bjt iv

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.1%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.20.4%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test%20%3D%20Path(__file__).parent%20%2F%20%22images%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_test.exists()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20Path(__file__).parent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20FileNotFoundError%0A%20%20%20%20except%20Exception%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20None%0A%20%20%20%20IMAGE_BASE%20%3D%20%22https%3A%2F%2Fjoyce-poon.github.io%2FECE350%2Fbjt-iv%2Fimages%22%20if%20ASSET_DIR%20is%20None%20else%20str(ASSET_DIR%20%2F%20%22images%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Physical%20constants%0A%20%20%20%20q%20%3D%201.6e-19%20%20%20%20%20%20%20%23%20C%0A%20%20%20%20kT_eV%20%3D%200.02585%20%20%20%23%20eV%20at%20300K%0A%20%20%20%20kT_q%20%3D%200.02585%20%20%20%20%23%20V%20at%20300K%20(thermal%20voltage)%0A%20%20%20%20ni_Si%20%3D%201.1e10%20%20%20%20%23%20cm%5E-3%20for%20Si%20at%20300K%0A%20%20%20%20Eg_Si%20%3D%201.12%20%20%20%20%20%20%23%20eV%0A%0A%20%20%20%20%23%20Typical%20mobility%20values%20for%20Si%20at%20300K%0A%20%20%20%20mu_n%20%3D%201350.0%20%20%23%20cm%5E2%2FV-s%0A%20%20%20%20mu_p%20%3D%20480.0%20%20%20%23%20cm%5E2%2FV-s%0A%20%20%20%20D_n%20%3D%20kT_q%20*%20mu_n%20%20%23%20cm%5E2%2Fs%0A%20%20%20%20D_p%20%3D%20kT_q%20*%20mu_p%20%20%23%20cm%5E2%2Fs%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20BJT%20Current-Voltage%20Relations%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ECE350%2C%20Lectures%2025-26%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Hu%2C%20Chapter%208%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20notebook%20derives%20the%20current-voltage%20characteristics%20of%20the%20BJT%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Interactive%3A%20NPN%20Energy%20Band%20Diagram%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Derivation%20of%20IV%20(Forward%20Active)%3A%20Overview%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20Coordinate%20System%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20Interactive%3A%20Minority%20Carrier%20Profiles%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20Base%20Minority%20Carrier%20Profile%0A%20%20%20%20%20%20%20%206.%20Collector%2C%20Emitter%2C%20and%20Base%20Currents%0A%20%20%20%20%20%20%20%207.%20Interactive%3A%20%24%5Cbeta_F%24%20vs.%20Doping%20%2B%20Quick%20Check%0A%20%20%20%20%20%20%20%208.%20Base%20Width%20Modulation%3A%20Early%20Effect%0A%20%20%20%20%20%20%20%209.%20Gummel%20Number%20Formulation%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010.%20Interactive%3A%20Gummel%20Plot%0A%20%20%20%20%20%20%20%2011.%20Ebers-Moll%20Model%20*(optional)*%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20Eg_Si%2C%20IMAGE_BASE%2C%20kT_q%2C%20mo%2C%20ni_Si%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20VBE_band_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%20stop%3D0.7%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24V_%7BBE%7D%24%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20VBC_band_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-5.0%2C%20stop%3D0.5%2C%20value%3D-2.0%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24V_%7BBC%7D%24%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20NE_band_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D17%2C%20stop%3D20%2C%20value%3D18%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24N_E%24)%20%5Bcm%24%5E%7B-3%7D%24%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20NB_band_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D14%2C%20stop%3D18%2C%20value%3D16%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24N_B%24)%20%5Bcm%24%5E%7B-3%7D%24%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20NC_band_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D14%2C%20stop%3D18%2C%20value%3D16%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24N_C%24)%20%5Bcm%24%5E%7B-3%7D%24%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20WB_band_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.1%2C%20stop%3D3.0%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24W_B%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20band_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%201.%20Interactive%3A%20NPN%20Energy%20Band%20Diagram%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Visualize%20how%20bias%20and%20device%20parameters%20change%20the%20energy%20barriers%20and%20quasi-Fermi%20levels.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BVBE_band_slider%2C%20VBC_band_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BNE_band_slider%2C%20NB_band_slider%2C%20NC_band_slider%2C%20WB_band_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20NB_band_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20NC_band_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20NE_band_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20VBC_band_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20VBE_band_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20WB_band_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20band_controls%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20Eg_Si%2C%0A%20%20%20%20NB_band_slider%2C%0A%20%20%20%20NC_band_slider%2C%0A%20%20%20%20NE_band_slider%2C%0A%20%20%20%20VBC_band_slider%2C%0A%20%20%20%20VBE_band_slider%2C%0A%20%20%20%20WB_band_slider%2C%0A%20%20%20%20band_controls%2C%0A%20%20%20%20kT_q%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_VBE%20%3D%20VBE_band_slider.value%0A%20%20%20%20_VBC%20%3D%20VBC_band_slider.value%0A%0A%20%20%20%20_NE%20%3D%2010%20**%20NE_band_slider.value%0A%20%20%20%20_NB%20%3D%2010%20**%20NB_band_slider.value%0A%20%20%20%20_NC%20%3D%2010%20**%20NC_band_slider.value%0A%20%20%20%20_WB%20%3D%20WB_band_slider.value%20*%201e-4%20%20%23%20cm%0A%20%20%20%20_eps_Si%20%3D%2011.7%20*%208.854e-14%20%20%23%20F%2Fcm%0A%20%20%20%20_q%20%3D%201.6e-19%0A%0A%20%20%20%20_Vbi_BE%20%3D%20kT_q%20*%20np.log(_NE%20*%20_NB%20%2F%20ni_Si**2)%0A%20%20%20%20_Vbi_BC%20%3D%20kT_q%20*%20np.log(_NB%20*%20_NC%20%2F%20ni_Si**2)%0A%0A%20%20%20%20_V_BE_eff%20%3D%20max(_Vbi_BE%20-%20_VBE%2C%200.02)%0A%20%20%20%20_V_BC_eff%20%3D%20max(_Vbi_BC%20-%20_VBC%2C%200.02)%0A%0A%20%20%20%20_W_BE%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_Si%20*%20_V_BE_eff%20%2F%20_q%20*%20(_NE%20%2B%20_NB)%20%2F%20(_NE%20*%20_NB))%0A%20%20%20%20_xnBE%20%3D%20_W_BE%20*%20_NB%20%2F%20(_NE%20%2B%20_NB)%0A%20%20%20%20_xpBE%20%3D%20_W_BE%20*%20_NE%20%2F%20(_NE%20%2B%20_NB)%0A%0A%20%20%20%20_W_BC%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_Si%20*%20_V_BC_eff%20%2F%20_q%20*%20(_NB%20%2B%20_NC)%20%2F%20(_NB%20*%20_NC))%0A%20%20%20%20_xpBC%20%3D%20_W_BC%20*%20_NC%20%2F%20(_NB%20%2B%20_NC)%0A%20%20%20%20_xnBC%20%3D%20_W_BC%20*%20_NB%20%2F%20(_NB%20%2B%20_NC)%0A%0A%20%20%20%20_WB_um%20%3D%20_WB%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xnBE_um%20%3D%20_xnBE%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xpBE_um%20%3D%20_xpBE%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xpBC_um%20%3D%20_xpBC%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xnBC_um%20%3D%20_xnBC%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20_Ec_E%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20_Ec_B%20%3D%20_V_BE_eff%0A%20%20%20%20_Ec_C%20%3D%20_Ec_B%20-%20_V_BC_eff%0A%0A%20%20%20%20_Ev_E%20%3D%20_Ec_E%20-%20Eg_Si%0A%20%20%20%20_Ev_B%20%3D%20_Ec_B%20-%20Eg_Si%0A%20%20%20%20_Ev_C%20%3D%20_Ec_C%20-%20Eg_Si%0A%0A%20%20%20%20_Ei_E%20%3D%20_Ec_E%20-%20Eg_Si%20%2F%202%0A%20%20%20%20_Ei_B%20%3D%20_Ec_B%20-%20Eg_Si%20%2F%202%0A%20%20%20%20_Ei_C%20%3D%20_Ec_C%20-%20Eg_Si%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20_EFn_E%20%3D%20_Ei_E%20%2B%20kT_q%20*%20np.log(_NE%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_EFp_B%20%3D%20_Ei_B%20-%20kT_q%20*%20np.log(_NB%20%2F%20ni_Si)%0A%20%20%20%20_EFn_C%20%3D%20_Ei_C%20%2B%20kT_q%20*%20np.log(_NC%20%2F%20ni_Si)%0A%0A%20%20%20%20_dV_E%20%3D%20_V_BE_eff%20*%20_NB%20%2F%20(_NE%20%2B%20_NB)%0A%20%20%20%20_dV_B_BE%20%3D%20_V_BE_eff%20*%20_NE%20%2F%20(_NE%20%2B%20_NB)%0A%20%20%20%20_dV_B_BC%20%3D%20_V_BC_eff%20*%20_NC%20%2F%20(_NB%20%2B%20_NC)%0A%20%20%20%20_dV_C%20%3D%20_V_BC_eff%20*%20_NB%20%2F%20(_NB%20%2B%20_NC)%0A%0A%20%20%20%20_emitter_end%20%3D%20-_xpBE_um%20-%20_xnBE_um%20-%202.0%0A%20%20%20%20_collector_end%20%3D%20_WB_um%20%2B%20_xpBC_um%20%2B%20_xnBC_um%20%2B%202.0%0A%0A%20%20%20%20_x1%20%3D%20np.linspace(_emitter_end%2C%20-_xpBE_um%20-%20_xnBE_um%2C%2080)%0A%20%20%20%20_Ec1%20%3D%20np.full_like(_x1%2C%20_Ec_E)%0A%0A%20%20%20%20_x2%20%3D%20np.linspace(-_xpBE_um%20-%20_xnBE_um%2C%20-_xpBE_um%2C%2080)%0A%20%20%20%20_t2%20%3D%20(_x2%20-%20(-_xpBE_um%20-%20_xnBE_um))%20%2F%20max(_xnBE_um%2C%201e-6)%0A%20%20%20%20_Ec2%20%3D%20_Ec_E%20%2B%20_dV_E%20*%20_t2**2%0A%0A%20%20%20%20_x3%20%3D%20np.linspace(-_xpBE_um%2C%200%2C%2080)%0A%20%20%20%20_t3%20%3D%20-_x3%20%2F%20max(_xpBE_um%2C%201e-6)%0A%20%20%20%20_Ec3%20%3D%20_Ec_B%20-%20_dV_B_BE%20*%20_t3**2%0A%0A%20%20%20%20_x4%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_WB_um%2C%2080)%0A%20%20%20%20_Ec4%20%3D%20np.full_like(_x4%2C%20_Ec_B)%0A%0A%20%20%20%20_x5%20%3D%20np.linspace(_WB_um%2C%20_WB_um%20%2B%20_xpBC_um%2C%2080)%0A%20%20%20%20_t5%20%3D%20(_x5%20-%20_WB_um)%20%2F%20max(_xpBC_um%2C%201e-6)%0A%20%20%20%20_Ec5%20%3D%20_Ec_B%20-%20_dV_B_BC%20*%20_t5**2%0A%0A%20%20%20%20_x6%20%3D%20np.linspace(_WB_um%20%2B%20_xpBC_um%2C%20_WB_um%20%2B%20_xpBC_um%20%2B%20_xnBC_um%2C%2080)%0A%20%20%20%20_t6%20%3D%20(_WB_um%20%2B%20_xpBC_um%20%2B%20_xnBC_um%20-%20_x6)%20%2F%20max(_xnBC_um%2C%201e-6)%0A%20%20%20%20_Ec6%20%3D%20_Ec_C%20%2B%20_dV_C%20*%20_t6**2%0A%0A%20%20%20%20_x7%20%3D%20np.linspace(_WB_um%20%2B%20_xpBC_um%20%2B%20_xnBC_um%2C%20_collector_end%2C%2080)%0A%20%20%20%20_Ec7%20%3D%20np.full_like(_x7%2C%20_Ec_C)%0A%0A%20%20%20%20_x_all%20%3D%20np.concatenate(%5B_x1%2C%20_x2%2C%20_x3%2C%20_x4%2C%20_x5%2C%20_x6%2C%20_x7%5D)%0A%20%20%20%20_Ec_all%20%3D%20np.concatenate(%5B_Ec1%2C%20_Ec2%2C%20_Ec3%2C%20_Ec4%2C%20_Ec5%2C%20_Ec6%2C%20_Ec7%5D)%0A%20%20%20%20_Ev_all%20%3D%20_Ec_all%20-%20Eg_Si%0A%20%20%20%20_Ei_all%20%3D%20_Ec_all%20-%20Eg_Si%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20_fig_band%2C%20_ax_band%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%207))%0A%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(_x_all%2C%20_Ec_all%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(_x_all%2C%20_Ev_all%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24E_v%24')%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(_x_all%2C%20_Ei_all%2C%20'k--'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.4%2C%20label%3D'%24E_i%24')%0A%0A%20%20%20%20_x_EFn%20%3D%20np.concatenate(%5B_x1%2C%20_x2%2C%20_x3%5D)%0A%20%20%20%20_EFn_left%20%3D%20np.full_like(_x_EFn%2C%20_EFn_E)%0A%20%20%20%20_x_EFp%20%3D%20np.concatenate(%5B_x3%2C%20_x4%2C%20_x5%2C%20_x6%5D)%0A%20%20%20%20_EFp_mid%20%3D%20np.full_like(_x_EFp%2C%20_EFp_B)%0A%20%20%20%20_x_EFn_r%20%3D%20np.concatenate(%5B_x5%2C%20_x6%2C%20_x7%5D)%0A%20%20%20%20_EFn_right%20%3D%20np.full_like(_x_EFn_r%2C%20_EFn_C)%0A%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(_x_EFn%2C%20_EFn_left%2C%20'b--'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3D'%24E_%7BFn%7D%24')%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(_x_EFp%2C%20_EFp_mid%2C%20'r--'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3D'%24E_%7BFp%7D%24')%0A%20%20%20%20_ax_band.plot(_x_EFn_r%2C%20_EFn_right%2C%20'b--'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.7)%0A%0A%20%20%20%20_y_top%20%3D%20max(_Ec_all)%20%2B%200.3%0A%20%20%20%20_y_bot%20%3D%20min(_Ev_all)%20-%200.3%0A%20%20%20%20_ax_band.axvspan(_emitter_end%2C%20-_xpBE_um%20-%20_xnBE_um%2C%20alpha%3D0.04%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax_band.axvspan(0%2C%20_WB_um%2C%20alpha%3D0.06%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax_band.axvspan(_WB_um%20%2B%20_xpBC_um%20%2B%20_xnBC_um%2C%20_collector_end%2C%20alpha%3D0.04%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20_ax_band.text((_emitter_end%20%2B%20(-_xpBE_um%20-%20_xnBE_um))%20%2F%202%2C%20_y_top%20-%200.1%2C%20'Emitter%20(N%24%5E%2B%24)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax_band.text(_WB_um%20%2F%202%2C%20_y_top%20-%200.1%2C%20'Base%20(P)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax_band.text((_WB_um%20%2B%20_xpBC_um%20%2B%20_xnBC_um%20%2B%20_collector_end)%20%2F%202%2C%20_y_top%20-%200.1%2C%20'Collector%20(N)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20_ax_band.axvline(-_xpBE_um%20-%20_xnBE_um%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20_ax_band.axvline(0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20_ax_band.axvline(_WB_um%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20_ax_band.axvline(_WB_um%20%2B%20_xpBC_um%20%2B%20_xnBC_um%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%0A%20%20%20%20_barrier_BE%20%3D%20_Ec_B%20-%20_Ec_E%0A%20%20%20%20_arrow_x%20%3D%20-_xpBE_um%20-%20_xnBE_um%20*%200.5%0A%20%20%20%20_ax_band.annotate(''%2C%20xy%3D(_arrow_x%2C%20_Ec_E)%2C%20xytext%3D(_arrow_x%2C%20_Ec_B)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'purple'%2C%20lw%3D1.5))%0A%20%20%20%20_ax_band.text(_arrow_x%20-%200.3%2C%20(_Ec_E%20%2B%20_Ec_B)%20%2F%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%7B_barrier_BE%3A.2f%7D%20eV'%2C%20fontsize%3D12%2C%20color%3D'purple'%2C%20ha%3D'right'%2C%20va%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20_ax_band.set_xlabel(r'Position%20(%24%5Cmu%24m)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_band.set_ylabel(r'Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_band.set_title(f'NPN%20Energy%20Band%20Diagram%20(%24V_%7B%7BBE%7D%7D%24%20%3D%20%7B_VBE%3A.2f%7D%20V%2C%20%24V_%7B%7BBC%7D%7D%24%20%3D%20%7B_VBC%3A.1f%7D%20V)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_band.legend(fontsize%3D13%2C%20loc%3D'lower%20left'%2C%20ncol%3D2)%0A%20%20%20%20_ax_band.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_band.grid(True%2C%20alpha%3D0.2)%0A%20%20%20%20_ax_band.set_xlim(_emitter_end%2C%20_collector_end)%0A%20%20%20%20_ax_band.set_ylim(_y_bot%2C%20_y_top%20%2B%200.2)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_mode%20%3D%20%22Forward%20Active%22%20if%20_VBE%20%3E%200.1%20and%20_VBC%20%3C%200%20else%20%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Saturation%22%20if%20_VBE%20%3E%200.1%20and%20_VBC%20%3E%200%20else%20%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Cut-off%22%20if%20_VBE%20%3C%200.1%20and%20_VBC%20%3C%200%20else%20%22Inverted%22%0A%0A%20%20%20%20_info_band%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Mode%3A%20%7B_mode%7D**%20%7C%20%24N_E%24%20%3D%20%7B_NE%3A.0e%7D%2C%20%24N_B%24%20%3D%20%7B_NB%3A.0e%7D%2C%20%24N_C%24%20%3D%20%7B_NC%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%20%24W_B%24%20%3D%20%7B_WB*1e4%3A.1f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24V_%7B%7Bbi%2CBE%7D%7D%24%20%3D%20%7B_Vbi_BE%3A.3f%7D%20V%2C%20%24V_%7B%7Bbi%2CBC%7D%7D%24%20%3D%20%7B_Vbi_BC%3A.3f%7D%20V%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20B-E%20barrier%3A%20**%7B_barrier_BE%3A.3f%7D%20eV**%20%7C%20B-C%20barrier%3A%20**%7B_Ec_B%20-%20_Ec_C%3A.3f%7D%20eV**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Quasi-Fermi%20level%20splitting%3A%20%24E_%7B%7BFn%2CE%7D%7D%20-%20E_%7B%7BFp%2CB%7D%7D%24%20%3D%20%7B_EFn_E%20-%20_EFp_B%3A.3f%7D%20eV%20%24%5C%5Capprox%20qV_%7B%7BBE%7D%7D%24%20%3D%20%7B_VBE%3A.2f%7D%20eV%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bband_controls%2C%20_fig_band%2C%20_info_band%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Derivation%20of%20IV%20(Forward%20Active)%3A%20Overview%0A%0A%0A%20%20%20%20**Assumptions%3A**%0A%20%20%20%20-%20Emitter%20and%20collector%20are%20semi-infinite%0A%20%20%20%20-%20Ideal%20diode%20approximations%0A%20%20%20%20-%20Steady-state%0A%0A%20%20%20%20**Procedure%3A**%0A%20%20%20%201.%20Solve%20for%20%24I_C%24%20as%20a%20function%20of%20%24V_%7BBE%7D%24%20and%20%24V_%7BBC%7D%24%0A%20%20%20%202.%20Solve%20for%20%24I_E%24%0A%20%20%20%203.%20Then%20solve%20%24I_B%20%3D%20I_E%20-%20I_C%24%2C%20and%20determine%20the%20metrics%20(%24%5Calpha_F%24%2C%20%24%5Cbeta_F%24)%0A%0A%20%20%20%20Currents%20are%20solved%20like%20the%20PN%20diode%3A%0A%20%20%20%20-%20Find%20minority%20carrier%20distributions%20in%20the%20E%2C%20B%2C%20C%0A%20%20%20%20-%20Find%20electron%20and%20hole%20diffusion%20currents%20at%20edges%20of%20depletion%20regions%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fbjt-structure.png%22%2C%20width%3D%2225%25%22)%0A%20%20%20%20_img2%20%3D%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fbjt-minority-carriers.png%22%2C%20width%3D%2250%25%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%203.%20Coordinate%20System%20and%20Minority%20Carriers%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Define%20coordinates%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Base%3A**%20%24x%20%3D%200%24%20at%20B-E%20depletion%20edge%2C%20%24x%20%3D%20W_B%24%20at%20B-C%20depletion%20edge%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Emitter%3A**%20%24x''%20%3D%200%24%20at%20B-E%20depletion%20edge%2C%20increasing%20into%20emitter%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Collector%3A**%20%24x'%20%3D%200%24%20at%20B-C%20depletion%20edge%2C%20increasing%20into%20collector%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24W_B%24%20is%20the%20quasi-neutral%20base%20width%20(distance%20between%20depletion%20edges).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5B_img%2C%20_img2%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20VBE_carrier_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%20stop%3D0.7%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24V_%7BBE%7D%24%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20carrier_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%204.%20Interactive%3A%20Minority%20Carrier%20Profiles%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22See%20how%20forward%20bias%20injects%20minority%20carriers%20across%20the%20entire%20NPN%20structure.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20VBE_carrier_slider%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20VBE_carrier_slider%2C%20carrier_controls%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(VBE_carrier_slider%2C%20carrier_controls%2C%20kT_q%2C%20mo%2C%20ni_Si%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_VBE%20%3D%20VBE_carrier_slider.value%0A%20%20%20%20_VBC%20%3D%20-2.0%0A%0A%20%20%20%20_NE%20%3D%201e18%0A%20%20%20%20_NB%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_NC%20%3D%201e16%0A%20%20%20%20_WB%20%3D%200.5e-4%20%20%20%23%20cm%20(0.5%20um)%0A%0A%20%20%20%20_mu_nB%20%3D%201350.0%20%2F%20(1%20%2B%20(_NB%20%2F%201e17)**0.7)%0A%20%20%20%20_mu_pE%20%3D%20480.0%20%2F%20(1%20%2B%20(_NE%20%2F%201e17)**0.7)%0A%20%20%20%20_mu_pC%20%3D%20480.0%20%2F%20(1%20%2B%20(_NC%20%2F%201e17)**0.7)%0A%20%20%20%20_DnB%20%3D%20kT_q%20*%20_mu_nB%20%20%20%20%20%23%20electrons%20in%20base%0A%20%20%20%20_DpE%20%3D%20kT_q%20*%20_mu_pE%20%20%20%20%20%23%20holes%20in%20emitter%0A%20%20%20%20_DpC%20%3D%20kT_q%20*%20_mu_pC%20%20%20%20%20%23%20holes%20in%20collector%0A%0A%20%20%20%20_tau_nB%20%3D%205e-7%20%20%20%23%20s%0A%20%20%20%20_tau_pE%20%3D%201e-7%20%20%20%23%20s%0A%20%20%20%20_tau_pC%20%3D%205e-7%20%20%20%23%20s%0A%20%20%20%20_LnB%20%3D%20np.sqrt(_DnB%20*%20_tau_nB)%20%20%20%23%20cm%0A%20%20%20%20_LpE%20%3D%20np.sqrt(_DpE%20*%20_tau_pE)%20%20%20%23%20cm%0A%20%20%20%20_LpC%20%3D%20np.sqrt(_DpC%20*%20_tau_pC)%20%20%20%23%20cm%0A%0A%20%20%20%20_nB0%20%3D%20ni_Si**2%20%2F%20_NB%0A%20%20%20%20_pE0%20%3D%20ni_Si**2%20%2F%20_NE%0A%20%20%20%20_pC0%20%3D%20ni_Si**2%20%2F%20_NC%0A%0A%20%20%20%20_dn_BE%20%3D%20_nB0%20*%20(np.exp(_VBE%20%2F%20kT_q)%20-%201)%0A%20%20%20%20_dn_BC%20%3D%20_nB0%20*%20(np.exp(_VBC%20%2F%20kT_q)%20-%201)%0A%20%20%20%20_dp_E%20%3D%20_pE0%20*%20(np.exp(_VBE%20%2F%20kT_q)%20-%201)%0A%20%20%20%20_dp_C%20%3D%20_pC0%20*%20(np.exp(_VBC%20%2F%20kT_q)%20-%201)%0A%0A%20%20%20%20_eps_Si%20%3D%2011.7%20*%208.854e-14%0A%20%20%20%20_q%20%3D%201.6e-19%0A%20%20%20%20_Vbi_BE%20%3D%20kT_q%20*%20np.log(_NE%20*%20_NB%20%2F%20ni_Si**2)%0A%20%20%20%20_Vbi_BC%20%3D%20kT_q%20*%20np.log(_NB%20*%20_NC%20%2F%20ni_Si**2)%0A%20%20%20%20_V_BE_eff%20%3D%20max(_Vbi_BE%20-%20_VBE%2C%200.02)%0A%20%20%20%20_V_BC_eff%20%3D%20max(_Vbi_BC%20-%20_VBC%2C%200.02)%0A%0A%20%20%20%20_W_BE%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_Si%20*%20_V_BE_eff%20%2F%20_q%20*%20(_NE%20%2B%20_NB)%20%2F%20(_NE%20*%20_NB))%0A%20%20%20%20_xnBE_um%20%3D%20_W_BE%20*%20_NB%20%2F%20(_NE%20%2B%20_NB)%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xpBE_um%20%3D%20_W_BE%20*%20_NE%20%2F%20(_NE%20%2B%20_NB)%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20_W_BC%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_eps_Si%20*%20_V_BC_eff%20%2F%20_q%20*%20(_NB%20%2B%20_NC)%20%2F%20(_NB%20*%20_NC))%0A%20%20%20%20_xpBC_um%20%3D%20_W_BC%20*%20_NC%20%2F%20(_NB%20%2B%20_NC)%20*%201e4%0A%20%20%20%20_xnBC_um%20%3D%20_W_BC%20*%20_NB%20%2F%20(_NB%20%2B%20_NC)%20*%201e4%0A%0A%20%20%20%20_WB_um%20%3D%20_WB%20*%201e4%0A%20%20%20%20_E_edge%20%3D%20-_xpBE_um%20-%20_xnBE_um%0A%20%20%20%20_C_edge%20%3D%20_WB_um%20%2B%20_xpBC_um%20%2B%20_xnBC_um%0A%0A%20%20%20%20_x_E%20%3D%20np.linspace(_E_edge%20-%203%2C%20_E_edge%2C%20200)%0A%20%20%20%20_x_B%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_WB_um%2C%20200)%0A%20%20%20%20_x_C%20%3D%20np.linspace(_C_edge%2C%20_C_edge%20%2B%203%2C%20200)%0A%0A%20%20%20%20_pE_excess%20%3D%20_dp_E%20*%20np.exp(-(_E_edge%20-%20_x_E)%20%2F%20(_LpE%20*%201e4))%0A%20%20%20%20_pE_total%20%3D%20_pE0%20%2B%20_pE_excess%0A%0A%20%20%20%20_x_B_cm%20%3D%20_x_B%20*%201e-4%0A%20%20%20%20_nB_excess%20%3D%20_dn_BE%20*%20(1%20-%20_x_B_cm%20%2F%20_WB)%20%2B%20_dn_BC%20*%20(_x_B_cm%20%2F%20_WB)%0A%20%20%20%20_nB_total%20%3D%20_nB0%20%2B%20_nB_excess%0A%0A%20%20%20%20_pC_excess%20%3D%20_dp_C%20*%20np.exp(-(_x_C%20-%20_C_edge)%20%2F%20(_LpC%20*%201e4))%0A%20%20%20%20_pC_total%20%3D%20_pC0%20%2B%20_pC_excess%0A%0A%20%20%20%20_x_left%20%3D%20_E_edge%20-%203%0A%20%20%20%20_x_right%20%3D%20_C_edge%20%2B%203%0A%0A%20%20%20%20_fig_c%2C%20(_ax_c%2C%20_ax_lin)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(16%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20for%20_ax%20in%20%5B_ax_c%2C%20_ax_lin%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(_x_left%2C%20_E_edge%2C%20alpha%3D0.04%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(0%2C%20_WB_um%2C%20alpha%3D0.06%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(_C_edge%2C%20_x_right%2C%20alpha%3D0.04%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(_E_edge%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(_WB_um%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(_C_edge%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlabel(r'Position%20(%24%5Cmu%24m)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlim(_x_left%2C%20_x_right)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%3A%20log%20scale%0A%20%20%20%20_ax_c.semilogy(_x_E%2C%20np.maximum(_pE_total%2C%201e0)%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24p_E(x)%24%20(holes%20in%20emitter)')%0A%20%20%20%20_ax_c.semilogy(_x_B%2C%20np.maximum(_nB_total%2C%201e0)%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24n_B(x)%24%20(electrons%20in%20base)')%0A%20%20%20%20_ax_c.semilogy(_x_C%2C%20np.maximum(_pC_total%2C%201e0)%2C%20'r--'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24p_C(x)%24%20(holes%20in%20collector)')%0A%0A%20%20%20%20_ax_c.axhline(_pE0%2C%20color%3D'r'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4%2C%20linewidth%3D1)%0A%20%20%20%20_ax_c.axhline(_nB0%2C%20color%3D'b'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4%2C%20linewidth%3D1)%0A%20%20%20%20_ax_c.axhline(_pC0%2C%20color%3D'r'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4%2C%20linewidth%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_ylim_lo%20%3D%20_ax_c.get_ylim()%5B0%5D%0A%20%20%20%20_label_y%20%3D%20_ylim_lo%20*%2030%0A%20%20%20%20_ax_c.text((_x_left%20%2B%20_E_edge)%20%2F%202%2C%20_label_y%2C%20'Emitter%5Cn(N%24%5E%2B%24)'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax_c.text(_WB_um%20%2F%202%2C%20_label_y%2C%20'Base%5Cn(P)'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax_c.text((_C_edge%20%2B%20_x_right)%20%2F%202%2C%20_label_y%2C%20'Collector%5Cn(N)'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20_ax_c.set_ylabel(r'Minority%20carrier%20concentration%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_c.set_title(f'Log%20scale%20(%24V_%7B%7BBE%7D%7D%24%20%3D%20%7B_VBE%3A.2f%7D%20V%2C%20%24V_%7B%7BBC%7D%7D%24%20%3D%20%7B_VBC%3A.0f%7D%20V)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_c.legend(fontsize%3D12%2C%20loc%3D'upper%20right')%0A%20%20%20%20_ax_c.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D'both')%0A%0A%20%20%20%20%23%20Right%3A%20linear%20scale%0A%20%20%20%20_ax_lin.plot(_x_E%2C%20_pE_total%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24p_E(x)%24')%0A%20%20%20%20_ax_lin.plot(_x_B%2C%20_nB_total%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24n_B(x)%24')%0A%20%20%20%20_ax_lin.plot(_x_C%2C%20_pC_total%2C%20'r--'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24p_C(x)%24')%0A%0A%20%20%20%20_ax_lin.axhline(_nB0%2C%20color%3D'b'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.4%2C%20linewidth%3D1)%0A%0A%20%20%20%20_ylim_top_lin%20%3D%20_ax_lin.get_ylim()%5B1%5D%20if%20_ax_lin.get_ylim()%5B1%5D%20%3E%200%20else%201e10%0A%20%20%20%20_label_y_lin%20%3D%20_ylim_top_lin%20*%200.02%0A%20%20%20%20_ax_lin.text((_x_left%20%2B%20_E_edge)%20%2F%202%2C%20_label_y_lin%2C%20'Emitter%5Cn(N%24%5E%2B%24)'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20_ax_lin.text(_WB_um%20%2F%202%2C%20_label_y_lin%2C%20'Base%5Cn(P)'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20_ax_lin.text((_C_edge%20%2B%20_x_right)%20%2F%202%2C%20_label_y_lin%2C%20'Collector%5Cn(N)'%2C%20fontsize%3D14%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'bottom'%2C%20color%3D'green')%0A%0A%20%20%20%20_ax_lin.set_ylabel(r'Minority%20carrier%20concentration%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_lin.set_title(f'Linear%20scale%20(%24V_%7B%7BBE%7D%7D%24%20%3D%20%7B_VBE%3A.2f%7D%20V%2C%20%24V_%7B%7BBC%7D%7D%24%20%3D%20%7B_VBC%3A.0f%7D%20V)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_lin.legend(fontsize%3D12%2C%20loc%3D'upper%20right')%0A%20%20%20%20_ax_lin.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax_lin.set_ylim(bottom%3D0)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_info_c%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Device%20parameters%3A**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%20%7C%20Emitter%20(N%24%5E%2B%24)%20%7C%20Base%20(P)%20%7C%20Collector%20(N)%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%3A--%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Doping%20%7C%20%24N_E%24%20%3D%20%7B_NE%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%20%24N_B%24%20%3D%20%7B_NB%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%20%24N_C%24%20%3D%20%7B_NC%3A.0e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Diffusion%20coeff.%20%7C%20%24D_E%24%20%3D%20%7B_DpE%3A.1f%7D%20cm%24%5E2%24%2Fs%20%7C%20%24D_B%24%20%3D%20%7B_DnB%3A.1f%7D%20cm%24%5E2%24%2Fs%20%7C%20%24D_C%24%20%3D%20%7B_DpC%3A.1f%7D%20cm%24%5E2%24%2Fs%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Lifetime%20%7C%20%24%5C%5Ctau_E%24%20%3D%20%7B_tau_pE%3A.0e%7D%20s%20%7C%20%24%5C%5Ctau_B%24%20%3D%20%7B_tau_nB%3A.0e%7D%20s%20%7C%20%24%5C%5Ctau_C%24%20%3D%20%7B_tau_pC%3A.0e%7D%20s%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Diffusion%20length%20%7C%20%24L_E%24%20%3D%20%7B_LpE*1e4%3A.1f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m%20%7C%20%24L_B%24%20%3D%20%7B_LnB*1e4%3A.1f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m%20%7C%20%24L_C%24%20%3D%20%7B_LpC*1e4%3A.1f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24W_B%24%20%3D%20%7B_WB*1e4%3A.1f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**At%20%24V_%7B%7BBE%7D%7D%24%20%3D%20%7B_VBE%3A.2f%7D%20V%3A**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Excess%20electrons%20at%20base%20edge%3A%20%24n'_B(0)%24%20%3D%20%7B_dn_BE%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Equilibrium%3A%20%24n_%7B%7BB0%7D%7D%24%20%3D%20%7B_nB0%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20base%20profile%20is%20approximately%20**linear**%20because%20%24W_B%24%20(%7B_WB*1e4%3A.1f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m)%20%24%5C%5Cll%24%20%24L_B%24%20(%7B_LnB*1e4%3A.1f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20slope%20of%20%24n_B(x)%24%20determines%20%24I_C%24%20(steeper%20slope%20%24%5C%5Cto%24%20more%20diffusion%20current).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bcarrier_controls%2C%20_fig_c%2C%20_info_c%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20Base%20Minority%20Carrier%20Profile%0A%0A%20%20%20%20The%20continuity%20equation%20for%20electrons%20in%20the%20P-type%20base%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24D_B%5Cfrac%7Bd%5E2%20n'_B%7D%7Bdx%5E2%7D%20-%20%5Cfrac%7Bn'_B%7D%7B%5Ctau_B%7D%20%3D%200%24%24%0A%0A%20%20%20%20with%20boundary%20conditions%3A%0A%20%20%20%20-%20At%20%24x%20%3D%200%24%3A%20%24n'_B(0)%20%3D%20n_%7BB0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D%20-%201%5Cright)%24%0A%20%20%20%20-%20At%20%24x%20%3D%20W_B%24%3A%20%24n'_B(W_B)%20%3D%20n_%7BB0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBC%7D%2FkT%7D%20-%201%5Cright)%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24n_%7BB0%7D%20%3D%20n_i%5E2%20%2F%20N_B%24%2C%20%24n'_B%20%3D%20n_B%20-%20n_%7BB0%7D%24%20is%20the%20excess%20electron%20concentration%2C%20and%20%24L_B%20%3D%20%5Csqrt%7BD_B%20%5Ctau_B%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20**General%20solution%20(sinh%20form)%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7Bn'_B(x)%20%3D%20n'_B(0)%5C%2C%5Cfrac%7B%5Csinh%5C!%5Cleft%5B%5Cfrac%7BW_B%20-%20x%7D%7BL_B%7D%5Cright%5D%7D%7B%5Csinh%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BW_B%7D%7BL_B%7D%5Cright)%7D%20%2B%20n'_B(W_B)%5C%2C%5Cfrac%7B%5Csinh%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%7D%7BL_B%7D%5Cright)%7D%7B%5Csinh%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BW_B%7D%7BL_B%7D%5Cright)%7D%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%206.%20Collector%2C%20Emitter%2C%20and%20Base%20Currents%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Collector%20current%0A%0A%20%20%20%20Same%20procedure%20as%20the%20PN%20diode.%20The%20total%20collector%20current%20is%20the%20sum%20of%20hole%20and%20electron%20diffusion%20currents%20at%20the%20edges%20of%20the%20B-C%20junction%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_C%20%3D%20I_%7BCp%7D%20%2B%20I_%7BCn%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7BCp%7D%20%3D%20-qA%20D_C%20%5Cleft.%5Cfrac%7Bdp'_C%7D%7Bdx'%7D%5Cright%7C_%7Bx'%3D0%7D%2C%20%5Cqquad%20I_%7BCn%7D%20%3D%20qA%20D_B%20%5Cleft.%5Cfrac%7Bdn'_B%7D%7Bdx%7D%5Cright%7C_%7Bx%3DW_B%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24A%24%20is%20the%20cross-section%20area%2C%20%24D_C%24%20is%20the%20minority%20carrier%20(hole)%20diffusion%20coefficient%20in%20the%20collector%2C%20and%20%24D_B%24%20is%20the%20minority%20carrier%20(electron)%20diffusion%20coefficient%20in%20the%20base.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20%24I_%7BCp%7D%24%3A%20Hole%20current%20in%20the%20collector%0A%0A%20%20%20%20From%20continuity%20%2B%20diffusion%20in%20the%20semi-infinite%20collector%20(%24p'_C%20%3D%20p_C%20-%20p_%7BC0%7D%24%2C%20%24L_C%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Ctau_C%20D_C%7D%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd%5E2%20p'_C%7D%7Bdx'%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bp'_C%7D%7BL_C%5E2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Boundary%20conditions%3A%20%24p'_C(0)%20%3D%20p_%7BC0%7D(e%5E%7BqV_%7BBC%7D%2FkT%7D%20-%201)%24%2C%20%24%5C%3Bp'_C(%5Cinfty)%20%3D%200%24%0A%0A%20%20%20%20**Solution%3A**%20%24%5C%3Bp'_C(x')%20%3D%20p_%7BC0%7D(e%5E%7BqV_%7BBC%7D%2FkT%7D%20-%201)%5C%2Ce%5E%7B-x'%2FL_C%7D%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7BCp%7D%20%3D%20-qA%20D_C%20%5Cleft.%5Cfrac%7Bdp'_C%7D%7Bdx'%7D%5Cright%7C_%7Bx'%3D0%7D%20%3D%20qA%5Cfrac%7BD_C%7D%7BL_C%7D%5C%2Cp_%7BC0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBC%7D%2FkT%7D%20-%201%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20%24I_%7BCn%7D%24%3A%20Electron%20current%20at%20collector%20edge%20of%20base%0A%0A%20%20%20%20From%20the%20base%20minority%20carrier%20profile%20%24n'_B(x)%24%20derived%20in%20Section%205%2C%20evaluating%20the%20derivative%20at%20%24x%20%3D%20W_B%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7BCn%7D%20%3D%20qA%20D_B%20%5Cleft.%5Cfrac%7Bdn'_B%7D%7Bdx%7D%5Cright%7C_%7Bx%3DW_B%7D%20%3D%20-qA%5Cfrac%7BD_B%7D%7BL_B%7D%5C%2Cn_%7BB0%7D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csinh(W_B%2FL_B)%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ctanh(W_B%2FL_B)%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBC%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%5Cright%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Total%20collector%20current%0A%0A%20%20%20%20Combining%20%24I_C%20%3D%20I_%7BCn%7D%20%2B%20I_%7BCp%7D%24%20and%20noting%20that%20%24I_C%24%20is%20defined%20flowing%20*into*%20the%20collector%20(multiply%20by%20%24-1%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BI_C%20%3D%20%5Cunderbrace%7BqA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BL_B%5C%2C%5Csinh(W_B%2FL_B)%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%7D_%7B%5Ctext%7BForward-bias%20diode%20(BE%20junction)%7D%7D%20-%20%5Cunderbrace%7BqA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BL_B%5C%2C%5Ctanh(W_B%2FL_B)%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BD_C%7D%7BL_C%7D%5C%2Cp_%7BC0%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBC%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%7D_%7B%5Ctext%7BReverse-bias%20diode%20(BC%20junction)%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20collector%20current%20is%20the%20superposition%20of%20**two%20diode%20terms**%3A%20a%20forward-biased%20B-E%20junction%20that%20injects%20carriers%20across%20the%20base%2C%20and%20a%20reverse-biased%20B-C%20junction%20that%20collects%20them.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Simplification%201%3A%20Short-base%20approximation%0A%0A%20%20%20%20If%20%24W_B%20%5Cll%20L_B%24%2C%20Taylor%20series%20expansions%20give%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Csinh%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BW_B%7D%7BL_B%7D%5Cright)%20%5Capprox%20%5Cfrac%7BW_B%7D%7BL_B%7D%2C%20%5Cqquad%20%5Ccosh%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BW_B%7D%7BL_B%7D%5Cright)%20%5Capprox%201%20%2B%20%5Cleft(%5Cfrac%7BW_B%7D%7BL_B%7D%5Cright)%5E2%2C%20%5Cqquad%20%5Ctanh%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7BW_B%7D%7BL_B%7D%5Cright)%20%5Capprox%20%5Cfrac%7BW_B%7D%7BL_B%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Applying%20to%20the%20total%20collector%20current%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BI_C%20%3D%20qA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BW_B%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%20-%20qA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BW_B%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BD_C%7D%7BL_C%7D%5C%2Cp_%7BC0%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBC%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Physically%2C%20we%20have%20**linearized%20the%20minority%20carrier%20distribution**%20in%20the%20base%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24n'_B(x)%20%5Capprox%20n'_B(0)%5Cleft(1%20-%20%5Cfrac%7Bx%7D%7BW_B%7D%5Cright)%20%2B%20n'_B(W_B)%5C%2C%5Cfrac%7Bx%7D%7BW_B%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Carriers%20diffuse%20across%20the%20base%20before%20recombining%20%E2%80%94%20the%20profile%20is%20a%20straight%20line%20connecting%20the%20boundary%20values.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20VBE_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%20stop%3D0.7%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24V_%7BBE%7D%24%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20VBC_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-5.0%2C%20stop%3D0.5%2C%20value%3D-2.0%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24V_%7BBC%7D%24%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20WB_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.1%2C%20stop%3D5.0%2C%20value%3D0.5%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24W_B%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20LB_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%20stop%3D10.0%2C%20value%3D2.0%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24L_B%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Interactive%3A%20Base%20Carrier%20Profiles%20and%20the%20Short%20Base%20Approximation%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Compare%20the%20full%20sinh%20solution%20with%20the%20short-base%20(linear)%20approximation.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BVBE_slider%2C%20VBC_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BWB_slider%2C%20LB_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20LB_slider%2C%20VBC_slider%2C%20VBE_slider%2C%20WB_slider%2C%20profile_controls%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20LB_slider%2C%0A%20%20%20%20VBC_slider%2C%0A%20%20%20%20VBE_slider%2C%0A%20%20%20%20WB_slider%2C%0A%20%20%20%20kT_q%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ni_Si%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20profile_controls%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_VBE%20%3D%20VBE_slider.value%0A%20%20%20%20_VBC%20%3D%20VBC_slider.value%0A%20%20%20%20_WB%20%3D%20WB_slider.value%20*%201e-4%20%20%20%23%20cm%0A%20%20%20%20_LnB%20%3D%20LB_slider.value%20*%201e-4%20%20%23%20cm%0A%20%20%20%20_NB%20%3D%201e16%0A%0A%20%20%20%20_nB0%20%3D%20ni_Si**2%20%2F%20_NB%0A%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_WB%2C%20300)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Full%20sinh%20solution%0A%20%20%20%20_sinh_WB%20%3D%20np.sinh(_WB%20%2F%20_LnB)%0A%20%20%20%20if%20abs(_sinh_WB)%20%3C%201e-30%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sinh_WB%20%3D%201e-30%0A%20%20%20%20_dn_sinh%20%3D%20_nB0%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(np.exp(_VBE%20%2F%20kT_q)%20-%201)%20*%20np.sinh((_WB%20-%20_x)%20%2F%20_LnB)%20%2F%20_sinh_WB%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20(np.exp(_VBC%20%2F%20kT_q)%20-%201)%20*%20np.sinh(_x%20%2F%20_LnB)%20%2F%20_sinh_WB%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Short%20base%20(linear)%20approximation%0A%20%20%20%20_dn_linear%20%3D%20_nB0%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(np.exp(_VBE%20%2F%20kT_q)%20-%201)%20*%20(1%20-%20_x%20%2F%20_WB)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20(np.exp(_VBC%20%2F%20kT_q)%20-%201)%20*%20(_x%20%2F%20_WB)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_x_um%20%3D%20_x%20*%201e4%20%20%23%20convert%20to%20micrometers%0A%0A%20%20%20%20_fig_p%2C%20_ax_p%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20_nB_full%20%3D%20_nB0%20%2B%20_dn_sinh%0A%20%20%20%20_nB_lin%20%3D%20_nB0%20%2B%20_dn_linear%0A%0A%20%20%20%20_ax_p.plot(_x_um%2C%20_nB_full%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'Full%20(sinh)%20solution')%0A%20%20%20%20_ax_p.plot(_x_um%2C%20_nB_lin%2C%20'r--'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'Short-base%20(linear)%20approx.')%0A%20%20%20%20_ax_p.axhline(_nB0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3Df'%24n_%7B%7BB0%7D%7D%24%20%3D%20%7B_nB0%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24')%0A%0A%20%20%20%20_ax_p.set_xlabel(r'Position%20in%20base%2C%20%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_p.set_ylabel(r'%24n_B(x)%24%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_p.set_title(f'Minority%20Electrons%20in%20Base%20(%24V_%7B%7BBE%7D%7D%24%20%3D%20%7B_VBE%3A.2f%7D%20V%2C%20%24V_%7B%7BBC%7D%7D%24%20%3D%20%7B_VBC%3A.1f%7D%20V)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_p.legend(fontsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_p.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_p.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D'both')%0A%20%20%20%20_ax_p.set_xlim(0%2C%20_WB%20*%201e4)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_ratio%20%3D%20_WB%20%2F%20_LnB%0A%20%20%20%20_info_p%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**%24W_B%20%2F%20L_B%24%20%3D%20%7B_ratio%3A.3f%7D**%20%7B'%24%5C%5Cll%201%24%20(short%20base%3A%20linear%20approx.%20is%20excellent)'%20if%20_ratio%20%3C%200.1%20else%20'(short%20base%20approx.%20may%20have%20noticeable%20error)'%20if%20_ratio%20%3C%200.5%20else%20'%24%5C%5Csim%201%24%20or%20larger%3A%20significant%20recombination%20in%20base%2C%20sinh%20solution%20needed'%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Boundary%20values%3A%20%24n_B(0)%24%20%3D%20%7B_nB0%20%2B%20_nB0*(np.exp(_VBE%2FkT_q)-1)%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24n_B(W_B)%24%20%3D%20%7B_nB0%20%2B%20_nB0*(np.exp(_VBC%2FkT_q)-1)%3A.2e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bprofile_controls%2C%20_fig_p%2C%20_info_p%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Simplification%202%3A%20Neglect%20reverse%20current%0A%0A%20%20%20%20In%20**forward%20active**%20mode%20(%24V_%7BBE%7D%20%3E%200%24%2C%20%24V_%7BBC%7D%20%3C%200%24)%2C%20the%20first%20term%20is%20much%20bigger%20than%20the%20second%20term%20(since%20%24V_%7BBC%7D%20%3C%200%24%20makes%20%24e%5E%7BqV_%7BBC%7D%2FkT%7D%20-%201%20%5Capprox%20-1%24%2C%20a%20small%20reverse-bias%20current).%20Dropping%20the%20second%20term%20and%20substituting%20%24n_%7BB0%7D%20%3D%20n_i%5E2%2FN_B%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BI_C%20%3D%20qA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BW_B%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%20%3D%20%5Cfrac%7BqA%5C%2CD_B%5C%2Cn_i%5E2%7D%7BW_B%5C%2CN_B%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D%20-%201%5Cright)%20%3D%20I_S%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D%20-%201%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24I_S%20%3D%20qA%20D_B%20n_i%5E2%20%2F%20(W_B%20N_B)%24%20is%20the%20**saturation%20current**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Emitter%20current%0A%0A%20%20%20%20The%20total%20emitter%20current%20is%20the%20sum%20of%20diffusion%20currents%20at%20the%20edges%20of%20the%20B-E%20junction%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_E%20%3D%20I_%7BEp%7D%20%2B%20I_%7BEn%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7BEp%7D%20%3D%20qA%20D_E%20%5Cleft.%5Cfrac%7Bdp'_E%7D%7Bdx''%7D%5Cright%7C_%7Bx''%3D0%7D%2C%20%5Cqquad%20I_%7BEn%7D%20%3D%20qA%20D_B%20%5Cleft.%5Cfrac%7Bdn'_B%7D%7Bdx%7D%5Cright%7C_%7Bx%3D0%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20(No%20minus%20sign%20on%20%24I_%7BEp%7D%24%20since%20%24x''%24%20points%20in%20the%20opposite%20direction%20to%20conventional%20current%20flow.)%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20%24I_%7BEn%7D%24%3A%20Electron%20current%20at%20base%20edge%0A%0A%20%20%20%20From%20the%20base%20carrier%20profile%20(Section%205)%2C%20evaluating%20the%20derivative%20at%20%24x%20%3D%200%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7BEn%7D%20%3D%20qA%20D_B%20%5Cleft.%5Cfrac%7Bdn'_B%7D%7Bdx%7D%5Cright%7C_%7Bx%3D0%7D%20%3D%20-qA%5Cfrac%7BD_B%7D%7BL_B%7D%5C%2Cn_%7BB0%7D%5Cleft%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ctanh(W_B%2FL_B)%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csinh(W_B%2FL_B)%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBC%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%5Cright%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20%24I_%7BEp%7D%24%3A%20Hole%20current%20in%20the%20emitter%0A%0A%20%20%20%20From%20continuity%20%2B%20diffusion%20in%20the%20semi-infinite%20emitter%20(%24p'_E%20%3D%20p_E%20-%20p_%7BE0%7D%24%2C%20%24L_E%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Ctau_E%20D_E%7D%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd%5E2%20p'_E%7D%7Bdx''%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bp'_E%7D%7BL_E%5E2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Boundary%20conditions%3A%20%24p'_E(0)%20%3D%20p_%7BE0%7D(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D%20-%201)%24%2C%20%24%5C%3Bp'_E(%5Cinfty)%20%3D%200%24%0A%0A%20%20%20%20**Solution%3A**%20%24%5C%3Bp'_E(x'')%20%3D%20p_%7BE0%7D(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D%20-%201)%5C%2Ce%5E%7B-x''%2FL_E%7D%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_%7BEp%7D%20%3D%20qA%20D_E%20%5Cleft.%5Cfrac%7Bdp'_E%7D%7Bdx''%7D%5Cright%7C_%7Bx''%3D0%7D%20%3D%20-qA%5Cfrac%7BD_E%7D%7BL_E%7D%5C%2Cp_%7BE0%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D%20-%201%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Total%20emitter%20current%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24I_E%24%20is%20defined%20flowing%20in%20the%20negative%20direction%20(out%20of%20the%20emitter)%2C%20multiply%20by%20%24-1%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BI_E%20%3D%20%5Cunderbrace%7BqA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BL_B%5C%2C%5Ctanh(W_B%2FL_B)%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BD_E%7D%7BL_E%7D%5C%2Cp_%7BE0%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%7D_%7B%5Ctext%7BForward-bias%20diode%20(BE%20junction)%7D%7D%20-%20%5Cunderbrace%7BqA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BL_B%5C%2C%5Csinh(W_B%2FL_B)%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBC%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%7D_%7B%5Ctext%7BReverse-bias%20diode%20(BC%20junction)%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Short-base%20approximation%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_E%20%3D%20qA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BW_B%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BD_E%5C%2Cp_%7BE0%7D%7D%7BL_E%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%20-%20qA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BW_B%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBC%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Neglect%20reverse%20current%20(%24V_%7BBC%7D%20%3C%200%24%2C%20%24V_%7BBE%7D%20%3E%200%24)%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BI_E%20%3D%20qA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BW_B%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BD_E%5C%2Cp_%7BE0%7D%7D%7BL_E%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24n_%7BB0%7D%20%3D%20n_i%5E2%2FN_B%24%20and%20%24p_%7BE0%7D%20%3D%20n_i%5E2%2FN_E%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Base%20current%0A%0A%20%20%20%20With%20short-base%20approximation%20and%20neglecting%20reverse%20current%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_B%20%3D%20I_E%20-%20I_C%20%3D%20qA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BW_B%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BD_E%5C%2Cp_%7BE0%7D%7D%7BL_E%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%20-%20qA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BW_B%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20%24D_B%20n_%7BB0%7D%2FW_B%24%20terms%20cancel%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BI_B%20%3D%20qA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_E%5C%2Cp_%7BE0%7D%7D%7BL_E%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%20%3D%20%5Cfrac%7BqA%5C%2CD_E%5C%2Cn_i%5E2%7D%7BL_E%5C%2CN_E%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20(Additional%20components%20not%20captured%20here%3A%20recombination%20in%20the%20base%20quasi-neutral%20region%20and%20in%20the%20depletion%20regions.%20These%20become%20important%20at%20low%20%24V_%7BBE%7D%24%20and%20in%20non-ideal%20devices.)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%20of%20BJT%20currents%0A%0A%20%20%20%20With%20infinitely%20long%20E%20and%20C%2C%20short-base%20approximation%2C%20and%20neglecting%20reverse%20saturation%20current%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_E%20%3D%20qA%5Cleft%5B%5Cunderbrace%7B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BW_B%7D%7D_%7B%5CRightarrow%5C%2CI_%7BEn%7D%7D%20%2B%20%5Cunderbrace%7B%5Cfrac%7BD_E%5C%2Cp_%7BE0%7D%7D%7BL_E%7D%7D_%7B%5CRightarrow%5C%2CI_%7BEp%7D%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_C%20%3D%20qA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BW_B%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%20%5Cqquad%20(I_C%20%5Capprox%20I_%7BCn%7D%20%3D%20I_%7BEn%7D)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_B%20%3D%20qA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_E%5C%2Cp_%7BE0%7D%7D%7BL_E%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_E%20%3D%20I_B%20%2B%20I_C%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Finite%20emitter%20length%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20emitter%20has%20finite%20length%20%24W_E%24%20(with%20%24W_E%20%5Cll%20L_E%24%2C%20i.e.%20short%20emitter)%2C%20%24L_E%24%20is%20replaced%20by%20%24W_E%24%20in%20%24I_%7BEp%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_E%20%3D%20qA%5Cleft%5B%5Cfrac%7BD_B%5C%2Cn_%7BB0%7D%7D%7BW_B%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BD_E%5C%2Cp_%7BE0%7D%7D%7BW_E%7D%5Cright%5D%5C!%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20Compared%20to%20the%20infinite-emitter%20result%20where%20%24D_E%20p_%7BE0%7D%2FL_E%24%20appears%2C%20the%20short-emitter%20approximation%20uses%20%24D_E%20p_%7BE0%7D%2FW_E%24%20%E2%80%94%20a%20larger%20hole%20current%20into%20the%20emitter%20(steeper%20gradient%20over%20a%20shorter%20distance).%20The%20same%20substitution%20applies%20to%20%24I_B%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20BJT%20metrics%0A%0A%20%20%20%20**Emitter%20efficiency**%20%E2%80%94%20fraction%20of%20emitter%20current%20due%20to%20electrons%20(the%20useful%20carriers%20that%20cross%20the%20base)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cgamma_E%20%3D%20%5Cfrac%7BI_%7BEn%7D%7D%7BI_E%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20I_%7BEp%7D%2FI_%7BEn%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20%5Cdfrac%7BD_E%5C%2CN_B%5C%2CW_B%7D%7BD_B%5C%2CN_E%5C%2CW_E%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cgamma_E%20%5Cto%201%24%20when%20%24N_E%20%5Cgg%20N_B%24%20(heavily%20doped%20emitter%2C%20lightly%20doped%20base)%20and%20%24W_B%20%5Cll%20W_E%24%20(short%20base).%0A%0A%20%20%20%20**Common-base%20current%20gain%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Calpha_F%20%3D%20%5Cfrac%7BI_C%7D%7BI_E%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20%5Cdfrac%7BD_E%5C%2CN_B%5C%2CW_B%7D%7BD_B%5C%2CN_E%5C%2CW_E%7D%7D%20%3D%20%5Cgamma_E%24%24%0A%0A%20%20%20%20(Since%20%24I_C%20%3D%20I_%7BEn%7D%24%20under%20our%20approximations.)%0A%0A%20%20%20%20**Common-emitter%20current%20gain%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbeta_F%20%3D%20%5Cfrac%7BI_C%7D%7BI_B%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BD_B%5C%2CN_E%5C%2CW_E%7D%7BD_E%5C%2CN_B%5C%2CW_B%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20As%20%24%5Calpha_F%20%5Cto%201%24%2C%20%24%5Cbeta_F%20%5Cto%20%5Cinfty%24.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Note%3A**%20All%20expressions%20above%20assume%20the%20**short-emitter%20approximation**%20(%24W_E%20%5Cll%20L_E%24).%20For%20an%20infinitely%20long%20emitter%2C%20replace%20%24W_E%20%5Cto%20L_E%24%20everywhere.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20NE_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D17%2C%20stop%3D20%2C%20value%3D18%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24N_E%24)%20%5Bcm%24%5E%7B-3%7D%24%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20NB_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D15%2C%20stop%3D18%2C%20value%3D16%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24N_B%24)%20%5Bcm%24%5E%7B-3%7D%24%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gain_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%23%23%207.%20Interactive%3A%20%24%5Cbeta_F%24%20vs.%20Doping%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Adjust%20emitter%20and%20base%20doping%20to%20see%20the%20effect%20on%20%24%5C%5Cbeta_F%24%20and%20%24%5C%5Calpha_F%20%3D%20%5C%5Cgamma_E%24.%20(Short-emitter%20approximation%3A%20%24W_E%24%20%3D%202%20%24%5C%5Cmu%24m)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BNE_slider%2C%20NB_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20NB_slider%2C%20NE_slider%2C%20gain_controls%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(NB_slider%2C%20NE_slider%2C%20gain_controls%2C%20kT_q%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_NE%20%3D%2010%20**%20NE_slider.value%0A%20%20%20%20_NB%20%3D%2010%20**%20NB_slider.value%0A%20%20%20%20_WB%20%3D%200.5e-4%20%20%20%20%23%200.5%20um%0A%20%20%20%20_WE%20%3D%202.0e-4%20%20%20%20%23%202%20um%20(short%20emitter)%0A%0A%20%20%20%20_mu_nB%20%3D%201350.0%20%2F%20(1%20%2B%20(_NB%20%2F%201e17)**0.7)%0A%20%20%20%20_mu_pE%20%3D%20480.0%20%2F%20(1%20%2B%20(_NE%20%2F%201e17)**0.7)%0A%20%20%20%20_DnB%20%3D%20kT_q%20*%20max(_mu_nB%2C%2050)%0A%20%20%20%20_DpE%20%3D%20kT_q%20*%20max(_mu_pE%2C%2010)%0A%0A%20%20%20%20_beta%20%3D%20(_DnB%20%2F%20_DpE)%20*%20(_NE%20%2F%20_NB)%20*%20(_WE%20%2F%20_WB)%0A%20%20%20%20_alpha%20%3D%20_beta%20%2F%20(1%20%2B%20_beta)%0A%0A%20%20%20%20_ratio%20%3D%20np.logspace(-1%2C%205%2C%20500)%0A%20%20%20%20_beta_vs_ratio%20%3D%20(_DnB%20%2F%20_DpE)%20*%20_ratio%20*%20(_WE%20%2F%20_WB)%0A%20%20%20%20_alpha_vs_ratio%20%3D%20_beta_vs_ratio%20%2F%20(1%20%2B%20_beta_vs_ratio)%0A%0A%20%20%20%20_fig_gain%2C%20(_ax_beta%2C%20_ax_alpha)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(14%2C%206))%0A%0A%20%20%20%20_ax_beta.loglog(_ratio%2C%20_beta_vs_ratio%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_beta.axvline(_NE%20%2F%20_NB%2C%20color%3D'red'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3Df'%24N_E%2FN_B%24%20%3D%20%7B_NE%2F_NB%3A.0e%7D')%0A%20%20%20%20_ax_beta.axhline(_beta%2C%20color%3D'red'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_beta.plot(_NE%20%2F%20_NB%2C%20_beta%2C%20'ro'%2C%20markersize%3D12%2C%20zorder%3D5)%0A%0A%20%20%20%20_ax_beta.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f'%24%5C%5Cbeta_F%24%20%3D%20%7B_beta%3A.0f%7D'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(_NE%20%2F%20_NB%2C%20_beta)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_NE%20%2F%20_NB%20*%203%2C%20_beta%20*%200.3)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D'red'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'red'%2C%20lw%3D2)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_ax_beta.axhspan(50%2C%20300%2C%20alpha%3D0.08%2C%20color%3D'green'%2C%20label%3D'Typical%20%24%5C%5Cbeta_F%24%20range%20(50-300)')%0A%0A%20%20%20%20_ax_beta.set_xlabel(r'%24N_E%20%2F%20N_B%24'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_beta.set_ylabel(r'%24%5Cbeta_F%24'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_beta.set_title(r'%24%5Cbeta_F%20%3D%20%5Cfrac%7BD_B%7D%7BD_E%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7BN_E%7D%7BN_B%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7BW_E%7D%7BW_B%7D%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_beta.legend(fontsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_beta.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_beta.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D'both')%0A%20%20%20%20_ax_beta.set_xlim(0.1%2C%201e5)%0A%20%20%20%20_ax_beta.set_ylim(1%2C%201e5)%0A%0A%20%20%20%20_ax_alpha.semilogx(_ratio%2C%20_alpha_vs_ratio%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5)%0A%20%20%20%20_ax_alpha.axvline(_NE%20%2F%20_NB%2C%20color%3D'red'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3Df'%24N_E%2FN_B%24%20%3D%20%7B_NE%2F_NB%3A.0e%7D')%0A%20%20%20%20_ax_alpha.axhline(_alpha%2C%20color%3D'red'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_alpha.plot(_NE%20%2F%20_NB%2C%20_alpha%2C%20'ro'%2C%20markersize%3D12%2C%20zorder%3D5)%0A%0A%20%20%20%20_ax_alpha.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f'%24%5C%5Calpha_F%24%20%3D%20%7B_alpha%3A.4f%7D'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(_NE%20%2F%20_NB%2C%20_alpha)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_NE%20%2F%20_NB%20*%203%2C%20_alpha%20-%200.15)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold'%2C%20color%3D'red'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'red'%2C%20lw%3D2)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_ax_alpha.axhspan(0.98%2C%201.0%2C%20alpha%3D0.08%2C%20color%3D'green'%2C%20label%3Dr'Typical%20%24%5Calpha_F%24%20range%20(0.98-1.0)')%0A%0A%20%20%20%20_ax_alpha.set_xlabel(r'%24N_E%20%2F%20N_B%24'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_alpha.set_ylabel(r'%24%5Calpha_F%20%3D%20%5Cgamma_E%24'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_alpha.set_title(r'%24%5Calpha_F%20%3D%20%5Cgamma_E%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cbeta_F%7D%7B1%20%2B%20%5Cbeta_F%7D%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_alpha.legend(fontsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_alpha.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_alpha.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D'both')%0A%20%20%20%20_ax_alpha.set_xlim(0.1%2C%201e5)%0A%20%20%20%20_ax_alpha.set_ylim(0%2C%201.05)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_info_gain%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Parameters%20(short-emitter%20approximation)%3A**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24N_E%24%20%3D%20%7B_NE%3A.1e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%2C%20%24N_B%24%20%3D%20%7B_NB%3A.1e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24W_B%24%20%3D%20%7B_WB*1e4%3A.1f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m%2C%20%24W_E%24%20%3D%20%7B_WE*1e4%3A.0f%7D%20%24%5C%5Cmu%24m%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24D_B%24%20%3D%20%7B_DnB%3A.1f%7D%20cm%24%5E2%24%2Fs%2C%20%24D_E%24%20%3D%20%7B_DpE%3A.1f%7D%20cm%24%5E2%24%2Fs%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5C%5Cbeta_F%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%7B_DnB%3A.1f%7D%7D%7D%7B%7B%7B_DpE%3A.1f%7D%7D%7D%20%5C%5Ctimes%20%5C%5Cfrac%7B%7B%7B_NE%3A.1e%7D%7D%7D%7B%7B%7B_NB%3A.1e%7D%7D%7D%20%5C%5Ctimes%20%5C%5Cfrac%7B%7B%7B_WE*1e4%3A.0f%7D%5C%5C%20%5C%5Cmu%20m%7D%7D%7B%7B%7B_WB*1e4%3A.1f%7D%5C%5C%20%5C%5Cmu%20m%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cmathbf%7B%7B%7B_beta%3A.0f%7D%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5C%5Calpha_F%20%3D%20%5C%5Cgamma_E%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5Cbeta_F%7D%7D%7B%7B1%20%2B%20%5C%5Cbeta_F%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%7B_beta%3A.0f%7D%7D%7D%7B%7B1%20%2B%20%7B_beta%3A.0f%7D%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cmathbf%7B%7B%7B_alpha%3A.4f%7D%7D%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bgain_controls%2C%20_fig_gain%2C%20_info_gain%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_img_checkpoint%20%3D%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fcheckpoint-bjt-comparison.png%22%2C%20width%3D%22100%25%22)%0A%20%20%20%20quiz%3Dmo.vstack(%5Bmo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Quick%20Check%0A%0A%20%20%20%20**Q1%3A**%20If%20you%20want%20to%20increase%20%24%5Cbeta_F%24%20by%20a%20factor%20of%2010%2C%20which%20is%20most%20effective%3A%0A%20%20%20%20-%20**(A)**%20Increase%20%24N_E%24%20by%2010%C3%97%0A%20%20%20%20-%20**(B)**%20Decrease%20%24N_B%24%20by%2010%C3%97%0A%20%20%20%20-%20**(C)**%20Decrease%20%24W_B%24%20by%2010%C3%97%0A%0A%20%20%20%20%3C!--%0A%20%20%20%20**A%3A**%20All%20three%20work!%20From%20%24%5Cbeta_F%20%3D%20%5Cfrac%7BD_B%5C%2CN_E%5C%2CW_E%7D%7BD_E%5C%2CN_B%5C%2CW_B%7D%24%3A%0A%20%20%20%20-%20(A)%20increases%20%24N_E%2FN_B%24%20by%2010%C3%97%20%E2%9C%93%0A%20%20%20%20-%20(B)%20increases%20%24N_E%2FN_B%24%20by%2010%C3%97%20%E2%9C%93%0A%20%20%20%20-%20(C)%20increases%20%24W_E%2FW_B%24%20by%2010%C3%97%20%E2%9C%93%0A%0A%20%20%20%20But%20**(C)%20is%20most%20practical%20in%20fabrication**%20%E2%80%94%20modern%20BJTs%20use%20very%20thin%20bases%20(%3C%20100%20nm).%20Verify%20with%20the%20sliders%20above!%0A%20%20%20%20--%3E%0A%0A%20%20%20%20**Bonus%3A**%20Why%20not%20just%20make%20%24W_B%24%20arbitrarily%20small%3F%20(Hint%3A%20punch-through%2C%20base%20resistance%2C%20Early%20effect...)%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20**Q2%3A**%20Three%20NPN%20BJTs%20have%20identical%20%24N_E%24%2C%20%24D_B%24%2C%20%24D_E%24%2C%20and%20%24W_E%24%2C%20but%20differ%20in%20base%20width%20%24W%24%20and%20base%20doping%20%24N_B%24%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5B_img_checkpoint%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%2C%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**(a)**%20Which%20has%20the%20highest%20emitter%20efficiency%20(%24%5Cgamma_E%24)%20and%20common-base%20current%20gain%20(%24%5Calpha_F%24)%3F%0A%0A%20%20%20%20**(b)**%20Which%20has%20the%20highest%20common-emitter%20current%20gain%20(%24%5Cbeta_F%24)%3F%0A%0A%20%20%20%20%3C!---%0A%20%20%20%20**A%3A**%0A%0A%20%20%20%20Recall%3A%20%24%5Cgamma_E%20%3D%20%5Calpha_F%20%3D%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20%5Cdfrac%7BD_E%5C%2CN_B%5C%2CW_B%7D%7BD_B%5C%2CN_E%5C%2CW_E%7D%7D%24%20and%20%24%5Cbeta_F%20%3D%20%5Cdfrac%7BD_B%5C%2CN_E%5C%2CW_E%7D%7BD_E%5C%2CN_B%5C%2CW_B%7D%24%0A%0A%20%20%20%20The%20figure%20of%20merit%20is%20the%20product%20%24N_B%20%5Ccdot%20W_B%24%3A%0A%20%20%20%20-%20**BJT%201%3A**%20%24N_B%20%5Ccdot%20W%24%0A%20%20%20%20-%20**BJT%202%3A**%20%24N_B%20%5Ccdot%202W%24%20%3D%20%242%5C%2CN_B%20W%24%0A%20%20%20%20-%20**BJT%203%3A**%20%242N_B%20%5Ccdot%20W%24%20%3D%20%242%5C%2CN_B%20W%24%0A%0A%20%20%20%20**(a)**%20**BJT%201**%20has%20the%20smallest%20%24N_B%20W_B%24%20product%2C%20so%20it%20has%20the%20highest%20%24%5Cgamma_E%24%20and%20%24%5Calpha_F%24.%0A%0A%20%20%20%20**(b)**%20**BJT%201**%20also%20has%20the%20highest%20%24%5Cbeta_F%24%2C%20since%20%24%5Cbeta_F%20%5Cpropto%201%2F(N_B%20W_B)%24.%0A%0A%20%20%20%20BJT%202%20and%20BJT%203%20have%20the%20**same**%20%24%5Cgamma_E%24%2C%20%24%5Calpha_F%24%2C%20and%20%24%5Cbeta_F%24%20%E2%80%94%20doubling%20the%20base%20width%20has%20the%20same%20effect%20as%20doubling%20the%20base%20doping.%0A%20%20%20%20--%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%5D)%0A%20%20%20%20return%20(quiz%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20quiz)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bquiz%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_img_early%20%3D%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Fearly-effect.png%22%2C%20width%3D%2280%25%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%208.%20Base%20Width%20Modulation%3A%20Early%20Effect%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20As%20the%20reverse%20bias%20on%20the%20B-C%20junction%20increases%2C%20the%20B-C%20depletion%20region%20widens%2C%20reducing%20the%20quasi-neutral%20base%20width%20%24W_B%24.%20This%20is%20called%20the%20**Early%20effect**%20(or%20**base%20width%20modulation**)%2C%20named%20after%20James%20Early%20of%20Bell%20Labs.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Since%20%24I_C%20%5Cpropto%201%2FW_B%24%20and%20%24%5Cbeta_F%20%5Cpropto%201%2FW_B%24%2C%20a%20smaller%20%24W_B%24%20means%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5Calpha_F%24%20and%20%24%5Cbeta_F%24%20increase%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24I_C%24%20increases%20with%20%24V_%7BCE%7D%24%20even%20at%20constant%20%24I_B%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20gives%20the%20output%20characteristics%20a%20finite%20slope%20in%20the%20active%20region%20rather%20than%20perfectly%20flat%20curves.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5B_img_early%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20All%20curves%20extrapolate%20back%20to%20%24V_%7BCE%7D%20%3D%20-V_A%24%2C%20where%20%24V_A%24%20is%20the%20**Early%20voltage**%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24I_C%20%3D%20%5Cbeta_F%20I_B%20%5Cleft(1%20%2B%20%5Cfrac%7BV_%7BCE%7D%7D%7BV_A%7D%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**To%20reduce%20the%20Early%20effect%3A**%20choose%20%24N_B%20%3E%20N_C%24%20so%20that%20most%20of%20the%20change%20in%20the%20depletion%20layer%20width%20is%20in%20the%20collector%20(not%20the%20base).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20IB_base_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%20stop%3D100%2C%20value%3D10%2C%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24I_B%24%20step%20(%24%5Cmu%24A)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20VA_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D20%2C%20stop%3D200%2C%20value%3D100%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Early%20voltage%20%24V_A%24%20(V)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20output_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Interactive%3A%20Output%20Characteristics%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22The%20output%20characteristics%20show%20%24I_C%24%20vs%20%24V_%7BCE%7D%24%20for%20different%20base%20currents.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BIB_base_slider%2C%20VA_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20IB_base_slider%2C%20VA_slider%2C%20output_controls%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IB_base_slider%2C%20VA_slider%2C%20mo%2C%20np%2C%20output_controls%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_IB_step%20%3D%20IB_base_slider.value%20*%201e-6%20%20%23%20A%0A%20%20%20%20_VA%20%3D%20VA_slider.value%20%20%23%20V%0A%20%20%20%20_beta0%20%3D%20100%0A%0A%20%20%20%20_VCE%20%3D%20np.linspace(0%2C%2010%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20_fig_o%2C%20_ax_o%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%207))%0A%0A%20%20%20%20_colors%20%3D%20plt.cm.viridis(np.linspace(0.2%2C%200.9%2C%205))%0A%0A%20%20%20%20for%20_i%20in%20range(5)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_IB%20%3D%20(_i%20%2B%201)%20*%20_IB_step%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_VBE_sat%20%3D%200.2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_IC_active%20%3D%20_beta0%20*%20_IB%20*%20(1%20%2B%20_VCE%20%2F%20_VA)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Phenomenological%20saturation%20model%20(smooth%20transition%20from%20linear%20to%20active)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_IC_sat%20%3D%20_beta0%20*%20_IB%20*%20(_VCE%20%2F%20_VBE_sat)%20*%20np.tanh(_VCE%20%2F%20_VBE_sat%20*%203)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_IC%20%3D%20np.where(_VCE%20%3C%20_VBE_sat%2C%20_IC_sat%2C%20_IC_active)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_IC%20%3D%20np.minimum(_IC%2C%20_IC_active)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_o.plot(_VCE%2C%20_IC%20*%201e3%2C%20'-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20color%3D_colors%5B_i%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df'%24I_B%24%20%3D%20%7B_IB*1e6%3A.0f%7D%20%24%5C%5Cmu%24A')%0A%0A%20%20%20%20_ax_o.axvline(0.2%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20_ax_o.text(0.05%2C%20_ax_o.get_ylim()%5B1%5D%20if%20_ax_o.get_ylim()%5B1%5D%20%3E%200%20else%205%2C%20'Sat.'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'gray'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'top')%0A%20%20%20%20_ax_o.text(3%2C%20_ax_o.get_ylim()%5B1%5D%20if%20_ax_o.get_ylim()%5B1%5D%20%3E%200%20else%205%2C%20'Active%20region'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%20color%3D'gray'%2C%20ha%3D'center'%2C%20va%3D'top')%0A%0A%20%20%20%20_IB_mid%20%3D%203%20*%20_IB_step%0A%20%20%20%20_IC_mid_0%20%3D%20_beta0%20*%20_IB_mid%0A%20%20%20%20_ax_o.plot(%5B-_VA%2C%200%5D%2C%20%5B0%2C%20_IC_mid_0%20*%201e3%5D%2C%20'k%3A'%2C%20linewidth%3D1%2C%20alpha%3D0.4)%0A%20%20%20%20_ax_o.annotate(f'%24-V_A%24%20%3D%20%7B-_VA%7D%20V'%2C%20xy%3D(-_VA%20*%200.1%2C%200)%2C%20fontsize%3D12%2C%20color%3D'gray')%0A%0A%20%20%20%20_ax_o.set_xlabel(r'%24V_%7BCE%7D%24%20(V)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_o.set_ylabel(r'%24I_C%24%20(mA)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_o.set_title('BJT%20Output%20Characteristics%20(Common-Emitter)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_o.legend(fontsize%3D14%2C%20loc%3D'upper%20left')%0A%20%20%20%20_ax_o.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_o.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20_ax_o.set_xlim(-0.5%2C%2010)%0A%20%20%20%20_ax_o.set_ylim(0%2C%20None)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_ro%20%3D%20_VA%20%2F%20(_beta0%20*%203%20*%20_IB_step)%20if%20_beta0%20*%203%20*%20_IB_step%20%3E%200%20else%20float('inf')%0A%20%20%20%20_info_o%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Output%20resistance%3A**%20%24r_o%20%3D%20V_A%20%2F%20I_C%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20%24I_B%24%20%3D%20%7B3*_IB_step*1e6%3A.0f%7D%20%24%5C%5Cmu%24A%3A%20%24r_o%20%5C%5Capprox%24%20%7B_ro%2F1e3%3A.1f%7D%20k%24%5C%5COmega%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20All%20curves%20extrapolate%20back%20to%20%24V_%7B%7BCE%7D%7D%20%3D%20-V_A%20%3D%20-%7B_VA%7D%24%20V.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Boutput_controls%2C%20_fig_o%2C%20_info_o%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%209.%20Gummel%20Number%20Formulation%0A%0A%20%20%20%20For%20**non-uniform%20doping**%20(common%20in%20real%20BJTs)%2C%20the%20collector%20current%20is%20expressed%20using%20the%20**Gummel%20number**%20%24G_B%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_C%20%3D%20%5Cfrac%7BqA_E%20n_i%5E2%7D%7BG_B%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D%20-%201%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20the%20base%20Gummel%20number%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24G_B%20%3D%20%5Cint_0%5E%7BW_B%7D%20%5Cfrac%7BN_B(x)%7D%7BD_B(x)%7D%5C%2Cdx%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Physical%20meaning%3A**%20%24G_B%24%20represents%20the%20integrated%20%22resistance%22%20to%20minority%20carrier%20diffusion%20through%20the%20base.%20Higher%20doping%20or%20lower%20diffusivity%20increases%20%24G_B%24%20and%20reduces%20%24I_C%24.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%2C%20the%20base%20current%20uses%20the%20emitter%20Gummel%20number%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24I_B%20%3D%20%5Cfrac%7BqA_E%20n_i%5E2%7D%7BG_E%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D%20-%201%5Cright)%2C%20%5Cqquad%20G_E%20%3D%20%5Cint_0%5E%7BW_E%7D%20%5Cfrac%7BN_E(x'')%7D%7BD_E(x'')%7D%5C%2Cdx''%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Current%20gain%3A**%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbeta_F%20%3D%20%5Cfrac%7BG_E%7D%7BG_B%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20Gummel%20number%20naturally%20accounts%20for%20non-uniform%20doping%20profiles%2C%20bandgap%20narrowing%2C%20and%20position-dependent%20diffusivity.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20IS_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-16%2C%20stop%3D-10%2C%20value%3D-14%2C%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22log%24_%7B10%7D%24(%24I_S%24)%20%5BA%5D%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20beta_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D10%2C%20stop%3D500%2C%20value%3D100%2C%20step%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Cbeta_F%24%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20n_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1.0%2C%20stop%3D2.0%2C%20value%3D1.0%2C%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Ideality%20factor%20%24n%24%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gummel_controls%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%2010.%20Interactive%3A%20Gummel%20Plot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20**Gummel%20plot**%20(%24%5Clog%20I_C%24%20and%20%24%5Clog%20I_B%24%20vs%20%24V_%7BBE%7D%24)%20is%20the%20standard%20method%20for%20extracting%20BJT%20parameters%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20The%20ideal%20%24I_C%24%20line%20has%20a%20slope%20of%20**60%20mV%2Fdecade**%20(at%20300%20K%2C%20for%20%24n%20%3D%201%24).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Extrapolating%20this%20straight%20line%20to%20%24V_%7BBE%7D%20%3D%200%24%20gives%20the%20**saturation%20current**%20%24I_S%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20The%20base%20Gummel%20number%20is%20then%20%24G_B%20%3D%20A_E%20q%20n_i%5E2%20%2F%20I_S%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20The%20vertical%20separation%20between%20%24I_C%24%20and%20%24I_B%24%20gives%20%24%5Cbeta_F%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5BIS_slider%2C%20beta_slider%2C%20n_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20IS_slider%2C%20beta_slider%2C%20gummel_controls%2C%20n_slider%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IS_slider%2C%20beta_slider%2C%20gummel_controls%2C%20kT_q%2C%20mo%2C%20n_slider%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_IS%20%3D%2010%20**%20IS_slider.value%0A%20%20%20%20_beta%20%3D%20beta_slider.value%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20n_slider.value%0A%0A%20%20%20%20_VBE%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%200.8%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20_IC_n%20%3D%20_IS%20*%20(np.exp(_VBE%20%2F%20(_n%20*%20kT_q))%20-%201)%0A%20%20%20%20_IB_n%20%3D%20_IC_n%20%2F%20_beta%0A%0A%20%20%20%20_IB_rec%20%3D%20(_IS%20*%201e3)%20*%20(np.exp(_VBE%20%2F%20(2%20*%20kT_q))%20-%201)%0A%20%20%20%20_IB_total%20%3D%20_IB_n%20%2B%20_IB_rec%0A%0A%20%20%20%20_fig_g%2C%20_ax_g%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%207))%0A%0A%20%20%20%20_ax_g.semilogy(_VBE%2C%20np.maximum(_IC_n%2C%201e-30)%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3Df'%24I_C%24%20(%24n%24%20%3D%20%7B_n%3A.2f%7D)')%0A%20%20%20%20_ax_g.semilogy(_VBE%2C%20np.maximum(_IB_total%2C%201e-30)%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2.5%2C%20label%3D'%24I_B%24%20(total)')%0A%20%20%20%20_ax_g.semilogy(_VBE%2C%20np.maximum(_IB_n%2C%201e-30)%2C%20'r--'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3Df'%24I_B%24%20(ideal%2C%20%24n%24%20%3D%20%7B_n%3A.2f%7D)')%0A%20%20%20%20_ax_g.semilogy(_VBE%2C%20np.maximum(_IB_rec%2C%201e-30)%2C%20'r%3A'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.5%2C%20label%3D'%24I_B%24%20(recomb.%2C%20%24n%24%20%3D%202)')%0A%0A%20%20%20%20_v_annotate%20%3D%200.55%0A%20%20%20%20_ic_at_v%20%3D%20_IS%20*%20(np.exp(_v_annotate%20%2F%20(_n%20*%20kT_q))%20-%201)%0A%20%20%20%20_ib_at_v%20%3D%20_ic_at_v%20%2F%20_beta%20%2B%20(_IS%20*%201e3)%20*%20(np.exp(_v_annotate%20%2F%20(2%20*%20kT_q))%20-%201)%0A%20%20%20%20_beta_actual%20%3D%20_ic_at_v%20%2F%20_ib_at_v%20if%20_ib_at_v%20%3E%200%20else%20_beta%0A%20%20%20%20_ax_g.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f'%24%5C%5Cbeta%24%20%3D%20%7B_beta_actual%3A.0f%7D%5Cnat%20%24V_%7B%7BBE%7D%7D%24%20%3D%20%7B_v_annotate%7D%20V'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(_v_annotate%2C%20_ic_at_v)%2C%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_v_annotate%20-%200.2%2C%20_ic_at_v%20*%2010)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'black'%2C%20lw%3D1.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round'%2C%20facecolor%3D'lightyellow'%2C%20alpha%3D0.9)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20I_S%20intercept%20line%0A%20%20%20%20_ax_g.axhline(_IS%2C%20color%3D'blue'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20alpha%3D0.6)%0A%20%20%20%20_ax_g.annotate(f'%24I_S%24%20%3D%20%7B_IS%3A.1e%7D%20A'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0.02%2C%20_IS)%2C%20fontsize%3D13%2C%20color%3D'blue'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(0.08%2C%20_IS%20*%205)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3D'blue'%2C%20lw%3D1.2))%0A%0A%20%20%20%20_ax_g.annotate(''%2C%20xy%3D(0.46%2C%201e-6)%2C%20xytext%3D(0.4%2C%201e-6)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3D'green'%2C%20lw%3D2))%0A%20%20%20%20_ax_g.text(0.35%2C%203e-7%2C%20'60%20mV%2Fdec%5Cn(%24n%24%20%3D%201)'%2C%20fontsize%3D12%2C%20color%3D'green'%2C%20ha%3D'center')%0A%0A%20%20%20%20_ax_g.set_xlabel(r'%24V_%7BBE%7D%24%20(V)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_g.set_ylabel(r'Current%20(A)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20_ax_g.set_title('Gummel%20Plot'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20_ax_g.legend(fontsize%3D14%2C%20loc%3D'upper%20left')%0A%20%20%20%20_ax_g.tick_params(labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20_ax_g.grid(True%2C%20alpha%3D0.3%2C%20which%3D'both')%0A%20%20%20%20_ax_g.set_xlim(0%2C%200.8)%0A%20%20%20%20_ax_g.set_ylim(1e-18%2C%201e0)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20_slope%20%3D%201%20%2F%20(_n%20*%20kT_q%20*%20np.log(10))%0A%20%20%20%20_info_g%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**%24I_S%24%20%3D%20%7B_IS%3A.1e%7D%20A%2C%20%24%5C%5Cbeta_F%24%20%3D%20%7B_beta%3A.0f%7D%2C%20%24n%24%20%3D%20%7B_n%3A.2f%7D**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Semi-log%20slope%20of%20%24I_C%24%3A%20**%7B_slope%3A.1f%7D%20decades%2FV**%20(%7B_n%20*%2060%3A.0f%7D%20mV%2Fdecade)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Parameter%20extraction%3A**%20Extrapolate%20the%20straight-line%20portion%20of%20%24%5C%5Clog%20I_C%24%20to%20%24V_%7B%7BBE%7D%7D%20%3D%200%24%20%24%5C%5CRightarrow%24%20intercept%20%3D%20%24I_S%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Then%20%24G_B%20%3D%20A_E%20q%20n_i%5E2%20%2F%20I_S%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20low%20%24V_%7B%7BBE%7D%7D%24%2C%20the%20base%20current%20is%20dominated%20by%20**recombination**%20in%20the%20SCR%20(%24n%20%3D%202%24).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20higher%20%24V_%7B%7BBE%7D%7D%24%2C%20the%20ideal%20diffusion%20component%20(%24n%20%3D%20%7B_n%3A.2f%7D%24)%20takes%20over.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bgummel_controls%2C%20_fig_g%2C%20_info_g%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(IMAGE_BASE%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_img_em%20%3D%20mo.image(src%3Df%22%7BIMAGE_BASE%7D%2Febers-moll.png%22%2C%20width%3D%2270%25%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%2011.%20Ebers-Moll%20Model%20*(optional)*%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20general%20BJT%20model%20uses%20two%20coupled%20diode%20equations.%20Define%20the%20forward%20and%20reverse%20diode%20currents%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24I_F%20%3D%20I_%7BES%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D%20-%201%5Cright)%2C%20%5Cqquad%20I_R%20%3D%20I_%7BCS%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBC%7D%2FkT%7D%20-%201%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20terminal%20currents%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24I_C%20%3D%20%5Calpha_F%5C%2CI_F%20-%20I_R%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24I_E%20%3D%20-I_F%20%2B%20%5Calpha_R%5C%2CI_R%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Reciprocity%20relation%3A**%20%24%5Calpha_F%20I_%7BES%7D%20%3D%20%5Calpha_R%20I_%7BCS%7D%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20circuit%20representation%20consists%20of%20two%20diodes%20(B-E%20and%20B-C)%20with%20dependent%20current%20sources%20%24%5Calpha_F%20I_F%24%20and%20%24%5Calpha_R%20I_R%24%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5B_img_em%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Parameter%20%7C%20Meaning%20%7C%20Typical%20(Si)%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%7C%3A---%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24I_%7BES%7D%24%20%7C%20B-E%20saturation%20current%20(A)%20%7C%20%2410%5E%7B-15%7D%24%20%E2%80%93%20%2410%5E%7B-12%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24I_%7BCS%7D%24%20%7C%20B-C%20saturation%20current%20(A)%20%7C%20%2410%5E%7B-13%7D%24%20%E2%80%93%20%2410%5E%7B-10%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24%5Calpha_F%24%20%7C%20Forward%20current%20gain%20%7C%200.98%20%E2%80%93%200.998%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24%5Calpha_R%24%20%7C%20Reverse%20current%20gain%20%7C%200.1%20%E2%80%93%200.5%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24%5Cbeta_F%24%20%7C%20Forward%20CE%20gain%20%7C%2050%20%E2%80%93%20500%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%0A%0A%20%20%20%20Short-base%20(%24W_B%20%5Cll%20L_B%24)%20and%20short-emitter%20(%24W_E%20%5Cll%20L_E%24)%20approximations%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Expression%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A---%7C%3A---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24I_C%24%20%7C%20%24%5Cdfrac%7BqA%5C%2CD_B%5C%2Cn_i%5E2%7D%7BW_B%5C%2CN_B%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24I_B%24%20%7C%20%24%5Cdfrac%7BqA%5C%2CD_E%5C%2Cn_i%5E2%7D%7BW_E%5C%2CN_E%7D%5Cleft(e%5E%7BqV_%7BBE%7D%2FkT%7D-1%5Cright)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cgamma_E%24%20(emitter%20efficiency)%20%7C%20%24%5Cleft%5B1%20%2B%20%5Cdfrac%7BD_E%5C%2CN_B%5C%2CW_B%7D%7BD_B%5C%2CN_E%5C%2CW_E%7D%5Cright%5D%5E%7B-1%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Calpha_F%24%20(common-base%20gain)%20%7C%20%24%5Cgamma_E%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cbeta_F%24%20(common-emitter%20gain)%20%7C%20%24%5Cdfrac%7BD_B%5C%2CN_E%5C%2CW_E%7D%7BD_E%5C%2CN_B%5C%2CW_B%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24I_S%24%20%7C%20%24qA%5C%2CD_B%5C%2Cn_i%5E2%20%2F%20(W_B%5C%2CN_B)%24%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%3E%20For%20infinitely%20long%20emitter%2C%20replace%20%24W_E%20%5Cto%20L_E%24.%0A%0A%20%20%20%20**Key%20ideas%3A**%0A%20%20%20%20-%20%24I_C%24%20is%20set%20by%20electron%20diffusion%20across%20the%20base%0A%20%20%20%20-%20%24I_B%24%20is%20set%20by%20hole%20injection%20into%20the%20emitter%0A%20%20%20%20-%20Gummel%20plot%20(%24%5Clog%20I%24%20vs%20%24V_%7BBE%7D%24)%20is%20the%20standard%20characterization%20method%0A%20%20%20%20-%20Early%20effect%20gives%20finite%20output%20resistance%20%24r_o%20%3D%20V_A%20%2F%20I_C%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A