band bending

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.4.1%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3D%3D3.10.8%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.19.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Aasync%20def%20_()%3A%0A%20%20%20%20%23%20Install%20plotly%20in%20WASM%20environment%20(Pyodide)%0A%20%20%20%20import%20sys%0A%20%20%20%20if%20%22pyodide%22%20in%20sys.modules%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20micropip%0A%20%20%20%20%20%20%20%20await%20micropip.install(%22plotly%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20q%20%3D%201.6e-19%20%20%23%20C%0A%20%20%20%20ASSET_DIR%20%3D%20Path(__file__).parent%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Band%20Bending%20and%20Electrostatics%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20interactive%20notebook%20covers%20the%20concept%20spatial%20energy%20band%20diagrams%20in%20semiconductors%2C%20including%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Poisson's%20equation%20and%20electrostatics%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Relationship%20to%20energy%20bands%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20Band%20bending%20%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20ASSET_DIR%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(ASSET_DIR%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_md1%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Energy%20Bands%20and%20the%20Electric%20Field%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20parabolic%20band%20approximation%20gives%3A%20%0A%0A%20%20%20%20%24%24E%20%20%3D%20E_c%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20k%5E2%7D%7B2m_n%5E*%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bfor%20electrons%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24E%20%3D%20E_v%20-%20%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20k%5E2%7D%7B2m_p%5E*%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bfor%20holes%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20So%20we%20can%20view%20%24E_c%24%20and%20%24E_v%24%20as%20the%20potential%20energy%20of%20the%20electrons%20and%20holes%2C%20respectively%2C%20and%20%24%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20k%5E2%7D%7B2m_n%5E*%7D%24%20and%20%24%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%20k%5E2%7D%7B2m_p%5E*%7D%24%20as%20the%20kinetic%20energy.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20At%20%24E_c%24%20and%20%24E_v%24%2C%20the%20group%20velocity%20for%20the%20carriers%20is%20zero%2C%20so%20one%20can%20think%20of%20the%20carriers%20as%20having%20zero%20(net)%20kinetic%20energy.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Electrons**%20tend%20to%20fall%20in%20the%20energy%20diagram%20(toward%20lower%20%24E_c%24)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Holes**%20%22bubble%22%20up%20(toward%20higher%20%24E_v%24)%0A%0A%20%20%20%20-%20Notice%20that%20the%20energy%20is%20defined%20in%20a%20positive%20sense%20for%20**electrons**%20(negative%20charge)%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20For%20electrons%2C%20%24E_c%24%20is%20the%20minimum%20energy%20and%20more%20energetic%20electrons%20have%20higher%20energies.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Consider%20the%20lowest%20energy%20to%20be%20%24E_c%20-%20E_%7Bref%7D%24%2C%20where%20%24E_%7Bref%7D%24%20is%20the%20reference%20energy.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20For%20holes%20(positive%20charge)%2C%20%24E_v%24%20is%20the%20minimum%20energy%20and%20more%20energetic%20holes%20have%20lower%20energies.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Consider%20the%20lowest%20energy%20to%20be%20%24E_%7Bref%7D%20-%20E_v%24%2C%20where%20%24E_%7Bref%7D%24%20is%20the%20reference%20energy.%20%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_img1%20%3D%20mo.hstack(%5Bmo.image(src%3Dstr(ASSET_DIR%20%2F%20%22electron-hole-energy.png%22)%2C%20width%3D300%2C%20caption%3D%22Electrons%20fall%20toward%20E%3Csub%3Ec%3C%2Fsub%3E%2C%20holes%20bubble%20up%20toward%20%20E%3Csub%3Ev%3C%2Fsub%3E.%22)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%0A%0A%20%20%20%20_md2%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20-%20If%20there%20is%20a%20voltage%20(potential%20difference)%20between%20two%20points%20in%20the%20semiconductor%2C%20the%20potential%20energy%20for%20the%20carriers%20is%20no%20longer%20spatially%20uniform.%20This%20means%20%24E_c(x)%24%20and%20%24E_v(x)%24%20vary%20with%20position%20%24x%24.%0A%20%20%20%20-%20This%20is%20called%20**band%20bending**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_md1%2C%20_img1%2C%20_md2%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Electrostatics%20Review%0A%0A%20%20%20%20The%20chain%20of%20relationships%3A%20**Charge%20%E2%86%92%20Electric%20Field%20%E2%86%92%20Potential**%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%201.%20Charge%20%E2%86%92%20Electric%20Field%20(Poisson's%20Equation)%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cnabla%20%5Ccdot%20%5Cvec%7B%5Cmathcal%7BE%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_s%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Crho%24%20is%20the%20charge%20density%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cepsilon_s%24%20is%20the%20permittivity%20of%20the%20material%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5Cepsilon_s%20%3D%20%5Cepsilon_0%20%5Cepsilon_r%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5Cepsilon_0%20%3D%208.85%20%5Ctimes%2010%5E%7B-12%7D%20F%2Fm%24%20is%20the%20permittivity%20of%20free%20space%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5Cepsilon_r%24%20is%20the%20relative%20permittivity%20of%20the%20material%20(%24%5Capprox%2012%24%20for%20silicon)%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20semiconductor%2C%20the%20charge%20density%20is%0A%20%20%20%20%24%24%5Crho%20%3D%20q(p%20-%20n%20%2B%20N_D%5E%2B%20-%20N_A%5E-)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%202.%20Electric%20Field%20%E2%86%92%20Potential%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20**positive%20charge**%2C%20the%20electric%20field%20is%20related%20to%20the%20electrostatic%20potential%2C%20%24%5CPhi%24%2C%20and%20the%20voltage%2C%20%24V%24%2C%20by%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cvec%7B%5Cmathcal%7BE%7D%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%20%5Cnabla%20%5CPhi%20%3D%20-%5Cnabla%20V%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bin%201D%3A%20%7D%20%5Cmathcal%7BE%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7BdV%7D%7Bdx%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cboxed%7B%5CPhi%20%3D%20qV%7D%24%20is%20the%20potential%20energy%20of%20a%20positive%20charge.%0A%0A%20%20%20%20Combining%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cnabla%5E2%20V%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_s%7D%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bin%201D%3A%20%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2V%7D%7Bdx%5E2%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_s%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(ASSET_DIR%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_md%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Connection%20to%20Energy%20Bands%20%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24E_c(x)%24%20and%20%24E_v(x)%24%20represent%20the%20potential%20energy%20of%20the%20electrons%20and%20holes%2C%20respectively%2C%20when%20we%20relate%20to%20the%20electrostatic%20potential%2C%20we%20get%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24E_%7Bref%7D%20-%20E_v(x)%20%3D%20%5CPhi(x)%20%3D%20qV(x)%20%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bfor%20holes%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24E_c(x)%20-%20E_%7Bref%7D%20%3D%20-%5CPhi(x)%20%3D-qV(x)%20%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bfor%20electrons%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctherefore%20%5Cboxed%7B%5Cmathcal%7BE%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7BdV%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%20%5Cfrac%7BdE_v%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bq%7D%20%5Cfrac%7BdE_c%7D%7Bdx%7D%20%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20bandgap%20%24E_g%20%3D%20E_c%20-%20E_v%24%20remains%20constant%0A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_img%20%3D%20mo.hstack(%5Bmo.image(src%3Dstr(ASSET_DIR%20%2F%20%22bandbend_roll.png%22)%2C%20width%3D300%2C%20caption%3D%22Energy%20bands%20under%20an%20applied%20electric%20field.%20Electrons%20roll%20down%20the%20hill%2C%20holes%20roll%20up%20the%20hill.%22)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B_md%2C%20_img%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Slider%20for%20applied%20voltage%20(created%20in%20separate%20cell)%0A%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%20Band%20Diagram%20Visualization%22)%0A%0A%20%20%20%20voltage_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22**Applied%20Voltage**%20%24V_a%24%20(V)%20at%20%24x%20%3D%200%24%3A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(voltage_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(ASSET_DIR%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20voltage_slider)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Parameters%0A%20%20%20%20E_g%20%3D%201.0%20%20%23%20Bandgap%20in%20eV%0A%20%20%20%20L_mm%20%3D%201.0%20%20%23%20Device%20length%20in%20mm%0A%20%20%20%20L%20%3D%20L_mm%20*%201e-3%20%20%23%20Convert%20to%20meters%20for%20calculations%0A%20%20%20%20V_a%20%3D%20voltage_slider.value%20%20%23%20Applied%20voltage%20from%20slider%0A%0A%20%20%20%20%23%20Position%20array%20(in%20mm%20for%20display)%0A%20%20%20%20x_mm%20%3D%20np.linspace(0%2C%20L_mm%2C%20200)%0A%20%20%20%20x%20%3D%20x_mm%20*%201e-3%20%20%23%20in%20meters%0A%0A%20%20%20%20%23%20Linear%20voltage%20drop%3A%20V(0)%20%3D%20V_a%2C%20V(L)%20%3D%200%0A%20%20%20%20V%20%3D%20V_a%20*%20(1%20-%20x_mm%20%2F%20L_mm)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Electric%20field%3A%20E%20%3D%20-dV%2Fdx%20(in%20V%2Fm%2C%20then%20convert%20to%20V%2Fmm%20for%20display)%0A%20%20%20%20E_field_V_per_m%20%3D%20-np.gradient(V%2C%20x%5B1%5D%20-%20x%5B0%5D)%0A%20%20%20%20E_field_V_per_mm%20%3D%20E_field_V_per_m%20*%201e-3%20%20%23%20V%2Fmm%0A%0A%20%20%20%20%23%20Energy%20bands%3A%20E_c(x)%20%3D%20E_c%2Cref%20-%20V(x)%2C%20E_v(x)%20%3D%20E_c(x)%20-%20E_g%0A%20%20%20%20E_c_ref%20%3D%20E_g%20%2F%202%20%20%23%20Reference%20so%20bands%20centered%20at%20x%3DL%0A%20%20%20%20E_c%20%3D%20E_c_ref%20-%20V%0A%20%20%20%20E_v%20%3D%20E_c%20-%20E_g%0A%0A%20%20%20%20%23%20Intrinsic%20Fermi%20level%20at%20mid-gap%0A%20%20%20%20E_Fi%20%3D%20(E_c%20%2B%20E_v)%20%2F%202%0A%0A%20%20%20%20%23%20Fixed%20axis%20limits%20based%20on%20slider%20range%20(-1V%20to%201V)%0A%20%20%20%20V_min%2C%20V_max%20%3D%20-1.0%2C%201.0%20%20%23%20Slider%20range%0A%20%20%20%20E_c_max%20%3D%20E_c_ref%20-%20V_min%20%20%23%20E_c%20when%20V%20is%20at%20minimum%0A%20%20%20%20E_c_min%20%3D%20E_c_ref%20-%20V_max%20%20%23%20E_c%20when%20V%20is%20at%20maximum%0A%20%20%20%20E_v_max%20%3D%20E_c_max%20-%20E_g%0A%20%20%20%20E_v_min%20%3D%20E_c_min%20-%20E_g%0A%20%20%20%20E_field_max%20%3D%20V_max%20%2F%20L_mm%20%20%23%20Max%20E-field%20magnitude%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%20with%203%20subplots%0A%20%20%20%20fig%2C%20(ax_V%2C%20ax_band%2C%20ax_field)%20%3D%20plt.subplots(3%2C%201%2C%20figsize%3D(10%2C%208))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%201%3A%20Electrostatic%20Potential%20V(x)%0A%20%20%20%20ax_V.plot(x_mm%2C%20V%2C%20'k-'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20ax_V.axhline(0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20ax_V.set_ylabel('V%20(V)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20ax_V.set_title(f'Voltage%3A%20%20%24V(0)%20%3D%20V_a%20%3D%20%7BV_a%3A.2f%7D%24%20V%2C%20%20%24V(L)%20%3D%200%24'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20ax_V.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20ax_V.set_xlim(%5B0%2C%20L_mm%5D)%0A%20%20%20%20ax_V.set_ylim(%5BV_min%20-%200.1%2C%20V_max%20%2B%200.1%5D)%20%20%23%20Fixed%20y-axis%0A%20%20%20%20ax_V.set_xticklabels(%5B%5D)%0A%20%20%20%20ax_V.tick_params(axis%3D'both'%2C%20labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20%23%20Add%20equation%0A%20%20%20%20ax_V.text(0.98%2C%200.95%2C%20r'%24V(x)%20%3D%20V_a%20%5Cleft(1%20-%20%5Cfrac%7Bx%7D%7BL%7D%5Cright)%24'%2C%20transform%3Dax_V.transAxes%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20verticalalignment%3D'top'%2C%20horizontalalignment%3D'right'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round'%2C%20facecolor%3D'wheat'%2C%20alpha%3D0.5))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%202%3A%20Energy%20Bands%0A%20%20%20%20ax_band.plot(x_mm%2C%20E_c%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'%24E_c%24')%0A%20%20%20%20ax_band.plot(x_mm%2C%20E_v%2C%20'r-'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'%24E_v%24')%0A%20%20%20%20ax_band.plot(x_mm%2C%20E_Fi%2C%20'k%3A'%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3D'%24E_%7BFi%7D%24')%0A%20%20%20%20ax_band.fill_between(x_mm%2C%20E_c%2C%20E_c_max%20%2B%200.2%2C%20alpha%3D0.1%2C%20color%3D'blue')%0A%20%20%20%20ax_band.fill_between(x_mm%2C%20E_v%2C%20E_v_min%20-%200.2%2C%20alpha%3D0.1%2C%20color%3D'red')%0A%20%20%20%20ax_band.set_ylabel('Energy%20(eV)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20ax_band.set_title(f'Energy%20Band%20Diagram%20%20(%24E_g%20%3D%20%7BE_g%7D%24%20eV)'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20ax_band.legend(loc%3D'best'%2C%20fontsize%3D14)%0A%20%20%20%20ax_band.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20ax_band.set_xlim(%5B0%2C%20L_mm%5D)%0A%20%20%20%20ax_band.set_ylim(%5BE_v_min%20-%200.3%2C%20E_c_max%20%2B%200.3%5D)%20%20%23%20Fixed%20y-axis%0A%20%20%20%20ax_band.set_xticklabels(%5B%5D)%0A%20%20%20%20ax_band.tick_params(axis%3D'both'%2C%20labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20%23%20Add%20equation%0A%20%20%20%20ax_band.text(0.98%2C%200.05%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r'%24E_c(x)%20%3D%20-%20qV(x)%20%2B%20%5Ctext%7Bconstant%7D%24'%20%2B%20'%5Cn'%20%2B%20r'%24E_v(x)%20%3D%20E_c(x)%20-%20E_g%24'%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20transform%3Dax_band.transAxes%2C%20fontsize%3D16%2C%20verticalalignment%3D'bottom'%2C%20horizontalalignment%3D'right'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round'%2C%20facecolor%3D'wheat'%2C%20alpha%3D0.5))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%203%3A%20Electric%20Field%0A%20%20%20%20ax_field.plot(x_mm%2C%20E_field_V_per_mm%2C%20'purple'%2C%20linewidth%3D2)%0A%20%20%20%20ax_field.axhline(0%2C%20color%3D'gray'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20ax_field.set_xlabel(r'Position%20%24x%24%20(mm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20ax_field.set_ylabel(r'%24%5Cmathcal%7BE%7D%24%20(V%2Fmm)'%2C%20fontsize%3D16)%0A%20%20%20%20E_field_avg%20%3D%20V_a%20%2F%20L_mm%20if%20L_mm%20!%3D%200%20else%200%0A%20%20%20%20ax_field.set_title(f'Electric%20Field%3A%20%20%24%5C%5Cmathcal%7B%7BE%7D%7D%20%3D%20%7BE_field_avg%3A.2f%7D%24%20V%2Fmm'%2C%20fontsize%3D16%2C%20fontweight%3D'bold')%0A%20%20%20%20ax_field.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20ax_field.set_xlim(%5B0%2C%20L_mm%5D)%0A%20%20%20%20ax_field.set_ylim(%5B-E_field_max%20-%200.1%2C%20E_field_max%20%2B%200.1%5D)%20%20%23%20Fixed%20y-axis%0A%20%20%20%20ax_field.tick_params(axis%3D'both'%2C%20labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20%23%20Add%20equation%0A%20%20%20%20ax_field.text(0.98%2C%200.95%2C%20r'%24%5Cmathcal%7BE%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7BdV%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BV_a%7D%7BL%7D%24'%2C%20transform%3Dax_field.transAxes%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D16%2C%20verticalalignment%3D'top'%2C%20horizontalalignment%3D'right'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(boxstyle%3D'round'%2C%20facecolor%3D'wheat'%2C%20alpha%3D0.5))%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Display%20device%20length%20and%20plot%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%20Band%20Diagram%20Visualization%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bmo.image(src%3Dstr(ASSET_DIR%20%2F%20%22voltage_bandbend.png%22)%2C%20width%3D300)%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20voltage_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22**Device%20length%3A**%20%24L%20%3D%20%7BL_mm%7D%24%20mm%20%20%7C%20%20**Bandgap%3A**%20%24E_g%20%3D%20%7BE_g%7D%24%20eV%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bplt.gca()%5D%2C%20justify%3D%22center%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r'%24%24%5Cbecause%20%5Cfrac%7Bd%5Cmathcal%7BE%7D%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_s%7D%5Ctext%7B%2C%20%7D%20%5Crho%20%3D%200%24%24')%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A