y_width)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'black'))%0A%20%20%20%20_ax.text(-_b%2F2%2C%20_y_width-0.025%2C%20'b'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'top'%2C%20fontsize%3D16)%0A%0A%20%20%20%20%23_ax.grid(alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Remove%20y-axis%20tick%20labels%0A%20%20%20%20_ax.set_yticklabels(%5B%5D)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig%20%20%23%20Return%20figure%20for%20marimo%20to%20display%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Schr%C3%B6dinger%20Equation%20Solutions%0A%0A%20%20%20%20**Region%20I**%20(%240%20%3C%20x%20%3C%20a%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cpsi_I%7D%7Bdx%5E2%7D%20%2B%20%5Calpha%5E2%5Cpsi_I%20%3D%200%2C%20%5Cquad%20%5Ctextrm%7Bwhere%20%7D%5Calpha%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2mE%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cpsi_I(x)%20%3D%20A%5Csin(%5Calpha%20x)%20%2B%20B%5Ccos(%5Calpha%20x)%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Region%20II**%20(%24-b%20%3C%20x%20%3C%200%24)%3A%0A%20%20%20%20-%20If%20%24E%20%5Cgeq%20U_0%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cpsi_%7BII%7D(x)%20%3D%20C%5Csin(%5Cbeta%20x)%20%2B%20D%5Ccos(%5Cbeta%20x)%2C%20%5Cqquad%20%5Ctextrm%7Bwhere%20%7D%20%5Cbeta%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2m(E-U_0)%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20If%20%24E%20%3C%20U_0%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cpsi_%7BII%7D(x)%20%3D%20C%5Csinh(%5Cgamma%20x)%20%2B%20D%5Ccosh(%5Cgamma%20x)%2C%20%5Cqquad%20%5Ctextrm%7Bwhere%20%7D%20%5Cgamma%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2m(U_0-E)%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%7D%24%24%0A%0A%0A%0A%20%20%20%20**Apply%20Bloch's%20theorem%20and%20boundary%20conditions**%0A%0A%20%20%20%20-%20Let%20%24%5CLambda%20%3D%20a%2Bb%24%0A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%23%20%7C%20Condition%20%7C%20Equation%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%3A%7C%3A-----------%3A%7C%3A----------%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%201%20%7C%20%24%5Cpsi%24%20continuous%20at%20%24x%3D0%24%20%7C%20%24B%20%3D%20D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%202%20%7C%20%24d%5Cpsi%2Fdx%24%20continuous%20at%20%24x%3D0%24%20%7C%20%24%5Calpha%20A%20%3D%20%5Cbeta%20C%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%203%20%7C%20Bloch%3A%20%24%5Cpsi_I(a)%20%3D%20e%5E%7Bik%5CLambda%7D%5Cpsi_%7BII%7D(-b)%24%20%7C%20%24A%5Csin(%5Calpha%20a)%20%2B%20B%5Ccos(%5Calpha%20a)%20%3D%20e%5E%7Bik%5CLambda%7D%5B-C%5Csin(%5Cbeta%20b)%20%2B%20D%5Ccos(%5Cbeta%20b)%5D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%204%20%7C%20Bloch%3A%20%24%5Cpsi'_I(a)%20%3D%20e%5E%7Bik%5CLambda%7D%5Cpsi'_%7BII%7D(-b)%24%20%7C%20%24%5Calpha%20A%5Ccos(%5Calpha%20a)%20-%20%5Calpha%20B%5Csin(%5Calpha%20a)%20%3D%20e%5E%7Bik%5CLambda%7D%5B%5Cbeta%20C%5Ccos(%5Cbeta%20b)%20%2B%20%5Cbeta%20D%5Csin(%5Cbeta%20b)%5D%24%20%7C%0A%0A%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20four%20boundary%20conditions%20form%20a%20homogeneous%20linear%20system%20%24%5Cmathbf%7BM%7D%5Cvec%7Bc%7D%20%3D%20%5Cvec%7B0%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%26%201%20%26%200%20%26%20-1%20%5C%5C%20%5Calpha%20%26%200%20%26%20-%5Cbeta%20%26%200%20%5C%5C%20%5Csin(%5Calpha%20a)%20%26%20%5Ccos(%5Calpha%20a)%20%26%20e%5E%7Bik%5CLambda%7D%5Csin(%5Cbeta%20b)%20%26%20-e%5E%7Bik%5CLambda%7D%5Ccos(%5Cbeta%20b)%20%5C%5C%20%5Calpha%5Ccos(%5Calpha%20a)%20%26%20-%5Calpha%5Csin(%5Calpha%20a)%20%26%20-%5Cbeta%20e%5E%7Bik%5CLambda%7D%5Ccos(%5Cbeta%20b)%20%26%20-%5Cbeta%20e%5E%7Bik%5CLambda%7D%5Csin(%5Cbeta%20b)%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20A%20%5C%5C%20B%20%5C%5C%20C%20%5C%5C%20D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%5C%5C%200%20%5C%5C%200%20%5C%5C%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Non-trivial%20solutions%20require%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cdet(%5Cmathbf%7BM%7D)%20%3D%200%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Energy%20Band%20Diagram%0A%0A%20%20%20%20-%20Solving%20the%20%24%5Cdet(%5Cmathbf%7BM%7D)%20%3D%200%24%20leads%20to%20the%20**dispersion%20relation**%3A%0A%0A%0A%20%20%20%20**For%20%24E%20%5Cgeq%20U_0%24%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B-%5Cfrac%7B%5Calpha%5E2%20%2B%20%5Cbeta%5E2%7D%7B2%5Calpha%5Cbeta%7D%5Csin(%5Calpha%20a)%5Csin(%5Cbeta%20b)%20%2B%20%5Ccos(%5Calpha%20a)%5Ccos(%5Cbeta%20b)%20%3D%20%5Ccos(k%5CLambda)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20**For%20%24E%20%3C%20U_0%24%3A**%20(substitute%20%24%5Cbeta%20%5Cto%20i%5Cgamma%24%2C%20using%20%24%5Csin(ix)%20%3D%20i%5Csinh(x)%24%2C%20%24%5Ccos(ix)%20%3D%20%5Ccosh(x)%24)%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cfrac%7B%5Cgamma%5E2%20-%20%5Calpha%5E2%7D%7B2%5Calpha%5Cgamma%7D%5Csin(%5Calpha%20a)%5Csinh(%5Cgamma%20b)%20%2B%20%5Ccos(%5Calpha%20a)%5Ccosh(%5Cgamma%20b)%20%3D%20%5Ccos(k%5CLambda)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5CLambda%20%3D%20a%20%2B%20b%24%20is%20the%20lattice%20period%2C%20%24%5Calpha%20%3D%20%5Csqrt%7B2mE%2F%5Chbar%5E2%7D%24%2C%20%24%5Cbeta%20%3D%20%5Csqrt%7B2m(E-U_0)%2F%5Chbar%5E2%7D%24%2C%20%24%5Cgamma%20%3D%20%5Csqrt%7B2m(U_0-E)%2F%5Chbar%5E2%7D%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Physical%20Interpretation%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24%7C%5Ccos(k%5CLambda)%7C%20%5Cleq%201%24%2C%20only%20energies%20where%20%24%7C%5Ctext%7BLHS%7D%7C%20%5Cleq%201%24%20are%20allowed.%20This%20creates%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Allowed%20bands**%3A%20energies%20with%20real%20%24k%24%20solutions%0A%20%20%20%20-%20**Forbidden%20gaps**%3A%20energies%20where%20%24%7C%5Ctext%7BLHS%7D%7C%20%3E%201%24%0A%20%20%20%20-%20**Band%20edges**%3A%20occur%20at%20%24k%20%3D%200%24%20and%20%24k%20%3D%20%5Cpm%5Cpi%2F%5CLambda%24%20where%20%24dE%2Fdk%20%3D%200%24%0A%20%20%20%20-%20%24k%24%20is%20the%20electron%20wavenumber%3B%20%24%5Chbar%20k%24%20is%20also%20known%20as%20the%20crystal%20momentum%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20E%20vs.%20k%20Diagram%0A%0A%20%20%20%20-%20Plot%20the%20allowed%20energy%20vs.%20%24k%20(a%2Bb)%24%0A%20%20%20%20-%20To%20find%20%24k(a%2Bb)%24%2C%20solve%20%24%5Ctext%7BLHS%7D%20%3D%20%5Ccos(k(a%2Bb))%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Reduced%20Zone%20and%20Extended%20Zone%20Representations%0A%20%20%20%20-%20Due%20to%20periodicity%20of%20%24%5Ccos(k(a%2Bb))%24%2C%20%24k%20(a%2Bb)%24%20is%20equivalent%20to%20%24k%20(a%2Bb)%20%2B%202%5Cpi%24%0A%20%20%20%20-%20Extended%20zone%20representation%3A%20plot%20the%20solution%20for%20all%20values%20of%20%24k%24%0A%20%20%20%20-%20Reduced%20zone%20representation%3A%20restrict%20%24k%24%20to%20%24%5B-%5Cpi%2F(a%2Bb)%2C%20%2B%5Cpi%2F(a%2Bb)%5D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24-%5Cpi%2F(a%2Bb)%20%5Cleq%20k%20%5Cleq%20%2B%5Cpi%2F(a%2Bb)%24%20is%20known%20as%20the%20first%20**Brillouin%20zone**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Energy%20band%20diagrams%20almost%20always%20use%20reduced%20zone%20representation%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Use%20absolute%20URLs%20for%20WASM%20compatibility%20(images%20hosted%20on%20GitHub%20Pages)%0A%20%20%20%20_base_url%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Fenergybands%22%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Visualizations%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Left%20hand%20side%20of%20the%20Kronig-Penney%20Dispersion%20Relation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cdiv%20style%3D%22text-align%3A%20center%3B%22%3E%3Cimg%20src%3D%22%7B_base_url%7D%2FKP_LHS.png%22%20width%3D%22500%22%20alt%3D%22Pierret%20Fig.%203.3%22%3E%3Cp%20style%3D%22font-style%3A%20italic%3B%20color%3A%20%23666%3B%22%3EPierret%20Fig.%203.3%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Energy%20Bands%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cdiv%20style%3D%22text-align%3A%20center%3B%22%3E%3Cimg%20src%3D%22%7B_base_url%7D%2FKP_bands.png%22%20width%3D%22500%22%20alt%3D%22Pierret%20Fig.%203.5%22%3E%3Cp%20style%3D%22font-style%3A%20italic%3B%20color%3A%20%23666%3B%22%3EPierret%20Fig.%203.5%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20E%20vs.%20k%20diagrams%20in%20reduced%20zone%20and%20extended%20zone%20representations%2C%20and%20in%20free-space%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cdiv%20style%3D%22text-align%3A%20center%3B%22%3E%3Cimg%20src%3D%22%7B_base_url%7D%2FKP_extended_reduced_zone.png%22%20width%3D%22600%22%20alt%3D%22Pierret%20Fig.%203.6%22%3E%3Cp%20style%3D%22font-style%3A%20italic%3B%20color%3A%20%23666%3B%22%3EPierret%20Fig.%203.6%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Visualization%20with%20Interactive%20Parameters%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20sliders%20for%20the%20combined%20visualization%0A%20%20%20%20combined_U0_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.05%2C%20stop%3D8.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D3.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Barrier%20Height%20U%E2%82%80%20(eV)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20combined_a_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.1%2C%20stop%3D1.0%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Well%20Width%20a%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20combined_b_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.1%2C%20stop%3D1.0%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Barrier%20Width%20b%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20combined_U0_slider%2C%20combined_a_slider%2C%20combined_b_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20combined_U0_slider%2C%0A%20%20%20%20combined_a_slider%2C%0A%20%20%20%20combined_b_slider%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20make_subplots%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Helper%20function%20for%20dispersion%20calculation%0A%20%20%20%20def%20_compute_dispersion_lhs_local(E%2C%20U0%2C%20a%2C%20b)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Compute%20the%20left-hand%20side%20of%20the%20Kronig-Penney%20dispersion%20relation%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_hbar%20%3D%201.054571817e-34%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_m_e%20%3D%209.1093837015e-31%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_eV_to_J%20%3D%201.602176634e-19%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_J%20%3D%20E%20*%20_eV_to_J%0A%20%20%20%20%20%20%20%20U0_J%20%3D%20U0%20*%20_eV_to_J%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a_m%20%3D%20a%20*%201e-9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20b_m%20%3D%20b%20*%201e-9%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20E%20%3C%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.nan%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_m_e%20*%20E_J)%20%2F%20_hbar%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20E%20%3E%3D%20U0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beta%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_m_e%20*%20(E_J%20-%20U0_J))%20%2F%20_hbar%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20beta%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20LHS%20%3D%20np.cos(alpha%20*%20a_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20term1%20%3D%20-(alpha**2%20%2B%20beta**2)%20%2F%20(2%20*%20alpha%20*%20beta)%20*%20np.sin(alpha%20*%20a_m)%20*%20np.sin(beta%20*%20b_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20term2%20%3D%20np.cos(alpha%20*%20a_m)%20*%20np.cos(beta%20*%20b_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20LHS%20%3D%20term1%20%2B%20term2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gamma%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_m_e%20*%20(U0_J%20-%20E_J))%20%2F%20_hbar%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20term1%20%3D%20(gamma**2%20-%20alpha**2)%20%2F%20(2%20*%20alpha%20*%20gamma)%20*%20np.sin(alpha%20*%20a_m)%20*%20np.sinh(gamma%20*%20b_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20term2%20%3D%20np.cos(alpha%20*%20a_m)%20*%20np.cosh(gamma%20*%20b_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20LHS%20%3D%20term1%20%2B%20term2%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20LHS%0A%0A%20%20%20%20%23%20Helper%20function%20to%20calculate%20the%20E-K%20diagram%0A%20%20%20%20def%20_compute_E_k_diagram_local(U0%2C%20a%2C%20b%2C%20k_points%3D200%2C%20E_max_factor%3D3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Compute%20the%20E-k%20diagram%20by%20finding%20energies%20for%20each%20k%20value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20k%20values%20in%20the%20first%20Brillouin%20zone%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_period%20%3D%20(a%20%2B%20b)%20*%201e-9%20%20%23%20Convert%20to%20meters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_k_max%20%3D%20np.pi%20%2F%20_period%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_k_values%20%3D%20np.linspace(-_k_max%2C%20_k_max%2C%20k_points)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Energy%20range%20to%20search%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_max%20%3D%2012.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_search%20%3D%20np.linspace(0.01%2C%20E_max%2C%202000)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20For%20each%20k%2C%20find%20energies%20where%20f(E)%20%3D%20cos(k*(a%2Bb))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_k_solutions%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20k%20in%20_k_values%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20target%20%3D%20np.cos(k%20*%20_period)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Find%20energies%20where%20f(E)%20%E2%89%88%20target%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f_E%20%3D%20np.array(%5B_compute_dispersion_lhs_local(E%2C%20U0%2C%20a%2C%20b)%20for%20E%20in%20E_search%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Find%20crossings%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20diff%20%3D%20f_E%20-%20target%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Find%20sign%20changes%20(crossings)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sign_changes%20%3D%20np.where(np.diff(np.sign(diff)))%5B0%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20energies_for_k%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20idx%20in%20sign_changes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Linear%20interpolation%20for%20better%20accuracy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20idx%20%3C%20len(E_search)%20-%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20E1%2C%20E2%20%3D%20E_search%5Bidx%5D%2C%20E_search%5Bidx%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f1%2C%20f2%20%3D%20diff%5Bidx%5D%2C%20diff%5Bidx%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20E_cross%20%3D%20E1%20-%20f1%20*%20(E2%20-%20E1)%20%2F%20(f2%20-%20f1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20energies_for_k.append(E_cross)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20E_k_solutions.append((k%2C%20energies_for_k))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_k_values%2C%20E_k_solutions%0A%0A%20%20%20%20%23%20Helper%20function%20to%20calculate%20the%20extended%20zone%20E-K%20diagram%0A%20%20%20%20def%20_compute_E_k_diagram_extended(U0%2C%20a%2C%20b%2C%20k_points%3D400%2C%20E_max_factor%3D3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Compute%20the%20E-k%20diagram%20for%20extended%20zone%20representation%20(-2pi%20to%20%2B2pi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20k%20values%20extended%20to%20-2pi%20to%20%2B2pi%20(normalized)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_period%20%3D%20(a%20%2B%20b)%20*%201e-9%20%20%23%20Convert%20to%20meters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_k_max%20%3D%202%20*%20np.pi%20%2F%20_period%20%20%23%20Extended%20to%202pi%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_k_values%20%3D%20np.linspace(-_k_max%2C%20_k_max%2C%20k_points)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Energy%20range%20to%20search%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_max%20%3D%2012.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_search%20%3D%20np.linspace(0.01%2C%20E_max%2C%202000)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20For%20each%20k%2C%20find%20energies%20where%20f(E)%20%3D%20cos(k*(a%2Bb))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_k_solutions%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20k%20in%20_k_values%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20target%20%3D%20np.cos(k%20*%20_period)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Find%20energies%20where%20f(E)%20%E2%89%88%20target%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f_E%20%3D%20np.array(%5B_compute_dispersion_lhs_local(E%2C%20U0%2C%20a%2C%20b)%20for%20E%20in%20E_search%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Find%20crossings%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20diff%20%3D%20f_E%20-%20target%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Find%20sign%20changes%20(crossings)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sign_changes%20%3D%20np.where(np.diff(np.sign(diff)))%5B0%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20energies_for_k%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20idx%20in%20sign_changes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Linear%20interpolation%20for%20better%20accuracy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20idx%20%3C%20len(E_search)%20-%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20E1%2C%20E2%20%3D%20E_search%5Bidx%5D%2C%20E_search%5Bidx%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f1%2C%20f2%20%3D%20diff%5Bidx%5D%2C%20diff%5Bidx%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20E_cross%20%3D%20E1%20-%20f1%20*%20(E2%20-%20E1)%20%2F%20(f2%20-%20f1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20energies_for_k.append(E_cross)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20E_k_solutions.append((k%2C%20energies_for_k))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_k_values%2C%20E_k_solutions%0A%0A%20%20%20%20%23%20Get%20current%20slider%20values%0A%20%20%20%20_U0%20%3D%20combined_U0_slider.value%0A%20%20%20%20_a%20%3D%20combined_a_slider.value%0A%20%20%20%20_b%20%3D%20combined_b_slider.value%0A%20%20%20%20_energy_res%20%3D%202000%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20the%20combined%20figure%20with%204%20subplots%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20make_subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3D1%2C%20cols%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20subplot_titles%3D(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Periodic%20Potential%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Dispersion%20Function%20LHS%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22E-k%20Diagram%20(Extended%20Zone)%20%3Cbr%3E%20k(a%2Bb)%20%E2%88%88%20%5B-2%CF%80%2C%20%2B2%CF%80%5D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22E-k%20Diagram%20(Reduced%20Zone)%20%3Cbr%3E%20k(a%2Bb)%20%E2%88%88%20%5B-%CF%80%2C%20%2B%CF%80%5D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20horizontal_spacing%3D0.08%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20column_widths%3D%5B0.25%2C%200.25%2C%200.25%2C%200.25%5D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%3D%3D%20Plot%201%3A%20Periodic%20Potential%20%3D%3D%3D%3D%3D%0A%20%20%20%20_num_periods%20%3D%205%0A%20%20%20%20_period%20%3D%20_a%20%2B%20_b%0A%20%20%20%20_x_total%20%3D%20_num_periods%20*%20_period%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(-_b%2C%20_x_total%2C%202000)%0A%20%20%20%20_U%20%3D%20np.zeros_like(_x)%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(_num_periods%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_start%20%3D%20_i%20*%20_period%20-%20_b%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_end%20%3D%20_i%20*%20_period%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mask%20%3D%20(_x%20%3E%3D%20_x_start)%20%26%20(_x%20%3C%20_x_end)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_U%5B_mask%5D%20%3D%20_U0%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_x%2C%20y%3D_U%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'Potential%20U(x)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'blue'%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D'tozeroy'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D'rgba(0%2C%20100%2C%20255%2C%200.2)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_a%2F2%2C%20y%3D_U0*0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3Df%22Region%20I%3Cbr%3EU%3D0%3Cbr%3Ea%3D%7B_a%3A.2f%7D%20nm%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bgcolor%3D%22rgba(255%2C255%2C255%2C0.8)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%20-_b%2F2%2B2*(_a%2B_b)%2C%20y%3D_U0*1.15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3Df%22Region%20II%3Cbr%3EU%E2%82%80%3D%7B_U0%3A.1f%7D%20eV%3Cbr%3Eb%3D%7B_b%3A.2f%7D%20nm%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bgcolor%3D%22rgba(255%2C255%2C255%2C0.8)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%3D%3D%20Plot%202%3A%20Dispersion%20Function%20LHS%20%3D%3D%3D%3D%3D%0A%20%20%20%20_E_max%20%3D%20_U0%20*%203%0A%20%20%20%20_E_values%20%3D%20np.linspace(0.01%2C%20_E_max%2C%20_energy_res)%0A%20%20%20%20_LHS_values%20%3D%20np.array(%5B_compute_dispersion_lhs_local(E%2C%20_U0%2C%20_a%2C%20_b)%20for%20E%20in%20_E_values%5D)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_E_values%2C%20y%3D_LHS_values%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D'LHS'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'blue'%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D2%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_hline(y%3D1%2C%20line_dash%3D%22dash%22%2C%20line_color%3D%22red%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_fig.add_hline(y%3D-1%2C%20line_dash%3D%22dash%22%2C%20line_color%3D%22red%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Find%20allowed%20bands%0A%20%20%20%20_allowed_mask%20%3D%20np.abs(_LHS_values)%20%3C%3D%201%0A%20%20%20%20_in_band%20%3D%20False%0A%20%20%20%20_band_start%20%3D%20None%0A%20%20%20%20_bands_found%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20(_E%2C%20_allowed)%20in%20enumerate(zip(_E_values%2C%20_allowed_mask))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_allowed%20and%20not%20_in_band%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_band_start%20%3D%20_E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_in_band%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20not%20_allowed%20and%20_in_band%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_bands_found.append((_band_start%2C%20_E_values%5B_i-1%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_in_band%20%3D%20False%0A%0A%20%20%20%20if%20_in_band%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bands_found.append((_band_start%2C%20_E_values%5B-1%5D))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Calculate%20bandgaps%0A%20%20%20%20_bandgaps%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(len(_bands_found)%20-%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gap_start%20%3D%20_bands_found%5B_i%5D%5B1%5D%20%20%23%20End%20of%20current%20band%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gap_end%20%3D%20_bands_found%5B_i%20%2B%201%5D%5B0%5D%20%20%23%20Start%20of%20next%20band%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_gap_value%20%3D%20_gap_end%20-%20_gap_start%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bandgaps.append((_gap_start%2C%20_gap_end%2C%20_gap_value))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Shade%20allowed%20bands%0A%20%20%20%20_colors%20%3D%20%5B'rgba(0%2C255%2C0%2C0.2)'%2C%20'rgba(0%2C200%2C100%2C0.2)'%2C%20'rgba(100%2C200%2C0%2C0.2)'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'rgba(0%2C150%2C150%2C0.2)'%2C%20'rgba(50%2C200%2C50%2C0.2)'%5D%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20(_E_start%2C%20_E_end)%20in%20enumerate(_bands_found%5B%3A5%5D)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_vrect(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3D_E_start%2C%20x1%3D_E_end%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D_colors%5B_i%20%25%20len(_colors)%5D%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20layer%3D%22below%22%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line_width%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig.add_vline(x%3D_U0%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3D%22purple%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%3D%3D%20Plot%203%3A%20E-k%20Diagram%20(Extended%20Zone)%20%3D%3D%3D%3D%3D%0A%20%20%20%20_k_vals_ext%2C%20_E_k_sols_ext%20%3D%20_compute_E_k_diagram_extended(_U0%2C%20_a%2C%20_b%2C%20k_points%3D400%2C%20E_max_factor%3D3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Organize%20solutions%20by%20band%0A%20%20%20%20_max_bands_ext%20%3D%20max(len(energies)%20for%20_%2C%20energies%20in%20_E_k_sols_ext)%20if%20_E_k_sols_ext%20else%200%0A%0A%20%20%20%20_band_colors%20%3D%20%5B'%231f77b4'%2C%20'%23ff7f0e'%2C%20'%232ca02c'%2C%20'%23d62728'%2C%20'%239467bd'%2C%20'%238c564b'%2C%20'%23e377c2'%5D%0A%0A%20%20%20%20for%20_band_idx%20in%20range(min(_max_bands_ext%2C%207))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_k_band_ext%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_band_ext%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_k%2C%20_energies%20in%20_E_k_sols_ext%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_band_idx%20%3C%20len(_energies)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_k_band_ext.append(_k%20*%20(_a%20%2B%20_b)%20*%201e-9)%20%20%23%20Normalize%20k%20by%20period%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_E_band_ext.append(_energies%5B_band_idx%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_k_band_ext%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_band_ext%2C%20y%3D_E_band_ext%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Df'Band%20%7B_band_idx%20%2B%201%7D'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D2%2C%20color%3D_band_colors%5B_band_idx%20%25%20len(_band_colors)%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20horizontal%20line%20at%20U0%20in%20extended%20E-k%20diagram%0A%20%20%20%20_fig.add_hline(y%3D_U0%2C%20line_dash%3D%22dash%22%2C%20line_color%3D%22red%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20vertical%20lines%20at%20zone%20boundaries%20for%20extended%20zone%0A%20%20%20%20_fig.add_vline(x%3D-2*np.pi%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3D%22gray%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%20%20%20%20_fig.add_vline(x%3D-np.pi%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3D%22gray%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%20%20%20%20_fig.add_vline(x%3D0%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3D%22gray%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%20%20%20%20_fig.add_vline(x%3Dnp.pi%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3D%22gray%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%20%20%20%20_fig.add_vline(x%3D2*np.pi%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3D%22gray%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%3D%3D%20Plot%204%3A%20E-k%20Diagram%20(Reduced%20Zone)%20%3D%3D%3D%3D%3D%0A%20%20%20%20_k_vals%2C%20_E_k_sols%20%3D%20_compute_E_k_diagram_local(_U0%2C%20_a%2C%20_b%2C%20k_points%3D200%2C%20E_max_factor%3D3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Organize%20solutions%20by%20band%0A%20%20%20%20_max_bands%20%3D%20max(len(energies)%20for%20_%2C%20energies%20in%20_E_k_sols)%20if%20_E_k_sols%20else%200%0A%0A%20%20%20%20for%20_band_idx%20in%20range(min(_max_bands%2C%207))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_k_band%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E_band%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_k%2C%20_energies%20in%20_E_k_sols%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_band_idx%20%3C%20len(_energies)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_k_band.append(_k%20*%20(_a%20%2B%20_b)%20*%201e-9)%20%20%23%20Normalize%20k%20by%20period%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_E_band.append(_energies%5B_band_idx%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_k_band%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_band%2C%20y%3D_E_band%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Df'Band%20%7B_band_idx%20%2B%201%7D'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D2%2C%20color%3D_band_colors%5B_band_idx%20%25%20len(_band_colors)%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D4)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20horizontal%20line%20at%20U0%20in%20reduced%20E-k%20diagram%0A%20%20%20%20_fig.add_hline(y%3D_U0%2C%20line_dash%3D%22dash%22%2C%20line_color%3D%22red%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D4)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20vertical%20lines%20at%20zone%20boundaries%20for%20reduced%20zone%0A%20%20%20%20_fig.add_vline(x%3D-np.pi%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3D%22gray%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D4)%0A%20%20%20%20_fig.add_vline(x%3Dnp.pi%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3D%22gray%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D4)%0A%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_xaxes(title_text%3D%22Position%20x%20(nm)%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_fig.update_yaxes(title_text%3D%22U(x)%20(eV)%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_xaxes(title_text%3D%22Energy%20E%20(eV)%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_fig.update_yaxes(title_text%3D%22LHS%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_xaxes(title_text%3D%22k(a%2Bb)%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%20%20%20%20_fig.update_yaxes(title_text%3D%22Energy%20E%20(eV)%22%2C%20range%3D%5B0%2C12%5D%2C%20row%3D1%2C%20col%3D3)%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_xaxes(title_text%3D%22k(a%2Bb)%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D4)%0A%20%20%20%20_fig.update_yaxes(title_text%3D%22Energy%20E%20(eV)%22%2C%20range%3D%5B0%2C12%5D%2C%20row%3D1%2C%20col%3D4)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bcombined_U0_slider%2C%20combined_a_slider%2C%20combined_b_slider%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23Explorations%0A%20%20%20%20-%20How%20do%20the%20magnitude%20of%20the%20bandgaps%20change%20with%20barrier%20height%3F%20Does%20a%20higher%20barrier%20lead%20to%20a%20larger%20or%20smaller%20bandgap%3F%0A%20%20%20%20-%20Does%20reducing%20the%20barrier%20height%20and%2For%20width%20lead%20to%20the%20energy%20diagram%20consistent%20with%20free-space%3F%0A%20%20%20%20-%20Are%20the%20ranges%20of%20permissible%20energies%20increasing%20or%20decreasing%20with%20increasing%20energy%3F%20Is%20that%20reasonable%3F%0A%20%20%20%20-%20How%20do%20the%20energy%20bands%20change%20with%20%24a%24%20(well%20width)%20and%20%24b%24%20(barrier%20width)%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A