effective mass online

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.19.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Aasync%20def%20_()%3A%0A%20%20%20%20%23%20Install%20plotly%20in%20WASM%20environment%20(Pyodide)%0A%20%20%20%20import%20sys%0A%20%20%20%20if%20%22pyodide%22%20in%20sys.modules%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20micropip%0A%20%20%20%20%20%20%20%20await%20micropip.install(%22plotly%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20matplotlib.patches%20import%20Rectangle%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20from%20plotly.subplots%20import%20make_subplots%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20make_subplots%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Energy%20Bands%20-%20Part%202%0A%0A%20%20%20%20Lecture%208-9%0A%0A%20%20%20%20January%2021%20and%2023%2C%202026%0A%0A%20%20%20%20Reference%3A%20Pierret%20Ch.%203.2.4%20-%203.3%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Effective%20Mass%0A%0A%20%20%20%20-%20A%20**wavepacket**%20%3D%20QM%20analog%20of%20a%20classical%20particle%20localized%20in%20space%0A%20%20%20%20-%20The%20wavepacket%20travels%20with%20the%20group%20velocity%20%24v_g%24.%20This%20is%20the%20velocity%20of%20the%20peak%20of%20the%20wavepacket.%0A%20%20%20%20-%20From%20wave%20physics%2C%20the%20group%20velocity%20is%20%24v_g%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%20%5Comega%7D%7Bd%20k%7D%24.%0A%20%20%20%20-%20In%20quantum%20physics%2C%20%24%5Comega%20%3D%20E%20%2F%20%5Chbar%24%2C%20so%20we%20have%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bv_g%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20k%7D%7D%24%24%0A%0A%0A%20%20%20%20-%20Consider%20the%20momentum%20of%20a%20particle%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20The%20classical%20momentum%20%24p%20%3D%20m%20v%24%2C%20where%20%24m%24%20is%20the%20mass%20and%20%24v%24%20is%20the%20velocity.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20In%20quantum%20physics%20(de%20Broglie%20relation)%2C%20the%20momentum%20is%20%24p%20%3D%20%5Chbar%20k%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Therefore%2C%20adopting%20a%20semi-classical%20picture%20for%20a%20wavepacket%2C%20we%20have%0A%0A%20%20%20%20%24%24p%20%3D%20m%20%5Cfrac%7Bd%20%5Comega%7D%7Bdk%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bm%7D%7B%5Chbar%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20k%7D%20%3D%20%5Chbar%20k%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20From%20the%20third%20equality%20above%2C%20differentiate%20both%20sides%20by%20%24k%24%2C%20we%20arrive%20at%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bm%7D%7B%5Chbar%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20E%7D%7B%5Cpartial%20k%5E2%7D%20%3D%20%5Chbar%20%5Cimplies%20m%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20E%7D%7B%5Cpartial%20k%5E2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20In%20a%20crystal%2C%20%24E%24%20is%20related%20to%20%24k%24%20by%20the%20band%20dispersion%20relation%20%24E(k)%24.%0A%0A%20%20%20%20-%20We%20define%20the%20**effective%20mass**%20as%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bm%5E*%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B%5Cfrac%7Bd%5E2%20E%7D%7B%5Cpartial%20k%5E2%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20**effective%20mass**%20encapsulates%20how%20electrons%20respond%20to%20forces%20in%20the%20crystal.%20It%20allows%20us%20to%20use%20classical%20equations%20of%20motion%20for%20electrons%20in%20crystals!%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Key%20Properties%20of%20the%20Effective%20Mass%0A%20%20%20%20-%20%24m%5E*%20%3E%200%24%20at%20the%20**bottom**%20of%20a%20band%20(electrons)%0A%20%20%20%20-%20%24m%5E*%20%3C%200%24%20at%20the%20**top**%20of%20a%20band%20(holes)%0A%20%20%20%20-%20Inversely%20proportional%20to%20band%20curvature%0A%20%20%20%20-%20**Very%20different%20from%20the%20free%20electron%20mass!!**%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Effective%20Mass%20Visualizations%0A%0A%20%20%20%20The%20conduction%20and%20valence%20band%20edges%20are%20approximately%20parabolic.%20The%20band%20edge%20is%20the%20minimum%20of%20the%20conduction%20band%20and%20the%20maximum%20of%20the%20valence%20band.%20Most%20of%20the%20carriers%20of%20interest%20(i.e.%2C%20responsible%20for%20electrical%20conduction)%20are%20near%20the%20band%20edges.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Conduction%20band%3A**%20%24E(k)%20%5Capprox%20E_c%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20k%5E2%7D%7B2%20m%5E*%7D%24%20%E2%86%92%20**positive**%20curvature%20%E2%86%92%20%24m%5E*%20%3E%200%24%20for%20electrons%20at%20the%20bottom%20of%20the%20band%0A%20%20%20%20-%20**Valence%20band%3A**%20%24E(k)%20%5Capprox%20E_v%20-%20%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20k%5E2%7D%7B2%20%7Cm%5E*%7C%7D%24%20%E2%86%92%20**negative**%20curvature%20%E2%86%92%20%24m%5E*%20%3C%200%24%20for%20electrons%20at%20the%20top%20of%20the%20band%0A%0A%20%20%20%20Higher%20curvature%20(steeper%20parabola)%20corresponds%20to%20**smaller**%20effective%20mass.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20make_subplots%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20k-axis%20(dimensionless%2C%20for%20illustration)%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20np.linspace(-1.0%2C%201.0%2C%20400)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Two%20curvatures%20to%20illustrate%20effective%20mass%0A%20%20%20%20_alpha_low%20%3D%200.5%20%20%20%23%20low%20curvature%20-%3E%20larger%20effective%20mass%0A%20%20%20%20_alpha_high%20%3D%202%20%20%23%20high%20curvature%20-%3E%20smaller%20effective%20mass%0A%0A%20%20%20%20%23%20Conduction%20band%20parabolas%20(upward)%0A%20%20%20%20_Ec%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20_E_c_low%20%3D%20_Ec%20%2B%20_alpha_low%20*%20_k**2%0A%20%20%20%20_E_c_high%20%3D%20_Ec%20%2B%20_alpha_high%20*%20_k**2%0A%0A%20%20%20%20%23%20Valence%20band%20parabolas%20(downward)%0A%20%20%20%20_Ev%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_E_v_low%20%3D%20_Ev%20-%20_alpha_low%20*%20_k**2%0A%20%20%20%20_E_v_high%20%3D%20_Ev%20-%20_alpha_high%20*%20_k**2%0A%0A%20%20%20%20_fig_eff_mass%20%3D%20make_subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cols%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20subplot_titles%3D(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Low%20Curvature%20(Large%20m*)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22High%20Curvature%20(Small%20m*)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20horizontal_spacing%3D0.12%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Low%20curvature%0A%20%20%20%20_fig_eff_mass.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_k%2C%20y%3D_E_c_low%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Conduction%20(m*%3E0)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22%231f77b4%22%2C%20width%3D2))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_eff_mass.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_k%2C%20y%3D_E_v_low%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Valence%20(m*%3C0)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22%23d62728%22%2C%20width%3D2))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20High%20curvature%0A%20%20%20%20_fig_eff_mass.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_k%2C%20y%3D_E_c_high%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22%231f77b4%22%2C%20width%3D2))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D2%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_eff_mass.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_k%2C%20y%3D_E_v_high%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22%23d62728%22%2C%20width%3D2))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D2%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20common%20axis%20ranges%0A%20%20%20%20_x_range%20%3D%20%5B-1.0%2C%201.0%5D%0A%20%20%20%20_y_range%20%3D%20%5B-2.5%2C%203.5%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Visual%20guides%0A%20%20%20%20for%20_col%20in%20%5B1%2C%202%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_eff_mass.add_hline(y%3D_Ev%2C%20line_dash%3D%22dot%22%2C%20line_color%3D%22gray%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D_col)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_eff_mass.update_xaxes(title_text%3D%22k%20(arb.%20units)%22%2C%20range%3D_x_range%2C%20row%3D1%2C%20col%3D_col)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_eff_mass.update_yaxes(title_text%3D%22Energy%20E%20(arb.%20units)%22%2C%20range%3D_y_range%2C%20row%3D1%2C%20col%3D_col)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20annotations%20for%20m*%20%3E%200%20(conduction%20band)%20and%20m*%20%3C%200%20(valence%20band)%0A%20%20%20%20%23%20Low%20curvature%20plot%20(col%201)%0A%20%20%20%20_fig_eff_mass.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0%2C%20y%3D_Ec%20%2B%20_alpha_low%20*%200.6**2%20%2B%200.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22Heavy%3Cbr%3Em*%20%3E%200%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D18%2C%20color%3D%22%231f77b4%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x%22%2C%20yref%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_eff_mass.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0%2C%20y%3D_Ev%20-%20_alpha_low%20*%200.6**2%20-%200.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22Heavy%3Cbr%3Em*%20%3C%200%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D18%2C%20color%3D%22%23d62728%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x%22%2C%20yref%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D1%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20High%20curvature%20plot%20(col%202)%0A%20%20%20%20_fig_eff_mass.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0%2C%20y%3D_Ec%20%2B%20_alpha_high%20*%200.5**2%20%2B%200.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22Light%3Cbr%3Em*%20%3E%200%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D18%2C%20color%3D%22%231f77b4%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x2%22%2C%20yref%3D%22y2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D2%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_eff_mass.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0%2C%20y%3D_Ev%20-%20_alpha_high%20*%200.5**2%20-%200.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22Light%3Cbr%3Em*%20%3C%200%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D18%2C%20color%3D%22%23d62728%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x2%22%2C%20yref%3D%22y2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%20col%3D2%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig_eff_mass.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D420%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D900%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23legend%3Ddict(orientation%3D%22h%22%2C%20yanchor%3D%22bottom%22%2C%20y%3D1.02%2C%20xanchor%3D%22center%22%2C%20x%3D0.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(t%3D60%2C%20b%3D40%2C%20l%3D50%2C%20r%3D20)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig_eff_mass)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Electrons%2C%20holes%2C%20and%20conduction%0A%0A%20%20%20%20-%20Each%20point%20on%20the%20E-k%20diagram%20represents%202%20electronic%20states%20(spin%20up%20and%20spin%20down)%0A%0A%20%20%20%20-%20Each%20state%20may%20be%20occupied%20with%20an%20**electron**%20or%20left%20empty%20(**hole**).%0A%0A%20%20%20%20-%20Suppose%20we%20have%20a%201D%20crystal%20with%20a%20length%20of%20%24L%20%3D%20Na%24%2C%20where%20%24N%24%20is%20a%20large%20number%20and%20%24a%24%20is%20the%20lattice%20constant.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Recall%20the%20periodic%20boundary%20conditions%20lead%20to%20the%20set%20of%20allowed%20%24%5C%7Bk%5C%7D%24%20of%20%24k%20%3D%202%5Cpi%20m%2F(Na)%24%2C%20where%20%24m%24%20is%20an%20integer%20and%20%24ka%20%5Cin%20(-%5Cpi%2C%20%2B%5Cpi%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20The%20current%20conducted%20through%20%24L%24%20by%201%20electron%20is%20%24i%20%3D%20%5Cfrac%7Bcharge%7D%7Btime%7D%20%3D%20-q%5Cfrac%7Bv_g%7D%7BL%7D%24%2C%20where%20%24v_g%24%20is%20the%20group%20velocity.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Over%20the%20energy%20range%20of%20a%20band%2C%20the%20net%20flow%20of%20current%20due%20to%20%24N%24%20electrons%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24I%20%3D%20-%5Cfrac%7Bq%7D%7BL%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20v_%7Bg%2Ci%7D%24%24%0A%0A%0A%20%20%20%20-%20For%20many%20common%20materials%20(including%20Si)%2C%20the%20energy%20bands%20are%20symmetric%20about%20%24k%24%2C%20so%20%24E(k)%20%3D%20E(-k)%24%20and%20%24v_g(-k)%20%3D%20-v_g(k)%24%20(recall%20that%20%24v_g%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Chbar%7D%5Cfrac%7BdE%7D%7Bdk%7D%24)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Exceptions%3A%20materials%20without%20centro-symmetric%20symmetry%20(i.e.%2C%20%24U(%5Cvec%7Br%7D)%20%5Cneq%20U(-%5Cvec%7Br%7D)%24)%2C%20materials%20under%20a%20magnetic%20field%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Ctherefore%24%20A%20completely%20empty%20or%20symmetrically%20filled%20band%20means%20there%20is%20no%20current%20flow.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20There%20are%20as%20many%20electrons%20moving%20to%20the%20left%20as%20there%20are%20moving%20the%20right.%0A%0A%0A%20%20%20%20-%20If%20a%20band%20is%20not%20symmetrically%20filled%2C%20then%0A%0A%20%20%20%20%24%24I%20%3D%20-%5Cfrac%7Bq%7D%7BL%7D%20%5Csum_%7Bfilled%7D%5EN%20v_%7Bg%2Ci%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7Bq%7D%7BL%7D%20%5Cleft(%20%5Csum_%7Ball%7D%5EN%20v_%7Bg%2Ci%7D%20-%5Csum_%7Bempty%7D%5EN%20v_i%20%5Cright)%20%3D%20%2B%5Cfrac%7Bq%7D%7BL%7D%20%5Csum_%7Bempty%7D%5EN%20v_%7Bg%2Ci%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20current%20is%20**the%20same%20as%20placing%20positively%20charged%20particles%20(%24%2Bq%24)%20in%20the%20empty%20states**.%20%20So%20we%20can%20describe%20current%20flow%20in%20terms%20of%20holes%20instead%20of%20electrons.%0A%0A%20%20%20%20-%20But%20under%20an%20applied%20electric%20field%2C%20%24v_%7Bg%2Ci%7D%24%20of%20a%20positively-charged%20particle%20is%20oppositely%20signed%20compared%20to%20a%20negatively-charged%20particle%2C%20so%20its%20momentum%20is%20oppositely%20signed%20compared%20to%20an%20electron%20(%24p%20%3D%20mv%24)%0A%0A%20%20%20%20-%20If%20we%20flip%20the%20sign%20of%20the%20charge%20from%20%24-q%24%20to%20%24%2Bq%24%20for%20holes%2C%20we%20should%20flip%20the%20sign%20of%20the%20mass%20so%20the%20equation%20of%20motion%20is%20consistent.%20Therefore%2C%20the%20hole%20effective%20mass%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bm_p%5E%5Cast%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20E%7D%7B%5Cpartial%20k%5E2%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%20m*%20%3C%200%20%5Ctext%7B%20near%20the%20top%20of%20a%20band%2C%20so%20%7D%20m_p%5E%5Cast%20%3E%200%20%5Ctext%7B%20at%20the%20top%20of%20the%20valence%20band%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20conduction%20band%20electrons%20remain%20negatively%20charged%2C%20and%20they%20can%20use%20the%20same%20effective%20mass%20defition%20as%20before%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bm_n%5E%5Cast%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%20%7B%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20E%7D%7B%5Cpartial%20k%5E2%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%20m*%20%3E%200%20%5Ctext%7B%20near%20the%20bottom%20of%20a%20band%2C%20so%20%7D%20m_n%5E%5Cast%20%3E%200%20%5Ctext%7B%20at%20the%20bottom%20of%20the%20conduction%20band%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Visualization%3A%20Filled%20Bands%20Carry%20No%20Net%20Current%0A%0A%20%20%20%20The%20diagram%20below%20illustrates%20why%20completely%20filled%20or%20symmetrically%20filled%20bands%20do%20not%20contribute%20to%20current%20flow.%20Each%20dot%20represents%20a%20filled%20electron%20state%20at%20a%20discrete%20%24k%24%20value.%0A%0A%20%20%20%20-%20**Band%201**%3A%20Completely%20filled%20%E2%86%92%20For%20every%20electron%20at%20%24%2Bk%24%20with%20velocity%20%24v_g%24%2C%20there's%20one%20at%20%24-k%24%20with%20velocity%20%24-v_g%24%20%E2%86%92%20Net%20current%20%3D%200%0A%20%20%20%20-%20**Band%202**%3A%20Symmetrically%20filled%20around%20%24k%3D0%24%20%E2%86%92%20Same%20cancellation%20%E2%86%92%20Net%20current%20%3D%200%0A%20%20%20%20-%20**Bands%203%20%26%204**%3A%20Empty%20or%20partially%20filled%20bands%20can%20carry%20current%20if%20filling%20is%20asymmetric%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20make_subplots%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20E-k%20diagram%20showing%20filled%20bands%20carry%20no%20net%20current%0A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20k%20values%20(discrete%20points%20in%20first%20Brillouin%20zone)%0A%20%20%20%20_N%20%3D%2020%20%20%23%20Number%20of%20unit%20cells%20(determines%20k-point%20density)%0A%20%20%20%20_k_discrete%20%3D%20np.linspace(-np.pi%2C%20np.pi%2C%20_N%20%2B%201)%5B%3A-1%5D%20%20%23%20Exclude%20endpoint%20to%20avoid%20double%20counting%0A%20%20%20%20_k_continuous%20%3D%20np.linspace(-np.pi%2C%20np.pi%2C%20200)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20energy%20bands%20(simple%20parabolic%2Fcosine%20shapes%20for%20illustration)%0A%20%20%20%20def%20_band1(k)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.5%20-%200.3%20*%20np.cos(k)%20%20%23%20Lowest%20band%2C%20centered%20around%20E%3D0.5%0A%0A%20%20%20%20def%20_band2(k)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2B%200.5%20*%20np.cos(k)%20%20%23%20Second%20band%0A%0A%20%20%20%20def%20_band3(k)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%204%20-%200.8%20*%20np.cos(k)%20%20%23%20Third%20band%20(inverted%20curvature%20at%20center)%0A%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20subplots%20with%20two%20columns%0A%20%20%20%20_fig_bands%20%3D%20make_subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3D1%2C%20cols%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20subplot_titles%3D(%22Symmetric%20Filling%20(No%20Current)%22%2C%20%22Asymmetric%20Filling%20(Current%20Flow)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20horizontal_spacing%3D0.08%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%20LEFT%20PLOT%3A%20Symmetric%20filling%20(no%20current)%20%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20continuous%20band%20curves%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_continuous%2C%20y%3D_band1(_k_continuous)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%20name%3D'Band%201'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'black'%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_continuous%2C%20y%3D_band2(_k_continuous)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%20name%3D'Band%202'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'black'%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_continuous%2C%20y%3D_band3(_k_continuous)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%20name%3D'Band%203'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'black'%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20filled%20states%20(dots)%20for%20Band%201%20-%20completely%20filled%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_discrete%2C%20y%3D_band1(_k_discrete)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%20name%3D'Filled%20(Band%201)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3D'%231f77b4'%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D'circle')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20filled%20states%20for%20Band%202%20-%20symmetrically%20filled%0A%20%20%20%20_k_band2_filled%20%3D%20_k_discrete%5Bnp.abs(_k_discrete)%20%3E%200.5%5D%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_band2_filled%2C%20y%3D_band2(_k_band2_filled)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%20name%3D'Filled%20(Band%202)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3D'%231f77b4'%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D'circle')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_k_band2_empty%20%3D%20_k_discrete%5Bnp.abs(_k_discrete)%20%3C%3D%200.5%5D%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_band2_empty%2C%20y%3D_band2(_k_band2_empty)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%20name%3D'Empty%20(Band%202)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3D'white'%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D'circle'%2C%20line%3Ddict(color%3D'%231f77b4'%2C%20width%3D2))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20states%20for%20Band%203%20-%20symmetrically%20filled%0A%20%20%20%20_k_band3_filled%20%3D%20_k_discrete%5Bnp.abs(_k_discrete)%20%3C%3D%200.5%5D%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_band3_filled%2C%20y%3D_band3(_k_band3_filled)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%20name%3D'Filled%20(Band%203)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3D'%231f77b4'%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D'circle')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_k_band3_empty%20%3D%20_k_discrete%5Bnp.abs(_k_discrete)%20%3E%200.5%5D%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_band3_empty%2C%20y%3D_band3(_k_band3_empty)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%20name%3D'Empty%20(Band%203)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3D'white'%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D'circle'%2C%20line%3Ddict(color%3D'%231f77b4'%2C%20width%3D2))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%20RIGHT%20PLOT%3A%20Asymmetric%20filling%20(current%20flow)%20%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%3D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20continuous%20band%20curves%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_continuous%2C%20y%3D_band1(_k_continuous)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%20name%3D'Band%201'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'black'%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_continuous%2C%20y%3D_band2(_k_continuous)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%20name%3D'Band%202'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'black'%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_continuous%2C%20y%3D_band3(_k_continuous)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'lines'%2C%20name%3D'Band%203'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D'black'%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20filled%20states%20(dots)%20for%20Band%201%20-%20completely%20filled%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_discrete%2C%20y%3D_band1(_k_discrete)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%20name%3D'Filled%20(Band%201)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3D'%231f77b4'%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D'circle')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20filled%20states%20for%20Band%202%20-%20asymmetrically%20filled%20(shifted%20to%20positive%20k)%0A%20%20%20%20%23%20Leave%20one%20more%20state%20empty%20for%20k%3E0%20(changed%20upper%20bound%20from%201.2%20to%201.5)%0A%20%20%20%20_k_band2_filled_asym%20%3D%20_k_discrete%5B(_k_discrete%20%3C%20-0.5)%20%7C%20(_k_discrete%20%3E%201.5)%5D%20%20%23%20More%20states%20at%20positive%20k%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_band2_filled_asym%2C%20y%3D_band2(_k_band2_filled_asym)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%20name%3D'Filled%20(Band%202)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3D'%231f77b4'%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D'circle')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_k_band2_empty_asym%20%3D%20_k_discrete%5B(_k_discrete%20%3E%3D%20-0.5)%20%26%20(_k_discrete%20%3C%3D%201.5)%5D%20%20%23%20One%20more%20empty%20state%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_band2_empty_asym%2C%20y%3D_band2(_k_band2_empty_asym)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%20name%3D'Empty%20(Band%202)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3D'white'%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D'circle'%2C%20line%3Ddict(color%3D'%231f77b4'%2C%20width%3D2))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20states%20for%20Band%203%20-%20asymmetrically%20filled%20(shifted%20to%20positive%20k)%0A%20%20%20%20%23%20Fill%20one%20more%20state%20for%20k%3E0%20(changed%20upper%20bound%20from%201.2%20to%201.5)%0A%20%20%20%20_k_band3_filled_asym%20%3D%20_k_discrete%5B(_k_discrete%20%3E%3D%20-0.5)%20%26%20(_k_discrete%20%3C%3D%201.5)%5D%20%20%23%20Asymmetric%20filling%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_band3_filled_asym%2C%20y%3D_band3(_k_band3_filled_asym)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%20name%3D'Filled%20(Band%203)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3D'%231f77b4'%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D'circle')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_k_band3_empty_asym%20%3D%20_k_discrete%5B((_k_discrete%20%3C%20-0.5)%20%7C%20(_k_discrete%20%3E%201.5))%5D%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_k_band3_empty_asym%2C%20y%3D_band3(_k_band3_empty_asym)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D'markers'%2C%20name%3D'Empty%20(Band%203)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3D'white'%2C%20size%3D10%2C%20symbol%3D'circle'%2C%20line%3Ddict(color%3D'%231f77b4'%2C%20width%3D2))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20%23%20Add%20annotations%20for%20left%20plot%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D3.5%2C%20y%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22Filled%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'black')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xanchor%3D'left'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yshift%3D-15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x%22%2C%20yref%3D%22y%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D3.5%2C%20y%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22Sym.%20filled%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'black')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xanchor%3D'left'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yshift%3D-15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x%22%2C%20yref%3D%22y%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D3.5%2C%20y%3D3.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22Sym.%20filled%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'black')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xanchor%3D'left'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yshift%3D-15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x%22%2C%20yref%3D%22y%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20annotations%20for%20right%20plot%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D3.5%2C%20y%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22Filled%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'black')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xanchor%3D'left'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yshift%3D-15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x2%22%2C%20yref%3D%22y2%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D3.5%2C%20y%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22Asym.%20filled%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'%23d62728')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xanchor%3D'left'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yshift%3D-15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x2%22%2C%20yref%3D%22y2%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D3.5%2C%20y%3D3.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22Asym.%20filled%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D'%23d62728')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xanchor%3D'left'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yshift%3D-15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x2%22%2C%20yref%3D%22y2%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20current%20flow%20arrow%20on%20right%20plot%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D-1%2C%20y%3D5.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax%3D-80%2C%20ay%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22Net%20current%20%3C0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowhead%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowsize%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowwidth%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowcolor%3D'%23d62728'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D'%23d62728')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xanchor%3D'left'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x2%22%2C%20yref%3D%22y2%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20%22E%22%20labels%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0%2C%20y%3D6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22E%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D16%2C%20color%3D'black')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xanchor%3D'right'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yanchor%3D'bottom'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xshift%3D-10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x%22%2C%20yref%3D%22y%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0%2C%20y%3D6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22E%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3Ddict(size%3D16%2C%20color%3D'black')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xanchor%3D'right'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yanchor%3D'bottom'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xshift%3D-10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xref%3D%22x2%22%2C%20yref%3D%22y2%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Update%20layout%20for%20both%20subplots%0A%20%20%20%20_fig_bands.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22k%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tickvals%3D%5B-np.pi%2C%200%2C%20np.pi%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ticktext%3D%5B%22-%CF%80%2Fa%22%2C%20%220%22%2C%20%22%CF%80%2Fa%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zeroline%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zerolinewidth%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zerolinecolor%3D'black'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis2%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22k%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tickvals%3D%5B-np.pi%2C%200%2C%20np.pi%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ticktext%3D%5B%22-%CF%80%2Fa%22%2C%20%220%22%2C%20%22%CF%80%2Fa%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-4%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zeroline%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zerolinewidth%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zerolinecolor%3D'black'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showticklabels%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zeroline%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-0.25%2C%206.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis2%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showticklabels%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zeroline%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-0.25%2C%206.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D1000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plot_bgcolor%3D'white'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D50%2C%20r%3D100%2C%20t%3D50%2C%20b%3D50)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20vertical%20lines%20at%20Brillouin%20zone%20boundaries%20for%20both%20plots%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_vline(x%3D-np.pi%2C%20line_width%3D1%2C%20line_color%3D%22grey%22%2C%20line_dash%3D%22dash%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_vline(x%3Dnp.pi%2C%20line_width%3D1%2C%20line_color%3D%22grey%22%2C%20line_dash%3D%22dash%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_vline(x%3D-np.pi%2C%20line_width%3D1%2C%20line_color%3D%22grey%22%2C%20line_dash%3D%22dash%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_vline(x%3Dnp.pi%2C%20line_width%3D1%2C%20line_color%3D%22grey%22%2C%20line_dash%3D%22dash%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20horizontal%20axis%20lines%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_hline(y%3D0%2C%20line_width%3D1%2C%20line_color%3D%22black%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20_fig_bands.add_hline(y%3D0%2C%20line_width%3D1%2C%20line_color%3D%22black%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.ui.plotly(_fig_bands)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Left%3A**%20In%20a%20symmetrically%20filled%20or%20fully%20filled%20band%2C%20contributions%20to%20current%20from%20%24%2Bk%24%20and%20%24-k%24%20states%20**exactly%20cancel**.%20Thus%2C%20there%20is%20no%20current.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Right%3A**%20An%20applied%20external%20(electric)%20field%20leads%20to%20asymmetrically%20filled%20bands.%20There%20are%20more%20conduction%20band%20electrons%20with%20%24k%3E0%24%20(and%20positive%20group%20velocity)%20than%20%24k%3C0%24.%20There%20are%20also%20more%20holes%20with%20%24k%3E0%24%20(and%20negative%20group%20velocity)%20than%20holes%20with%20%24k%3C0%24.%20So%20the%20current%20flow%20is%20negative.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Use%20absolute%20URLs%20for%20WASM%20compatibility%20(images%20hosted%20on%20GitHub%20Pages)%0A%20%20%20%20_base_url%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Feffectivemass%22%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%203D%20Band%20diagrams%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Energy%20bands%20depend%20on%20the%20**3D%20wavevector**%20%24%5Cvec%7Bk%7D%20%3D%20(k_x%2C%20k_y%2C%20k_z)%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Energy%20diagrams%20are%20plotted%20along%20major%20crystal%20directions.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Here%20are%20the%20%24E%24%20vs.%20%24k%24%20diagrams%20for%20**Germainum**%2C%20**Silicon**%2C%20and%20**Gallium%20Arsenide**%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cdiv%20style%3D%22text-align%3A%20center%3B%22%3E%3Cimg%20src%3D%22%7B_base_url%7D%2Fenergy_diagrams.png%22%20width%3D%22700%22%20alt%3D%22E%20vs%20k%20diagrams%22%3E%3Cp%20style%3D%22font-style%3A%20italic%3B%20color%3A%20%23666%3B%22%3EPierret%2C%20Fig.%203.13%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Crystal%20Symmetry%20Points%3A**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5CGamma%24%20(Gamma)%3A%20Zone%20center%20%24(0%2C0%2C0)%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24X%24%3A%20Center%20of%20square%20faces%20(%24k%24%20along%20%24%5Clangle%20100%20%5Crangle%24)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24L%24%3A%20Center%20of%20hexagonal%20faces%20(%24k%24%20along%20%24%5Clangle%20111%20%5Crangle%24)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24K%24%3A%20Midpoint%20of%20hexagon%20edges%20(%24k%24%20along%20%24%5Clangle%20110%20%5Crangle%24)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Constant%20energy%20surfaces**%20for%20(a)%20Ge%2C%20(b)%20Si%2C%20and%20(c)%20GaAs.%20(d)%20Truncated%20in%20the%20Brillouin%20zone.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cdiv%20style%3D%22text-align%3A%20center%3B%22%3E%3Cimg%20src%3D%22%7B_base_url%7D%2Fconstant_energy_surfaces.png%22%20width%3D%22700%22%20alt%3D%22Constant%20energy%20surfaces%22%3E%3Cp%20style%3D%22font-style%3A%20italic%3B%20color%3A%20%23666%3B%22%3EPierret%2C%20Fig.%203.14%3C%2Fp%3E%3C%2Fdiv%3E')%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Effective%20Masses%20and%20Bandgaps%20of%20Selected%20Semiconductors%20(at%20room%20temperature)%3A**%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Material%20%7C%20%24m_n%5E*%24%20%20%7C%20%24m_p%5E*%24%20%7C%20%24E_g%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A----------%3A%7C%3A------------------------%3A%7C%3A---------------------%3A%7C%3A---------------------%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Germanium%20(Ge)**%20%7C%20%240.12%20m_0%24%20%7C%20%240.28%20m_0%24%20%20%7C%200.67%20eV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Silicon%20(Si)**%20%7C%20%240.26%20%20m_0%24%20%7C%20%240.39%20m_0%24%20%20%20%7C%201.12%20eV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Gallium%20Arsenide%20(GaAs)**%20%7C%20%240.068%20m_0%24%20%7C%20%240.5%20m_0%24%20%7C%201.4%20eV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Indium%20Phosphide%20(InP)**%20%7C%20%240.025%20m_0%24%20%7C%20%240.45%20m_0%24%20%7C%201.35%20eV%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Gallium%20Nitride%20(GaN)**%20%7C%20%240.19%20m_0%24%20%7C%20%240.32%20m_0%24%20%7C%203.4%20eV%20%7C%0A%0A%20%20%20%20Note%3A%20%24m_0%20%3D%209.109%20%5Ctimes%2010%5E%7B-31%7D%24%20kg%20is%20the%20free%20electron%20mass.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Use%20absolute%20URLs%20for%20WASM%20compatibility%0A%20%20%20%20_base_url%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Feffectivemass%22%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Direct%20vs.%20Indirect%20Bandgap%20Semiconductors%0A%0A%20%20%20%20-%20**Direct%20bandgap**%3A%20The%20valence%20band%20maximum%20and%20conduction%20band%20minimum%20occur%20at%20the%20**same%20k-value**%20(typically%20at%20%24%5CGamma%24%20point%2C%20%24k%3D0%24)%0A%20%20%20%20-%20**Indirect%20bandgap**%3A%20The%20valence%20band%20maximum%20and%20conduction%20band%20minimum%20occur%20at%20**different%20k-values**%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Optical%20Transitions%0A%0A%20%20%20%20-%20Consider%20an%20optically%20induced%20transition%20(photon%20absorption%20or%20emission)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24k_%7B%5Ctext%7Bfinal%2Celectron%7D%7D%20%3D%20k_%7B%5Ctext%7Binitial%2Celectron%7D%7D%20%5Cpm%20k_%7B%5Ctext%7Bphoton%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20Since%20%24%5Clambda_%7B%5Ctext%7Boptical%7D%7D%20%5Cgg%20%5Clambda_%7B%5Ctext%7Belectron%7D%7D%24%2C%20%24k_%7B%5Ctext%7Bphoton%7D%7D%20%5Cll%20k_%7B%5Ctext%7Belectron%7D%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20%5Cboxed%7B%5Ctext%7Boptical%20transitions%3A%20%7D%20k_%7B%5Ctext%7Bfinal%2Celectron%7D%7D%20%3D%20k_%7B%5Ctext%7Binitial%2Celectron%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20**Direct%20bandgap**%3A%20A%20photon%20can%20directly%20excite%20an%20electron%20from%20valence%20to%20conduction%20band%20if%20%24E_%7B%5Ctext%7Bphoton%7D%7D%20%5Cgeq%20E_g%24%0A%0A%20%20%20%20-%20**Indirect%20bandgap**%3A%20Momentum%20conservation%20requires%20a%20**phonon**%20(lattice%20vibration)%20to%20provide%20the%20momentum%20difference.%20A%20transition%20between%20conduction%20and%20valence%20bands%20requires%202%20interactions%20(photon%20absorption%2Femission%20%2B%20phonon)%2C%20this%20transition%20has%20a%20lower%20probability%20of%20occurring%20compared%20to%20transition%20in%20a%20direct%20bandgap%20semiconductor.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Indirect%20semiconductors%20are%20less%20efficient%20in%20emitting%20and%20absorbing%20light%20than%20direct%20bandgap%20semiconductors.%0A%0A%20%20%20%20%24%24k_%7B%5Ctext%7Bfinal%2Celectron%7D%7D%20%5Capprox%20k_%7B%5Ctext%7Binitial%2Celectron%7D%7D%20%2B%20k_%7B%5Ctext%7Bphonon%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(f'%3Cdiv%20style%3D%22text-align%3A%20center%3B%22%3E%3Cimg%20src%3D%22%7B_base_url%7D%2Fdirect_indirect.png%22%20width%3D%22700%22%20alt%3D%22Direct%20vs%20Indirect%20Bandgap%22%3E%3C%2Fdiv%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Examples%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20photon%20energy%20required%20for%20absorption%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24E_%7B%5Ctext%7Bphoton%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bhc%7D%7B%5Clambda%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24h%24%20is%20Planck's%20constant%2C%20%24c%24%20is%20the%20speed%20of%20light%2C%20%24%5Clambda%24%20is%20the%20wavelength%20of%20light.%0A%0A%20%20%20%20Light%20is%20absorbed%20when%20%24E_%7B%5Ctext%7Bphoton%7D%7D%20%3E%20E_g%24%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Material%20%7C%20Bandgap%20(eV)%20%7C%20Wavelength%20(nm)%20%7C%20Type%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A--------%3A%7C%3A------------%3A%7C%3A---------------%3A%7C%3A----%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Si**%20%7C%201.12%20%7C%20~1100%20%7C%20Indirect%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**Ge**%20%7C%200.67%20%7C%20~1850%20%7C%20Indirect%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**GaAs**%20%7C%201.4%20%7C%20~875%20%7C%20Direct%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**GaP**%20%7C%202.25%20%7C%20~550%20%7C%20Indirect%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**GaN**%20%7C%203.4%20%7C%20~365%20%7C%20Direct%20%7C%0A%0A%20%20%20%20-%20**Impact**%3A%20Direct%20bandgap%20materials%20are%20used%20in%20optoelectronics%20(LEDs%2C%20lasers).%20The%20most%20efficient%20solar%20cells%20are%20made%20with%20direct%20semiconductors.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%5BNational%20Renewable%20Energy%20Lab%20(NREL)%20solar%20cell%20efficiency%20records%5D(https%3A%2F%2Fwww.nrel.gov%2Fpv%2Finteractive-cell-efficiency)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Bloch%20Wavefunctions%0A%20%20%20%20-%20The%20Bloch%20wavefunction%20%24%5Cpsi(x)%20%3D%20e%5E%7Bikx%7Du_k(x)%24%20consists%20of%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Plane%20wave**%20%24e%5E%7Bikx%7D%24%3A%20Describes%20propagation%20through%20the%20crystal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Periodic%20function**%20%24u_k(x)%24%3A%20Arises%20from%20the%20lattice%20periodicity%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Energy%20Bands%20and%20Gaps%0A%20%20%20%20-%20**Allowed%20bands**%3A%20Electrons%20can%20propagate%20freely%20(real%20%24k%24)%0A%20%20%20%20-%20**Band%20gaps**%3A%20No%20propagating%20states%20exist%20(complex%20%24k%24)%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Effect%20of%20Parameters%3A%0A%20%20%20%20-%20Larger%20%24U_0%24%3A%20Wider%20band%20gaps%2C%20stronger%20confinement%0A%20%20%20%20-%20Larger%20%24a%24%2C%20larger%20%24b%24%3A%20More%20bands%20in%20a%20given%20energy%20range%0A%20%20%20%20-%20Higher%20energy%20bands%20resemble%20free-electron%20dispersion%20relation%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Effective%20Mass%0A%20%20%20%20-%20Encapsulates%20crystal%20forces%0A%20%20%20%20-%20For%20quasi-classical%20description%0A%20%20%20%20-%20Different%20for%20electrons%20and%20holes%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A